工程数学 赫姆霍兹定理

1.7 赫姆霍兹定理
实际工程中，如何唯一确定一个场？ 实际工程中，如何唯一确定一个场？ 1、标量场
标量场由其梯度(矢量)场和边界唯一确定。 标量场由其梯度(矢量)场和边界唯一确定。
CQU
∇u ( r ) = F ( r )
则：
u ( r ) = ∫ ∇ u ( r ) ⋅ dl = ∫ F ( r ) ⋅ dl
∫ (∇ × F ) ⋅ dS = ∫ F ⋅ dl =0
S 1
即在定义域内无旋场沿任意闭合路径 的环量恒为零 即在定义域内无旋场沿任意闭合路径l的环量恒为零，可见无旋 沿任意闭合路径 的环量恒为零， 场就是守恒场 守恒场。 场就是守恒场。
1.7 赫姆霍兹定理
无旋场的线积分与积分路径无关， 无旋场的线积分与积分路径无关，仅与线积分起点和终点的 位置有关。 位置有关。 由图中P、 两点间的两条路径 两点间的两条路径PnQ和PmQ，构成回路 由图中 、Q两点间的两条路径 和 ， PnQmP，其上 的环量可以写成 ，其上F(r)的环量可以写成 的环量
（2） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量 ） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r) ，可 以分解为无旋的F 两个部分， 以分解为无旋的 i(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即 F(r) = Fi(r) + Fs(r) 设矢量场F(r)的旋度和散度分别为 的旋度和散度分别为 设矢量场
P0 P0
P
P
2、矢量场的类型
无旋场、无散场、调和场和 无旋场、无散场、调和场和一般矢量场
1.7 赫姆霍兹定理
（1）无旋场
CQU
∇×F = 0
旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。 旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产 生的，静电场是其一例。 生的，静电场是其一例。 由斯托克斯定理有
S
S面上 相等 面上φ相等 面上
= ϕ ∫ ∇ϕ ⋅ dS = ϕ ∫ ∇ 2ϕ dV = 0
V
故同样得到 由于 ∇ϕ 即
2
∫
V
| ∇ϕ |2 dV = 0
的非负性， 的非负性，
∫
V
| ∇ ϕ |2 d V = 0
意味着 ∇ϕ = 0， ，
− F ∗ = F2 − F1 = 0 或 F1 = F2
1.7 赫姆霍兹定理
∇ × F (r ) = c (r )
CQU
和
∇ ⋅ F ( r ) = b( r )
可得
∇ × Fi (r ) = 0 ∇ × Fi (r ) = b
∇ × FS (r ) = c (r ) ∇ × FS (r ) = 0
引入 ϕ (r ) 和 A(r ) 分别满足 Fi = −∇ϕ 和 FS = ∇ × A ， 因此， 因此，一般矢量场可用 ϕ (r ) 和 A(r ) 表示为
F * = F1 − F2
F1 ( r )
1.7 赫姆霍兹定理
在V 内，有
∇ × F * = ∇ × F1 − ∇ × F2 = 0
∇ ⋅ F * = ∇ ⋅ F1 − ∇ ⋅ F2 = 0
CQU
在边界S上 在边界 上，则有
∗ Fn∗ |S = F1n |S − F2 n |S = 0 或 Ft |S = F1t |S − F2t |S = 0
1.7 赫姆霍兹定理
（2）无散场
散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡 散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡 源产生的，恒定磁场即是一例。 产生的，恒定磁场即是一例。
∇⋅F = 0
CQU
由高斯散度定理，有 高斯散度定理，
∫
V
( ∇ ⋅ F )d V =
∫
S
F ⋅ dS =0
CQU
∫
S
(ϕ ∇ϕ ) ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ (ϕ ∇ϕ )dV
V
∫
S
ϕ
∂ϕ dS = ∫ (ϕ∇2ϕ +∇ϕ ⋅∇ϕ)dV V ∂n
∂ϕ dS = ∫ | ∇ϕ |2 dV V ∂n
∫
S
ϕ
根据条件① 根据条件① ，可得
∫
V
| ∇ ϕ |2 d V = 0
CQU
对于条件② 对于条件② ，因
∂ϕ ∂ϕ ∫S ϕ ∂ n dS = ϕ ∫S ∂ n dS
上的净通量恒等于零。 即无散场在任意闭面S上的净通量恒等于零。
CQU
由 ∇ ⋅ F = 0 ∇ ⋅ (∇ × A ) = 0 令
F = ∇× A
可定义一个矢量位函数 A(r) (1.7.3)
可得无散场的二阶偏微分方程
∇ × F (r ) = c (r )
∇ × ∇ × A = c (r )
称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是： 称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是： 矢量场的旋度旋度方程 先解这个旋度旋度方程可得A(r)的通解，在一定附加条件下 的通解， 先解这个旋度旋度方程可得 的通解 可得到特解，再按(1.7.3) 式求出无散场F(r). 可得到特解，再按(1.7.3) 式求出无散场 .
Q
CQU
∫
PnQmp
F ⋅ dl = ∫
PnQ
F ⋅ dl + ∫
QmP
F ⋅ dl F ⋅ dl = 0
P
m
路径
PmQ
即
∫
PmQ
F ⋅ dl = ∫
PmQ
F ⋅ dl
1.7 赫姆霍兹定理
由 ∇ × F = 0 ∇× (∇f ) = 0 可以定义一个标量场 ϕ ( r )
1.7 赫姆霍兹定理
（3）调和场
在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然， 在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然，调和场的 场源是在定义域之外。恒定电场即是一例 即是一例。 场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。 由无旋性 ∇× F = 0 ，引入标量位函数 F (r ) = −∇ϕ(r ) 再由 ∇⋅ F (r ) = 0 ，可得 ∇2ϕ = 0 调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。 调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程 （4）一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量 一般矢量场的旋度和散度均不为零。 源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、 源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、 无散场以及调和场都是它的特例。 无散场以及调和场都是它的特例。
由 ∇ × F * = 0 可引入标量函数ϕ (r)
F ∗ = −∇ϕ
且有 ∇2ϕ = 0 (在V 内） 在
(−∇ϕ ) n
S
=−
=−
∂ϕ ∂n
∂ϕ ∂t
=0
S
①
S为φ的等值面 为 的等值面
或
(−∇ϕ ) t
S
=0
S
②
1.7 赫姆霍兹定理
应用格林第一公式，并考虑到在V 对矢量函数ϕ∇ϕ 应用格林第一公式，并考虑到在 内有 ∇2ϕ = 0， ，
CQU
F (r ) = −∇ϕ (r )
(1.7.1)
负号意指某点 负号意指某点 F (r ) 的方向为该处 ϕ (r ) 取得最大减小率 的方向。 的方向。 令 ∇ ⋅ F ( r ) = b( r ) 得 ϕ ( r ) 的微分方程
∇2ϕ = −b
(1.7.2)
这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。 这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。 泊松方程 在一定附加条件下（边界条件） 的解， 在一定附加条件下（边界条件），由上式可求得ϕ(r)的解， 的解 再按(1.7.1)式解得 式解得F(r)，这是求解无旋场的基本方法。 再按 式解得 ，这是求解无旋场的基本方法。
F (r ) = −∇ϕ (r ) + ∇ × A(r )
1.7 赫姆霍兹定理
已知 矢量F 矢量 的通量源密度 矢量F 矢量 的旋度源密度 场域边界条件 电荷密度
在电磁场中
CQU
（矢量F 唯一地确定） 矢量 唯一地确定）
F (r ) = −∇u (r ) + ∇ × A(r )
ρ
电流密度 J 场域边界条件
CQU
1.7 赫姆霍兹定理
3、赫姆霍兹定理
CQU
赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。 赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。 矢量场的唯一性定理 (1)唯一性定理： (1)唯一性定理： 唯一性定理 在闭面S 所包围的有限区域(单连域或多连域) 在闭面 所包围的有限区域(单连域或多连域)V 内 ，若给 定了矢量场的旋度 散度， 旋度和 定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界 S 上 内是唯一确定的。 的法向分量 Fn 或切向分量 Ft ，则 V 内是唯一确定的。 用反证法证明， 用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个 然后再论证这两个矢量场是相同的， 和 F2 (r ) ，然后再论证这两个矢量场是相同的， 即 F1 (r ) = F2 (r )。令