高三数学一轮复习精品学案5：§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式

§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式
基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．六组诱导公式
学情自测
1． (质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角．( )
(2)cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13
.( ) (3)若α≠kπ2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α
.( ) (4)若sin α＋cos α＝1，那么有sin n α＋cos n α＝1.( )
2．若sin α＝－513
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512
3．已知tan(α－π)＝34
，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－35
4．已知sin(π－α)＝log 814
，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )
A ．－255 B.255C ．±255 D.52
5．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________．
方法技巧
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
两个防范
1．利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号． 三种方法
1．弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α
进行弦、切互化． 2．和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
3．巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan π4
等． 课堂训练
一、选择题
1．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )
A ．－1－k 2 B.1－k 2
C ．±1－k 2
D ．－k
2．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( )
A.13
B.31010
C.377
D.353
3．已知tan α＝－35
，则sin 2α＝( ) A.1517 B ．－1517C ．－817 D.817
4．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3
，则sin α等于( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12
5．已知sin(π－α)＝log 412
，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－33 B.33C ．±33
D.3
6．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝34
，则sin θ的值是( ) A.7－14 B.24 C.7＋14 D.74
二、填空题
7．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cosθsinθ
的值是________． 8．直线2x －y ＋1＝0的倾斜角为θ，则1sin 2θ－cos 2θ
的值为________． 9．已知θ为锐角，且sin(θ－π4)＝210
，则tan2θ＝________． 三、解答题
10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α
；(2)sin 2 α＋sin 2α.
11．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，求sin ⎝⎛⎭
⎫π4－α的值．
——★ 参 考 答 案 ★——
基础梳理
1． (1)sin 2α＋cos 2α＝1.
(2) tan_α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2
＋kπ，k ∈Z . 学情自测
1． (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．D
『解析』因为α为第四象限的角，故cos α＝
1－sin 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213
＝－512
. 3．B
『解析』tan(α－π)＝34⇒tan α＝34
＞0. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝
⎛⎭⎫π，3π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45
. 4．B
『解析』sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53
， 所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255
. 5．25
『解析』sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2 θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25
. 课堂训练
一、选择题
1．A
『解析』由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得sin α＝1－k 2，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2.
2．B
『解析』因为tan(π－α)＋3＝0，
所以tan α＝3，sin α＝3cos α.
因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910
. 又α为锐角，故sin α＝31010
. 3．B
『解析』sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－35）（－35
）2＋1＝－1517. 4．D
『解析』因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3
， 所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12
. 5．B
『解析』sin(π－α)＝sin α＝log 412＝－12
， 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝32
， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝33
. 6．C
『解析』由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，知sin θ＋cos θ＞0，
sin θ－cos θ＞0.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝74
， (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝14
， ∴sin θ＋cos θ＝
72，且sin θ－cos θ＝12， 从而sin θ＝
7＋14
. 二、填空题
7．2
『解析』tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ
＝2. 8．53
『解析』由题意可知，tan θ＝2，
则1sin 2θ－cos 2θ
＝sin 2θ＋cos 2θsin 2－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝53
. 9．－247
『解析』由已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210得sin θ－cos θ＝15
，再由θ为锐角且sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝45，cos θ＝35，所以tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－169＝－247. 三、解答题
10．解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 11． 解：cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34⇒cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝34. 因为α为钝角，即π2＜α＜π⇒－3π4＜π4－α＜－π4
， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＜0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝－74
.。