高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义及其标准方程教案 湘教版选修11
椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)
2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F 时, M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F 时, M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F 时, M 点的轨迹不存在．【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。
高中数学圆锥曲线教学案
高中数学总复习教学案第9单元圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点难点聚焦本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程与标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
本章的难点：求圆锥曲线的方程与利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。
本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。
本章高考分析与预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。
通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉与本章的知识，分值20分左右。
主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等知识与基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题与最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。
§9.1 椭圆① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单性质．本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。
本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用与解决椭圆问题所涉与的思想方法。
椭圆及其标准方程(一)
y2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 ＋x ＝1.
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点一 ：椭圆的定义
思考 4 命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0 且 a 为常 数)；命题乙：点 P 的轨迹是椭圆，且 A、B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙 的什么条件？ 而当 2a＝|AB|时，P 点的轨迹是线段 AB；
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点二 ：椭圆的标准方程
解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，
x2 y2 ∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，
又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
a2＝10 ，解得 2 . b ＝6
方法二
9 25 2＋ 2＝1 依题意得4a 4b a2－b2＝4
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 10 6
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点二 ：椭圆的标准方程
(2)方法一 x2 y2 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为 2＋ 2＝1 (a>b>0)． a b
关系．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
2.2.1 椭圆及其标准方程 (3个课时) (3)
方法2：代入法
例5 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半
径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PD， D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点 M的轨迹是什么？
y P
M
O
D
x
课堂小结：
1、椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距。
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
椭圆的定义！
【考点一】：椭圆定义的应用
1．设 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的焦点，P 为椭圆上一点，则△
PF1F2 的周长为
(B )
A．16
B．18
C．20
D．不确定
解析：椭圆2x52＋y92＝1 中，a＝5，b＝3，∴c＝4.
△PF1F2 的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×5＋2×4＝18.
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
则(1)、a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(-3,0)、(3,0)
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
焦距为6 。
(3)若椭圆方程为 x2 y2 1 , 16 25
高中数学选修2-1第二章圆锥曲线
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e， 常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以 ．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， ＞ 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆 圆 锥 曲 线
定义 标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线 的位置关系
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
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第二章 §2.2 2.2.1
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分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
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第二章 §2.2 2.2.1
2.1.1椭圆及其标准方程
小结
② 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
两个焦点的坐标分别是
2 0， 2、0，
3 5 并且经过点 ， ． 2 2
解法2
椭圆的方程
2013年12月9日
小结
解： 因为椭圆的焦点在
y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
椭圆的方程
2013年12月9日
小结
解:设所求的标准方程为
y x 2 1a b 0 2 a b
2 依题意得 5
2
2
解得: 3 2 2 1 2 a ． b2 a 2 b 2 4
2
a 2 10 2 b 6
2013年12月9日
小结
思考题:
如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地 球的中心） 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点 A （离 F2 （离地面最近 地面最近的点）距地面200 km ，远地点 B 的点）距地面约350 km ，椭圆的另一个焦点是 F1 ，且
F1、F2 、 、 在同一直线上， A B
标准方程的推导
(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的 中垂线为y轴建立直角坐标系。 y
M
F1
O
(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上 任意一点，因|F1F2|=2c， 则F1(-c,0)，F2(c,0)
F2
x
(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a， 并将其坐标化后得：
求动圆圆心P的轨迹方程．
椭圆的方程
2013年12月9日
椭圆的方程
2013年12月9日
公开课 椭圆及其标准方程
2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计设计者：吴夏松一、内容及其解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用，在高考中也是一个考点。
本节是选修2-1中《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义及其标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
二、目标及其解析1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导；能应用椭圆的定义及其相关知识解决一些简单问题。
2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想。
[来通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力。
三、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的相关知识，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生在探究学习过程中受阻，教师要适时加以点拨指导。
(选修1-1教案)2.1圆锥曲线
第二章圆锥曲线与方程本章内容在日常生活中，我们接触过许许多多的曲线，有的可能有印象，有的可能没有印象了.例如，油罐汽车上装油罐的截面，其周界就是椭圆；喷泉喷出的水形成的曲线就是抛物线；拉开休闲服的拉链，动点的轨迹就是双曲线.对椭圆、抛物线、双曲线以及我们过去学过的圆，还可以从平面截圆锥的操作过程来认识.用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.实践证明，圆锥曲线对人类社会的进步和发展是有用的.例如，神州宇宙飞船的运行轨道就是椭圆，发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线.既然圆锥曲线有用，人类就要研究它们.本章我们将用坐标方法探究椭圆、抛物线和双曲线.高考目标考情考法在这些年的高考中，在全国卷、各省（市、自治区）卷中，每张卷上都能见到围绕圆锥曲线命题的试题，小题、大题都有，小题的难度处在中等水平，大题一般都是把直线与圆锥曲线结合在一起，对往往是压轴题，一题多问，难度都比较大.一个目标：渗透解析几何的基本思想.一条主线：展示背景，形成曲线概念；建立方程，研究曲线性质.2.1 圆锥曲线在广袤无垠的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如太阳、月亮、星星……随着人类逐渐步入璀璨夺目的宇宙，我们已有幸欣赏到有条不紊、翩翩起舞的星球的“舞步”.目前的研究表明，天体数量越多，轨迹的种类也就越多，其中5个天体可能组成的轨迹至少有18种，而其它一些复杂的“太空舞步”竟有799种之多.其中有些天体运行的“舞步”就是我们这一节所要研究的椭圆、双曲线和抛物线.教学目标：知识目标：通过本节的学习，了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.能力目标：通过本节的学习，理解三种圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状.情感目标：通过本节的学习，从整体上认识三种圆锥曲线及其内在联系，并感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和信心.教学重点：三种圆锥曲线的定义. 教学难点：三种圆锥曲线的定义理解. 授课类型：新授课.教具准备：多媒体课件. 课时安排：1课时. 教学过程： 一、问题情境圆锥曲线与科研、生产和生活有着密切的关系，早在16与17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线；……. 那么，什么是椭圆？什么是双曲线？什么是抛物线？这就是我们这一节所要研究的问题.（引入新课，板书课题）二、建构数学1.圆锥面的概念圆锥面可看成是一条直线绕着与它相交的一条定直线（两条直线不互相垂直）旋转一周所形成的曲面.2.圆锥面的截线的形状多媒体演示；学生用准备好的材料（细绳、图钉、铅笔等）画椭圆，并在此基础上得出椭圆的定义.3.圆锥曲线的定义 （1）椭圆的定义（参见课本P24）.关于椭圆定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数大于12F F . ①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②常数后加上大于12F F 是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹.设常数为2a ，122F F c =，则椭圆上的点P 满足集合12{|2, 2>P P PF PF a a =+=12}F F ，其中>0a ，>0c ，且a 、c 均为常数.当2>2a c 时，集合P 为椭圆；当22a c =时，集合P 为线段1F F ； 当2<2a c 时，集合P 为空集. （2）双曲线的定义（参见课本P24）.关于双曲线定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数小于12F F .①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②注意“距离之差的绝对值”和“122<a F F ”.这两点与椭圆的定义有本质的区别，若12122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点2F 这一侧的一支；若21122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点1F 这一侧的一支.而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“距离之差的绝对值”. （3）抛物线的定义（参见课本P24）.关于抛物线定义的理解.①抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一动，即一个动点，设为P ；三定，即一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即抛物线的准线；一个定值，即点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等（定值）.②定点F 不能在直线l 上，否则，动点P 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线. 三、数学应用例1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且在定圆C ：22(3)64x y -+=的内部与定圆C 相切，则动圆的圆心P 的轨迹是什么图形？引导学生分析解题思路：欲确定动圆圆心P 的轨迹，可先确定点P 所满足的几何特征，然后判断其轨迹. 解：（略） 答案：椭圆. 练习：课本P24 练习 第3题.例2 若动点M 到点(3,0)F 的距离等于它到直线3x =-的距离，则动点M 的轨迹是什么图形？解：（略） 答案：抛物线. 练习：课本P24 练习 第2题.备选例题例3 已知1(4,3)F -，2(2,3)F 为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当2a =或3a =时，求动点P 的轨迹.引导学生分析，条件中有“12PF PF -”，联想双曲线的定义，分别确定当2a =或3a =时12PF PF -与12F F 的大小关系，进而确定动点P 的轨迹.解：（略） 答案：当2a =时，动点P 的轨迹是双曲线的一支（靠近焦点2F ）；当3a =时，动点P 的轨迹是射线2F P . 四、本节小结：（略） 五、板书设计：（略）六、布置作业：课本P25 习题2.1 第1、2题. 七、教后反思：。
第二章 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程(优秀经典公开课比赛课件)
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(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1，F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是 什么图形？
提示：椭圆．
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(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔 尖到两个定点的距离和等于常数．
[自我检测] 1．下列说法中，正确的是( ) A．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆 B．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 D．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
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知识点二 椭圆的标准方程 预习教材P33－34，思考并完成以下问题 观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？
提示：椭圆是对称图形，以两焦点 F1，F2 所在直线为一条坐标轴，F1F2 的中点为原点 建立直角坐标系方程简单．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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探究二 椭圆的定义及其应用 [教材 P36 练习 3 题]已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB，交 椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点． (1)求△AF1B 的周长； (2)如果 AB 不垂直于 x 轴，△AF1B 的周长有变化吗？为什么？
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椭圆的定义及其标准方程
一、教材分析
(一)教材所处的地位、内容和作用。
本节内容是椭圆的定义及其标准方程，是在学习了曲线与方程、求曲线的方程以及曲线
的交点之后展开的，它是继续学习椭圆的几何性质和双曲线、抛物线的定义和几何性质的基
础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生
自主学习能力，培养创新能力的好素材。
（二）教学目标
1、知识目标：A识记：① 记住椭圆的定义；② 区分椭圆的两种类型的标准方程及其对应
的图形；③能根据a、b、c的值写出椭圆的标准方程。 B理解：①理解椭圆的焦点、焦距
的意义；②会推导椭圆的标准方程；③能掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第
三个。C掌握：学会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题。
2、能力目标：① 培养学生建立适当坐标系的解析法解题能力。② 巩固与发展学生的定义
法解题、待定系数法解题和数形结合的解题能力。
3、情感目标：培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。
（三）教学重点、难点
1、教学重点： ①．椭圆的定义； ②．椭圆标准方程的形式与图形、焦点坐标的对应关系；
③根据条件求椭圆的标准方程。
2、教学难点：① 椭圆标准方程的推导；② 应用标准方程的形式与图形、焦点坐标对应关
系解题。
二、学生情况分析
在学习椭圆之前，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方
法求曲线的方程。椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识，例如：行星的运动
轨迹等等。
三、教学过程
（一）复习
同学们，前一段时间我们重点学习了求曲线的轨迹方程的两种方法，提问：方法一是
基本法，其求动点轨迹的一般步骤是什么？；方法二是待定系数法，其解题步骤又是什么？
（说明：通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在
联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。）
（二）引入
我们曾经运用方法一成功地推导出了圆的标准方程，今天我们又要运用这种方法继续
研究一种特殊曲线的方程。现在先看一个实例问题（演示行星运行的轨道），请同学们注意
观察地球绕太阳运转的轨迹形状象什么？
（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借助地理模型的直观性，使学生印象
加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）
（三）新授：
1、引导学生发现椭圆的定义：
根据地球绕太阳运转的事例思考：提问：点满足什么条件运动时形成的轨迹是椭圆
呢？让学生进行分组讨论。(平面内两个定点分别是F1和F2，且该两点之间的距离是2c，点
M是平面内任意一点，M到两点F1和F2的距离之和是2a，显然2a>2c)
提问：满足上述条件的点M是否只有一个点呢？根据学生的回答画点，然后连线，看
来并不是只有一个点满足条件，而是有无数个点都满足条件。如果继续旋转就可以得到满足
条件的所有的点。让我们来看一看最终可以得到什么图形?(是一个椭圆)
提问：有什么办法可以更好的画椭圆的图象呢？让学生在讨论后尝试动笔画一个椭
圆。教师在黑板上根据定义画一个椭圆。
2、师生共同归纳概括椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）。
3、椭圆的定义的再认识：
提问：在椭圆的定义中为什么要满足2a>2c？去掉这个条件可不可以呢？先让学生思
考，讨论。
正面直接解决这个问题，显然比较难，这时我们常采用“正难则反”的思考策略。而其
反面是：（1）当2a=2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）当2a<2c时，
到两定点距离等于定长的点的轨迹是什么？让学生自己画图归纳，然后自己给学生总结。由
此可知：1、命题“到两定点距离等于定长的点的轨迹是一个椭圆”是错误的。正确的是应
分三种情况：（1）当2a>2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是一个椭圆：
（2）当2a=2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是一条线段；（3）当2a<2c
时，到两定点距离等于定长的点的轨迹不存在。这恰是同学们今后运用定义解题
时应当注意的。2、不论M如何移动，三角形MF1F2的周长恒为定值，等于2a+2c.
4、学生推导椭圆的标准方程的过程：
提问：如何求轨迹的方程？（引导学生推导椭圆的标准方程）推导中注意：
（1）、推导方程的方法--------求曲线方程的一般方法（用对称法建立坐标系）
（2）、推导方程的难点--------方程的化简 （要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关
键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解）
（3）推导方程的做法---------以学生分组探索为主、老师点拨为辅完成
（4）如果焦点在 轴上，则焦点为F1（0， ）、F2（0,c），这时只要将方程中 ，
互换就可得到它的方程。
板书：椭圆的标准方程的推导过程。
椭圆的标准方程：
（ ） （ ）
5、椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（见练习1）
（4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。
（5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定，即只要知道三个参数a、
b、c的值，就可以写出椭圆的标准方程。因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待
定系数法（其步骤是：先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求a、b的值。
6、例题精析 （让学生自己动手）
例1、（1）求出满足a=4,b=1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程。
（2）求出满足a=4,c= ，焦点在y轴上的椭圆的标准方程。
例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
例3、已知 ABC的周长为36，求ABC的顶点C的轨迹方程。
7、例题点评：
例1补充说明：
注意椭圆的标准方程的形式书写，大家应熟练掌握两种形式的标准方程。
例2补充说明：
1、我们是把焦点建立在x轴上从而解决了问题，问可不可以把焦点建立在y轴上呢？
2、把焦点建立在x轴上或y轴上，这是问题的两种不同的解法，而不是两种情况，我
们在解题时只需选择其中之一即可。
3、理解椭圆的定义，熟练地掌握椭圆方程的推导方法（尤其是建立坐标系的方法）是
解决本题的关键。
例3补充说明：
1、充分利用椭圆的定义使本题的解法巧妙，计算简单。否则若设动点坐标再求轨迹方
程时，则方法会比较复杂。
2、注意三个参数a、b、c应满足关系式：a2=b2+c2
3、注意曲线方程的完备性。
（四）课堂练习
1、形成性练习
（1） 指出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴
① ②
（2） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是
_________________。
2、巩固性练习
（1）已知椭圆 上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距
离是（ ）
A、2 B、3 C、5 D、7
（2） 椭圆 的焦距为2，则m的值为（ ）
A 5 B 3 C 3或5 D.6
（3）已知ABC的周长为36，AB边长为10，求ABC顶点C的轨迹方程。
3、发展性练习
已知P是椭圆 上一点，其中F1，F2为其焦点，且F1PF2=600，求三角形
F1PF2的面积。
（五）小结：（先由学生归纳，教师根据情况补充。）
本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:
①椭圆的定义中,
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看 , 的分母大小来确定
③ 、 、 的几何意义
（六）、作业布置