《数列1》福建西山学校高三数学优秀课件
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数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件
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1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
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【解析】(1)由已知，得 an＋1＝1＋anan， ∴an1＋1＝1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n＝1， ∴数列{a1n}是以a11＝2 为首项，1 为公差的等差数列． ∴a1n＝2＋(n－1)， 即 an＝n＋1 1.
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(2)由已知得 an＋1≤1＋anan，an>0(n∈N*)． ∴an1＋1≥1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n≥1. ∴当 n≥2 时，a1n－a11＝(a12－a11)＋(a13－a12)＋…＋(a1n －an1－1)≥n－1， 即a1n≥(n－1)＋a11＝(n－1)＋2＝n＋1，∴an≤n＋1 1.
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∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
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(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
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【解析】(1)由已知，得 an＋1＝1＋anan， ∴an1＋1＝1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n＝1， ∴数列{a1n}是以a11＝2 为首项，1 为公差的等差数列． ∴a1n＝2＋(n－1)， 即 an＝n＋1 1.
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(2)由已知得 an＋1≤1＋anan，an>0(n∈N*)． ∴an1＋1≥1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n≥1. ∴当 n≥2 时，a1n－a11＝(a12－a11)＋(a13－a12)＋…＋(a1n －an1－1)≥n－1， 即a1n≥(n－1)＋a11＝(n－1)＋2＝n＋1，∴an≤n＋1 1.
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∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
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(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
1-3数列的极限(高等数学课件)
n
证
任给 0 , 对于一切自然数
n,
xn C C C
0 成立 ,
所以,
lim x n C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0 , 寻找N,但不必要求最小的N.
例3
证明 lim q
n
n
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3 3 , ,
, ;
3
n ( 1) n
}
3
3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
n n1
; 有界
数列 x n 2 . 无界
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn 都 落 在 闭 区 间
[ M , M ]上 .
定理1 证
收敛的数列必定有界.
n
设 lim x n a ,
由定义,
取 1,
则 N , 使得当 n N 时恒有 x n a 1 ,
n
1 n
, 或 n 1 ,
任给 0 , 要 x n 1 , 只要
所以, 取 N [ ],
1
则当 n N 时 ,
就有
n ( 1) n
n1
1
即 lim
n ( 1) n
n1
n
1.
例2 设 x n C ( C 为常数 ), 证明 lim x n C .
证
任给 0 , 对于一切自然数
n,
xn C C C
0 成立 ,
所以,
lim x n C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0 , 寻找N,但不必要求最小的N.
例3
证明 lim q
n
n
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3 3 , ,
, ;
3
n ( 1) n
}
3
3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
n n1
; 有界
数列 x n 2 . 无界
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn 都 落 在 闭 区 间
[ M , M ]上 .
定理1 证
收敛的数列必定有界.
n
设 lim x n a ,
由定义,
取 1,
则 N , 使得当 n N 时恒有 x n a 1 ,
n
1 n
, 或 n 1 ,
任给 0 , 要 x n 1 , 只要
所以, 取 N [ ],
1
则当 n N 时 ,
就有
n ( 1) n
n1
1
即 lim
n ( 1) n
n1
n
1.
例2 设 x n C ( C 为常数 ), 证明 lim x n C .
人教版高三数学一轮复习优质课件：第1节 数列的概念及简单表示法
2.已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，n（n1＋1），…，下列各数中是此数列中的项
的是( )
1
1
1
1
A.35
B.42
C.48
D.54
解析 n＝6 时，6×（16＋1）＝412为数列中的第 6 项.
答案 B
3.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A.15
B.16
C.49
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与 n 之间的关系可以用一个式子an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的 任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式.
规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面 的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
【训练1】 (1)(2017·长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列
[常用结论与微点提醒] 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2. 2.在数列{an}中，若 an 最大，则aann≥ ≥aann－ ＋11， .
若 an 最小，则aann≤ ≤aann－ ＋11， .
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
福建省北师大泉州附中高三数学教材回扣课件：第4讲 数列
解析 命题①正确，根据等差、等比数列的定义，此时 an＋1－an ＝d，an＋1＝qan，后面式子代入前面的式子，得(q－1)an＝d，这 个等式对于任意的 n 都成立，则只能 q－1＝0，d＝0，也即 q＝1， d＝0，故此时 an＝an＋1；
第十四页，编辑于星期日：十九点 十四分。
命题②正确，根据 an 与 Sn 的关系可得 a1＝a＋b，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an－a＋b，当 n ＝1 时也适合 n≥2 的情况，故 an＝2an－a＋b，an＋1－an＝2a(常 数)，故数列{an}为等差数列； 命题③正确，当 n＝1 时，a1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝1 －(－1)n－1＋(－1)n－1＝2·(－1)n－1，n＝1 也适合这个等式，故 数列{an}的通项公式是 an＝2·(－1)n－1，aan＋n1＝－1，故数列{an} 为等比数列． 命题④不正确，当等比数列的公比等于－1 且 m 为偶数时，Sm， S2m－Sm，S3m－S2m 是常数列 0，不是等比数列．
围是
(D )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 设等比数列的公比为 q， ∵ ∵aS23＝ ＝1q1＋，1∴＋a1q＝，1q∴，当a3＝q>a02q时＝，q.S3≥3(q＝1 时取等号)； 当 q<0 时，S3≤－1(q＝－1 时取等号)．
第六页，编辑于星期日：十九点 十四分。
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋n1，则 an 等于( A )
A．2＋ln n
B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
第十四页，编辑于星期日：十九点 十四分。
命题②正确，根据 an 与 Sn 的关系可得 a1＝a＋b，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an－a＋b，当 n ＝1 时也适合 n≥2 的情况，故 an＝2an－a＋b，an＋1－an＝2a(常 数)，故数列{an}为等差数列； 命题③正确，当 n＝1 时，a1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝1 －(－1)n－1＋(－1)n－1＝2·(－1)n－1，n＝1 也适合这个等式，故 数列{an}的通项公式是 an＝2·(－1)n－1，aan＋n1＝－1，故数列{an} 为等比数列． 命题④不正确，当等比数列的公比等于－1 且 m 为偶数时，Sm， S2m－Sm，S3m－S2m 是常数列 0，不是等比数列．
围是
(D )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 设等比数列的公比为 q， ∵ ∵aS23＝ ＝1q1＋，1∴＋a1q＝，1q∴，当a3＝q>a02q时＝，q.S3≥3(q＝1 时取等号)； 当 q<0 时，S3≤－1(q＝－1 时取等号)．
第六页，编辑于星期日：十九点 十四分。
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋n1，则 an 等于( A )
A．2＋ln n
B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
苏教版 高中数学选择性必修第一册 数列 课件1
4.an 与 Sn 的关系 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
教材拓展
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即 用aann≥ ≥aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)或aann≤ ≤aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)求解， 也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
三角形数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
3
三角形数：1，3，6，10，···
正方形数：1，4，9，16，···
1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：
1，1 ，1 ，1 ， 234
高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： 1，2，3，4，35 -1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数： 1， 1，1， 1 无穷多个1排列成的一列数：
1， 1， 1， 1，
4
定义：按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)
问1： 数列 3 1，2 ，3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
5
新知讲解:
数
反思感悟用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变 形；若用作商法则要特别注意分母的符号．
►规律方法 根据形如 an＋1＝pan＋q 的递推关系式求通项公式时，一 般先构造公比为 p 的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式 化为 an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公 式，最后求{an}的通项公式．