【精品】2016学年河南省开封市兰考二中高二上学期期中数学试卷和解析
高二(上学期)期中考试数学试卷及答案
高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
河南省高二上学期期中联考数学(文)试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，若，则（ ） {}n a 246816a a a a =5a =A ． B ．3 C ．或2 D ．42-2-【答案】C【解析】利用等比数列的性质可得，从而可得答案424685a a a a a =【详解】由等比数列的性质有，可得.42468516a a a a a ==52a =±故选：C2．下列双曲线中，虚轴长为 ）A ．B ．2213y x -=2213x y -=C ． D ．2219y x -=2219x y -=【答案】A【分析】根据虚轴长的定义分别求得各双曲线的虚轴长即可得解.【详解】对于A ，中A 正确；2213y x -=b =对于B ，中，虚轴长为，所以B 错误；2213x y -=1b =2对于C ，中，虚轴长为，所以C 错误；2219y x -=3b =6对于D ，中，虚轴长为，所以D 错误；2219x y -=1b =2故选：A.3．在中，已知，，则的面积为（ ） ABC A 3a =c =60C =︒ABC AA B C D 【答案】B【分析】先用余弦定理求得b ，然后由三角形面积公式计算．【详解】因为中，已知，， ABC A 3a =c 60C =︒所以，由余弦定理得，2222323cos 60320b b b b =+-⨯︒⇒-+=解得或2， 1b =所以的面积或 ABC A 1sin 2S ab C ==1132⨯⨯=1232S =⨯⨯=故选：B.4．已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一条渐近线，(3,0)F 20y -=则双曲线的标准方程为（ ）.A ．B ．C ．D ．2214536x y -=2213645x y -=22154x y -=22145x y -=【答案】D【分析】根据F (3,0)是双曲线的−个焦点设双曲线的方程为，然后根据渐近线方程得222219x y a a -=-即可得到双曲线方程. =a 【详解】∵双曲线的中心为原点，F (3,0)是双曲线的−个焦点，∴设双曲线方程为，a >0，222219x y a a -=-是双曲线的一条渐近线，20y -=a 2=4， =∴双曲线方程为.22145x y -=故选：D.5．已知m ＞0，则“m =3”是“椭圆=1的焦距为4”的（ ）2225x y m +A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m 的方程，求出对应的m 的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦点在x 轴上，则c 2=m 2-5=4，又m ＞0，∴m=3， 若焦点在y 轴上，则c 2=5-m 2=4，m ＞0，∴m=1，故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，22215x y m +=故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题． 6．函数的最小值为（ ） 19()(1)41f x x x x =+>-A ．B ．C ．D ．13437294【答案】A【解析】凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以，所以1x >10x ->9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=--…， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 1941x x -=-7x =()f x 134故选：A ．7．已知椭圆的右焦点为F ，点P 在椭圆上，若，则点P 的横坐标为22:132x y C +=||PF=（ ） A ．BC ．D ．32-32【答案】D【解析】由已知求得，再由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得选项. ()10F ，【详解】因为椭圆，所以所以，所以，设， 22:132x y C +=223,2,a b ==21c =()10F ，()00,P x y 则，解得或，而||PF ==2200132x y +=092x =032x =0x <<， 032x =故选：D.8．已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是{}n a {}n b （ ）A ．B ．221n n n b a a +=-331n n n b a a +=- C ． D ．111n n nb a a +=-1n n n b a a +=【答案】A【解析】A 中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD 中通{}n a d n b 过特例求出，根据通项公式形式可判断．n b 【详解】A ．设数列的公差为，由，又由{}n a d ()()()221111n n n n n n n n n b a a a a a a d a a ++++=-=+-=+，故数列也一定是等差数列. (n 12n n b b d a ++-=)()()21122n n n n n a d a a d a a d ++++-+=-={}n b 若，是等差数列，n a n ={}n a B ．，不是等差数列，333321(1)331n n n b a a n n n n +=-=+-=++C ．，不是等差数列， 1111111(1)n n n b a a n n n n +=-=-=-++D ．，不是等差数列，21(1)n n n b a a n n n n +==+=+故选：A ．9．已知在前n 项和为的数列中，，，则（ ） n S {}n a 11a =12n n a a +=--101S =A ． B ．C ．D ．97-98-99-100-【答案】C【解析】利用并项求和法即可求解.【详解】由，有，12n n a a +=--12n n a a ++=-则． 101123100101()()125099S a a a a a =+++++=-⨯=- 故选：C10．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则（ ）1C 22221(0)x y a b a b +=>>2C 22221(0)x y c d c d +=>>A ． B ．C ．D ．ab cd =ac bd =ad bc =2222a b cd -=-【答案】C【解析】根据离心率相同可得的关系，化简后可得正确的选项.a b c d ,,,【详解】， =222222a b c d a c --=有，有，有.222211b d a c -=-2222b d a c =ad bc =故选：C.11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则ABC A A B C a b c ()tan tan2AB C +=2a =的面积的最大值为ABC A AB CD ．【答案】A【解析】由以及，结合二倍角的正切公式，可得()tan tan B C A +=-()tan tan 2AB C +=tan 2A =，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式2π3A =43bc ≤可得答案.【详解】因为，且， ()tan tan2AB C +=B C A +=π-所以， ()22tan2tan tan 1tan 2AB C A A +=-=--tan 02A =>所以.tan2A =2π3A =由于为定值，由余弦定理得，即. 2a =222π42cos3b c bc =+-224b c bc =++根据基本不等式得，即， 22423b c bc bc bc bc =++≥+=43bc ≤当且仅当时，等号成立.b c =所以114sin 223ABC S bc A =≤⨯=A 故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.12．已知直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于0y a l --=:24x y =,P Q,P Q l y,M N =a A ． B ． C ． D ．1-12-2【答案】D【详解】∵直线 l 0y a --=∴直线的倾斜角为l 60︒∵直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，且l 24x y=,P Q ,P Q l y ,M NMN =∴ 608PQ =︒=设， 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立，得24y a x y--==240xa -+=由得0∆>3a <∴12xx +=124x x a =∴，即 8PQ ==481616a -=∴2a =故选D【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及简单的性质，本题利用直线的倾斜角结合图形推导出线段的几何关系，再联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可求出参数,因此根据题意画出正确的图形是解题的关键.二、填空题13．以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．2212y x -=【答案】24y x =-【分析】首先求双曲线的左顶点坐标，再求抛物线的标准方程.【详解】由题意知双曲线的左顶点为，2212y x -=(1,0)A -则抛物线方程设为，由条件可知，()220y px p =->12p =所以抛物线方程为. 24y x =-故答案为：.24y x =-14．若满足约束条件，则的最小值为___________.,x y 2202202320x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………3z x y =-【答案】4-【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得ABC A :30l x y -=2202320x y x y -+=⎧⎨--=⎩，(2,2)B --由得，是直线的纵截距的相反数，向上平移时，减小， 3z x y =-3y x z =-z 3x z =-z ∴向上平移直线，减小，当过时，． l z l (2,2)B --min 3(2)(2)4z =⨯---=-故答案为：．4-15．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点在点的上方，若22(0)y px p =>F A B A 、，B 4AF BF =，则直线的斜率为__________. AB 【答案】43【解析】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，设AB 、,M N AB 、lC 4AF t =，求出即得解. 4tan 3CBN ∠=【详解】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点， AB 、,M N AB 、lC 设，则， 4AF t =,,4,BF t BN t AM t ===14BN BC AM AC ==解得， 544,,tan 333t t BC NC CBN ==∴∠=又， CBN CFO AFx ∠=∠=∠ 故直线的斜率为. AB 43故答案为：43【点睛】方法点睛：类似这种直线和抛物线相交的计算问题，要注意以下知识的综合应用：（1）抛物线的定义；（2）平面几何的相似；（3）直角三角函数.16．已知递增的等差数列满足，，则{}n a 10a =2341a a =+12233445a a a a a a a a -+-+______. 222211n n n n a a a a +--+=【答案】22n -【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得到通项公式，进而可{}n a (0)d d >求出结果.【详解】设等差数列的公差为，{}n a (0)d d >由，得，解得，则.2341a a =+2431d d =+1d =1n a n =-所以12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+ ()()()()21343565722121n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+-+⋅⋅⋅+-.()24222[135(21)]n a a a n =-++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+-22n =-故答案为22n -【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.三、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos 2c B a b =+（1）求；C（2）若为线段上一点，且，求的长. 3,c a ==D AB CD AC ⊥CD 【答案】（1）；（2）. 23C π=1【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合2cos 2c B a b =+2sin cos 2sin sin C B A B =+，化简整理可得，从而可求出，进而可求sin sin[()]A B C π=-+2sin cos sin 0B C B +=1cos 2C =-出角的值；C（2）在中利用余弦定理可求出，而ABC A AC =a b ==30A ︒=CD AC⊥，所以 1CD AC ===【详解】解：（1）根据正弦定理得， 2sin cos 2sin[()]sin C B B C B π=-++整理得2sin cos sin 0B C B +=因为，所以，又，可得 sin 0B ≠1cos 2C =-(0,)C π∈23C π=（2）在中，由余弦定理得：ABC A 2932cos b b C =+-⨯将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即260b -=b =b =-AC =在中，可知，有， ABC A a b =30A ︒=因为， CD AC ⊥所以. tan 301CD AC AC =︒===18．已知正项等比数列的前项和为. {}n a n 653,2,40n S a S S ==+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，记数列的前项和为，求的最大值.2log 4n n b a =+{}n b n n T n T 【答案】（1）；（2）最大值为.1322nn a -=64【解析】（1）已知条件用和公比表示后解得，得通项公式； 1a q 1,a q （2）由（1）求得，由求得最大时的值，再计算出最大的． n b 0n b ≥n T n n T 【详解】解：（1）设数列的公比为，{}n a (0)q q >由，有①，62a =512a q =又由，有，得②，5340S S =+4540a a +=341140a q a q +=①②有，解得或(舍去)，÷21120q q =+14q =15q =-由，可求得，有，14q =1112a =111113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故数列的通项公式为；{}n a 1322nn a -=（2）， 1322log 24172nn b n -=+=-若，可得，可得当且时；当且时， 0n b (17)2n …18n ……*n ∈N 0n b >9n …*n ∈N 0n b <故最大，8T又由，可得， 115b =887158(2)642T ⨯=⨯+⨯-=故的最大值为.n T 64【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前项和最大值，求等差数列前n n 项和的最大值方法：数列是等差数列，前项和为， {}n b n n T （1）求出前项和的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；n n T （2）解不等式，不等式的解集中最大的整数就是使得最大的值，由此可计算出最大的0n b ≥n n T n （注意0时，）．n T n b =1n n T T -=19．已知，且，：函数在区间上是减函数；：方程m ∈R 0m >p 2()2(48)5f x x m x =+-+(,1)-∞q 表示离心率大于2的双曲线．如果“”为假，“"为真，求的取值范围．221y x m-=p q ∧p q ∨m 【答案】(0,1](3,)⋃+∞【分析】先求出和为真时的的取值范围，再结合题意可得和一真一假，进而求解. p q m p q 【详解】若为真，则对称轴，即，又，则． p 21x m =-≥1m £0m >01m <≤若为真，则，即．q 2ce c a===>3m >因为“”为假，“”为真，所以和一真一假．p q ∧p q ∨p q 若真假，则，得；p q 0103m m <≤⎧⎨<≤⎩01m <≤若真假，则，得． q p 13m m >⎧⎨>⎩3m >综上所述，的取值范围是．m (0,1](3,)⋃+∞20．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于，2:2(0)C y px p =>F F 45︒C P 两点，且线段被直线平分.Q PQ 2y =(1)求的值；p (2)直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程. l C A l PQ ⊥A PQ 【答案】(1) 2p =(2) 22(1)(2)2x y -++=【分析】（1）设，，结合平分及，得可得结()11,P x y ()22,Q x y 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩1212122y y px x y y -=-+tan45=︒果；（2）设直线的方程为，代入，得，根据判别式为零求出圆l y x b =-+24y x =()22240x b x b -++=心坐标，利用点到直线距离公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知，设，，则. ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 124y y +=由，得，∴，即. 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩1212122y y p x x y y -=-+2tan4514p =︒=2p =（2）设直线的方程为，代入，得，l y x b =-+24y x =()22240x b x b -++=∵为抛物线的切线，∴，解得，l C ()222440b b ∆=+-=1b =-∴.()1,2A -∵到直接的距离， A PQ d ∴所求圆的标准方程为.()()22122x y -+=+21．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ()222210x y a b a b+=>>＋2by＝0相切．（1）求椭圆C 的离心率；（2）如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为的最22F P F Q ⋅ 大值． 【答案】（1；（2） 72【解析】（1）根据直线与圆相切建立等式即可求得离心率；（2）联立直线和椭圆，结合韦达定理得出＝求出范围，结合斜率不22F P F Q ⋅ ()2227179212221k k k -=-++存在的情况求解最值.【详解】(1)，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．化简得a 2＝2b 2，所c以e ==(2)因为△PQF 2的周长为4a ＝a由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 22x①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P ，Q， ⎛- ⎝1,⎛- ⎝22,2,F P F Q ⎛⎛=-=- ⎝⎝ 故 2272F P F Q ⋅= ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由，消去y 并整理得 ()22122y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝， 22421k k -+222221k k -+＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)22F P F Q ⋅ ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1) ＋(k 2－1) ＋k 2＋1 222221k k -+22421k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝， ()2227179212221k k k -=-++由k 2＞0可得∈. 22F P F Q ⋅ 71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，∈， 22F P F Q ⋅ 71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦所以的最大值是. 22F P F Q ⋅ 72【点睛】此题考查求椭圆离心率和方程，根据直线与椭圆位置关系，结合韦达定理求解范围问题，易错点在于漏掉讨论斜率不存在的情况.22．已知正项等比数列的前项和为，首项，且，正项数列{}n a n n S 11a =()4412842120S S S -++=满足，.{}n b 1(1)n n n b nb +-=33b a =（1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）记，是否存在正整数，使得对任意正整31222224n n n n n b n b n b P a a a +++=+++⋅⋅⋅1212222n n n n n nn b n b a a ---++++k 数，恒成立？若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.n n P k ≤k 【答案】（1）；（2）见解析12n n a -=22n b n =-【分析】（1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公{}n a q {}n a 式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代入验证，即可得出的22(3)n b n n =-≥10b =22b ={}n b 通项公式；（2）先由（1）化简，根据，求出的最大值，进而1232222244422222n n n n n n n n n P ---+--=++⋯++1n n P P +-n P 可得出结果.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，{}n a ,0q q >由，得， ()4412842120S S S -++=()4128842S S S S -=-又，则， 44128842S S q S S -==-2q =所以.11122n n n a --=⨯=，由，得334b a ==1(1)n n n b nb +-=，，…，， 121n n b n n b -=--1232n n b n n b --=--4332b b =以上各式相乘得：，所以. 33 (31222)n n n b n n b =⋅⋅⋅----22(3)n b n n =-≥在中，分别令，，得，满足.1(1)n n n b nb +-=1n =2n =10b =22b =22n b n =-因此.22n b n =-（2）由（1）知，，22n b n =-12n n a -=∴， 1232222244422222n n n n n n n n n P ---+--=++⋯++又∵， 1232221222444244222222n n n n n n n n n n n P +---+--+=+⋯++++∴， 121214422122422224nn n n n n nn n n n n P P +--++-⋅-=+-=令，得，10n n P P +->122420n n n +-⋅>∴，解得， 61123422n n n n+<=+<1n =∴当时，，即.1n =10n n P P +->21P P >∵当时，，， 2n ≥24n ≥1342n +<∴，即. 1612322n n n n+>+=122420n n n +-⋅<此时，即，1n n P P +<234p p p >>>⋅⋅⋅∴的最大值为. n P 22222227222P ⨯⨯+=+=若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则， k n n P k ≤max 72k P ≥=∴正整数的最小值为4. k 【点睛】本题主要考差数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，会求数列中的最大项即可，属于常考题型.。
2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]2．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈BC．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B3．（5分）“（2x﹣1）x＝0”是“x＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]5．（5分）已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）函数f（x）＝ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x3B．y＝e﹣x C．y＝﹣x2+1D．y＝lg|x|8．（5分），，则t1，t2，t3的大小关系为（）A．t2＜t1＜t3B．t1＜t2＜t3C．t2＜t3＜t1D．t3＜t2＜t1 9．（5分）已知函数y＝f（x）+x+1是奇函数，且f（2）＝3，则f（﹣2）＝（）A．﹣7B．0C．﹣3D．﹣510．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．（5分）已知集合A＝{x|x2＝4}，B＝{x|ax＝2}．若B⊆A，则实数a的取值集合是．14．（5分）函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调减区间为．15．（5分）函数f（x）＝为奇函数，则a＝．16．（5分）＝．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知，则函数f（x）的解析式为．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣a﹣2＜x＜a+2}，B＝{x|x≤﹣2或x≥4}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣4x+m，（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[0，3]上的最值．21．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}∴A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}＝{x|﹣2≤x≤1}故选：D．2．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．3．【解答】解：若（2x﹣1）x＝0 则x＝0或x＝．即（2x﹣1）x＝0推不出x＝0．反之，若x＝0，则（2x﹣1）x＝0，即x＝0推出（2x﹣1）x＝0所以“（2x﹣1）x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．故选：B．4．【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．5．【解答】解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．6．【解答】解：∵x2+1≥1，又y＝lnx在（0，+∞）单调递增，∴y＝ln（x2+1）≥ln1＝0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）＝ln（0+1）＝ln1＝0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．7．【解答】解：y＝x3为奇函数；y＝e﹣x为非奇非偶函数；y＝﹣x2+1符合条件，y＝lg|x|在定义域（0，+∞）上为增函数．故选：C．8．【解答】解：t1＝dx＝＝，＝＝ln2，＝＝e2﹣e．∴t2＜t1＜t3，故选：A．9．【解答】解：函数y＝f（x）+x+1是奇函数，∴f（﹣2）﹣2+1＝﹣[f（2）+2+1]，又f（2）＝3，∴f（﹣2）﹣2+1＝﹣[3+2+1]，求得f（﹣2）＝﹣5，故选：D．10．【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）＝cos x为周期函数，当x＞0时，f（x）＝x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D．11．【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．12．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数y＝f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．【解答】解：∵集合A＝{x|x2＝4}＝{﹣2，2}，B＝{x|ax＝2}，当a＝0时，B＝∅，当a≠0时，B＝{}，∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{﹣2}或B＝{2}，当B＝∅时，a＝0；当B＝{﹣2}时，a＝﹣1；当B＝{2}时，a＝1．∴实数a的取值集合是{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．14．【解答】解：令﹣x2+2x+3＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3；∴函数y＝f（x）＝|﹣x2+2x+3|＝|x2﹣2x﹣3|＝，画出函数y的图象如图所示，根据函数y的图象知y的单调减区间是（﹣∞，﹣1]和[1，3]．故答案为：（﹣∞，﹣1]和[1，3]．15．【解答】解：∵函数f（x）＝为奇函数，故有f（﹣x）＝＝＝﹣f（x）＝﹣，即（x﹣1）（x﹣a）＝（x+1）（x+a），即x2﹣（a+1）x+a＝x2+（a+1）x+a，∴a+1＝0，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．16．【解答】解：由题意得：的几何意义是以（0，0）为圆心，以3为半径的圆的面积的，而S圆＝9π，故＝，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：令+1＝t，t≥1，可得＝t﹣1，代入已知解析式可得f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1），化简可得f（t）＝t2﹣1，t≥1故可得所求函数的解析式为：f（x）＝x2﹣1，（x≥1）故答案为：f（x）＝x2﹣1，（x≥1）18．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|﹣a﹣2＜x＜a+2}，B＝{x|x≤﹣2或x≥4}，若A∩B＝∅，分2种情况讨论：①、若A＝∅，则﹣a﹣2≥a+2，解可得a≤﹣2，此时A∩B＝∅成立，②、若A≠∅，则有，解可得﹣2＜a≤0，综合可得：a≤0．19．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．20．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）由f′（x）＞0得x＞2，或x＜﹣2由f′（x）＜0得﹣2＜x＜2所以，f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增；（Ⅱ）由f′（x）＝0得x＝2或x＝﹣2，∴f（x）的极小值是f（2）＝﹣+m，f（x）的极大值是f（﹣2）＝+m；又∵f（0）＝m，f（3）＝﹣3+m∴f（x）在[0，3]的最大值为f（0）＝m，故最小值是f（2）＝﹣+m．21．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣mx＝﹣f（x）＝﹣（﹣x2+2x）从而m＝2．（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1∴1＜a≤322．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）＝3x2﹣6x+a；f′（0）＝a；则y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）＝﹣2a+2＝0，解得a＝1．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2+x+2，设g（x）＝f（x）﹣kx+2＝x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）＝3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，当x＞0时，令h（x）＝x3﹣3x2+4，则g（x）＝h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x＝2时，h（x）取得极小值h（2）＝0，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，则g（x）＝0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）＝0，∴g（x）＝0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．。
河南省开封高中高二数学上学期期中试题(1)
河南开封高中2011—2012学年度上学期期中考试高二数学试题（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每题5分，共60分）1.二次不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数的条件是 （ ）.A 00a >⎧⎨∆>⎩ .B 00a >⎧⎨∆<⎩ .C 00a <⎧⎨∆>⎩ .D 00a <⎧⎨∆<⎩2.原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 （ ）.A 0a <或2a > .B 0a =或2a = .C 02a << .D 02a ≤≤3. 若{}n a 是等差数列，且14745a a a ++=，25839a a a ++=，则369a a a ++= （ ）.A 39 .B 20 .C 19.5 .D 334. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是 （ ）.Aa b +≥ .B 11()()4a b a b ++≥.Ca b +≥.D124a a +≥+5. 当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是 （ ）.A [)0,4 .B (0,4) .C (0,)+∞ .D [)0,+∞6. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B 等于（ ）.A 14 .B 34 .C4 .D37. 若变量,x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 （ ）.A 90 .B 80 .C 70 .D 408. 已知222log ()log log x y x y+=+，则x y +的取值范围是 （ ）.A [)2,+∞ .B [)4,+∞ .C (]0,2 .D (]0,49. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则ABC ∆的形状是 （ ）.A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 等腰直角三角形 .D 等腰三角形或直角三角形10. 在ABC ∆中，3AB BC ⋅=u u u r u u u r ,ABC ∆的面积32S ⎡∈⎢⎣⎦，则AB u u u r 与BC uuu r 夹角的取值范围为 （ ）.A ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 ( ).A 158或5 .B 3116或5 .C 3116 .D 158 12. 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1nn n b a a +=-()n N *∈．若32b =-1012b =，则8a =（ ）A . 0B . 3C . 8D . 11二、填空题（每题5分，共20分） 13. 在等比数列中，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______________.14. 在ABC ∆中，3B π=，b =14a =，则A ∠=_______________.15. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C A B +的值是_______________.16.若0,0,0a b c >>>，且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为_______________.三、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分） 17.已知集合{}{}2260,280A x x x B x x x =--<=+->，求A B I .18. 数列{}n a 是等差数列，1(1)a f x =+，20a =，3(1)a f x =-，其中2()42f x x x =-+，求该数列的通项公式na .19. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c（1）若sin()2cos 6A Aπ+=, 求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求sin C 的值.20. 在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b +=．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=u u u r u u u ra ,b ，c ．21. 已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,31n n n a a a n a +===+L.（1）证明：数列11na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.22. 已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和nS 满足nS －1-n S =nS +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1. D2. C3. D4. D5. A6. B7. C8. B9. D 10. A 11. C 12. B 二、填空题（每题5分，共20分）13. 4± 14. 4π15. 4 16. 1)三、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）17. 解：Q {}()2602,3A x x x =--<=- L L L L L 4分{}()()2280,42,B x x x =+->=-∞-+∞U L L L L L 8分∴()2,3A B =I L L L L L 10分18.解：Q 221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=--，20a = 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ L L L L L 4分∴222(21)(67)2860x x x x x x --+-+=-+=解之得：1x =或3x =L L L L L 8分1x =时24n a n =-；3x =时42n a n =- L L L L L 12分19. 解：（1）由题设知sin()2cos 6A Aπ+=sin A A ⇒= L L L L L 3分tan A =且(0,)A π∈3A π∴=L L L L L 6分（2）Q1cos 3A =，3b c =222222cos a b c bc A b c ∴=+-=-故△ABC 是直角三角形且2B π=L L L L L 9分1sin cos 3C A ∴==. L L L L L 12分20. 解：（1）由(12c b += 得1sin 2sin b B c C =+=L L L L L 2分 ∴55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CCC ππππ---==11cot 2222C +=+L L L 4分 ∴cot 1C = 即4C π=. L L L L L 6分（2）由1CB CA ⋅=u u u v u u u v⇒cos 1ab C =+Q4C π=∴12=+L L L L L 8分则有12(12sin sin ab c b a c A C =⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩ L L L L L 10分 解得12a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩L L L L L 12分 21. (1)1121111,1,2,122n n n n n a a n a a a ++==∴=+⋅+Q L 11111(1)2n na a +∴-=-∴数列11na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 L L L L L 4分(2) 111111()()222n n n a --=⋅= 2n n n n n a =+ L L L L L 6分设231232222n n n T =++++L ①则2341112322222n n nT +=++++L ②①-②得：1111222n n n n T +=--11222n n nnT -∴=-- L L L L L 8分 又(1)122n n n ++++=Q L L L L L L 10分∴24222n nn n n S +++=- L L L L L 12分 22. 解：（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-, ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a ca ===-=-- ，所以 1c =；L L L L L 2分又公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ *n N ∈ ； L L L L L 3分1n n S S --==Q()2n ≥又n b >0>,1=；∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，∴()111n n +-⨯= ⇒ 2n S n = L L L L L 5分当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)； L L L L L 6分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭L L L L L 10分由1000212009n n T n =>+得10009n >，满足10002009n T >的最小正整数为112. L L L 12分。
2016-2017年河南省开封市兰考二中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．（5分）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2或x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞2}2．（5分）若复数z＝（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角4．（5分）设x，y∈R命题p：x＞1且y＞1，q：x+y＞2，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）不等式|x+1|＞3 的解集是（）A．{x|x＜﹣4或x＞2}B．{x|﹣4＜x＜2}C．{x|x＜﹣4或x≥2}D．{x|﹣4≤x＜2}6．（5分）i2015的值为（）A．i B．﹣1C．﹣i D．17．（5分）给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）已知直线b∥平面α．，直线α⊂平面α；（小前提）则直线b∥直线α（结论）那么这个推理是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（5分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人9．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.87B．模型2的相关指数R2为0.97C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.2510．（5分）样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的样本中心与回归直线＝x+的关系（）A．在直线上B．在直线左上方C．在直线右下方D．在直线外11．（5分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3B．中位数是4C．极差是4D．方差是2 12．（5分）复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝（x＞0）的最小值为．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为．15．（5分）已知（1+2i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z＝．16．（5分）用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算．18．（12分）解不等式：|x﹣3|+|x﹣5|≥4．19．（12分）已知x∈R，a＝x2+，b＝2﹣x，c＝x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．20．（12分）已知p：|1﹣|＜2；q：（x﹣1）2＜m2；若q是p的充分非必要条件，求实数m的取值范围．21．（12分）函数f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）在（1，f（1））处的切线方程为．22．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．其中w i＝，＝（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．（5分）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2或x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞2}【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．（5分）若复数z＝（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝（﹣8+i）i＝﹣8i+i2＝﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选：C．4．（5分）设x，y∈R命题p：x＞1且y＞1，q：x+y＞2，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：x＞1且y＞1，q：x+y＞2，则p⇒q，反之不成立．例如x＝4，y＝﹣1．因此p是q成立的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）不等式|x+1|＞3 的解集是（）A．{x|x＜﹣4或x＞2}B．{x|﹣4＜x＜2}C．{x|x＜﹣4或x≥2}D．{x|﹣4≤x＜2}【解答】解：不等式|x+1|＞3可化为x+1＞3或x+1＜﹣3解得：x＞2或x＜﹣4，∴不等式|x+1|＞3 的解集是{x|x＜﹣4或x＞2}，故选：A．6．（5分）i2015的值为（）A．i B．﹣1C．﹣i D．1【解答】解：∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，∴i2015＝i4×503+3＝（i4）503×i3＝i3＝﹣i，故选：C．7．（5分）给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）已知直线b∥平面α．，直线α⊂平面α；（小前提）则直线b∥直线α（结论）那么这个推理是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：因为直线平行于平面，所以直线与平面没有公共点，则直线与面内所有的直线平行或异面，所以大前提错误，故选：A．8．（5分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【解答】解：每个个体被抽到的概率为＝，∴专科生被抽的人数是×1500＝50，本科生要抽取×3000＝100，研究生要抽取×900＝30，故选：D．9．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.87B．模型2的相关指数R2为0.97C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25【解答】解：根据相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，比较A、B、C、D选项，B的相关指数最大，∴模型2拟合的效果最好．故选：B．10．（5分）样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的样本中心与回归直线＝x+的关系（）A．在直线上B．在直线左上方C．在直线右下方D．在直线外【解答】解：根据样本中心点满足回归直线的方程，可得选A．故选：A．11．（5分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3B．中位数是4C．极差是4D．方差是2【解答】解：样本数据1，2，4，3，5，它的平均数是＝×（1+2+3+4+5）＝3，A正确；按从小到大的顺序排列后，排在中间的数是3，故中位数是3，B错误；极差是5﹣1＝4，C正确；方差是s2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，D正确．故选：B．12．（5分）复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：＝＝1+i故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝（x＞0）的最小值为2．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴当x＝时，x+有最小值为2，故答案为2．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝，平移直线y＝，当直线y＝经过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，0），此时z的最大值为z＝3﹣2×0＝3．故答案为：3．15．（5分）已知（1+2i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数z＝．【解答】解：由（1+2i）z＝3﹣i，得．故答案为：．16．（5分）用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800．【解答】解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：＝，该批次产品总数为：＝4800．故答案为：4800；三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算．【解答】解：＝﹣（2i﹣2）+＝2﹣2i+i＝2﹣i．18．（12分）解不等式：|x﹣3|+|x﹣5|≥4．【解答】解：当x≤3时，|x﹣3|+|x﹣5|≥4即为3﹣x+5﹣x≥4，即x≤2，则有x≤2；当3＜x＜5时，|x﹣3|+|x﹣5|≥4即为x﹣3+5﹣x≥4，即2≥4，则有x∈∅；当x≥5时，|x﹣3|+|x﹣5|≥4即为x﹣3+x﹣5≥4，即x≥6，则有x≥6．综上可得，x≥6或x≤2．则解集为[6，+∞）∪（﹣∞，2]．19．（12分）已知x∈R，a＝x2+，b＝2﹣x，c＝x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3而a+b+c＝2x2﹣2x++3＝2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．20．（12分）已知p：|1﹣|＜2；q：（x﹣1）2＜m2；若q是p的充分非必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：p：|1﹣|＜2即为p：﹣2＜x＜10，q：x2﹣2x+1﹣m2＜0即为（x﹣1）2＜m2，即q：1﹣|m|＜x＜1+|m|，q是p的充分非必要条件，∴（两式不能同时取等号）得到|m|≤3，满足题意，所以m的范围为[﹣3，3]．21．（12分）函数f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）在（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣2＝0．【解答】解：函数f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）的导数为f′（x）＝lnx +﹣4，可得在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝ln1+2﹣4＝﹣2，切点为（1，0），则在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣2＝0．故答案为：2x+y﹣2＝0．22．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．其中w i＝，＝（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y＝c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．…（2分）（Ⅱ）令ω＝，先建立y关于ω的线性回归方程．由于d＝＝68，c＝563﹣68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6+68．…（6分）（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6+68＝576.6，年利润z的预报值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32．…（8分）（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值z＝0.2（100.6+68）﹣x＝﹣x+13.6+20.12，当＝6.8时，年利润的预报值最大．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．…（10分）。
2024-2025学年河南省开封市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年河南省开封市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题1．过两点的直线的倾斜角是，则（ ）(2,),(5,5)A t B -135︒t =A ．2B ．C ．4D ．2-4-2．已知空间向量，.若，则（ ）()6,,a x y =()2,1,3b =-//a b r rx y -=A ．12B ．10C ．D ．10-12-3．若椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ）2214x y m +=m A ．3B ．3或5C ．5或8D ．84．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）()2,1P 222430x y x k ++-+=k A ．B ．C ．D ．()3,+∞(),3-∞2,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1,32⎛⎫⎪⎝⎭5．椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两M 1F 2F 1F M A B 点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）．2ABF △M A ．B ．C ．D ．331232226．设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V （ ）a =A ．B ．C ．1D ．2-1-27．如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，P ABC -PAC M AB ，为的中点，为上一点且，则（ ）12AM MB =D BC N PD 23PN PD = MN =C ．当在线段上运动时，的最小值为3P A C 'PB PM'+D ．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则Q BCC B ''E F AC '的最小值为QE QF+22三、填空题12．已知直线与直线平行，则.()1:120l x m y m +++-=2:280l mx y ++=m =13．在棱长为1的正方体中，E 为线段的中点，F 为线段AB 的中点，1111ABCD A B C D -11A B 则直线FC 到平面的距离为．1AEC 14．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、22221y x a b +=0a b >>32A B 下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则1F 2F P 12PA PB ⋅=- 的面积为.12PF F 四、解答题15．在中，角的对边分别是，且．ABC V ,,A B C ,,a b c sin cos sin cos 3cos a A B b A A a C +=(1)求角的大小；C (2)若，且，求的面积．3a =1AB AC ⋅=ABC V 16．已知，圆是的外接圆．()()()2,1,0,5,1,2A B C -M ABC V (1)求圆的方程；M (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．l ()1,5-M l 17．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，111ABC A B C -ABC ⊥11ACC A 11ACC A ，，底面ABC 为等腰三角形，，是AC 的中点.2AC =160A AC ︒∠=AB BC =O(1)求椭圆的方程；C (2)若，求MN 的方程；10MN =(3)记直线PM 的斜率为，直线1k 19．已知圆的方程为O 2x +答案：题号12345678910答案B A B D A C D C ABC ABD 题号11 答案AC1．B【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，(2,),(5,5)A t B -135︒所以，解得.5tan 215135AB t k +=-︒=-=2t =-故选：B.2．A【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解.x y 【详解】因为，所以有：，//a b r r 6213x y ==-解得，，所以.3x =9y =-12x y -=故选：A.3．B【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得.x y 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故，2214x y m +=x 2242m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5m =当椭圆的焦点在轴上时，有，故.2214x y m +=y 2242m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3m =故选：B.4．D【分析】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围.2240D E F +->k 【详解】由题意得且，解得.()22204430k +--+>22021443k ++-+>1,32k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D 5．A6．C【分析】利用三角形的面积公式可得再利用点线距公式建立方程，解之即可【详解】由三角形的面积公式可得曲线22:629C x y x y +--+=表示以为圆心，以1()3,1C 设关于直线2()1,M -2x y ++2n -⎧因为是椭圆上一点，所以P 因为，所以122PF PF -=则，，()0,0,2A ()1,2,2M (2,0,0D '∴，，()1,2,0AM = ()2,2,0D B ''=-∴10cos ,10AM D B AM D B AM D B ⋅='⋅''='''∴与所成角的余弦值为，故A 正确；AM D B ''1010取的中点，连接，，，CC 'N MN D N 'AD '则，MN BC AD ''∥∥故梯形为过点，，的该正方体的截面，MND A 'A M D ¢∵，，，2MN =22AD '=5AM D N ='=∴梯形的高为，MND A '2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭∴梯形的面积为，故B 错误；MND A '()1329222222⨯+⨯=由对称性可知，，故，PB PD '='PB PM PD PM+=+''又由于，，，四点共面，故，当为与A 'BCD ¢3PB PM PD PM D M +=+≥''='P A C '的交点时等号成立，故C 正确，D M '设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，F BCC B ''F 'EF 'EF 'BCC B ''Q 最小，QE QF QE QF +=+'过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，E AD 'F AB G 12233EG AD =='，，故D 错误.2GF '=2222211233EF ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭'故选:AC.12．1【分析】两直线平行，则它们斜率相等.对于直线，其斜率.我们先分别0Ax By C ++=Ak B =-求出两直线的斜率，然后根据平行关系列出等式求解的值.m 【详解】对于直线，根据斜率公式，这里，1:(1)20l x m y m +++-=Ak B =-1A =，所以.(1)B m =+111k m =-+对于直线，这里，，所以.2:280l mx y ++=A m =2B =22m k =-则()()111,0,0,1,,1,0,1,1,1,2A E C F⎛⎫⎛⎪⎝⎭⎝11故答案为.6614．22【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P 的坐a,b,c 标，最后计算面积即可.【详解】因为,2222432a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩所以,2,1,3a b c ===所以椭圆方程为,2214y x +=设,椭圆的上、下顶点,()00,P x y ()()0,2,0,2A B -所以且，()()0000,2,,2,PA x y PB x y =--=--- 220014y x +=所以，222200001·44442PA PB x y x x =+-=+--=- 所以2016x =，即得.12120116622322662PF F S F F x c =⨯=⨯⨯=⨯= 故答案为.2215．(1)π3(2)332【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，sin cos sin cos 3cos a A B b A A a C +=所以根据正弦定理得，sin sin cos sin sin cos 3sin cos A A B A B A A C +=因为，sin 0A ≠所以，sin cos sin cos 3cos A B B A C +=即，()sin 3cos A B C +=即．sin 3cos C C =因为，所以．cos 0C ≠tan 3C =因为，所以．0πC <<π3C =（2）．cos 1AB AC bc A ⋅== 因为，所以①．2222cos a b c bc A =+-2292cos 11b c bc A +=+=因为，2222cos c a b ab C =+-所以②．2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-联立①②可得，解得（负根舍去），22320b b --=2b =故的面积为．ABC V 11333sin 322222ab C =⨯⨯⨯=16．(1)2262150x y x y ++--=(2)或．1x =512550x y ++=【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可；M 220x y Dx Ey F ++++=,,A B C （2）由题意可得心到直线的距离，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种M l 4d =l l 情况分别求解即可.【详解】（1）解：设圆的一般方程为，M 220x y Dx Ey F ++++=因为圆过三点，M ()()()2,1,0,5,1,2A B C -所以，解得，412025501420D E F E F D E F ++++=⎧⎪++=⎨⎪++-+=⎩6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的一般式方程为．M 2262150x y x y ++--=（2）解：由（1）可知圆心为，半径，()3,1M -=5r 又被圆截得的弦长为6，l M 所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，M l 22534d =-=当直线的斜率不存在时，过点l l 所以的方程为，圆心到直线l 1x =M 当直线的斜率存在时，设直线l l 所以直线的方程为l 5kx y k ---，即直线OB 与平面所成角的正弦值为.330sin cos 10110,OB n OB n OB n q ´×==== 11OB C 301018．(1)221124x y +=(2)123y x =--(3)证明见解析【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；l 13y x m =-+MN （3）将韦达定理代入中计算结果为定值．12k k 【详解】（1）由椭圆过点，焦距为，C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)()3,1P 42得，解得，22222911242a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩23222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为．C 221124x y +=（2）设直线的方程为，，，l 13y x m =-+11(,)M x y 22(,)N x y 联立，消去得，22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 22469360x mx m -+-=由，得，22(6)144(4)0m m ∆=-->434333m -<<则．212123936,24m m x x x x -+==222121212121()()1()49MN x x y y x x x x =-+-=+⋅+-，22109(936)34m m =⋅--210163102m =⋅-=解得或，2m =2m =-当时，直线的方程为；2m =-l 123y x =--当时，直线经过点，不符合题意，舍去．2m =1:23l y x =-+(3,1)P 所以当时，的方程为．||10MN =MN 123y x =--（3）证明：直线，PM PN 所以1212121133y y k k x x ⎛- --⎝=⋅=--121211(1)()(93x x m x x m --++=【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为，22:4O x y +=()0,0O 2当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为；()2,1-O 2x =当斜率存在时，设切线方程为，即.()12y k x +=-210kx y k ---=由，解得，则切线方程为.22121k k --=+∣∣34k =34100x y --=过点的圆的切线方程为或.∴()2,1-O 2x =34100x y --=（2）①设点，则，(),P x y 224x y +=，()()()()22222,1PA x a y PB x m y =-+-=-+-，，，PAn PB = 222PA n PB =⋅()()()()2222221x a y n x m y ⎡⎤∴-+-=-+-⎣⎦又，化简得，224x y +=222222248225ax y a mn x n y m n n +--=+--为圆上任意一点，，P O 222222224285a mn n a m n n ⎧=⎪∴=⎨⎪+=+⎩又，，解得，常数.0m >0n >221n a m ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴2n =②由①知，，，点，圆，2a =1m =∴()2,E t 22:1C x y +=设，是线段的中点，，00(,)M x y M NE 00(22,2)N x y t --又，在圆上，即关于的方程组有解，M N C 00,x y ()()2200220012221x y x y t ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩化简得有解，220020018470x y x ty t ⎧+=⎨+--=⎩即直线与圆有交点，28470x ty t +--=22:1C x y +=则圆心到直线的距离，()0,022716416t d t +=≤+∣∣化简得：，()()42222215530,50t t t t t --=-+≤-<解得.5,5t ⎡⎤∈-⎣⎦。
高二上学期数学期中考试卷含解析
高二上学期数学期中考试卷含解析数学在科学进展和现代生活生产中的应用专门广泛，查字典数学网为大伙儿举荐了高二上学期数学期中考试题，请大伙儿认真阅读，期望你喜爱。
一、填空题(本题共14小题，每小题5分，合计70分。
请把答案直截了当填写在答题纸相应的位置上.)1. 不等式3-xx-10的解集为____ ▲____.2. 若命题对xR，x2+4cx+1是假命题，则实数c的取值范畴是___ ▲_ ____.3.从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则那个两位数大于20的概率为____ ▲____.4. 某人5 次上学途中所花的时刻(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____.5.假如执行如图所示的流程图，那么输出的S=___ ▲_____.6.已知△ABC的三个内角A、B、C,B是sinAsinB的_______ ▲_____ ___条件.(选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a，则使得a{a|-a2+a+20}的概率为_ ___ ▲____.8. 已知椭圆x210-m+y2m-2=1，长轴在y轴上.若焦距为4，则m=___ ▲____.9.已知变量x、y满足x-4y+303x+5y-251，则的最大值______ ▲____ ___.10. 已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数.若1x+1y的最小值为16，则正实数t的值是▲.11.已知函数f(x)=21-x，x1，2-log2x，x1，则满足f(x)1的x的取值范畴是_______▲_____.12.已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M( ,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲____.13. 不等式a2+8b2b(a+b)对任意a、bR恒成立，则实数的取值范畴为_ _____▲______.14.设a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范畴是____▲______.二、解答题(本题共6小题，合计90分。
河南省高二上学期期中数学试卷(理科)
河南省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为(1,)，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则（）A . m=2 n=2B . m=2 n=6C . m=3 n=7D . m=3 n=83. （2分）已知平面∥平面，点P平面,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10的点的轨迹是（）A . 一个圆B . 四个点C . 两条直线D . 两个点4. （2分）圆的半径为（）A . 1B .C . 2D . 45. （2分） (2019高二下·丽水期末) 圆与圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离6. （2分）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A . ﹣1B . 1C . 1或﹣1D . 37. （2分）(2017·三明模拟) 在四面体ABCD中，若AB=CD= ，AC=BD=2，AD=BC= ，则直线AB与CD 所成角的余弦值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .8. （2分） (2018高二上·山西月考) 方程表示的图形是A . 以为圆心，11为半径的圆B . 以为圆心，11为半径的圆C . 以为圆心，为半径的圆D . 以为圆心，为半径的圆10. （2分）(2020·金华模拟) 设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A .B .C .D .11. （2分）直线x+2y+3=0将圆（x﹣a）2+（y+5）2=3平分，则a=（）A . 13B . 7C . ﹣13D . ﹣712. （2分） (2020高二上·重庆期中) 在平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成120°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（）A .B .C . 8D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知点，，若直线与线段（包含端点）有公共点，则实数的取值范围是________．14. （1分）(2012·浙江理) 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3 ．15. （1分） (2019高二上·南湖期中) 如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为________．16. （1分） (2018高二上·无锡期末) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·正定期末) 已知圆，点，求：（1）过点的圆的切线方程；（2）点是坐标原点，连接，求的面积 .18. （10分） (2016高一上·天河期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1= ，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．19. （10分） (2020高三上·海南月考) 在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二上·邢台期末) 在平面直角坐标系中，A（1，﹣1），B（1，3），点C在直线x﹣y+1=0上．（1）若直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，求直线AC的方程；（2）点B关于y轴对称点为D，若以DC为直径的圆M过点A，求C的坐标．21. （10分） (2019高三上·苏州月考) 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面．（1）求证：平面；（2）求证： .22. （10分） (2015高二上·余杭期末) 已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，点P（6，0）．（1）求过点P且与圆C相切的直线方程l；（2）若圆M与圆C外切，且与x轴切于点P，求圆M的方程．。
2016-2017年河南省开封市兰考二中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、单项选择（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理2．（5分）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是（）A．a2＝b2B．a2＜b2C．a2≤b2D．a2＜b2，且a2＝b23．（5分）已知f（x）＝lnx，则＝（）A．B．C．D．﹣14．（5分），则f′（﹣2）等于（）A．4B．C．﹣4D．5．（5分）函数f（x）＝x+3，则f′（x）＝（）A．x B．3C．1D．46．（5分）已知函数y＝的导数为y′，y′＝（）A．﹣B．C．﹣D．﹣17．（5分）1dx的值为（）A．0B．1C．2D．8．（5分）满足f（x）＝f′（x）的函数是（）A．f（x）＝1﹣x B．f（x）＝x C．f（x）＝0D．f（x）＝1 9．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+x的图象上一点（﹣1，﹣2）及邻近一点（﹣1+△x，﹣2+△y），则＝（）A．3B．3△x﹣（△x）2C．3﹣（△x）2D．3﹣△x11．（5分）如图，函数f（x）的图象在P点处的切线方程是y＝﹣2x+17，若点P的横坐标是5，则f（5）+f′（5）＝（）A．5B．﹣5C．10D．﹣1012．（5分）已知函数f（x）是可导函数，且满足，则在曲线y＝f （x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是（）A．﹣1B．2C．1D．﹣2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）＝x2+2x，则f′（0）＝．14．（5分）＝．15．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调减区间为．16．（5分）若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝．三、解答题17．（10分）求下列各函数的导数：（1）y＝2x；（2）．18．（12分）求函数的最值以及对应的x的值．19．（12分）指出函数f（x）＝x3﹣12x的单调区间和极值点，并求其极值．20．（12分）已知a为实数，f（x）＝（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）＝0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．21．（12分）求曲线y＝sin x与直线x＝﹣，x＝π，y＝0所围成图形的面积（如图）．22．（12分）已知曲线，求曲线过点P（2，4）的切线方程．2016-2017学年河南省开封市兰考二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选：A．2．（5分）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是（）A．a2＝b2B．a2＜b2C．a2≤b2D．a2＜b2，且a2＝b2【解答】解：由于结论a2＞b2的否定为：a2≤b2 ，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设a2≤b2 ，由此推出矛盾．故选：C．3．（5分）已知f（x）＝lnx，则＝（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：∵f（x）＝lnx，∴，∴．故选：B．4．（5分），则f′（﹣2）等于（）A．4B．C．﹣4D．【解答】解：∵，∴．故选：D．5．（5分）函数f（x）＝x+3，则f′（x）＝（）A．x B．3C．1D．4【解答】解：∵f（x）＝x+3，∴f′（x）＝（x+3）′＝x′+3′＝1故选：C．6．（5分）已知函数y＝的导数为y′，y′＝（）A．﹣B．C．﹣D．﹣1【解答】解：y′＝﹣，故选：C．7．（5分）1dx的值为（）A．0B．1C．2D．【解答】解：1dx＝＝1，故选：B．8．（5分）满足f（x）＝f′（x）的函数是（）A．f（x）＝1﹣x B．f（x）＝x C．f（x）＝0D．f（x）＝1【解答】解：A、由f（x）＝1﹣x，得到f′（x）＝﹣1≠1﹣x＝f（x），本选项错误；B、由f（x）＝x，得到f′（x）＝1≠x＝f（x），本选项错误；C、由f（x）＝0，得到f′（x）＝0＝f（x），本选项正确；D、由f（x）＝1，得到f′（x）＝0≠1＝f（x），本选项错误，故选：C．9．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）＝0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．10．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+x的图象上一点（﹣1，﹣2）及邻近一点（﹣1+△x，﹣2+△y），则＝（）A．3B．3△x﹣（△x）2C．3﹣（△x）2D．3﹣△x【解答】解：＝＝＝3﹣△x．故选：D．11．（5分）如图，函数f（x）的图象在P点处的切线方程是y＝﹣2x+17，若点P的横坐标是5，则f（5）+f′（5）＝（）A．5B．﹣5C．10D．﹣10【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点x＝5处的切线方程是y＝﹣2x+17，∴f′（5）＝﹣2，f（5）＝﹣10+17＝7，∴f（5）+f′（5）＝﹣2+7＝5，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）是可导函数，且满足，则在曲线y＝f （x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是（）A．﹣1B．2C．1D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）是可导函数，且满足，∴∴在曲线y＝f（x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是﹣1故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）＝x2+2x，则f′（0）＝2．【解答】解：∵f（x）＝x2+2x，∴f′（x）＝2x+2，∴f′（0）＝2，故答案为：2．14．（5分）＝．【解答】解：＝（x2+x﹣1）|13＝32+3﹣1﹣（12+1﹣1）＝，故答案为15．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵f（x）＝x﹣lnx∴f'（x）＝1﹣＝令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}16．（5分）若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝3．【解答】解：f′（x）＝＝．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）＝0的根，将x＝1代入得a＝3．故答案为3三、解答题17．（10分）求下列各函数的导数：（1）y＝2x；【解答】解（1）y′＝2x ln2；（2）y′＝（）′＝＝．18．（12分）求函数的最值以及对应的x的值．【解答】解：函数的f′（x）＝﹣12+3x2＝3（x+2）（x﹣2），f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝2．当﹣＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；所以当x＝﹣时f（x）取得极大值，即最大值；最大值为：f（﹣）＝．x＝1时，函数取得最小值f（1），所以f（x）的最小值为f（1）＝﹣5．19．（12分）指出函数f（x）＝x3﹣12x的单调区间和极值点，并求其极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为R．f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）．令f′（x）＝0，得x＝﹣2或x＝2．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）．x＝﹣2是函数的极大值点，极大值为f（﹣2）＝（﹣2）3﹣12×（﹣2）＝16；x＝2是函数的极小值点，极小值为f（2）＝23﹣12×2＝﹣16．20．（12分）已知a为实数，f（x）＝（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）＝0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝（x2﹣4）（x﹣a）＝x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f′（x）＝3x2﹣2ax﹣4．（2）∵f'（﹣1）＝3+2a﹣4＝0，∴a＝．f（x）＝（x2﹣4）（x﹣）∴由f′（x）＝3x2﹣x﹣4＝0，得x1＝﹣1，，∵＝0，＝，＝﹣，．∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为﹣．21．（12分）求曲线y＝sin x与直线x＝﹣，x＝π，y＝0所围成图形的面积（如图）．【解答】解：S＝|sin x|dx＝﹣sin xdx+sin xdx﹣sin xdx＝cos x﹣cos x+cos x＝3﹣+1﹣＝4﹣．22．（12分）已知曲线，求曲线过点P（2，4）的切线方程．【解答】解：设曲线，与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，+），则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02，∴切线方程为y﹣（+）＝x02（x﹣x0），即y＝x02•x﹣x03+∵点P（2，4）在切线上，∴4＝2x02﹣x03+，即x03﹣3x02+4＝0，∴x03+x02﹣4x02+4＝0，∴（x0+1）（x0﹣2）2＝0解得x0＝﹣1或x0＝2故所求的切线方程为4x﹣y﹣4＝0或x﹣y+2＝0．。
2015-2016学年河南省开封市兰考二中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省开封市兰考二中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题.1-16每小题5分，共80分1．（5分）设复数z满足＝（）A．0B．1C．D．22．（5分）如图是高中课程结构图：生物所属课程是（）A．技术B．人文与社会C．艺术D．科学3．（5分）设计一个解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）过程的流程图（如图所示）：其中①处应填（）A．△＜0？B．△＝0？C．△≤0？D．△≥0？4．（5分）在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为（）A．与B．与C．与D．与5．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有（）A．4n﹣2块B．4n+2块C．3n+3块D．3n﹣3块二、以下小题任选一题即可6．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为（）A．105°B．115°C．120°D．125°7．θ取一切实数时，连接A（4sinθ，6cosθ）和B（﹣4cosθ，6sinθ）两点的线段的中点轨迹是．（）A．圆B．椭圆C．直线D．线段8．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b29．（5分）设P＝+++，则（）A．0＜P＜1B．1＜P＜2C．2＜P＜3D．3＜P＜4 10．（5分）变量x、y具有线性相关关系，当x的取值为8，12，14，16时，通过观测知y 的值分别为5，8，9，11，若在实际问题中，y的预报值最大是10，则x的最大取值不能超过（）A．16B．15C．17D．1211．（5分）当z＝﹣时，z100+z50+1的值等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i12．（5分）函数f（x）是[﹣1，1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sin α）＞f（cos β）B．f（cos α）＜f（cos β）C．f（cos α）＞f（sin β）D．f（sin α）＜f（sin β）三、以下小题任选一题即可（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD ＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π14．（3分）直线（t为参数）被曲线ρ＝cos（θ+）所截的弦长为（）A．B．C．D．15．（3分）若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为（）A．[﹣3，5]B．[3，5]C．[﹣5，3]D．[﹣5，﹣3] 16．（3分）函数f（x）由如表定义：若a0＝4，a n+1＝f（a n），n＝0，1，2，…，则a2017值为（）A．1B．2C．4D．5四、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）17．（5分）若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝．18．（5分）若数列{a n}是等差数列，对于b n＝（a1+a2+..+a n），则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，对于d n＞0，则d n＝时，数列{d n}也是等比数列．19．（5分）若S n＝sin+sin+…+sin（n∈N*），在S1，S2，…，S100中，正数的个数是．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分5分）20．（5分）在梯形ABCD中，AD∥BC∠BAD＝135°，以A为圆心，AB为半径，作⊙A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G点，则的度数是．21．点P在椭圆+＝1上，点P到直线3x﹣4y＝24的最大距离等于．22．若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是．六、解答题（共5小题，满分58分）23．（10分）已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ+i，z2＝﹣cos2θ+i cos2θ，其中θ∈（0，π），设对应的复数是z．（1）求复数z；（2）若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．24．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．25．（12分）一机器可以按不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，用x表示转速（单位：转/秒），用y表示每小时生产的有缺点物件的个数，现观测得到（x，y）的四组观测值为（8，5），（12，8），（14，9），（16，11）．已知y与x有很强的线性相关性，若实际生产中所允许的每小时有缺点的物件数不超过10，则机器的速度每秒不得超过多少转？（精确到整数）参考公式：若（x1，y1），…，（x n，y n）为样本点，＝x+＝x i，＝y i，＝＝，＝﹣x．26．（12分）证明△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos A＝cos C，求证：△ABC为等边三角形．27．（12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R），若y＝f（x）图象上的点（1，）处的切线斜率为﹣4，求y＝f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．七、以下为选作题，请选择一题写在答题卡上，并标明题号，多作按所作第一题给分28．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2＝AB•AD．29．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．30．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a，x∈R．（1）当a＝3时，求不等式f（x）＞7的解集；（2）对任意x∈R恒有f（x）≥3，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省开封市兰考二中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.1-16每小题5分，共80分1．【解答】解：由于，所以1﹣z＝i+zi所以z＝═则|1+z|＝故选：C．2．【解答】解：由结构图可知地理所属课程为科学，故选：D．3．【解答】解：一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）中．其△＝b2﹣4ac，当△＝b2﹣4ac＝0时，不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x∈R且x≠﹣}，根据流程图知其中①处应填△＝0？．故选：B．4．【解答】解：由题意，﹣＝＝，∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，∴﹣相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选：A．5．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1＝6，a2＝10，a3＝14，可知a2﹣a1＝a3﹣a2＝4，…∴数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝6+4（n﹣1）＝4n+2．故选：B．二、以下小题任选一题即可6．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦切角∠PCB＝25°，∴∠BOC＝50°．∴的度数是230°．∴＝115°．故选：B．7．【解答】解：∵点M（x，y）是线段AB的中点，∴x＝2sinθ﹣2cosθ，y＝3cosθ+3sinθ消去参数θ得＝1，∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆＝1，故选：B．8．【解答】解：∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．9．【解答】解：＝log112+log113+log114+log115＝log11（2×3×4×5）＝log11120．∴log1111＝1＜log11120＜log11121＝2．故选：B．10．【解答】解：由题意得：＝×（8+12+14+16）＝12.5，＝×（5+8+9+11）＝8.25，x i y i＝8×5+12×8+14×9+16×11＝438，＝82+122+142+162＝660；则＝＝≈0.7289，＝﹣＝8.25﹣0.7289×12.5＝﹣0.8575，∴回归直线方程为＝0.7289x﹣0.8575，由≤10，解得x≤14.90，∴x的最大值不能超过15．故选：B．11．【解答】解：由z＝﹣得，，∴z100+z50+1＝（﹣i）50+（﹣i）25+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i，故选：D．12．【解答】解：∵α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∵函数f（x）是[﹣1，1]上的减函数，∴cosα＜cos（﹣β）＝sinβ，∴f（cosα）＞f（sinβ），故选：C．三、以下小题任选一题即可（共4小题，每小题3分，满分12分）13．【解答】解：∵CD是圆O的切线，∴∠ABC＝∠ACD＝30°，∴在直角三角形ACD中，AD＝1，∴AC＝2，∴在直角三角形ABC中，AC＝2，∴AB＝4，∴圆的半径是2，从而圆的面积是4π．故选：A．14．【解答】解：直线（t为参数），消去参数化为：3x﹣4y﹣7＝0．曲线ρ＝cos（θ+）即ρ2＝ρcosθ﹣ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝x﹣y，配方为：（x﹣）2+（y+）2＝，可得圆心C（，﹣），半径r＝．圆心到直线的距离d＝＝，可得直线被曲线C所截的弦长为＝2＝．故选：A．15．【解答】解：|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知，|m﹣1|≤4，所以m∈[﹣3，5]故选：A．16．【解答】解：由表格可知：f（5）＝2，f（2）＝1，f（1）＝4，f（4）＝5，f（3）＝3．又a0＝4，a n+1＝f（a n），n＝0，1，2，…，∴a1＝f（a0）＝f（4）＝5，a2＝f（a1）＝f（5）＝2，a3＝f（a2）＝f（2）＝1，a4＝f（a3）＝f（1）＝4，a5＝f（a4）＝f（4）＝5，…．∴a n+4＝a n，∴a2017＝a504×4+1＝a1＝5．故选：D．四、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）17．【解答】解：复数z对应的点在直线y＝2x上，设z＝x+2xi，x∈R，∵|z|＝，∴＝，解得x＝±1．∴z＝1+2i或﹣1﹣2i．故答案为：1+2i或﹣1﹣2i．18．【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当b n＝（a1+a2+..+a n），时，数列{d n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：19．【解答】解：∵sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin＝0，sin＜0，…，sin＜0，sin＝0，∴S1＝sin＞0，S2＝sin+sin＞0，…，S8＝sin+sin+…+sin+sin+sin＝sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13＝sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin＝0，S14＝S13+sin＝0+0＝0，又S15＝S14+sin＝0+sin＝S1＞0，S16＝S2＞0，…S27＝S13＝0，S28＝S14＝0，∴S14n﹣1＝0，S14n＝0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．故答案为：86．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分5分）20．【解答】解：连接AF，如图所示：∵AD∥BC，∠BAD＝135°，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝45°，∵AF＝AB，∴∠AFB＝∠B＝45°，∴∠BAF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的度数为90°．故答案为90°．21．【解答】解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），则点P到直线3x﹣4y＝24的d＝＝，由﹣1≤cos（θ+）≤1，∴当cos（θ+）＝﹣1时，d取得最大值为d max＝，故答案为：（2+）．22．【解答】解：∵|x+|＝|x|+≥2∴不等式对一切非零实数x恒成立，等价于|2a﹣1|≤2∴﹣2≤2a﹣1≤2∴∴实数a的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．六、解答题（共5小题，满分58分）23．【解答】解：（1）设z ＝x +yi ，x 、y ∈R ，则由题意可得 x ＝﹣cos 2θ﹣sin 2θ＝﹣1，y ＝cos2θ﹣1，∴z ＝﹣1+（cos2θ﹣1）i ．（2）由于复数z 对应的点P 在直线y ＝x 上，故有cos2θ﹣1＝﹣，∴cos2θ＝， 再结合θ∈（0，π），可得2θ＝或2θ＝，∴θ＝或θ＝．24．【解答】解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K 2＝＝≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．25．【解答】解：由于＝x i ＝12.5，＝y i ＝8.25，∴＝＝＝0.729，＝﹣x ＝﹣0.857，那么＝x +＝0.729x ﹣0.857， 由0.729x ﹣0.857≤10，得x ≤14.893≈15即每小时有缺点的物件数不超过10时，机器的速度每秒不得超过15转．26．【解答】证明：△ABC中，∵3b＝2a sin B，∴由正弦定理可得3sin B＝2sin A sin B，求得sin A＝，∴A＝，或A＝．∵cos A＝cos C，∴A＝C．再根据三角形内角公式可得只有A＝C＝，∴B＝，∴△ABC为等边三角形．27．【解答】解：求导函数，f′（x）＝x2+2ax﹣b，∵y＝f（x）图象上的点（1，﹣）处的切线斜率为﹣4，∴f′（1）＝﹣4∴1+2a﹣b＝﹣4①∵f（1）＝﹣，∴+a﹣b＝﹣②由①②解得a＝﹣1，b＝3，…（6分）∴f（x）＝，f′（x）＝（x﹣3）（x+1）…（5分）∴f′（x）＝（x﹣3）（x+1）＝0，解得x＝﹣1或3．∴f（x）极大＝f（﹣1）＝，f（x）极小＝f（3）＝﹣9．…（10分）又f（﹣3）＝﹣9﹣9+9＝﹣9，f（6）＝72﹣36﹣18＝18．∴f（x）在区间[﹣3，6]上的最小值为f（﹣3）＝f（3）＝﹣9、最大值为f（6）＝18．…（12分）七、以下为选作题，请选择一题写在答题卡上，并标明题号，多作按所作第一题给分28．【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC．（2分）又因为AD⊥CE，所以∠ACD+∠CAD＝90°，又因为AC平分∠BAD，所以∠OCA＝∠CAD，（4分）所以∠OCA+∠CAD＝90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线．（6分）（Ⅱ）连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA＝∠ADC＝90°，因为CE是⊙O的切线，所以∠B＝∠ACD，（8分）所以△ABC∽△ACD，所以，即AC2＝AB•AD．（10分）29．【解答】解：（1）∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y2＝1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2＝（5﹣1）2+3﹣1＝18，由切割线定理，可得|MT|2＝|MA|•|MB|＝18．30．【解答】解：（1）当a＝3时，不等式f（x）＞7即为|2x﹣1|+|2x﹣3|＞4，当x≥时，即有2x﹣1+2x﹣3＞4，解得x＞2，则有x＞2；当x≤时，即有1﹣2x+3﹣2x＞4，解得x＜0，则有x＜0；当＜x＜时，即有2x﹣1+3﹣2x＞4，即2＞4，无解．综上可得，x＜0或x＞2．则解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．（2）由于函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥|2x﹣1﹣（2x﹣a）|+a＝|a﹣1|+a，则f（x）的最小值为|a﹣1|+a，由f（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3，即有或，即为a≥2或x∈∅，则有实数a的取值范围为[2，+∞）．。
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第1页（共17页） 2015-2016学年河南省开封市兰考二中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（ ） A．60° B．45° C．120° D．150° 4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则B=（ ） A．60° B．60°或120° C．30 D．30°°或150°
5．（5分）设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ） A．2 B．4 C． D． 6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） A． B．7 C．6 D． 7．（5分）已知等差数列{an}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（ ） A．140 B．280 C．168 D．56 8．（5分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则公比q为（ ） A．q=﹣2 B．q=1 C．q=﹣2或q=1 D．q=2或q=﹣1
9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（ ） A．﹣3 B．0 C． D．3 10．（5分）已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（ ） 第2页（共17页）
A．1 B． C． D． 11．（5分）下列命题中，正确的是（ ） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bc B．若ac＞bc，则a＜b C．若，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
12．（5分）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．（5分）已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an= ． 14．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 时，数列{an}的前n项和最大． 15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则= ． 16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C= ．
三、解答题：（共70分） 17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB． （Ⅰ） 求A的大小； （Ⅱ） 求cosB﹣sinC的取值范围． 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积． 19．（12分）已知各项都不相等的等差数列{an}的前7项和为70，且a3为a1和a7的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； 第3页（共17页）
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an，n∈N*且b1=2，求数列的前n项和Tn． 20．（12分）已知数列{an}是等比数列，且满足a2+a5=36，a3•a4=128． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{an}是递增数列，且bn=an+log2an（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn． 21．（12分）解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0． 22．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=． （1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值； （2）若a=，求△ABC面积的最大值． 第4页（共17页）
2015-2016学年河南省开封市兰考二中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【解答】解：∵△ABC中，已知asinA=bsinB， ∴由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB， ∴sinA=sinB，∴a=b， 故△ABC为等腰三角形， 故选：A．
2．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ） A． B． C． D．
【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=， 根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC， 即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2， 当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；
当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=， 所以△ABC的面积等于或． 故选：D．
3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（ ） A．60° B．45° C．120° D．150° 【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA 又a2=b2+c2+bc， 第5页（共17页）
∴cosA=﹣ 又∵A是三角形的内角， ∴A=150°， 故选：D．
4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则B=（ ） A．60° B．60°或120° C．30 D．30°°或150° 【解答】解：由正弦定理可得：，可得
sinB===， 又b＞a，∴B∈（30°，150°）， 解得B=60°或120°， 故选：B．
5．（5分）设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ） A．2 B．4 C． D． 【解答】解：由于q=2，
∴ ∴； 故选：C．
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） A． B．7 C．6 D． 【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5； 第6页（共17页）
a7a8a9=10⇒a83=10， a52=a2a8， ∴，∴，
故选：A．
7．（5分）已知等差数列{an}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（ ） A．140 B．280 C．168 D．56 【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为： ==140．
8．（5分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则公比q为（ ） A．q=﹣2 B．q=1 C．q=﹣2或q=1 D．q=2或q=﹣1 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则2Sn=Sn+1+Sn+2 ． 若q=1，则Sn=na1，式子显然不成立．
若q≠1，则有 ， 故2qn=qn+1+qn+2，即q2+q﹣2=0，因此q=﹣2． 故选：A．
9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（ ） A．﹣3 B．0 C． D．3 【解答】解：约束条件，表示的可行域如图， 解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）； 由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）； 所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3； 第7页（共17页）
故选：A． 10．（5分）已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【解答】解：=2﹣2x•2﹣y=2﹣2x﹣y， 设m=﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可． 作出不等式组对应的平面区域如图： 由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m， 平移直线y=﹣2x﹣m，由平移可知当直线y=﹣2x﹣m，经过点B时， 直线y=﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小． 由，
解得，即B（1，2）， 此时m=﹣2﹣2=﹣4， ∴的最小值为， 故选：C． 第8页（共17页）
11．（5分）下列命题中，正确的是（ ） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bc B．若ac＞bc，则a＜b C．若，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【解答】解：A．举出反例：虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是5×（﹣1）＜2×（﹣2），故A不正确； B．举出反例：虽然5×3＞4×3，但是5＞4，故B不正确； C．∵，∴，∴a＜b，故C正确；
D．举出反例：虽然5＞4，3＞1，但是5﹣3＜4﹣1，故D不正确． 综上可知：C正确． 故选：C．
12．（5分）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 设z=x+y， 将最大值转化为y轴上的截距， 当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大， 将m等价为斜率的倒数， 数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得 m=1， 故选：C．