专题6数列第47练数列中的易错题理(含解析)-高考一轮复习资料

第47练 数列中的易错题
1．数列{an}中，a1＝0，an＋1－an＝1n＋n＋1，an＝9，则n＝________.
2．设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1>0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为________．
3．已知数列{an}为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的
n
的最大值为________．
4．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a2n，a2n－1)(n∈N*，n≥2)在直线x－9y＝
0上，则数列{an}的前n项和Sn为________．
5．已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为
________．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2，若数列{bn}满足bn＝10－log2an，则使
数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为________．
7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为
________．
8．已知{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.
9．数列{an}的前n项和为Sn＝n2，若bn＝(n－10)an，则数列{bn}的最小项为________．

10．定义：在数列{an}中，若满足an＋2an＋1－an＋1an＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”，

已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则a2018a2016＝________.
11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________项．
12．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7，若
ama
m
＋1

a
m
＋2

为数列{an}中的项，则所有的正整数m的取值集合为________．

13．已知数列{an}满足a1＝3，且对任意的m，n∈N*，都有an＋mam＝an，若数列{bn}满足bn＝log
3
a

2

n

＋1，则数列1bnbn＋2的前n项和Tn的取值范围是________．
14．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝n2＋3n，则a12＋a23＋…＋ann＋1＝
________.
15．已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝3·2n－1，n∈N*.设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式
Sn>kan－1对任意的n∈N*恒成立，则实数k
的取值范围为____________．

16．设f′(x)是函数f(x)的导数，若f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解
x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x
)的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对

称中心，且拐点就是对称中心．设f(x)＝13x3－2x2＋83x＋2，数列{an}的通项公式为an＝n－
1008，则∑2019i＝1f(ai)＝__________.

答案精析
1．100 2.S25 3.19 4.3n－1 5.410－13
6．9或10 7.8 8.67 9.第5项
10．4×20162－1
解析 由题意可得，a3a2＝3，a2a1＝1，
则a3a2－a2a1＝2，
结合“等差比数列”的定义可知数列an＋1an是首项为1，公差为2的等差数列，
则an＋1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
据此有a2018a2017＝2×2017－1＝2×2016＋1，
a
2017

a
2016

＝2×2016－1，

a2018a2016＝a2018a2017×a
2017

a
2016

＝4×20162－1.

11．2018
解析 由已知得1an＋1＝1an＋12，
所以1an是以1a1＝1为首项，
d
＝12为公差的等差数列，

所以1an＝1＋12(n－1)＝n＋12，
所以an＝2n＋1，令an＝2n＋1＝22019，
解得n＝2018.
12．{2}
解析 由a22＋a23＝a24＋a25，
得2a1＋5d＝0，
由S7＝7得a1＋3d＝1，
联立解得a1＝－5，d＝2，
所以an＝2n－7，
am·am＋1am＋2＝m－m
－2m－3＝2n－7，令b＝2m－3，得到b－6＋8

b
＝2n－7，

所以8b为偶数且b≥－1且b为奇数，故b＝－1或b＝1，进而得到m＝1或m＝2，当m＝1时，
n
不为正整数，舍去，

故m＝2.
13.121，215
解析 由题意m，n∈N*，都有an＋mam＝an，
令m＝1，可得：an＋1an＝a1＝3＝q，
可得an＝3n，
∵bn＝log3a2n＋1，∴bn＝2n＋1，

那么数列1bnbn＋2的通项
c
n
＝1n＋n＋

＝1412n＋1－12n＋5.
则Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝14 13－17＋15－19＋17－ 111＋…＋12n－1－12n＋3＋12n＋1－12n＋5
＝1413＋15－12n＋3－12n＋5
＝14815－12n＋3－12n＋5<215，
当n＝1时，可得T1＝121，
故得Tn的取值范围为121，215.
14．2n2＋6n
解析 由a1＋a2＋…＋an＝n2＋3n，可得a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2＋3(n－
1)(n≥2)，两式相减可得an＝2n＋2(n≥2)，当n＝1时，a1＝12＋3×1＝4＝2×1＋2，满
足an＝2n＋2，所以an＝2n＋2(n∈N*)，则an＝(2n＋2)2＝4(n＋1)2，故ann＋1＝n＋2n＋1＝
4n＋4，易知数列ann＋1是首项为a12＝8，公差为4的等差数列，则a12＋a23＋…＋ann＋1＝
n＋4n
＋

2
＝2n2＋6n.

15．(－∞，2)
解析 设数列{an}的首项为a1，公比为q，
则由an＋1＋an＝3·2n－1，
可得a2＋a1＝3，a3＋a2＝6，
所以q＝a3＋a2a2＋a1＝2，
所以2a1＋a1＝3，即a1＝1，
所以an＝2n－1，Sn＝1－2n1－2＝2n－1.
因为不等式Sn>kan－1对任意的n∈N*恒成立，
即2n－1>k·2n－1－1，解得k<2.
故实数k的取值范围为(－∞，2)．
16．4038
解析 根据题意，三次函数f(x)＝13x3－2x2＋83x＋2，
则f′(x)＝x2－4x＋83，
则f″(x)＝2x－4，若f″(x)＝2x－4＝0，则x＝2，
又由f(x)＝13x3－2x2＋83x＋2，
则f(2)＝2，
即点(2,2)是三次函数f(x)＝13x3－2x2＋83x＋2的对称中心，
则有f(x)＋f(4－x)＝4，
数列{an}的通项公式为an＝n－1008，为等差数列，则有a1＋a2019＝a2＋a2018＝…＝2a1010＝4，

则∑2019i＝1f(ai)＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2018)＋f(a2019)
＝f(a1)＋f(a2019)＋f(a2)＋f(a2018)＋…＋f(a1009)＋f(a1011)＋f(a1010)
＝4×1009＋2＝4038.