2020届高三精准培优专练十九几何概型(文) 考试版

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2020届高三精准培优专练十八圆锥曲线综合(文) 教师版

2020届高三好教育精准培优专练例1：过双曲线221916x y -=的右焦点2F 作倾斜角为45的弦AB ，求：（1）弦AB 的中点C 到点2F 的距离；（2）弦AB 的长．【答案】（1（2）1927．【解析】（1）双曲线的右焦点2(5,0)F ，直线AB 的方程为5y x =-．联立2251916y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得27903690x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12907x x +=-，123697x x =-．设弦AB 的中点C 的坐标为(,)x y ，则124527x x x +==-，8057y x =-=-．所以2||7CF ==．（2）由（1），知||AB =1927==．一、弦长问题培优点十八圆锥曲线综合例2：设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：11||||AF BF +为定值．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离，由抛物线的定义得12p=，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =．（2）易知焦点F 的坐标为(1,0)，若直线l 的斜率不存在，即直线l 方程为1x =，此时令(1,2)A ，(1,2)B -，∴11111||||22AF BF +=+=；若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知1||1AF x =+，2||1BF x =+．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，根据韦达定理得121x x =，所以121212121212121222211111||||11(1)(1)12x x x x x x AF BF x x x x x x x x x x +++++++=+====++++++⋅+++，综上可得，11||||AF BF +为定值．三、最值问题二、定值问题例3：已知两定点(A，B ，O 为坐标原点，动点P 满足：直线PA ，PB 的斜率之积为12-．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)D -的直线l 与（1）中曲线C 交于M ，N 两点，求OMN △的面积的最大值．【答案】（1）221(0)2x y y +=≠；（2）2．【解析】（1）设点P 的坐标为(,)x y，则PA k =，PB k =，所以22122PA PBy k k x ⋅==--，化简得22220x y -+=，所以所求轨迹方程是221(0)2x y y +=≠．（2）设直线l 的方程为1x my =-，联立曲线C 的方程得22(2)210m y my +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由韦达定理得12222m y y m +=+，12212y y m -=+，所以OMN △的面积121||||2S OD y y =⋅-==，(1)t t =≥，则2112S t t t==≤++，上式当1t =即0m =时取等号，所以OMN △的面积的最大值是2．例4：已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点1)2A ，且点F 为其右焦点．四、存在性问题（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足225OB OD ⋅=，且原点到直线l？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则左焦点为(F '，在直角三角形AFF 'Rt △中，可求7||2AF '=，∴2||||42a AF AF a '=+=⇒=．又c =2221b a c =-=．故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+，由原点到l223(1)m k ==+．联立方程2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．则2216(2)02Δk k =->⇒>．设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122814mkx x k-+=+，21224(1)14m x x k -=+，则22212121212211(1)22(1)()145k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+，解得21(2,)k =∉+∞．当斜率不存在时，l的方程为x =112245OB OD ⋅=≠．综上，不存在符合条件的直线．一、选择题1．已知经过椭圆2215xy+=的右焦点且与x轴正方向成60︒的直线与椭圆交于A，B两点，则||AB=（）A．14B．3C．2D．3或14【答案】C【解析】由已知条件可知直线为2)y x=-，由222)15y xxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得21660550x x-+=，∴126016x x+=，125516x x=，∴12|||AB x x=-=2．已知双曲线221mx ny-=与直线12y x=+交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为2，则mn的值是（）A．B C．2-D．3【答案】B【解析】设11(,)M x y，22(,)N x y，中点坐标00(,)A x y，代入双曲线方程中，得到22111mx ny-=，22221mx ny-=，两式相减得到12121212()()()()m x x x x n y y y y-+=-+，结合12122y yx x-=-，1202x xx+=，1202y yy+=，且02yx=，对点增分集训代入上面式子，得到mn=． 3．等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长为（） AB． C． D ．2p【答案】C【解析】∵抛物线22y px =关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，则A ，B 点关于x 轴对称， ∴直线OA 倾斜角为30︒，斜率为3，∴直线OA方程为3y x =．由22y x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得6x p y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴(6,)A p，(6,)B p -，∴||AB =，∴这个正三角形的边长为．4．若过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（） A ．30︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】如图，因为椭圆2212516x y +=与圆22(3)1x y -+=关于x 轴对称，并且圆的圆心坐标(3,0)为椭圆右焦点，所以过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，要使APB ∠的最大，则PC 取最小，所以P 为右端点．因为1AC =，2PC =，AC AP ⊥，所以260APB APC ∠=∠=︒．5．已知双曲线22:14y C x -=，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是（）A ．2B ．1C ．2D 【答案】B【解析】设(,)P m n ，则2244m n -=，设PA 和渐近线2y x =平行，PB 和渐近线2y x =-平行，由:2()PA y x m n =-+，:2()PB y x m n =--+，且PA 和渐近线2y x =的距离为d =，由2y x =和2()y x m n =--+，求得22(,)42m n m nB ++，可得|||2|OB m n =+，∴四边形OAPB 的面积是2211|||2||4|4144d OB m n m n =+=-=⋅=． 6．00(,)P x y 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 满足PA PB k k λ+=(λ为常数，0λ≠)，且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点（） A ．00022(,)x px y λλ--B ．0002(,)x x y λ--C ．00022(,)y px y λλ--D ．0002(,)y x y λ--【答案】C【解析】设2(,)2a A a p ，2(,)2b B b p ，则直线AB 的方程为222222b x y b p ba b a p p--=--，整理得2p aby x b a b a=+++，又00002222220000222222PA PB a y b y a y b y k k a b y y a b x x p p p p p pλ----+=+=+=----，化简得0022p p a y b y λ+=++，则00022()2y p x ab p y b a b aλλ-=--++．则直线AB 的方程为000222[()]y p py x x y b a λλ=--+-+，直线AB 过定点00022(,)y p x y λλ--．二、填空题7．已知抛物线1C ：2(0)y ax a =>的焦点F 也是椭圆2C ：2221(0)4y x b b +=>的一个焦点，点M ，3(,1)2P 分别为曲线1C ，2C 上，则MP MF +的最小值为．【答案】2【解析】由点3(,1)2P 在椭圆2C 上，且0b >，所以223()1214b b+=⇒=F 的坐标为(0,1)．又由抛物线1C 方程得1(0,)4F a ，所以11144a a =⇒=，则211:4C y x =，由抛物线定义知MF 等于点M 到其准线:1l y =-的距离d ．过点P 作准线:1l y =-的垂线3:2l x '=，则垂直3:2l x '=与抛物线211:4C y x =的交点即为所求M 点，所以MP MF MP d +=+，其最小值为1(1)2--=．8．若椭圆221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线221169x y -=在第一象限内有交点A ，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是12,F F ，12120F F A ∠=︒，点P 是椭圆上任意一点，则12PF F △面积的最大值是___________．【答案】【解析】依题意有122510F F =⨯=，设2AF m =，18AF m =+，由余弦定理得222(8)10210cos120m m m +=+-⋅⋅⋅︒，解得6m =．故对与椭圆来说12202AF AF a +==，10a ∴=，90t =，275b =，b ∴=椭圆方程为22110075x y +=．当p为短轴上顶点时，面积取得最大值为1102⨯⨯=三、解答题9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1)2P，离心率是2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为11(,)22M ，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）2532S =．【解析】（1）依题意可知2c a =，223114a b+=，222c a b =-，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，代入椭圆方程得221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，由中点坐标公式得121x x +=，121y y +=．∴121214AB y y k x x -==--，可得直线AB 的方程为111()242y x -=--．令0x =，可得58y =；令0y =，可得52x =，则直线l 与坐标轴围成的三角形面积为1552528232S =⨯⨯=． 10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为14-，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p=，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设2(,)4t A t ，2(,)4t B t -，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以2224161444t t t t t t --⋅=-，化简得264t =，所以(16,)A t ，(16,)B t -，此时直线AB 的方程为16x =；②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，联立得24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，化简得2440ky y b -+=，根据根与系数的关系得4A B b y y k =，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以14A B A B y y x x =-⋅，即40A B A B x x y y +=，即224044A B A B y y y y ⋅+=，解得0A B y y =（舍去）或64A B y y =-，所以464A B by y k==-，即16b k =-，所以16y kx k =-，即(16)y k x =-．综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(16,0)．11．如图，已知A ，B 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1x y C a b-=的公共顶点，且4AB =，两曲线离心率之积为4．M 为2C 上除顶点外一动点，AM 交椭圆1C 于点P ，点Q 与点P 关于x 轴对称．（1）求椭圆1C 的方程；（2）证明：存在实数λ，使MB BQ λ=．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）由题可知2a =，=，解得1b 2=，所以椭圆1C 的方程为2214x y +=．（2）设00(,)M x y ，直线AM 的斜率为k ，∵(2,0)A -，(2,0)B ，双曲线方程为2214x y -=，∴2000200012244AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，所以14BM k k =，联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，所以22164(2)14P k x k -⋅-=+，即22814P k x k 2-=+，所以24(2)14P P ky k x k =+=+，则22241142824214P BQBM Pk y k k k k x k k +====---+，所以M ，B ，Q 三点共线，即存在实数λ，使MB BQ λ=．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 是椭圆C 上的动点，当1260F PF ∠=︒时，12PF F △的面积为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求1ABF △面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）4．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =．① 在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理，得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==，得222121212PF PF F F PF PF +-=，得22121212()3PF PF F F PF PF +-=，即2212(2)(2)3a c PF PF -=，所以21143PF PF b =，所以12PF F △的面积212121sin 2S PF PF F PF =∠==，所以21b =，即1b =，② 又222a b c =+，③由①②③，解得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立得22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)8820k x k x k +++-=，由28160Δk =->，得212k <，根据韦达定理有212812k x x k 2+=-+，21228212k x x k -=+．由弦长公式，得12AB x =-==又点1F 到直线AB的距离为d =，所以11122ABF S AB d ∆=⋅===261(1,4)t k =+∈，则216t k -=，所以1ABF S ∆==4≤=4t t=，即2t =，6k =±时取等号，所以1ABF △面积的最大值为4．。

2020年高三文科数学一轮单元卷：第十九单元平面解析几何综合A卷-(5581)

一轮单元训练金卷?高三?数学卷（A）第十九单元平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线ax y 7＝0 与4x ay 3＝0 平行，则 a 为（）A．2 B．2 或 2 C． 2 D．1 22．已知双曲线2 2x y2 2 1 0 0a＞，b＞的一条渐近线的方程是y 3x ，它的一个焦点落在抛物线a b2 16y x 的准线上，则双曲线的方程的（）A．2 2x y8 241 B．2 2x y24 81 C．2 2x y4 121 D．2 2x y12 413．已知椭圆2 2y xE : 1 a＞b＞0 经过点 A 5，0 ，B 0，3 ，则椭圆 E 的离心率为（）2 2a bA．23B．53C．49D．594．圆心为2,0 的圆C 与圆 2 2 4 6 4 0x y x y 相外切，则 C 的方程为（）A． 2 2 4 2 0x y x B．2 2 4 2 0 x y xC． 2 2 4 0x y x D．2 2 4 0 x y x5．若直线x y a 0 是圆 2 2 2 0x y y 的一条对称轴，则 a 的值为（）A．1 B． 1 C．2 D． 26．已知直线4x 3y a 0 与 2 2C : x y 4x 0 相交于 A 、B 两点，且AOB 120 ，则实数 a 的值为（）A．3 B．10 C．11 或21 D．3 或137．若二次函数 f x k x 1 x 2 的图象与坐标轴的交点是椭圆 C ：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的顶点或焦点，则k （）A．32B．32C． 3 D． 38．已知F1，F2 分别为双曲线2 2x y2 2 1( 0)a ba b的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于 A ，B 两点，且△F1AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． 3 1 B． 3 C． 2 1 D． 29．双曲线2 2x yE a ，b ）的离心率是 5 ，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，: 1( 0 02 2a b若△OFM 的面积是1，则双曲线 E 的实轴长是（）A．1 B．2 C． 2 D．2 210．已知双曲线2x32 1y 的右焦点恰好是抛物线2 2 0y px p 的焦点 F ，且M 为抛物线的准线与x 轴的交点，N 为抛物线上的一点，且满足 3NF MN ，则点 F 到直线MN 的距离为（）2A．12B．1 C． 3D． 211．若在区间2，2 上随机取一个数k ，则“直线y kx 3 与圆 2 2 2x y 相交”的概率为（）A．3 2 24B．3 2 2 C．2 2 D．2 2312．已知点P 4，4 是抛物线 2C y px 上的一点， F 是其焦点，定点M 1，4 ，则△MPF 的外接: 2圆的面积为（）A．12532B．12516C．1258D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．圆 2 2x 1 y 5 关于直线y x 对称的圆的标准方程为__________．14．抛物线 2 8y x的焦点为 F ，点A 6,3 ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△PAF周长的最小值为____________15．已知圆 C 经过坐标原点和点4，0 ，若直线y 1 与圆C 相切，则圆 C 的方程是__________．16．已知双曲线2 2x y2 2 1 a 0，b 0 ，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段a b的和为 a ，则双曲线的离心率为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10 分）已知△ABC中， A 2, 1 ，B 4,3 ，C 3, 2 ．（1）求BC 边上的高所在直线方程的一般式；（2）求△ABC的面积．18．（12 分）已知圆 2 2 4 3 0x y y 的圆心为点M ，直线l 经过点( 1，0) ．（1）若直线l 与圆M 相切，求l 的方程;（2）若直线l 与圆M 相交于 A ，B 两点，且△MAB 为等腰直角三角形，求直线l 的斜率．19．（12 分）已知直线l1 : x y 1 0 与l 2 : x y 1 0 相交于点P ，直线l3 : ax y a 1 0 ．（1）若点P 在直线l上，求 a 的值；3（2）若直线l交直线l1 ，l2 分别为点 A 和点B ，且点B 的坐标为3，2 ，求△PAB 的外接圆的标准3方程．20．（12 分）已知直线l ：y x m m R 与直线l 关于x 轴对称．（1）若直线l与圆22x2y8相切于点P，求m的值和P点的坐标；（2）直线l过抛物线C:x24y的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，求AB的值．21．（12分）已知动点P与A2，0，B2，0两点连线的斜率之积为14，点P的轨迹为曲线C，过点E1，0的直线交曲线C于M，N两点．（1）求曲线C的方程；（2）若直线MA，NB的斜率分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．22．（12分）设椭圆22x yE:1a b022a b的离心率为22，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为22．（1）求E的方程；（2）过的左焦点F作直线l1与E交于A，B两点，过右焦点F2作直线l2与E交于C，D两点，且1l∥l，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积128S，求l1与l2的方程．3一轮单元训练金卷?高三?数学卷答案（A）第十九单元平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】B【解析】由直线ax y 7＝0 与ax y 7＝0 平行，可得 1 7a4 a 3，解得 a 2 ，故选B．2．【答案】C【解析】双曲线2 2x y2 2 1 a＞0，b＞0 的一条渐近线的方程是y 3x ，可得b 3a ，a b它的一个焦点落在抛物线 2 16y x 的准线上，可得 c 4，即2 216 a b ，a 2，b 2 3．所求的双曲线方程为：2 2x y4 121．故选C．3．【答案】A【解析】由椭圆2 2y xE : 1 a＞b＞0 ，经过点 A 5，0 ，B 0，3 ，2 2a b可得a 3 ，b 5 ，所以 c 9 5 2 ，其离心率 2e ，故选A．34．【答案】D【解析】圆 2 2 4 6 4 0x y x y ，即2 2x 2 y 3 9 ．圆心为2,3 ，半径为 3设圆C 的半径为r ．由两圆外切知，圆心距为 2 22 2 03 5 3 r ．所以r 2．的方程为 2 2x 2 y 4 ，展开得： 2 2 4 0x y x ．故选D．5．【答案】B【解析】圆的方程 2 2 2 0x y y 可化为2 2x 1 y 1，可得圆的圆心坐标为1,0 ，半径为1，因为直线x y a 0 是圆 2 2 2 0x y y 的一条对称轴，所以，圆心1,0 在直线x y a 0 上，可得1 a 0，a 1，即a 的值为1，故选B．6．【答案】D【解析】圆的方程整理为标准方程即： 2 2x 2 y 4，作OD AB 于点D ，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中OA OB ，则1OD OA ，即圆心2,0 到直线4x 3y a 0 的距离为 d 1，sin30 2 12据此可得：8 0a224 3，即 a 8 5 ，解得： a 3或a 13．本题选择 D 选项．17．【答案】B【解析】由题意得，椭圆 C 的一个焦点为1,0 ，长轴的一个端点为（2，0），所以a 2，b 22 12 3 ，由（0，2k) 是椭圆C 的一个顶点，得2k 3 或2k 3 ，所以3k ．本题选择 B 选项．28．【答案】A【解析】连接AF1 ，可得AF1F2 30 ，F1AF2 90 ，由焦距的意义可知F2 F1 2c ，AF1 3c ，由勾股定理可知AF2 c ，由双曲线的定义可知AF1 AF2 2a ，即3c c 2a ，变形可得双曲线的离心率ca23 1，故选A．3 19．【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为 b ，故OF b，OM a ，FM b ，根据面积公式有1 2cab ，ab 2，而 51a， 2 2 2c a b ，解得 a 1，b 2 ，c 5 ，故实轴长2a 2 ，选B．10．【答案】D【解析】双曲线2x32y 1的右焦点为2,0 ，抛物线p2C : y 2 px( p 0) 的焦点为,02，则2p2，解得p 4 ，则抛物线方程为 2 8y x ，准线方程为x 2，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R ，则由抛物线的定义，可得 3NR NF MN ，2从而可以得到NMR 60 ，从而得到NMF 30 ，所以有点 F 到直线MN 的距离为 d 4sin30 2，故选D．11．【答案】 C【解析】若直线y kx 3 与圆x2 y2 2 相交，则 321 k2 ，解得2k 或22k ，2又 2 k 2 ，∴所求概率2 22 222 2 2 2p ，故选C．2 2 2 212．【答案】 B【解析】将点P 4，4 坐标代入抛物线 C 方程y2 2 px ，得42 2 p 4 ，解得p 2 ，∴点F 1，0 ，据题设分析知，sin 4MPF ，52 2MF 4 2 2 5 ，MF又 2 (R R sin MPF 为△MPF 外接球半径），∴2 52R ，∴455 5R ，4∴△MPF 外接圆面积22 5 5 125S R ，故选B．4 16二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】22 1 5 x y【解析】圆 2 2x 1 y 5的圆心坐标为1，0 ，它关于直线y x 的对称点坐标为0，1 ，即所求圆的圆心坐标为0，1 ，所以所求圆的标准方程为 22 1 5x y ．14．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离 d ，即FP d ．所以周长l PA PF AF PA AF d PA d 5 13，填13．15．【答案】22 3 25 x 2 y2 4【解析】设圆的圆心坐标（a，b），半径为r ，因为圆 C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y 1 相切，222 a b r所以222a4b rb1r ，解得a2，3b，25r，2所求圆的方程为：22325x2y．故答案为：2422325x2y．2416．【答案】5 2【解析】令双曲线22x y221a0，b0的焦点为c，0，渐近线为a bby xa，即bx ay0，垂线段的长度即焦点到准线的距离即b c a22b ab，故由题意可得a2b，所以双曲线的离心率满足2e222c a b22a a54，即5e，故答案为252．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）x5y30；（2）3．【解析】（1）因为k BC5，所以BC边上的高AD所在直线斜率1 k．5所以AD所在直线方程为11 2y x．即x5y30．5（2）BC的直线方程为：32y2x3．43点A到直线BC的距离为251176251226．22|BC|=342326，∴△ABC的面积为3．18．【答案】（1）3x4y30或x1；（2）k1或k7．【解析】（1）222430221x y y x y，所以点M的坐标为(0，2)，设直线k23y k x1kx y=d1k42k1，当直线斜率不存在时，x1满足题意，所以l的方程为3x4y30或x1．-=（2）由题意有：MA MB，MA MB，作MD AB，则22 MD MB，22k222d k8k70k1k70k1或k7．22k119．【答案】（1）2；（2）22(x1)y15．【解析】（1）x yx y1010P0，1，又P在直线l上，1a10，a2，3（2）B（3，2）在l上，3a2a10，31 a，2联立l，l1得：3x y10x2y10A1，0，设△PAB的外接圆方程为x2y2Dx Ey F0，1E F0D2把P(0，1)，A(1，0)，B(3，2)代入得：1D F0E2解得，133D2E F0F3∴△PAB的外接圆方程为x2y22x2y30，即22(x1)y15．20．【答案】（1）当m2时P0，2，当m6时p4，2；（2）8．【解析】（1）由点到直线的距离公式：2md解的m2或m 6，222当m2时P0，2，当m6时p4，2．（2）∵直线的方程为y x m，∴l的方程为y x m，焦点(0，1)，m1将直线y x1代入抛物线24x y，得整理2440 x xx1x24，y1y24x1x226，AB y1y22821．【答案】（1）2x4212y x；（2）是，13．-=【解析】（1）设点P x，y x2，由题知，y y1x2x24，整理，得曲线C：2x4212y x，即为所求．-=（2）由题意，知直线MN的斜率不为0，故可设MN：x my1，M x，y，N x2，y2，11设直线MB的斜率为k3，由题知，A2，0，B2，0，x my由2x42y1，消去x，得1242230m y my，所以2my y122m3y y122m44，所以y y y y31212k k232x2x2m y y m y y14121212．又因为点M在椭圆上，所以2y1k k132x1414，所以k1k213，为定值．22．【答案】（1）2x221y；（2）l1:x y10，l2:x y10或l1:x y10，l2:x y10．【解析】（1）由已知得ca 22，ab2，解得a2，b1，∴椭圆E的方程为2x221y．（2）设l2:x my1，代入2x221y得222210m y my，设C x1，y1，D x2，y2，则y1y22m2m2，1y y122m2．222m122CD1m y y4y y12122m2．设l的方程为x my1，则AB与CD之间的距离为1d22m1．由对称性可知，四边形为平行四边形，∴S CD d2222m1242m1 222m2m1m2．令211m t，则2221m t，∴S42t82t13，即22t32t20，解得t2或22(舍），∴m1．故所求方程为l1:x y10，l2:x y10或l1:x y10，l2:x y10．-=-=。

【2020】最新高考数学专题二十几何概型精准培优专练理

1.长度类几何概型例1：已知函数，，在定义域内任取一点，使的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先解出时的取值范围：，从而在数轴上区间长度占区间长度的比例即为事件发生的概率，∴，故选C．2．面积类几何概型（1）图形类几何概型例2-1：如图所示，在矩形中，，，图中阴影部分是以为直径的半圆，现在向矩形内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（）A．1000 B．20xx C．3000 D．4000【答案】C【解析】在矩形中，，，面积为，半圆的面积为，故由几何概型可知，半圆所占比例为，随机撒4000粒豆子，落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C．（2）线性规划类几何概型例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）【答案】D【解析】设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则所有基本事件构成的区域满足，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域满足，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为，故选D．（3）利用积分求面积例2-3：如图，圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为，正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率，故选B．3．体积类几何概型例3：一个多面体的直观图和三视图所示，是的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为（）【答案】D【解析】所求概率为棱锥的体积与棱柱体积的比值．由三视图可得，且，，两两垂直，可得，棱锥体积，而，∴．从而．故选D．一、单选题1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为．则阴影区域的面积约为（）A．B．C．D．无法计算【答案】C【解析】设阴影区域的面积为，，∴．故选C．2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，∴概率．故选B．3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形的面积满足到正三角形的顶点，，的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则，则使取到的点到三个顶点，，的距离都大于2的概率为：．故选A．4．在区间上随机取两个数，，记为事件的概率，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为，故选D．5．在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，或，∴或，记的值介于0到之间，则构成事件的区域长度为；全部结果的区域长度为2；∴，故选A．6．点在边长为1的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足条件的正方形，如图所示：其中满足动点到定点的距离的平面区域如图中阴影部分所示，则正方形的面积，阴影部分的面积．故动点到定点的距离的概率．故选C．7．如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求椭圆面积的，由知，∴，而表示与，围成的面积，即圆面积的，∴，∴，∴，∴概率，故选A．8．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又，∴，∴豆子落在图中阴影部分的概率为．故选A．9．把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在上任取，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，则，满足；当时，，，则，满足；当时，，，则不满足；当时，，，则，不满足．综上，满足的，则的概率为，故选D．10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个，都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后根据统计个数估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，120对都小于的正实数，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，满足且，面积为，∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为，则，∴，故选B．11．为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形内的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率：(为莱洛三角形的面积），故选A．12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，∴有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A．二、填空题13．在区间内任取一个实数，则使函数在上为减函数的概率是___________．【答案】【解析】∵函数在上为减函数，∴，，因此所求概率为．14．记集合，集合表示的平面区域分别为，．若在区域内任取一点，则点落在区域中的概率为__________．【答案】【解析】画出表示的区域，即图中以原点为圆心，半径为2的圆；集合表示的区域，即图中的阴影部分．由题意可得，，根据几何概型概率公式可得所求概率为．15．如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．【答案】【解析】由题意可知，阴影部分的面积，正方形的面积：，由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：．16．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．【答案】【解析】设爸爸到家时间为，快递员到达时间为，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为，面积，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为，直线与直线和交点坐标分别为和，，由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：．故答案为．11 / 11。

19、2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练19 专题五立体几何过关检测 Word版含解析

专题突破练19专题五立体几何过关检测一、选择题1.(2019河南开封一模,文5)已知直线m,n和平面α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.3.(2019湘赣十四校联考二,文6)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个结论:①若α∥β,则l ⊥m;②若l⊥β,则m∥α;③若l∥m,则α⊥β;④若m∥α,则l⊥β.其中正确的结论的个数是()A.0B.1C.2D.34.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.85.(2019河北石家庄二模,文8)设l表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,且α⊥β,则l⊥βB.若γ∥α,且γ∥β,则α∥βC.若l∥α,且l∥β,则α∥βD.若γ⊥α,且γ⊥β,则α∥β6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.(2019安徽淮南一模,文8)某圆锥的侧面展开图是面积为3π,圆心角为的扇形,则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为()A. B. C. D.8.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.C.6πD.9.(2019山东淄博一模,文7)一个底面是正三角形,侧棱和底面垂直的三棱柱,其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为124π,则侧视图中的x的值为()A. B.9 C.3 D.310.(2019湖南六校联考,文11)如图,在平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,AB=AD=CD=2,BD=2,∠BDC=90°,将△ABD沿对角线BD折起至△A'BD,使平面A'BD⊥平面BCD,则在四面体A'BCD中,下列结论不正确的是()A.EF∥平面A'BCB.异面直线CD与A'B所成的角为90°C.异面直线EF与A'C所成的角为60°D.直线A'C与平面BCD所成的角为30°11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.812.(2019湘赣十四校联考二,文10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,底面是边长为的正三角形,且该三棱柱外接球的表面积为7π,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.二、填空题13.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.14.(2019天津卷,文12)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.15.在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,AC⊥BC,AB=BD=5,BC=4,则此三棱锥的外接球的表面积为.16.(2019河北石家庄二模,文16)在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等边三角形,侧面PAB是直角三角形,且PA=PB=2,PA⊥BC,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题17.(2019江苏卷,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.18.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.19.(2019山东泰安二模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠PDA=90°,∠PDC=120°,AD∥BC,∠BCD=90°,△ABD是等边三角形,E是PA的中点,PD=2,AB=2.(1)求证:AD⊥BE;(2)求三棱锥P-ABD的体积.20.(2019湖南长郡中学适应考试一,文19)如图,在多边形ABPCD中(图1),ABCD为长方形,△BPC为正三角形,AB=3,BC=3,现以BC为折痕将△BPC折起,使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2).(1)证明:PD⊥平面PAB;(2)若点E在线段PB上,且PE=PB,当点Q在线段AD上运动时,求三棱锥Q-EBC的体积. 21.(2019天津卷,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.22.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.参考答案专题突破练19专题五立体几何过关检测1.D解析当“m∥n”时,推不出“m∥α”,也有可能m⊂α,故充分性不成立;当“m∥α”时,直线m,n的位置关系也可能异面,故必要性也不成立.故选D.2.D解析=a3,V截去部分由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为.3.D解析已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,若α∥β,则l⊥平面β,所以l⊥m,①正确;已知直线l⊥平面α,若l⊥β,则平面α∥平面β,又直线m⊂平面β,故m∥α,②正确;已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,若l∥m,则m⊥平面α,所以α⊥β,③正确;已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,若m∥α,则α∥β不一定成立,所以l⊥β也不一定成立,④不正确.4.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.5.B解析在A中,若l∥α且α⊥β,则l与β可能相交、平行或l⊂β;在B中,若γ∥α且γ∥β,则α∥β;在C中,若l∥α且l∥β,则α与β相交或平行;在D中,若γ⊥α且γ⊥β,则α与β相交或平行,故选B.6.A解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体,则×R3=,解得R=2,所以它的表面积为×4πR2+×πR2=14π+3π=17π.7.B解析由圆锥的侧面展开图是面积为3π,圆心角为的扇形,可知圆锥的母线l满足l2×πl2=3π.故l=3.又由2πr=l×,得r=1,所以该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为.故选B.8.B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得△ABC的内切球的半径为=2,则R≤2.又因为2R≤3,所以R≤,所以V max=,故选B.9.A解析将三视图还原后,可得如图所示的正三棱柱ABC-A1B1C1.O为外接球球心,O1为△ABC外接圆圆心,由球的性质,可知OO1⊥平面ABC,球的表面积S=4πR2=124π,则R2=31,即OB2=31.由题意,可知BO1=BD=x,OO1=×4=2.又B+O=OB2,则x2+4=31,解得x=.10.C解析因为E,F分别为A'D,BD的中点,所以EF∥A'B,所以EF∥平面A'BC,故A正确;因为平面A'BD⊥平面BCD,交线为BD,且CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B,故B正确;取CD边中点M,连接EM,FM(图略),则EM∥A'C,所以∠FEM为异面直线EF与A'C所成角,又EF=1,EM=,FM=,所以EF2+EM2=FM2,即∠FEM=90°,故C错误;连接A'F(图略),可得A'F⊥平面BCD,连接CF,则∠A'CF为A'C与平面BCD所成角,又sin∠A'CF=,所以直线A'C与平面BCD所成的角为30°,故D正确.11.C解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,所以在Rt△ABC1中,BC1==2,又BC=2,所以在Rt△BCC1中,CC1==2,所以该长方体的体积V=BC·CC1·AB=8.12.B解析如图所示,P为正三角形A1B1C1的中心,设O为△ABC的中心,由题意知,PO⊥平面ABC,连接OA,则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角.易知OP的中点为三棱柱外接球的球心,又7π=4πr2,∴r2=,∴AO2+2=.在正三角形ABC中,AB=BC=AC=,∴AO==1,∴PO=.∴tan∠PAO=,∴∠PAO=.13.解析如图,设球O的半径为R,则AH=,OH=.∵π·EH2=π,∴EH=1.在Rt△OEH中,R2=+12,∴R2=.∴S球=4πR2=.14.解析如图,由底面边长为,可得OC=1.设M为VC的中点,则O1M=OC=,O1O=VO,VO==2,∴O1O=1.∴V=π·O1M2·O1O=π×2×1=.圆柱15.34π解析由题意,在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,AC⊥BC,AB=BD=5,BC=4,可得AC=CD==3,故三棱锥D-ABC的外接球的半径R=,则其表面积为4π×2=34π.16.12π解析∵PA=PB,△PAB是直角三角形,∴PA⊥PB.又PA⊥BC,PB∩BC=B,∴PA⊥平面PBC,∴PA⊥PC.在Rt△PAB中,AB==2.∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=2.在Rt△PAC中,PC==2.在△PBC中,PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.∴该三棱锥外接球的半径R=,其表面积为4πR2=12π.17.证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.18.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.所以OM=,CH=.所以点C到平面POM的距离为.19.(1)证明取AD中点F,连接BF,EF.∵E,F分别为AP,AD的中点,AD⊥PD,∴AD⊥EF.又△ABC是正三角形,∴AD⊥BF.∵BF∩EF=F,∴AD⊥平面BEF.又BE⊂平面BEF,∴AD⊥BE.(2)解∵AD∥BC,∠BCD=90°,∴AD⊥CD.∵AD⊥PD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD.又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面PCD.过点P作PH⊥CD,交CD的延长线于点H,则PH⊥平面ABCD.在直角三角形PDH中,∠PDH=60°,PD=2,∴PH=,∴V P-ABD=S△ABD×PH=×(2)2×=3.20.解(1)过点P作PO⊥AD,垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上,∴PO⊥平面ABCD.∴PO⊥AB.∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥AD.又AD∩PO=O,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,AB⊥PD.又由AB=3,PB=3,可得PA==3,同理PD=3.又AD=3,∴PA2+PD2=AD2,∴PA⊥PD,且PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.(2)设点E到底面QBC的距离为h,则V Q-EBC=V E-QBC=S△QBC×h.由PE=PB,可知,∴,得h=.=×BC×AB=×3×3=,又S△QBC∴V Q-EBC=S△QBC×h==3.21.(1)证明连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND 中,sin∠DAN=.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.22.(1)证明连接A1B,在△A1BC中,∵E和F分别是BC和A1C的中点,∴EF∥A1B.又∵A1B⊂平面A1B1BA,EF⊄平面A1B1BA,∴EF∥平面A1B1BA.(2)证明∵AB=AC,E为BC中点,∴AE⊥BC.∵AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面ABC.∴BB1⊥AE.又∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BCB1.又∵AE⊂平面AEA1,∴平面AEA1⊥平面BCB1.(3)解取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,∵N和E分别为B1C和BC的中点,∴NE B1B,∴NE A1A,∴四边形A1AEN是平行四边形,∴A1N AE.又∵AE⊥平面BCB1,∴A1N⊥平面BCB1,∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,在△ABC中,可得AE=2, ∴A1N=AE=2.∵BM∥AA1,BM=AA1,∴A1M∥AB且A1M=AB.又由AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1,在Rt△A1MB1中,A1B1==4,在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=,∴∠A1B1N=30°,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°.。

2020届高三数学精准培优专练三含导函数的抽象函数的构造(文) 教师版

2020届高三精准培优专练例1：已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()xf x e <的解集为________．【答案】(0,)+∞【解析】设()()xf x h x e=，则()()()()()2xx e f x f x h x e '-'=．∵()()f x f x '<，∴()0h x '<，所以函数()h x 是R 上的减函数， ∵函数()2f x +是偶函数，∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数关于2x =对称，∴(0)(4)1f f ==，原不等式等价为()1h x <，∴不等式()x f x e <等价()1()(0)h x h x h <⇔<，0()(0)1x f x f e e <=． ∵()h x 在R 上单调递减，∴0x >．故答案为(0,)+∞．例2：已知2)(ax e x f x -=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y ．（1）求a ，b 的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x．【答案】（1）1a =，2b e =-；（2）max ()1f x e =-；（3）证明见解析．【解析】（1）()2xf x e ax '=-，一、含导函数的抽象函数的构造培优点三含导函数的抽象函数的构造由题设得(1)2f e a b '=-=，1)1(+=-=b a e f ，解得1a =，2b e =-．（2）由（1）知2)(x e x f x -=，∴()2xf x e x '=-，()2xf x e ''=-，∴()f x '在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f ．（3）因为()f x '，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当0x >，1x ≠时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方．下证：当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f ，设()()(2)1g x f x e x =--+，0x >，则()2(2)xg x e x e '=---，()2xg x e ''=-，由（2）知，()g x '在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又()30g x e '=->，(1)0g '=，0ln 21<<，∴(ln 2)0g '<，所以，存在)1,0(0∈x ，使得()0g x '=，所以，当),1(),0(0+∞∈Y x x 时，()0g x '>；当)1,(0x x ∈时，()0g x '<，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故(2)1x e e x x x+--≥，0x >．由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x xx e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x x x e e x ，所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立．一、选择题1．设函数()f x在定义域内可导，()y f x=的图像如图所示，则导函数()y f x'=的图像可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数()f x的图象可知，当(0,)x∈+∞时，()f x单调递减，所以(0,)x∈+∞时，()0f x'<，符合条件的只有D选项，故选D．2．曲线311y x=+在点(1,12)P处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．9-B．15C．9D．3-【答案】C【解析】∵311y x=+，∴23y x'=，则21313xy==⨯='，∴曲线311y x=+在点(1,12)P处的切线方程为123(1)y x-=-，令0x=，解得9y=．∴曲线311y x=+在点(1,12)P处的切线与y轴交点的纵坐标是9，故选C．3．已知函数()f x的导函数为()f x'，且满足()2(1)lnf x xf x=+'，则(2)f'=（）A．32B．1C．1-D．32-对点增分集训【答案】D【解析】依题意()()121f x f x''=+，令1x =，得()()1211f f ''=+，()11f '=-，所以()12f x x'=-+，所以()132222f '=-+=-，故选D ．4．曲线sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是（） A ．330x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y -+= D ．310x y -+=【答案】C【解析】求导cos x y x e '=+，则曲线sin x y x e =+，在点(0,1)处的切线的斜率0cos02k e =+=，由点斜式可得12(0)y x -=-，即切线方程为210x y -+=，故选C ． 5．函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（） A ．1 B ．8(1,)3-C ．3-D ．(3,8)-【答案】A【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=，得3x =-或1．函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1．故选A ．6．函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】由题意得：()cos xf x ae x '=-，∵()f x 在0x =处有极值，∴()0cos010f a a '=-=-=，解得1a =．经检验满足题意，本题正确选项C ．7．若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．()1,3- C ．()0,3D ．()3,+∞【答案】C【解析】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为{|0}x x >，因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x ---+'=--==，令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为()0,3．故本题正确答案为C ．8．己知()tan f x x =，()f x '为()f x 导数，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭='（）A ．4B ．2CD ．2-【答案】A【解析】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+'==， ∴π1()4134f '==，故本题选A ． 9．函数22cos y x x x =+的导数为（） A ．22cos sin 2y x x x x x '=-+ B ．222cos sin y x x x x x '=-+ C ．2cos 2sin 2y x x x x x '=-- D ．22cos sin y x x x x x '=--【答案】A【解析】∵22cos y x x x =+，∴()()2222cos (cos )2cos sin 2y x x x x x x x x x x ''''=+⋅+=-+，故选A ．10．已知函数()ln f x x x a =+在点()()1,1f 处的切线经过原点，则实数a （） A ．1- B ．0C ．1eD ．1【答案】D【解析】函数()ln f x x x a =+，()ln 1f x x '=+，∴(1)1f '=，切线方程为1y x a =-+，故001a =-+，解1a =．故选D ． 11．设函数1()ln f x x x=+，则（） A ．2x =为()f x 的极大值点 B ．2x =为()f x 的极小值点 C ．1x =为()f x 的极大值点 D ．1x =为()f x 的极小值点【答案】D【解析】函数1()ln f x x x =+，则函数22111()x x f x x x-'=-+=，令()0f x '=，解得1x =，当()0f x '>，解得1x >，∴函数()f x 在(1,)+∞单调递增；由()0f x '<，解得01x <<，∴函数()f x 在(0,1)上单调递减． ∴函数()f x 在1x =取得极小值，故选D ．12．若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【解析】令221u x ax a =-++，则()lg f u u =，配方得22221()1u x ax a x a a a =-++=--++，故对称轴为x a =，如图所示：由图象可知，当对称轴1a ≥时，221u x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，又真数2210x ax a -++>，二次函数221u x ax a =-++在(,1]-∞上单调递减，故只需当1x =时，若2210x ax a -++>，则(,1]x ∈-∞时，真数2210x ax a -++>，代入1x =，解得2a <，所以a 的取值范围是[1,2)．故选A ．二、填空题13．已知()212()3f x x xf '=+-，则1()3f '-=_____．【答案】23【解析】()122()3f x x f ''=+-，令13x =-，则121()2()333f f ''-=-+-，故12()33f '-=．故填23．14．曲线21x y xe x =+-在点(0,1)-处的切线方程为_______．【答案】310x y --=【解析】因为(1)2x y x e '=++，所以(0)3y '=，又切点为(0,1)-，所以在点(0,1)-处的切线方程为310x y --=．15．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=______．【答案】0【解析】由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．三、解答题16．已知函数3()128f x x x =-+．（1）求函数()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若[1,3]x ∈-，求()f x 的最大值．【答案】（1）128y x =-+；（2）19．【解析】（1）因为3()128f x x x =-+，所以(0)8f =，因为2()312f x x '=-，所以(0)12f '=-，切线方程为812y x -=-，即128y x =-+．（2）令2()3120f x x '=-=，得2x =或2x =-，由[1,3]x ∈-，所以2x =，因为(1)19f -=，(2)8f =-，(3)1f =-，所以()f x 的最大值为19．17．已知函数()32f x ax bx cx d =+++在R 上是奇函数，且在1x =处取得极小值2-．（1）求()f x 的解析式；（2）求过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程．【答案】（1）3()3f x x x =-；（2）9160x y -+=．【解析】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0b d ==， ∴()3f x ax cx =+，则()23f x ax c '=+，∴()()13012f a c f a c ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩．∴()33f x x x =-．（2）设切点坐标为()3000,3M x x x -，则在M 处切线斜率()20033k f x x '==-，又30003160x x k x --=-，∴320000316330x x x x --=--，解得02x =-， ∴3439k =⨯-=，∴过()0,16A 的切线方程为169y x -=，即9160x y -+=． 18．设函数21()2ln ()2f x x ax x a =-+∈R 在1x =时取得极值．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）3；（2）()f x 的单调递增区间为()0,1，()2,+∞；单调递减区间为(1,2)．【解析】（1）2()f x x a x'=-+，当1x =时取得极值，则(1)0f '=，即120a -+=，解得3a =，经检验，符合题意．（2）由（1）得：21()32ln 2f x x x x =-+， ∴2(1)(2)()3,(0)x x f x x x x x--'=-+=>，令()0f x '>，解得01x <<或2x >；令()0f x '<，解得12x <<， ∴()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞；单调递减区间为(1,2)．19．已知函数2()x f x e ax =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()1f x ≥的解集．【答案】（1）()f x 在(),-∞+∞为增函数；（2）{}0x x ≥．【解析】（1）∵()2()2x x f x e ax f x e ax =-⇒=-'，∴()12f e a '=-，∵曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直． ∴()12()112e a a e -⋅-=-⇒=-，∴()2x f x e x =-'，令()()()2xh x f x h x e ''=⇒=-，当()0ln 2h x x >⇒>'时，()f x '为增函数；当()0ln 2h x x <⇒<'时，()f x '为减函数，所以()()min ln 222ln 20f x f ==-'>'，所以()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞为增函数．（2）2()110x f x e x ≥⇒--≥，令()21xg x e x =--，因为()f x 在(),-∞+∞为增函数，所以()g x 在(),-∞+∞为增函数，因为()00010g e =--=，所以不等式的解集为{}0x x ≥．20．函数()x f x e ax =-，a ∈R ．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当0x >时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的最大值．【答案】（1）()f x 极小值为()01f =，无极大值；（2）e ．【解析】（1）1a =时，()x f x e x =-，则()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =．当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴()f x 极小值为()01f =，无极大值．11 精准培优专练（2）当0x >时，由()0f x ≥，得x e a x ≤，令()x e g x x =，则()()221xx x x e xe e g x x x --'==，令()0g x '=，解得1x =，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 1g x g e ==，∴a e ≤，∴实数a 的最大值为e ．。

(广西课标版)2020版高考数学二轮复习专题能力训练19概率(文)

专题能力训练19 概率一、能力突破训练1.(2018全国Ⅱ,文5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.32.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.3103.(2019云南师大附中月考,8)学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行,若这一天下雨,则推迟一天;若这三天都下雨,则推迟至下一周.已知这三天下雨的概率均为12,则这周能进行决赛的概率为()A.18B.38C.58D.784.(2019山东青岛二模,8)已知圆C:x2+y2=1和直线l:y=k(x+2),在区间(-√3,√3)内随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为()A.15B.14C.13D.125.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-π4B.π4-1 C.2-π4D.π46.记函数f(x)=√6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.7.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则m+n≠5的概率是.8.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为.9.(2019贵州贵阳适应性考试,18)PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解A市空气质量情况,从2018年每天的PM2.5的数据中随机抽取40天的数据,其频率分布直方图如图所示.将PM2.5的数据划分成区间[0,100),[100,150),[150,200),[200,250],分别称为一级、二级、三级和四级,统计时用频率估计概率.(1)根据2018年PM2.5的数据估计该市在2019年中空气质量为一级的天数;(2)按照分层抽样的方法,从样本二级、三级、四级中抽取6天的PM2.5数据,再从这6个数据中随机抽取2个,求仅有二级天气的概率.10.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.100217200(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?11.(2019北京,文17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.二、思维提升训练12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()A.15B.25C.35D.4513.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A.23B.25C.35D.91014.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为.15.某校高二(1)班参加校数学竞赛,学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求高二(1)班参加校数学竞赛人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在[90,100]之间的概率.专题能力训练19概率一、能力突破训练1.D解析设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.2.B解析因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.3.D解析设在这周能进行决赛为事件A,恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件A3,A4,A5,则A=A3∪A4∪A5.又事件A3,A4,A5两两互斥,则有P(A)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=12+(1-12)×12+(1-12)×(1-12)×12=78.4.C解析直线l的方程为kx-y+2k=0,当直线l与圆C相交时,可得√<1,解得-√33<k<√33,即k∈(-√33,√33).所以所求的概率为2√33=13.5.A解析由题设,S扇形ADE=S扇形CBF=π4×12=π4.又S矩形ABCD=2×1=2,∴该地点无信号的区域面积S=S矩形ABCD-2×π4=2-π2,因此所求事件的概率P=xx矩形xxxx =2-π22=1-π4.6.59解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.7.89解析连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,基本事件总数n=6×6=36, m+n=5包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4个,故m+n≠5的概率是1-436=89.8.0.96解析记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.9.解(1)由样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图可知,其频率分布如下表:由上表可知,如果A市维持现状不变,那么该市2019年的某一天空气质量为一级的概率为0.25,因此在365天中空气质量为一级的天数约有365×0.25≈91(天).(2)在样本中,按照分层抽样的方法抽取6天的PM2.5数据,则这6个数据中二级、三级、四级天气的数据分别有3个、2个、1个,分别记为A1,A2,A3,B1,B2,C.从这6个数据中随机抽取2个,基本事件为{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C},{B1 ,B2},{B1,C},{B2,C},共15个基本事件,事件E为“仅有二级天气”,包含{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共3个基本事件,故所求概率为P(E)=315=15.10.解(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.11.解(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为40100×1000=400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2000元”,则P(C)=125=0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.二、思维提升训练12.B解析1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;满足两球颜色为一白一黑的有6种,概率等于615=25.13.D解析记事件A:甲或乙被录用.从5人中录用3人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件x仅有(丙,丁,戊)一种可能,∴A的对立事件x的概率为P(x)=110,故P(A)=1-P(x)=910.14.0.4解析根据题意,因为1,2,3,4表示下雨,当未来三天恰有一天下雨,就是三个数字xyz中只有一个数字属于集合{1,2,3,4},这20组数据中有以下8个数据符合题意,分别是925,458,683,257,027,488,730,537,所以其概率为820=0.4.15.解(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,所以高二(1)班参加校数学竞赛人数为20.08=25.所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10=0.016.(2)设至少有一人分数在[90,100]之间为事件A.将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2人编号为5,6.在[80,100]之间任取两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),( 5,6),共15个.其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个.根据古典概型概率计算公式,得P(A)=915=35.。

(广西课标版)2020版高考数学二轮复习专题能力训练19 概率文

2020届高三精准培优专练十九法拉第电磁感应定律及其应用(解析版)

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

2020届高三数学精准培优专练十九圆锥曲线综合(理科)教师版

2020届高三例1：已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点P 在椭圆C 上且位于第一象限，点P 在x 轴上的投影为P '，且有OP OP c OP '⋅='u u u u r u u u r u u u u r （其中222c a b =-），AP 的连线与y 轴交于点M ，BM 与PP '的交点N 恰为线段PP '的中点，则椭圆C 的离心率为（） A ．32B ．22C ．23 D ．13【答案】D【解析】设00(,)P x y ，则0(,0)P x '，(1,0)OP OP '='u u u u r u u u u r ，由题意OP OP c OP '⋅='u u u u r u u u r u u u u r ，得P 的横坐标为c ，由22221c y a b +=，得2b y a =±，∴2(,)b P c a， ∵(,0)A a -，(,0)B a ，∴直线PA 的方程为2()()b y x a a ac =++，令0x =，则2b y a c =+，∴2(0,)b M a c +，∴直线BM 的方程为2()()b y x a a a c =--+， ∵直线PP '的方程为x c =，∴点2)(,))((b a c N c a a c -+， ∵N 恰为线段PP '的中点，∴22)2(()b a c b a a c a-⨯=+，整理可得3a c =，则13c e a ==．例2：设1F ，2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（a >0，0b >）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若16PF OP =，则C 的离心率为（）培优点十九圆锥曲线综合一、圆锥曲线综合A B ．2 C D 【答案】C【解析】双曲线2222:1x y C a b-=（a >0，0b >）的一条渐近线方程为b y x a =，∴点2F 到渐近线的距离d b ==，即2PF b =，∴OP a =，2cos bPF O c∠=， ∵1PF =，∴1PF =，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得222121221222cos PF PF F F PF F F PF O =+-⋅∠，∴2222222264224343()ba b c b c c b c c a c =+-⨯⨯⨯=-=--，即223a c =c =，∴ce a=，故选C ．例3：已知定点3(1,)2A -，点M 是抛物线2:4C y x =上的动点，则MA MF （其中F 为抛物线C 的焦点）的最大值为（）A ．2B ．52C D ．3【答案】C【解析】如图，作MN ⊥准线l 于点N ，则1cos MA MA MFMNNMA==∠，设M A 的倾斜角为θ，则22222211sin cos 1cos cos cos k NMA θθθθ+===+∠（AM k k =），当M A 与24y x =相切时，2k 取最大值，由3(1)2:MA l y k x -=+，可得312y x k k=--，代入抛物线24y x =，得234(1)2y y k k=--，即24640y y k k -++=，0Δ=，可得21664(4)0k k -+=，解得2k =-或12k =，故2k 的最大值为4，即22()1MA k MF=+的最大值为5，即MA MF．一、选择题1．已知双曲线22221(,0)x ya ba b-=>的渐近线被圆22(2)4x y-+=截得的弦长等于23，则双曲线两条渐近线相夹所成的锐角为（）A．π6B．π3C．π2D．2π3【答案】B【解析】过圆心(2,0)A作渐近线by xa=的垂线，设垂足为B，由题意知圆心(2,0)A到渐近线的距离431d=-=，则易知π6AOB∠=，所以两渐近线相夹所成的锐角为π3．2．如图，过抛物线22(0)y px p=>的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线l于点C，若2CB BF=u u u r u u u r，6AF=，则抛物线的方程为（）A．2y x=B．23y x=C．26y x=D．29y x=【答案】C【解析】作AM，BN垂直准线l，垂足分别为M，N，2CB BF=u u u r u u u r，即2BC BF=，可得2BC BN=，对点增分集训则30BCN ∠=︒，6AF AM ==，212AC AM ==，所以F 是线段AC 中点，所以1232OF p AM ===，则26y x =．3．已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，椭圆上存在不同两点A ，B 使得122F A F B =u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．1(,1)3B ．1(0,)3C ．1(,1)2D ．1(0,)2【答案】A【解析】极限法：当,A B 重合于右顶点时，有2()a c a c +=-，此时13e =，当13e >时，椭圆越扁，显然存在，故1(,1)3e ∈．或：如图，E 为线段1AF 中点，设(,)A m n ，则(,)22m c nE -，122F A F B =u u u r u u u u r ，可知12F E F B =u u u r u u u u r ，则3(,)22m c n B +，点,A B 在椭圆上，有22221m n a b+=，代入222222691444m cm c n a a b +++=，可得2223cm c a +=，即有2232a c m a c -=<，解得13e >，又01e <<，所以1(,1)3e ∈．4．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中,P M 位于第一象限，则14PM QN+的值不可能为（） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】如图，设PF m =，QF n =，由焦点弦的性质有1121m n p+==，即有mn m n =+，又1PM m =-，1QN n =-，1414454511()1m n m n PM QN m n mn m n +-+=+==+----++， 114(4)()59n mm n m n m n++=++≥，当2n m =时取等号，所以144PM QN+≥，不可能等于3．5．已知两点,A B 在椭圆22163x y +=上，若0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的最小值为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设点A 在第一象限，直线OA 的倾斜角为θ，则(cos ,sin )A OA OA θθ，ππ(cos(),sin())22B OB OB θθ±±，点在椭圆上，则2222cos sin 163OA OA +=θθ，即222cos sin 163OA+=θθ，同理有222sin cos 163OB +=θθ，则2211111632OA OB+=+=，22112OA OBOAOB+≥，所以4OA OB ≥，当2OA OB ==时取等号，此时A ．6．已知点(,0)F c -是的双曲线22221(0)x y C b a a b-=>>：的左焦点，过F 且斜率为1的直线与双曲线的渐近线分别交于点A ，B ，若线段AB 中点为D ，且2FO FD ⋅u u u r u u u r（O 为原点），则双曲线C 的离心率e 等于（） ABCD【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，点A ，B 在渐近线上，即22111122x y x y a b a b=⇒=，同理222222x y a b =，所以2222121222x x y y a b --=，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，则有0022x y a b=，得2020y b a x =，如图，易知点D在第一象限，2πcos 4FO FD c FD ⋅=⋅⋅u u u r u u u r ，得2FD c =，π14AB k AFO =⇒∠=，则1))D c ，所以20202y b a x ===+e =二、填空题7．已知点(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，点A 是原点O 关于直线1x yc b+=的对称点，且AF x ⊥轴，则椭圆E 的离心率等于__________．【解析】由题意可知直线:AF x c =，直线:cAO y x b =，联立得2(,)c A c b ，则线段AO 中点为2(,)22c c B b，则有221122c b+=，即b c =，所以a ，则2e =．8．设1F ，2F 是双曲线C 的左右焦点，过焦点1F 的直线与曲线C 的左支交于点A ，B ，若212AF F F =，且113AF F B =u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为__________．【答案】y =【解析】如图，设12AF =，16BF =，由双曲线的定义知21222a AF AF c =-=-，即1a c =-，212BF BF a -=，则21224BF BF a c =+=+，设D 为线段1AF 中点，则12AF DF ⊥，7BD =，11F D =，由勾股定理得2222222121BF BD DF F F DF -==-，即22(24)49(2)1c c +-=-，解得2c =，11a c =-=，所以b =，渐近线方程为y =．9．已知点F 是抛物线21:4C y x =的焦点，点A ，B 在抛物线C 上，满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，则AOF BOF S S +△△的最小值为．【答案】【解析】知(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2121212121()416OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-u u u r u u u r ，解得128x x =-，1212111()222AOF BOF S S OF x OF x x x +=+=+△△当12x x ==10．已知点1(,0)F c -，2(,0)F c 是离心率32e =的双曲线C 的两个焦点，直线:4340l x y c --= 与双曲线C 交于A ，B 两点，设E ，F 分别是12AF F △，12BF F △的内心，且5EF =，则双曲线C 的标准方程是__________．【答案】2211620x y -=【解析】直线:4340l x y c --=过右焦点2(,0)F c，3423b e a =⇒=<，所以直线l 与双曲线的右支有两个交点，如图，设右顶点D ，EM AB ⊥，1EN AF ⊥，12EH F F ⊥，垂足分别为M ，N ，H ，由双曲线的定义及三角形内心特点，有1212122AF AF NF MF HF HF a -=-=-=，则可得D ，H 重合，同理，12DF F F ⊥，垂足为D ，设直线l 的倾斜角为θ，由题意知4tan 3=θ，π((0,))2θ∈，则2219cos 1tan 25==+θθ，则4sin 5=θ，由角平分线特点知21(π)2EF D θ∠=-， 22FF D ∠=θ，可知2(,()tan )E a c a EF D -∠，2(,()tan )F a c a FF D --∠，5EF =，则22()(tan tan )5c a EF D FF D -∠+∠=，2221tan 1252tan tan tan22sin 2tan2tan 22EF D FF D +∠+∠=+=⨯==θθθθθ，所以2c a -=，又32e =，解得4a =，6c =，b =C 的标准方程是2211620x y -=．三、解答题11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交曲线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为点E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥．（1）求证：点P ，D 关于原点对称；（2）求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2⎫⎪⎪⎣⎭．【解析】设直线0:(0)l x my x m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消x ，得20440y my x --=，得1212044y y m y y x +=⎧⎨=-⎩，（1）设(,0)P P x ，知A ，E ，P 三点共线，又22(,)P PE x x y =--u u u r ，11(,)P PA x x y =-u u u r，则有2121()()0P P x x y y x x -+-=，即2112121201212()4()P x y x y y y y y x x y y y y ++===-++，所以点P ，D 关于原点对称．（2）因为AP BP ⊥，所以1AE k =，即1212122212124()14y y y y y y x x y y ++==⇒-=--，即21212()416y y y y +-=，得2010m x =->，则01,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，d==设t⎛=⎝⎦，则24242td tt t-==-，函数42y tt=-在⎛⎝⎦上递减，所以d⎫∈⎪⎪⎣⎭．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>经过点，离心率e=．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(1,0)作两条相互垂直的直线12,l l，分别与椭圆C交于点,P Q和,M N四点，若,T S分别是线段,PQ MN的中点，判断直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是请说明理由．【答案】（1）22142x y+=；（2）是过定点，定点为2(,0)3．【解析】（1）由题意知2222223214caa ba b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2ab c=⎧⎪⎨==⎪⎩椭圆的标准方程为22142x y+=．（2）当直线PQ，MN的斜率存在且不为0时，设1:(1)l y k x=-，与椭圆方程联立并消去y得2222(12)4240k x k x k+-+-=，设11(,)P x y，22(,)Q x y，则有2122412kx xk+=+，21222412kx xk-=+，线段PQ的中点2222,1212k kTk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，同理可得线段MN的中点222,22kSk k⎛⎫⎪++⎝⎭，当1k=±时，21(,)33T m，21(,)33S±，2:3TSl x=；当1k ≠±时，232(1)TS k k k -=-，则222232:()122(1)12TS k k k l y x k k k -+=-+-+，即232:()2(1)3TS k l y x k -=--，即直线ST 过定点2(,0)3；当直线PQ ，MN 的斜率一个为0一个不存在时，可知直线ST 的方程为0y =，过定点2(,0)3，综上，直线ST 过定点2(,0)3．。

2020届高三数学二轮复习(文理通用)《几何概型》专题训练

2020届高三数学二轮复习（文理）《几何概型》专题训练一．选择题（本大题共12小题）1．已知ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ．4π B ．14π-C ．8π D ．18π-2．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（）A ．37B ．7C ．413D 3．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（） A ．964B ．12C ．164D ．184．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．12B ．2π C ．12π- D ．22π-5．在区间362ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内任取一点x ，使得2≤4sin 2x ≤3的概率是（）A ．316B ．14C ．13D ．46．已知,x y R ∈，且满足22(1)1x y -+≤，则“y x ≥”的概率为（） A ．21π+B ．21π-C ．112π- D ．312π+7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-8．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（） A ．23B ．12C ．13D ．149．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为35，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（） A ．611 B ．511 C ．59 D ．4910．设不等式组{0x y x y y +≤-≥≥所表示的区域为M，函数y =x 轴所围成的区域为N ，若在M 内随机取一个点，则该点也在N 内的概率为（） A ．4π B ．8π C ．16π D ．2π11．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（） A ．78B ．34C ．12D ．1412．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（） A ．4π B ．8π C ．5π D ．10π 二．填空题（本大题共4小题）13．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为____14．已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于的概率为 .15．点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概率是____16．已知在矩形ABCD 中，2AB AD =，现在矩形ABCD 内任意取一点M ，则||||||AD AM AB <<的概率为______.三．解答题（本大题共6小题）17．(1)从区间[1，10]内任意选择一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选择一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.18．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.19．如图，已知AB 是半圆O 的直径， 8AB =， ,,M N P 是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从,,,,A B M N P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S ，求SAB ∆的面积大于20．已知函数()21f x ax bx =-+.(1)若a ，b 都是从集合{}0,1,2,3中任取的一个数，求函数()f x 没有零点的概率； (2)分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(),a b ，若{}13P x x =≤≤，{}04Q x x =≤≤，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率.21．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．22．已知向量a +3b ⃗ 垂直于向量7a −5b ⃗ ，向量a −4b ⃗ 垂直于向量72a b -. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）设1a =，且向量c 满足c 2−4a ⋅c +3=0，求b c -的最小值；（3）在（2）的条件下，随机选择一个向量c7c ≤≤的概率.参考答案一．选择题：本大题共12小题.二．填空题：本大题共4小题． 13．45P =14．14 15．1316．24π 三．解答题：本大题共6小题.17.【解析】（1）∵x 2−6x −16≤0，∴−2⩽x ⩽8，又∵x ∈[1,10]，[]1,8x ∴∈ 故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-．（2）∵ln (x −2)<2，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个，故由古典概型可知，所求概率为712． 18.【解析】可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a =，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤，由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)，所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=；（2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤，由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯.19.【解析】（1）从,,,,A B M N P 这5个点中任取3个点，一共能够组成10个三角形：,,,,,,,,,ABM ABN ABP AMN AMP ANP BMN BMP BNP MNP ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆，其中是直角三角形的只有,,ABM ABN ABP ∆∆∆ 3个，所以组成直角三角形的概率为310．（2）连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD MP ⊥，易求得OD =S 点在线段MP 上时，182ABS S ∆=⨯= 所以只有当S 点落在阴影部分时， SAB ∆面积才能大于而22114448222OMP MOP S S S ππ∆=-=⨯⨯-⨯=-阴影扇形，所以由几何概型的概率公式得SAB ∆的面积大于48282ππππ--=． 20.【解析】(1)因为a ，b 都是从集合{}0,1,2,3中任取的一个数，基本事件总数为4416⨯=个，设“函数()f x 有零点”为事件A . 则①当0a =时， b 取1，2，3，时，函数1y bx =-+均有零点，即()0,1，()0,2，()0,3.②当0a ≠时，则240b a -≥即24b a ≥，1a =时2b =，3b =，2a =时3b =，事件A 包含()0,1，()0,2，()0,3，()1,2，()1,3，()2,3共6个基本事件，所以()63168P A ==. 则没有零点的事件为A ，则()()351188P A P A =-=-=. (2)要使()y f x =单调递增，所以12ba--≤即2a b ≥，(),a b 可看成是平面区域(){},13,04a b a b ≤≤≤≤中的所有点，而满足条件是在平面区域(){},2,13,04a b a b a b ≥≤≤≤≤中的所有点，所以()1242172248A S PB S Ω⨯-⨯⨯===⨯. 21.【解析】以甲船到达泊位的时刻x ，乙船到达泊位的时刻y 分别为坐标轴建立平面直角坐标系，则由题意知：0x≤24≤且0y ≤24≤．设事件A ={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B ={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C ={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A =B +C ，并且事件B 与事件C 是互斥事件．∴()()()()P A P B C P B P C =+=+．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是02x y -≤＜，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是01y x -≤＜，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A 的可能结果由图中的阴影部分表示，则224576S ==正方形．222112424124269.5()2(2)S =----=阴影， ∴由几何概型公式得69.5139()5761152P A ==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为139115222.【解析】（1）因为(a +3b ⃗ )⊥(7a −5b ⃗ ), (a −4b ⃗ )⊥(7a −2b ⃗ ) 故可得(a +3b ⃗ )⋅(7a −5b ⃗ )=0，(a −4b ⃗ )⋅(7a −2b ⃗ )=0 解得7|a |2+16a ⋅b ⃗ −15|b ⃗ |2=0 ① 7|a |2−30a ⋅b⃗ +8|b ⃗ |2=0 ② 由①-②可得46a ⋅b ⃗ =23|b ⃗ |2，解得|b ⃗ |2=2a ⋅b⃗ ，将其代入①可得|b ⃗ |2=|a |2，即|b⃗ |=|a | 将其代入②可得15|a |2=30|a |2cos⟨a ,b ⃗ ⟩ 解得cos⟨a ,b ⃗ ⟩ =12，又向量夹角的范围为[]0,π，故向量a 与b 的夹角为60︒.（2）不妨设()1,0a =，(),c x y =,由c 2−4a ⋅c +3=0 可得2222430(2)1x y x x y +-+=⇒-+=. 不妨设c 的起始点为坐标原点，终点为C.所以，点C 落在以(2,0E )为圆心，1为半径的圆上（如图）.因为b ⃗ −c =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即|b ⃗ −c |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由圆的特点可知|b ⃗ −c |的最小值为1BE -，即：sin 6011OE ⋅︒-=.（3）当|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3时，因为2OE =，1EC =，满足勾股定理，故容易得3OEC π∠=.当|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7时，假设此时C 点落在如图所示的F 点处.如图所示. 因为2,1OE EF ==，由余弦定理容易得222122OE EF OF cos OEF OE EF +-∠==-⋅，故23OEF π∠=.所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.由几何概型的概率计算可知：7c≤的概率即为圆心角CEF∠的弧度除以π，即21 333πππ-=.。

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2020届高三精准培优专练例1：某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是______．例2：在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“121log (121)x -+≤≤”发生的概率为________．例3：在如图所示的扇形AOB 中，π6AOB ∠=，半圆C 切AO 于点D ，与圆弧AB 切于点B ，若随机向扇形AOB 内投一点，则该点落在半圆C 外的概率为（）A ．13B ．23C ．34D ．35例4：圆O 内有一内接正三角形，向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A B ． C ． D ．二、与面积有关的几何概型一、与长度有关的几何概型培优点十九几何概型例5：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，点O为底面ABCD的中心，在正方体1111ABCD A B C D-内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．例7：如图，在矩形ABCD中，AB=1BC=，以A为圆心、1为半径作圆弧DE，点E在线段AB 上，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是（）A．14B．13C．25D．35例8：在Rt ABC△中，30A∠=︒，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM AC>的概率为________．一、选择题1．在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“1sin2x≤”发生的概率为（）对点增分集训四、与角度有关的几何概型的求法三、与体积有关的几何概型的求法A ．13B ．12C ．23D ．342．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，则这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为（）A ．310B ．15C ．25D ．453．安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（）A ．13B ．16C ．19D ．1124．在直角坐标系中，任取n 个满足221x y +≤的点(),x y ，其中满足||||1x y +≤的点有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A ．4mnB ．4n mC ．2mnD ．2n m5．三棱锥P ABC -的侧棱两两垂直，D 为侧棱PA 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上一点，DE ∥平面ABC ，2PF FC =，若从三棱锥P ABC -内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P DEF -内部的概率为（）A ．112B ．18C ．16D ．136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）A ．14B ．13C ．34D ．7167．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1AB =，2AD =，3PC =，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点落在阳马内的概率为（）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π8．函数2()28(46)f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≥的概率是（）A ．310B ．23C ．35D ．459．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A ．3π10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120-10．已知实数[2,30]x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为（）A ．514B ．914C ．59D ．4911．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．413B C ．926D 12．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．2π-B ．4π-C ．πD ．π二、填空题13．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________． 14．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__________．15．中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm，正方形边长为1cm，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______．16．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为______．例1：【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为10101402P+==．例2：【答案】34【解析】由121log(121)x-+≤≤，得21122x≤+≤，得32x≤≤．由几何概型的概率计算公式可得所求概率为3032204P-==-．例3：【答案】A【解析】连接CD，则CD OA⊥，因为π6AOB∠=，所以2OC CD=，设半圆C的半径为r，则扇形AOB的半径为3R r=，半圆C的面积221ππ22rS r=⨯⨯=，扇形AOB的面积为2213ππ124rS R'=⨯⨯=，则所求概率211133SPS=-=-='，故选A．培优点十九几何概型答案例4：【答案】C【解析】由题可得，设正三角形的边长为2，其外接球的直径为22sin 60r ==︒，所以其半径为r =4π3S =，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为4π4π3P ==，故选C ．例5：【答案】π112-【解析】记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，333142π1π23()1212P A -⨯⨯⨯==-．例6：【答案】π14-【解析】鱼缸底面正方形的面积为224=，圆锥底面圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是π14-．例7：【答案】B【解析】连接AC 交圆弧DE 于点M ，在ABC Rt △中，AB =1BC =，所以tan 3BC BAC AB ∠==，即π6BAC ∠=，要使直线AP 与线段BC 有公共点，则点P 必须在圆弧EM 上，于是所求的概率为π16π32P ==．故选B ．例8：【答案】16【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM AC >”．在AB 上取点C '，使AC AC '=，因为ACC '△是等腰三角形，所以71005832ACC ︒-︒∠'==︒，事件D 发生的区域907515D μ=︒-︒=︒，构成事件总的区域90μΩ=︒，所以151()906D P D μμΩ︒==︒=．一、选择题 1．【答案】C【解析】当[0,2π]x Î时，由1sin 2x ≤，得π06x ≤≤或5π2π6x ≤≤，因此所求概率为5ππ26612π3P -=-=．故选C ． 2．【答案】B【解析】因为以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间，所以线段AP 的长度介于5cm 与7cm 之间，满足条件的P 点对应的线段长2cm ，而线段AB 总长为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为21105=，故选B ． 3．【答案】B【解析】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为101606P ==．故选B ． 4．【答案】D【解析】画出可行域，如图所示，四边形ABCD 的面积为2，其中圆O 的面积为π．由几何概型的概率计算公式可得2πm n =，则2πn m=，故选D ．5．【答案】C【解析】因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面PAB ，平面PAB平面ABC AB =，所以DE AB ∥，所以11212236P DEF P ABC V V --=⨯⨯=，即所求概率为16．故选C ． 6．【答案】D【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则所有基本事件构成的区域Ω满足024024x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A ，满足024024||6x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≤⎩，作出对应的平面区域如图所示，则这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为Ω242418187()242416S P A S ⨯-⨯===⨯阴．故选D ．7．【答案】C【解析】根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为PC =，∴3=2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以1412233P ABCD V -=⨯⨯⨯=，343π329π2V ⎛⎫=⨯ ⎪⎝=⎭球， ∴48327ππ92P ==． 8．【答案】C【解析】由题意，知0)(0f x ≥，即200280x x -++≥，解得00{24}|x x -≤≤，所以由几何概型的概率计算公式可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ． 9．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径8151732r +-==，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率为18159π3π211208152P ⨯⨯-==-⨯⨯． 10．【答案】B【解析】已知实数[2,30]x ∈，经过第一次循环，得到21x x =+，2n =；经过第二次循环，得到2(21)1x x =++，3n =；经过第三次循环，得到2[2(21)1]1x x =+++，4n =，输出的值为87x +，令87103x +≥，得12x ≥，由几何概型的概率计算公式，得到输出的x 不小于103的概率为3012930214P -==-，故选B ． 11．【答案】A【解析】在ABD △中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理得AB =，所以DF AB =．故所求概率为2413DEF ABC S P S ===△△．故选A ． 12．【答案】B【解析】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为222211π1πsin π6236S r r r =-⋅⋅=弓形．∴所求的概率为222124(π)64π244r S P S r ===弓形圆．故选B ．二、填空题13．【答案】45【解析】由题意，将5米长的绳子剪为两段，有一段大于3米的概率为51455P -==． 14．【答案】9【解析】根据题意，可设阴影部分的面积为则正方形的面积为36，向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，则落到阴影部分的概率为20018004P ==，而36S P =，则1364S =，解得9S =． 15．【答案】114π-【解析】圆形钱币的半径为2cm ，则圆的面积为24πcm ，正方形边长为1cm ，则正方形的面积为21cm ， ∴在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是114πP =-．16．【解析】如图，设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是2π22π63⨯=，ABC △的面积是1222⨯⨯= 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即2π32π3⨯-=-，=。

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