一 、椭圆的参数方程
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆：椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆的参数方程中参数的几何意义：红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。
周长椭圆周长计算公式：L=T（r+R）T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
几何关系点与椭圆点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆y=kx+m①x2/a2+y2/b2=1②由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）求中点坐标根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]手绘法1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。
2、：连接AC。
3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。
4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。
5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。
6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
黑龙江省虎林高级中学高中数学课件：第二讲 1.椭圆的参数方程1 选修4-4
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
a b
cos sin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得:
x2 y2 1,
即为点M的轨迹普通方程.
a2 b2
第五页，编辑于星期一：三点 二十八分。
1 .参数方程
x y
a b
scions是椭圆的参
O
A x
第七页，编辑于星期一：三点 二十八分。
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3 cos
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
此时,3 cos
3 cos0
9 5
,2 sin
2sin 0
8 5.
所以,当点M位于
9 5
,
8 5
时, 点M到直线x
2
y
10 0的距离取最小值 5 .
第十二页，编辑于星期一：三点 二十八分。
例2、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M到 直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
y
O
x
分析2
P
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
分析1
借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐 标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
椭圆的参数方程
椭圆的长半轴和 短半轴
圆的标准方程:
圆的参数方程:
∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称M的离
心角
y P
x2+y2=r2
θ
O
A x
θ的几何意义是
∠AOP=θ
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
(2)
把下列参数方程化为普通方程
(3)
(4)
练习2：已知椭圆的参数方程为
(是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为（
椭圆的参数方程.ppt
学习目标：
一 了解椭圆的参数方程及参数的几何意义 ；
二 通过学习进一步完善对椭圆的认识， 理解参数方程与普通方程的关系，并能相互 转化提高综合应用能力。
一：知识回顾：
1.圆
的参数方程
y
（是参数） P (x,y)
2.参数 的含义：
O
P0 x
二：探究椭圆的参数方程
引例：如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个
A B φ M(x,y)
O
Nx
而A、B的坐标可以通过
引进参数建立联系. 设∠XOA=φ
思考：如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点 A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当 半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
即为所求.
练习1：已知点A（1，0），点P在椭圆 x2 + y2 =1上移动，
解问：：因点为P在点何P处（时x,y使)在|P椭A|圆的值x最2 小+？y2
4
=1 上，可设
：
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线是二元二次方程的一种类型。
它的参数方程公式描述了在平面坐标系中的形状和位置。
椭圆和双曲线的参数方程公式略有不同，下面分别介绍。
1. 椭圆的参数方程公式：
椭圆的参数方程公式可以表示为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中，a和b是椭圆的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数方程公式描述了椭圆上每一点的坐标。
在坐标系中，椭圆的中心在原点，且半轴与坐标轴平行。
2. 双曲线的参数方程公式：
双曲线的参数方程公式可以表示为：
x = a sec(t)
y = b tan(t)
其中，a和b是双曲线的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数
方程公式描述了双曲线上每一点的坐标。
在坐标系中，双曲线的中心在原点，且两支曲线分别关于x轴和y轴对称。
需要注意的是，双曲线有两种形式：左右开口和上下开口。
如果双曲线的参数方程公式中y的系数为负数，则为左右开口；如果x的系数为负数，则为上下开口。
总之，椭圆和双曲线的参数方程公式是数学中的基础知识，可以用于描述其形状和位置。
学生应该掌握这些参数方程公式的基本概念和用法。
椭圆参数方程y轴为焦点
椭圆参数方程y轴为焦点
当椭圆的焦点位于y轴上时，其参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b是椭圆的半长轴和半短轴，t是参数，通常代表角度或时间。
在这个参数化表示中，当t从0变化到2π时，它将沿着椭圆描绘出一个完整的曲线。
这种参数化方式的一个重要特点是，当t=0时，点(x,y)位于椭圆的右端点（对于x轴），而当t=π/2时，点(x,y)位于椭圆的上焦点。
这是因为在这个参数化表示中，我们是以椭圆的右端点为起点，然后按照逆时针方向沿着椭圆描绘曲线的。
注意，当椭圆的焦点位于y轴上时，其半长轴a和半短轴b的关系与焦点位于x轴上时相反，即a<b。
这是因为在这种情况下，y轴是椭圆的主轴，而x轴是次轴。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
1[1][1]椭圆的参数方程(第一课时).ppt
1
x
y
a cos(为参数) bsin
注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
第二章 参数方程
课后作业
必做题
1.把参数方程
x
y
3cos(为参数）写成普通 sin
方程，并求离心率。
选做题
2. 已知A,B分别是椭圆
x2 y2 36 9
1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求 ABC的重心G的
轨迹方程。
第二章 参数方程
例2：在椭圆 x2 y2 1上求一点M , 94
使点M到直线x 2 y 10 0的距离 最小, 并求出最小距离。
第二章 参数方程
思考：
与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x, y满足 x2 y2 1的前提下，求出z x 2 y的
25 16 最大值和最小值吗？
x2 b2
y2 a2
1 的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
x
令
b y
c os sin
xy
b cos(为参数) a sin
a
是焦点在Y轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
x
第二章 参数方程
知识点小结
1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
的长半轴长 和短半轴长 . （其中a>b）
2. 称为 离心角 ,规定参数 的取值范围
是 0,2
3.
当焦点在X轴时
x y
椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March椭圆的参数方程教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩()ϕ为参数这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
椭圆弦长计算公式
椭圆弦长计算公式椭圆是数学中一种重要的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
在椭圆的研究中，椭圆弦长是一个重要的参数。
本文将介绍椭圆弦长的计算公式及其应用。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆有许多特殊的性质，例如，它是一个闭合曲线，具有对称性等。
二、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数，取值范围为0到2π。
三、椭圆弦长的定义椭圆弦长是椭圆上两点之间的弧长。
为了方便计算，我们可以将弦长表示为两个参数θ1和θ2对应的弧长之差。
四、椭圆弦长的计算公式根据椭圆的参数方程，我们可以得到两点在椭圆上的坐标为：(x1, y1) = (a*cosθ1, b*sinθ1)(x2, y2) = (a*cosθ2, b*sinθ2)椭圆弦长可以表示为：L = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)带入坐标的值，可以得到椭圆弦长的计算公式：L = √(a²*cos²θ1 - 2*a*cosθ1*a*cosθ2 + a²*cos²θ2 + b²*sin²θ1 - 2*b*sinθ1*b*sinθ2 + b²*sin²θ2)五、椭圆弦长的应用椭圆弦长在实际中有许多应用。
例如，在建筑设计中，椭圆形的建筑物常常需要计算弦长来确定材料的用量。
在航天工程中，椭圆轨道的计算也需要用到椭圆弦长。
此外，椭圆弦长还可以用于计算椭圆的周长和面积等参数。
椭圆弦长的计算公式可以通过数学推导得到，这里不再详述。
但需要注意的是，椭圆弦长的计算公式中包含了椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此在使用时需要先求出椭圆的长半轴和短半轴的值。
七、椭圆弦长计算的注意事项在实际计算中，需要注意椭圆弦长的计算精度。
椭圆的曲线积分
椭圆的曲线积分椭圆的曲线积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、椭圆曲线的参数方程、椭圆曲线的弧长公式、椭圆曲线的面积公式以及椭圆曲线的曲线积分等方面进行介绍。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段，椭圆的中心是长轴和短轴的交点。
二、椭圆曲线的参数方程椭圆曲线的参数方程是x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度，t是参数，取值范围是[0,2π]。
这个参数方程描述了椭圆曲线上的所有点的坐标。
三、椭圆曲线的弧长公式椭圆曲线的弧长公式是L=∫(a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t))^0.5 dt，其中L是椭圆曲线的弧长，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度，t是参数，取值范围是[0,2π]。
这个公式可以用来计算椭圆曲线的弧长。
四、椭圆曲线的面积公式椭圆曲线的面积公式是S=πab，其中S是椭圆曲线的面积，a和b 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
这个公式可以用来计算椭圆曲线的面积。
五、椭圆曲线的曲线积分椭圆曲线的曲线积分是沿着椭圆曲线对一个标量函数进行积分。
设函数f(x,y)在椭圆曲线上连续，则沿着椭圆曲线的曲线积分可以表示为∫f(x,y)ds，其中ds是椭圆曲线上的弧长元素。
根据弧长公式，可以将ds表示为ds=(a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t))^0.5 dt，将其代入曲线积分公式中，得到∫f(x,y)ds=∫f(a*cos(t),b*sin(t))*(a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t))^0.5 dt，其中t的取值范围是[0,2π]。
这个公式可以用来计算沿着椭圆曲线的曲线积分。
椭圆的曲线积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。