组合数学题目及答案
组合数学——组合数问题（四类汇总）
组合数学——组合数问题（四类汇总）组合数问题⼀：给定n解决⽅法：杨辉三⾓ 因为a,b范围⾮常⼩，直接利⽤杨辉三⾓打表即可。
代码实现：#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int N = 2010, mod = 1e9+7;int s[N][N];void start(){s[0][0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++)for(int j=1;j<=i;j++)s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",s[a+1][b+1]);}return0;}组合数问题⼆给定n 模板题链接：问题特点：数据组数较多，a,b范围较⼤，且要求对⼀个定值取模。
解决⽅法：乘法逆元 利⽤乘法逆元将a/b mod p转化成a*b-1 mod p。
然后将阶乘与阶乘的逆元分别打表即可。
递推式：① n! = (n-1)! * n② n!-1 = (n-1)!-1 * n p-2②的证明： (n-1)!-1 = (n-1)!p-2 (n-1)!p-2 * n p-2 = n!p-2代码实现：#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 100000+10, mod = 1e9 + 7;int jc[N],ny[N];int qmi(int a,int k,int p){int res=1%p;while(k){if(k&1)res=(ll)res*a%p;a=(ll)a*a%p;k>>=1;}return res;}void start(){jc[0]=1;ny[0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++){jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;ny[i]=(ll)ny[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod;}}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int ans=(ll)jc[a]*ny[b]%mod*ny[a-b]%mod;printf("%d\n",ans%mod);}return0;}组合数问题三给定 模板题链接：问题特点：数据组数较少，a,b范围很⼤，p的值⾮定值。
组合数学第19讲_最不利原则(教师版)A4
组合数学第19讲_最不利原则一．最不利原则考虑最坏的情况．这一原则不仅体现在抽屉原理中，还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常重要．二．利用最值原理解题1．将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变的非常简单，任意取值，特殊化法；2．在黑袋摸球问题中：要求取同色则尽量取一异色，要求取异色则尽量取一同色．重难点：取袜子、筷子中一双、一只要认清，同色、异色要做到心中有数．题模一：基础例1.1.1袋子里有红色的球3个，黄色的球5个，蓝色的球6个，绿色的球8个，那么一次至少拿__________个球，才能保证一定有绿色的球．【答案】15【解析】保证一定有绿色的球，那么最不利的情况下，先拿完红色、黄色、蓝色的球，再+++=个球．拿1个就是绿色的了．所以至少拿356115例1.1.2一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【答案】（1）19个（2）15个【解析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某2种，且这2种的数量最多．红球和黄球显然最多，全都取出共有10818+=个球．此时只要再多取1个球，就保证至少有3种颜色了，因此取19个球即可．（2）要保证取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，并且红色和黄色的其中一种颜色的球都取出．因为要尽可能多取出球，就要选择多的那种球．因此在红色和黄色中，应选择将红色球全部取出．因此最不利的情况是取出所有的蓝色，绿色以及红色球，此时共取出311014++=个球．从而至少要取出15个球，才能保证其中必有红色和黄色球．例1.1.3将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）【答案】（1）13只（2）14只【解析】（1）题目不仅要求有两双袜子，并且这两双的颜色要一样，也就是至少有4只同色的袜子．如果每种袜子都足够多，最不利情况就是：每种颜色都只摸出3只．但现在白色和黑色袜子都不足3只，而红色只有3只．因此最不利情况为：白色，黑色和红色全取出，其他两种颜色各3只，一共有1232312+++⨯=只．因此最少要摸出13只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子．（2）题目不仅要求有两双袜子，并且这两双的颜色还必须不同，则最不利的情况就是：尽可能多地拿出袜子，但是能够配成一双的都是同一种颜色．绿色的袜子最多，所以把绿色的9只袜子全部拿出，这样能配成双的袜子全是绿色的．接下来，在剩下的四种颜色中还能各取1只袜子，共取了91413+⨯=只．因此至少要摸出14只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子．例1.1.4一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？【答案】33张【解析】扑克牌中的两张王牌是不算花色的，所以最不利的情况首先要取出这2张，这时还剩下四种花色各13张．此时问题相当于要求“至少有三种花色的牌都不少于3张”．反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张．”最不利的情况就要使取的牌尽量多，应该将其中两种花色尽量多取（取完为止），剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取13222232⨯+⨯+=张牌．因此至少应该取出33张扑克牌才能保证满足条件．例 1.1.5新春佳节，商场举办抽奖活动．抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32，30，28，26，24张．每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2元钱．奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用11张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型．请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？【答案】146元【解析】考虑最不利原则：如果抽不中15张同色的奖券，最坏情况下可以取到14570⨯=张奖券；如果抽到了15张同色的奖券和另一种颜色的10张同色奖券，，但抽不中11张另一种颜色的同色奖券，最坏情况下可以取到3210472+⨯=张奖券；如果抽到了15张同色的奖券和另一种颜色的11张同色奖券，但抽不中第三种颜色的4张同色奖券，最坏情况下可以取到32303371++⨯=张奖券．综合起来，要想保证可以换到三种模型，至少要买+=张奖券才行，因此至少要146元．72173题模二：进阶例1.2.1将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入布袋中，请问：一次至少要摸出多少只袜子，才能保证一定有颜色相同的两双袜子？【答案】13【解析】最不利情况是白、黑、红拿光，黄、绿各拿3只，此时仍不满足要求，但再取1只即可，故至少需()++⨯+=只．1233113例1.2.2从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？【答案】27【解析】对1到50分组：（1，49）、（2，48）、（3，47）、……、（24，26）、（50）．除最后一组外，每组2个数，且和为50．根据最不利原则，至少要选26127+=个数．例1.2.3从1，2，3，···，23这23个自然数中，至少要选出多少个不同的数，才能保证其中有一个数是5的倍数？【答案】20【解析】1至23中有4个是5的倍数，23419-=个不是5的倍数，故至少要选出+=个数才能保证其中有一个数是5的倍数．19120例1.2.4有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字．其中写0的有1个，写1的有2个，写2的有3个，……，写9的有10个．如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678？（考虑“9”倒过来看是“6”）【答案】48个【解析】根据题意，袋中共有1231055++++=个球．从反面分析，“保证有3个球上面的数字恰好组成678”的反面是“任意3个球上的数字都不会刚好是678”．也就是说这3个球不能同时写了“678”或“789”．则这些球的可能情况有以下几种：①没有7；②没有8；③没有6，9．①不取写有数字7的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出55847-=个球．②不取写有数字8的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出55946-=个球．③不取写有数字6和9的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出--=个球．因为问题的最不利情况是取出最多的球，使得取出的3个球不能同5571038时写了“678”或“789”．比较三种情况取出的球数，可知情况①是最不利情况．因此至少要取出47148+=个球，就能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678．随练1.1盘子里有一些饺子，韭菜味的5个，牛肉味的8个，辣椒味的6个．那么至少吃__________个饺子，才能保证一定能吃到2个口味一样的饺子．【答案】4【解析】一定能吃到2个口味一样的饺子，那么最不利的情况下，每种口味的饺子都吃了⨯+=个饺子．1个，再吃1个就可以了．所以至少吃3114随练1.2布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出_______个球．【答案】21【解析】60÷6=10，有10种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了2个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球,所以答案为2×10+1=21．随练1.3黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起．在黑暗中取出一些筷子．要使得这些筷子能够搭配成两双（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？【答案】7根【解析】“最少有两双”这句话的反面是“最多只有一双”，所以最不利情况是：取出了一双筷子，另外4种颜色的筷子各1根，最多可以取2146+⨯=根．因此最少要取出7根筷子才能保证达到要求．随练1.4一个口袋中装有10种颜色不同的珠子，每种都是100个，要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种珠子至少10个，那么至少要摸出_________个珠子．【答案】273【解析】考虑最不利的情况，即有两种珠子都摸出了100个，剩下的8种珠都再摸出9个，那么接下来只要再随便摸出一个珠子就可以满足条件，所以至少要摸出2100891273⨯+⨯+=个．随练1.5袋子里有4种硬币：金币、银币、铜币、乐币，每种硬币都有很多，那么一次至少拿__________枚，才能保证其中一定有5枚是同一种类型的硬币．【答案】17【解析】一定有5枚是同一种类型的硬币，那么最不利的情况下，每种硬币都拿了4枚，再拿1枚就可以了．所以至少拿44117⨯+=枚．随练1.6一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．那么至少抽出__________张牌，才能保证取出的牌中至少包含2种花色，并且这2种花色的牌至少都有3张．【答案】22【解析】最不利的情况下，先取走王牌，接下来考虑花色，先取完1个花色，其余的花色每种取2张，那么再任取1张，就能保证取出的牌中至少包含2种花色，并且这2种花色的牌至少都有3张．所以至少取21323122++⨯+=张．随练1.7口袋里有10双黑筷子，8双红筷子，7双白筷子，总共50根筷子．至少从中取出多少根筷子，才能保证每种颜色的筷子都至少有1双？【答案】38【解析】最不利的情况是取完两种颜色的筷子，才取到一双第三种颜色的筷子．所以至少从中取出()1082238+⨯+=根筷子，才能保证每种颜色的筷子都至少有1双．随练1.8如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取________根才能保证达到要求．【答案】16【解析】最不利的情况是每种颜色的筷子最多有3根，共3515⨯=根．所以至少取出16根才能保证达到要求．作业1盘子里有一些饺子，韭菜味的5个，牛肉味的8个，辣椒味的6个．那么至少吃__________个饺子，才能保证一定能吃到3个口味一样的饺子．【答案】7【解析】一定能吃到3个口味一样的饺子，那么最不利的情况下，每种口味的饺子都吃了2个，再吃一个就可以了．所以至少吃2317⨯+=个饺子．作业2在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻．请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？【答案】（1）41个（2）21个【解析】（1）要保证拿出的果冻中有牛奶口味的，最坏的情况应该是：拿完了其它口味的果冻，但是始终没有牛奶味的．此时共拿了202040+=个．在这种最不利的情况下，只要再多拿1个，这个果冻必然是牛奶味的因此最少需要拿41个果冻，才能保证一定有牛奶口味的．（2）拿出的果冻至少有两种口味，反面情况是：所有的果冻口味都相同．那么最坏的情况是：把某一种口味的果冻拿完，还没有出现其他的口味，则最多能拿20个．利用最不利原则，至少要拿出20121+=个果冻，才能保证有两种口味．作业3一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．那么至少抽出__________张牌，才能保证取出的牌中至少包含3种花色，并且这3种花色的牌至少都有2张．【答案】31【解析】最不利的情况下，先取走王牌，接下来考虑花色，先取完2个花色，剩下的花色每种取1张，那么再任取一张就能保证包含3种花色，并且这3种花色的牌至少都有2 +⨯+⨯+=张．张．所以至少抽出213212131作业4一副扑克牌有大小王各一张，还有四种花色，每种花色有13张，分别是1到13，从中任意抽牌：（1）最少要抽______张牌，才能保证有4张牌是同一花色的；（2）至少抽______张牌才能保证有4张牌是同样的大小；（3）至少抽______张牌，才能保证有3张牌的数字是连续的．（改自2013年8月26考试真题）【答案】（1）15（2）42（3）39【解析】（1）最不利情况是抽了大小王，每种花色各抽了3张，此时再抽1张即可，共+⨯+=张．234115（2）最不利情况是抽了大小王，每种大小各抽了3张，此时再抽1张即可，共+⨯+=张．2313142（3）最不利情况是抽了大小王，大小为1、2、4、5、7、8、10、11、13的全被取走，此时再抽1张即可，共249139+⨯+=张．作业5四年级一班选班长，每人投票从甲、乙、丙三位侯选人中选一人，已知全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票，如果得票最多的侯选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选（）．A．1张B．2张C．4张D．8张【答案】C【解析】还有521716118---=票未统计，甲再得4票即可．作业6羊村小学四年级进行一次数学测验，测验共有10道题．如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒都是恰好答对8道题，那么他们四人都答对的题至少有__________道．【答案】2【解析】每人错两题，按照最不利原则，错的题各不同，则四个人共错8题，还有108=2-题是没人错的．作业7在箱子中有3种颜色的袜子各10只，问：（1）至少取多少只才能保证三种颜色都有？（2）至少取多少只才能保证有2双颜色不同的袜子？（3）至少取多少只才能保证有2双颜色相同的袜子？【答案】（1）21（2）13（3）10【解析】（1）最不利情况是有2种全拿光，这时再拿1只即可，故至少取102121⨯+=只．（2）最不利情况是1种拿光，另2种各拿1只，这时再拿1只即可，故至少取()+++=只．1011113（3）最不利情况是每种拿2213⨯+=只．⨯-=只，这时再拿1只即可，故至少取33110。
(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。
公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。
（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；r n C 记为C （n,r ）。
加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。
数学广角-排列问题
进阶练习题
• 题目：在所有的三位数中，满足其数字和等于12的三位数 共有多少个？
进阶练习题
答案：10个
解析：对于三位数ABC（百位、十位、个位），若其数字和等于12，则A+B+C=12。由于A不能为0，且每个位上数字不能重复， 因此A有9种可能（1~9），B有9种可能（0~9，且不能与A相同），C有8种可能（0~9，且不能与A和B相同）。因此共有 9×9×8=648个三位数满足条件。但需要注意的是，有些数字如110和101被重复计算了，因此需要减去这些重复计算的数字。最 终结果为648-2=646个。
在概率论中的应用
概率论中的排列问题
概率论中经常涉及到排列问题，尤其是在计算事件发生的可能性 时，需要考虑事件的排列方式。
排列与概率的关系
排列问题在概率论中扮演着重要的角色，它帮助我们理解随机事件 的内在规律，从而更好地预测和解释现实世界中的现象。
排列问题的实际应用
在概率论中，排列问题被广泛应用于解决各种实际问题，如彩票中 奖概率计算、股票市场预测等。
重复排列
在排列问题中，如果允许元素重复使 用，则称为重复排列。例如，对于数 字1、1、2和2，其重复排列有1122、 1212、2112等。
计算方法
对于n个不同的元素和m个相同的元素， 其重复排列的数量为(mn)! / m!。
排列与组合的关系
排列与组合的关系
在数学中，排列和组合是两个密切相关的概念。简单来说，排列是从n个不同的元素中取出m个元素进行有序的 排列，而组合则是从n个不同的元素中取出m个元素进行无序的组合。
计算方法
排列的计算公式为A(n, m) = n! / (n-m)!，组合的计算公式为C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]。
排列的应用题
排列的应用题排列是组合数学中的一个重要概念，在很多现实生活中都能找到排列的应用。
本文将通过几个具体的例题，来探讨排列在实际中的应用。
1. 队伍的排列某公司举行庆典活动，员工们参加游行队伍。
有10个员工，其中3个为主管，其余为普通员工。
每个人在游行中有一个特定的位置。
现在需要确定队伍排列的方式，并计算出可能的排列数量。
解析：这是一个典型的队伍排列问题。
首先，我们需要确定3个主管的位置。
由于主管之间没有顺序之分，所以可以使用组合数来计算：C(10,3) = 120。
确定了主管的位置后，剩下的7个普通员工位置可以任意排列，所以剩下的排列数量为7! = 5040。
因此，可能的排列数量为120 × 5040 = 604,800。
2. 字母的排列有一个由6个不同字母组成的字符串，要求将这6个字母排列成一个新的字符串，使得其中的3个字母相邻。
请计算共有多少种排列方式。
解析：这是一个字母的排列问题，但是要求其中的3个字母相邻。
首先，选择3个字母作为相邻的字母，共有C(6,3) = 20种可能。
然后将这3个字母看作一个整体，剩下的3个字母可以任意排列，所以剩下的排列数量为3! = 6。
因此，共有20 × 6 = 120种排列方式。
3. 座位的排列某班级有10个学生，他们要按照一定的条件坐在一张圆桌周围的10个位置上。
其中，两个好朋友A和B不能相邻坐，且学生C必须与学生D相邻坐。
请计算共有多少种满足条件的座位排列方式。
解析：这是一个座位的排列问题，但是有一些限制条件。
首先，我们需要确定学生C与学生D的位置，共有2种可能：C坐在D的左边或右边。
然后，选择两个位置给好朋友A和B，共有8 × 7 = 56种可能（考虑圆桌的对称性）。
剩下的6个学生可以任意排列，所以剩下的排列数量为6! = 720。
因此，共有2 × 56 × 720 = 80,640种满足条件的座位排列方式。
组合数学
组合数学一．前言我们已经在数学课上学习了有关排列与组合的一些知识。
实际上，这些只是组合数学这一数学大家庭中的沧海一粟。
广义的组合数学等价于整个离散数学，囊括了离散计数、图论、整数规划等等繁杂且深奥的内容。
组合数学来源于实际，不少的讨论引人入胜，也有不少的讨论让人抓狂。
本文将结合部分我们做过的数学作业中的题目，对他们进行深入讨论，并给出更通用更简便的解法，并推及一般。
二．基础知识1．一一对应生活中有许多有关“一一对应”的例子：“一个萝卜一个坑”，立方烷的二氯代物同分异构体数等于立方烷的六氯代物同分异构体数。
一一对应是对于两个集合而言的。
如果两个集合构成了一一对应关系，那么这两个集合的元素数量一定相等。
这是一一对应最基本的性质。
一般的，若满足性质α的集合A 与满足性质β的集合B 构成一一对应关系，则一定有：∀a ∈A ,∃!b ∈B ,a →b∀b ∈B ,∃!a ∈A ,b →a其中∃!的含义为“存在唯一的”。
上面的两个关系式为使A 和B 一一对应的充要条件。
我们知道组合数的一个性质：C n +m m =C n +m n ，下面我们用一一对应的观点解释这一性质。
有(n+m)个人排成一队，选取m 个人向前一步，并将行从前向后编号1和2，这所有的情况构成集合A 。
同样的，选取n 个人向前一步，并将行从前向后编号1和2，这所有的情况构成集合B 。
对于A 中的任何一种情况，将行编号调换，一定可以得到一个B 中的元素；同样的，对于B 中的任何一种情况，将行编号调换，一定可以得到一个A 中的元素。
所以集合A 与集合B 构成了一一对应关系。
那么A 的元素数量一定等于B 的元素数量。
一一对应是计数问题的一个利器。
它可以将较难的计数问题转化为另一个较简单的计数问题。
使用一一对应时，一定要确定两个对象满足了上述的两个要求。
2．组合的几何意义1）组合的几何意义C n +m m 表示在一个n 行m 列的方格图中，从左下角走到右上角，期间只能向上或向右走的方案数。
小熊抱手作益智烧脑题
小熊抱手作益智烧脑题1.今天我们要来解决一些小熊抱手作益智烧脑题，这些题目既能锻炼我们的大脑，又能激发我们的思维能力。
2.第一道题目是：小熊抱手的个数。
请问，如果有10只小熊，每只小熊都和其他9只小熊抱手一次，那么一共有多少次抱手动作发生？3.解答：我们可以用组合数学来解决这个问题。
因为每只小熊都会和其他9只小熊抱手一次，所以抱手的总次数是每只小熊和其他小熊抱手次数的总和。
根据组合数学的知识，n只小熊两两抱手的次数可以表示为C(n,2)。
4.C(n,2)表示的是从n个元素中选出2个元素的组合数，计算公式是：C(n,2) = n*(n-1)/2。
所以，我们可以得到，10只小熊两两抱手的总次数是10*(10-1)/2=45次。
5.第二道题目是：小熊排队的可能性。
现在有5只小熊，它们要排成一列，每只小熊的颜色不一样，那么一共有多少种不同的排列方式？6.解答：这是一个排列组合的问题。
因为小熊的颜色不一样，我们可以将它们看作是不同的元素。
所以，这个问题可以转化为求解5个不同元素的排列数。
7.根据排列数的计算公式，我们可以得到，5个不同元素的排列数是5! = 5*4*3*2*1 = 120。
所以，一共有120种不同的排列方式。
8.第三道题目是：小熊的消失之谜。
现在有一群小熊，其中一只小熊是魔法师，它会在一瞬间消失，然后再次出现在原地。
请问，如果有7只小熊，那么魔法师小熊一共会出现多少次？9.解答：魔法师小熊一共会出现7次。
因为无论魔法师小熊消失多少次，最终它都会再次出现在原地，所以它的出现次数和其他小熊是一样的，都是7次。
10.以上就是我为大家提供的小熊抱手作益智烧脑题答案。
希望这些题目能够锻炼你的思维能力，让你更加灵活和敏捷地解决问题。
希望你能够喜欢这些题目，也欢迎大家继续关注我的文档，我将会为大家带来更多有趣的题目和解答。
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鸽笼原理题目和解析答案
鸽笼原理题目和解析答案
鸽笼原理是组合数学中的一个基本原理，也被称为鸽巢原理或鸽舍原理。
它是由鸽巢问题推导而来，用于解决计数问题中的分配原理。
本文将围绕鸽笼原理的题目和解析答案展开讨论。
一、题目
假设有10只鸽子，但只有7个鸽舍可以供它们栖息。
那么至少有几只鸽子会被安排在同一个鸽舍里？请根据鸽笼原理给出解析答案。
二、解析答案
根据题目描述，我们可以将鸽子数量设为n，鸽舍数量设为m。
根据鸽笼原理的表述，当n个鸽子被分配到m个鸽舍时，至少有一个鸽舍中会有⌈n/m⌉只鸽子。
应用到题目中，我们有10只鸽子和7个鸽舍。
按照鸽笼原理，至少有一只鸽舍中会有⌈10/7⌉=2只鸽子。
即至少有2只鸽子会被安排在同一个鸽舍里。
三、总结
鸽笼原理是一种非常有用且直观的计数原理，用于解决分配问题。
它的表述简洁明了，符合直觉。
在解题时，我们可以根据具体的题目描述将鸽子数量和鸽舍数量转化为n和m，并应用鸽笼原理的公式
⌈n/m⌉，得出最终的解析答案。
通过以上对鸽笼原理的题目和解析答案的讨论，我们加深了对鸽笼
原理的理解，并掌握了如何运用鸽笼原理解决实际问题。
同时，我们
也了解了在组合数学中，鸽笼原理的重要性和应用广泛性。
在解决计
数问题时，我们可以充分发挥鸽笼原理的作用，提升问题的解决效率。
组合数学第23讲_构造论证初步(教师版)A4
【答案】26
【解析】图中共五个正方形，而将周围四个正方形数字和相加，减去中间正方形的数字和，结果正好相当于把12个圈上的数都只被算了一次，所以 ，所以K=26．
随练1.2将1，2，3，4，5，6随意填入图的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是___________．
（2）能否将1、2、3、4、 、11、12分成四组，使得每组三个数的和相等？
【答案】（1）能，如：(1，6，8)，(3，5，7)，(2，4，9)（2）不能，总和不是4的倍数
【解析】（1）每组的和是 ，很容易联想到三阶幻方：
任取三行或三列就是答案，如（8，1，6），（3，5，7），（4，9，2）．
（2）因为 ，78不是4的倍数，所以不能．
例1.1.5有16张卡片，黑、白各8张，分别写着数字1~8，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样摆成四行，排列规则如下：每行中从左到右按从小到大的顺序排列，黑，白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边．已知每行4张卡片上的4个数之和都相等，左下角是2，右上角是7．请问，图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是___________．
【答案】1478
【解析】 ∴每一行的和为 ． ，
∵黑1一定放在第1列， ，白8一定在第4列， ；
（1） 则 或
（2）若黑8一定在 或 处，若黑8不在 处，则 ≤6，即 ≥10，∵ ≤ ．
∴ ，则 且 ，与第一行矛盾，∴ ， ．
（3）∵第二行 ，且 ．
∴ ， ， ， 只能为3，4，5，6．
（4）由（3）与 ，得 ， ．
《组合与组合数公式》课件
进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ？
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组，其中某个人 必须被选中，有多少种不 同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外，组合数还具有递推 关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,
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组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
则存在h 和k ，k > h ，使得ah+1+…+ ak= 39证 令Sj= ，j =1 , 2 , …,100。
显然 ∑=ji i a 1∑=hi i a 1S1<S2<…<S100，且S100= (a1+ …+a10)+ (a11+ …+a20)+…+ (a91+ …+a100)根据假定有S100≤10×16 = 160作序列S1, S2, …, S100, S1+39, …, S100+39.共200项．其中最大项S100+39≤160+39由鸽巢原理，必有两项相等．而且必是前段中某项与后段中某项相等．设Sk= Sh+ 39，k>h Sk－Sh=39 即ah+1+ ah+2+…+ ak= 39例：1) 求小于10000且的含1的正整数的个数2) 求小于10000的含0的正整数的个数解：1) 小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2) 上述方法不可直接套用来计算“含0”数的个数。
0019“含1”但“不含0”。
不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(95－1)/(9－1)=7380个含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个多重集(Multiset)：元素可以重复出现的集合。
如：Ｍ={a,a,a,b,c,c,d,d,d,d}，也可简记为：M={3·a, 1·b, 2·c, 4·d}元素也可重复出现无穷次，如无穷个a记为：∞·a例1000到9999 之间有多少个奇数，其各位数字互不相同？答案：5×8×8×7=2240例用数字1，1，1，3，8可以构造多少个不同的5位数？如果用1，1，1，3，3呢？答案：5×4=20 (5,2)=10定义：设r为正整数，从n个不同的元素的集合S中，取r个元素按次序排成一行，称为S 的一个r-排列。
例S={a,b,c}，则S有3个1-排列：a，b，c6个2-排列：ab，ac，ba，bc，ca，cb6个3-排列：abc，acb，bac，bca，cab，cban元素集的r-排列数记为P(n,r)。
若r>n，则P(n,r)=0。
n元素集S的n-排列简称为S的排列或n个元素的排列（全排列）定义n!=n×(n-1)×…×2×10!=1故P(n,r )= n!/(n-r)!P(n,0)=1P(n,n )= n!/0!=n!例将26个英语字母按任意次序排成一行，不允许a、e、i、o、u五个元音中任意两个相邻，有多少种排法？答案：21! ×P(22,5)例从{1,2,… ,9} 中任意取7个不同的数字排成一行，不允许5和6相邻，可以组成多少个不同的7位数？答案：P(9,7)-2×6×P(7,5) = 151,200例10个人围圆桌入座，其中两人希望不坐在一起，有多少种方案？答案：9！-2×8！例5对夫妇出席一宴会，围一圆桌坐下，试问有几种不同的方案？若要求每对夫妇相邻又有多少种方案。
答案：9 ！=36288025×4 ！=32×24=768例20个不同颜色的珠子串成一条项链，可以串成多少种不同的项链？答案：19!/2设r为一非负整数，从具有n个不同元素的集合S中，取r个元素而不考虑其次序，称为S的一个r-组合，即S的一个r元素子集。
例如：若S={a,b,c,d}，则S有1个0-组合：4个1-组合：{a}，{b}，{c}，{d}6个2-组合：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}4个3-组合：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}1个4-组合：{a,b,c,d}例设总共有15名同学选了数学课，但每次只有12名同学到课，教室里有25个座位，数学老师能看到学生们有多少种可能的座位坐法？答案：C(15,12)×P(25,12)例如果每个单词可以有3个或4个元音，字母可以重复使用，用26个英文字母可以构造出多少个8个字母的单词？答案：C(8,3)×53×215 +C(8,4)×54×214例求不多于四位的三进制数的个数。
解：这个问题相当于多重集{∞·0,∞·1,∞·2}的4-排列问题，由定理3.4.1，所求的三进制数的个数N=34=81。
例用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？解所求的标志数是多重集{2·红旗,3·黄旗}的排列数N, 由定理N=5!/(2!3!)=10例MISSISSIPPI这个单词里的所有字母可以组成多少不同的排列？答案：11!/(1!4!4!2!)定义设S是多重集，S的含有r个元素的子多重集就叫做S的r-组合。
例如：S={2·a,1·b,3·c}，S的2-组合有5个，它们是{a,a},{a,b},{a,c},{b,c},{c,c}定理3.5.1设多重集S={∞·a1, ∞·a2,…, ∞·ak}，则S的r-组合数是C(r+k-1,r)。
从k种元素中取允许重复的r-组合的典型模型是：取r个相同的球，放进k个不同的盒子里，而每个盒子中的球数不加限制，允许重复的组合数即其放法方案数。
该数为C(r+k-1,k-1) =C(r+k-1,r)从a,b,c 3种元素中取2个元素的多重组合，相当于将2个相同的球放人3个不同的盒中，每盒可多于一个球的方案。
多重组合与球放入盒子的方案的对照：例从为数众多的一角币、二角币、五角币和一元币中选取六枚有多少种方法？解这里有4种不同的币值,每种币都可无限重复,因此本问题是多重集S={∞·1角,∞·2角,∞·5角,∞·1元}的6-组合，故从中选出6枚的方法种数为：C(4+6-1,6)=C(9,6)=84例试问(x+y+z)4展开后有多少项？解：这个问题相当于从3种元素中取可重复4-组合，或4个相同的球放进3个不同的盒子里，其组合数为：C(3+4-1,4)=C(6,4)=15即：(x+y+z)4共15项。
推论设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}，且对一切i=1,2,…,k有ni≥r，则S的r-组合数是C(r+k-1,r)。
推论设多重集S={∞·a1, ∞·a2,…, ∞·ak}，r≥k，则S中每个元素至少取一个的r-组合数为C(r-k+k-1,k-1)=C(r-1,k-1)。
推论r个相同的球放到k个有标志的盒子中，不允许有空盒，共有C(r-1,k-1)种方案。
例有一电冰箱厂生产15种电冰箱，将其装入集装箱销往外地，每个集装箱可装18台电冰箱，要求每个集装箱内各种电冰箱至少一台，问可能有多少种不同的集装箱装法？答案：k=15,r=18N=C(18-1,15-1)=C(17,14)=680例设多重集S={10·a,10·b,10·c,10·d} ，要求每种元素在组合中至少出现一次，求S的满足此条件的10 组合的数目。
解方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解的个数即为所求。
用变量代换y1=x1-1，y2=x2-1，y3=x3-1，y4=x4-1，变换成求y1+y2+y3+y4=6的非负整数解的个数。