江苏省2018届九年级数学下学期复习作业16二次函数的应用无解答
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思教学目标1.理解二次函数的概念及特性2.掌握二次函数应用实例3.培养学生分析问题、解决问题的能力教学内容1. 二次函数的概念与特性（1）定义二次函数是指自变量的二次方作为函数的函数，它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
（2）基本特征•定义域：实数集•值域：当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b^2) / (4a) ；当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b^2) / (4a)。
•对称轴：x = -b / (2a)•开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。
•零点：f(x) = 0 时的 x 值即为二次函数的零点。
2. 二次函数的应用实例（1）求最大值或最小值当一个物理问题能够用二次函数来表达时，可以利用二次函数的特性，求出物理量的最大值或最小值。
（2）求交点二次函数和直线之间的交点可以用来解决几何问题，如交点为两柱面相切的圆的半径等。
教学方法•解释法：通过示例或铺垫讲解二次函数的定义及特性。
•运用法：通过做一些典型题目，让学生理解二次函数的不同特性。
•发散法：通过一些拓展题目，让学生探究二次函数的应用及实际问题的解决。
教学过程1. 拓展题目（10分钟）请学生观察以下二次函数图像，思考不同函数的特点。
当学生了解了不同二次函数的特性并掌握了如何求解二次函数的基本问题后，开始进入二次函数应用问题实战。
2. 例题练习（30分钟）请学生在教师指导下，完成以下例题练习： 1. 某工程公司定价方案为：一个工程的成本为 10000 元，每增加 1 万的工程量，成本额外增加 2400 元。
如果公司想最多减少亏损，最多赚多少？ 2. 在 xy 平面内，一个圆心坐标为 (2, 3)，一点坐标为 (0, 1)。
当圆与直线 y=2 x-1 相切时，圆的半径为多少？ 3. 有一个与 x 轴成 45 度角的光线通过点 P(6, 2) 射向 y 轴的一面镜子，反射之后定位在 Q(0, y) 处，求 y的值。
专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习
专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD． ．． ．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）A ． ． ．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。
九年级数学下册《二次函数在几何方面的应用》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解二次函数的基本概念，掌握二次函数的图像特征及其性质，能准确描述其开口方向、顶点、对称轴等关键信息。
2.学会运用二次函数解决几何问题，如求抛物线与直线的交点、距离、面积等，并能将其应用于解决实际问题。
3.培养学生运用数形结合思想，通过绘制图像，直观判断二次函数与几何图形的关系，提高解决问题的准确性和效率。
4.数形结合方法，提高解题效率
本案例重视数形结合方法的运用，引导学生通过观察二次函数的图像特征，直观判断几何问题的解。这种方法有助于提高学生解决问题的效率，培养他们的几何直观和空间想象能力。
5.反思与评价，促进自我提升
案例中设置了反思与评价环节，让学生在学习过程中不断总结经验，发现自身不足，从而实现自我提升。同时，多维度评价机制也有助于学生全面了解自己的学习成果，激发他们持续学习的动力。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学策略，引导学生围绕核心问题进行探讨。设计具有启发性和挑战性的问题，鼓励学生运用所学知识，通过分析、综合、推理等思维过程解决问题。针对二次函数在几何方面的应用，可以提出如下问题：“如何求抛物线与直线的交点？”“抛物线的顶点在几何问题中有何作用？”等。问题导向的教学策略有助于培养学生主动思考、独立解决问题的能力。
3.小结反馈：收集学生的作业，了解他们在学习过程中的困惑和问题，为下一节课的教学提供参考。
五、案例亮点
1.生活情境融入，激发学习兴趣
本教学案例将生活中的实际情境融入课堂，如建筑、体育等领域中的抛物线现象，使学生在轻松愉快的氛围中感受二次函数与几何图形的结合。这种贴近生活的教学方式，有助于激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
4.引导学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，培养他们用数学的眼光看待世界的意识。
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(四) 二次函数的应用
(二)在区间的端点处求最值 5．某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价 每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润 最大？最大利润为多少元？
润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z＝－
1 10
x2＋12x－320(2)当z＝－
1 10
(x－60)2＋40＝17.5时，解得x1＝45，x2＝75，∵－
1 10
＜0，∴当
z≥17.5时，45≤x≤75.又∵y＝－
1 10
x＋9中的－
每千克的售价x/元 日销售量y/kg
… 20 22 24 … … 66 60 54 …
12k＋b＝500， 解 ：(1) 设 y 与 x 之 间的 函数 关系 式 为 y ＝kx ＋b ， 则 14k＋b＝400， 解 得 k＝－50， b＝1 100， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－50x＋1 100 (2)由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50x2＋1 600x－11 000＝ －50(x－16)2＋1 800，∵12≤x≤15，且 x 为整数，∴当 x＝15 时，w 最大值＝－50×(15 －16)2＋1 800＝1 750，∴当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750 元
(三)在分段函数中求最值 7．某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售 单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设这种商品的月利润为W(元)， 求W与x之间的函数关系式； (3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？ 最大月利润是多少？
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计3
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计3一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.5节《二次函数的应用》是本册的重要内容之一。
本节课主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，如抛物线的性质，如何求解最值问题等。
通过本节课的学习，使学生能理解和掌握二次函数的基本性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
2.掌握二次函数的基本性质，如开口方向、对称轴等。
3.学会利用二次函数解决最值问题，提高解决问题的方法。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用。
2.如何利用二次函数解决最值问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用。
2.利用实例分析，使学生了解二次函数在实际生活中的重要性。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解二次函数在实际中的应用。
2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾二次函数的基本性质，如开口方向、对称轴等。
然后引入本节课的主题——二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示二次函数的图像，讲解二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。
然后通过实例分析，让学生了解二次函数在实际生活中的重要性。
3.操练（15分钟）教师提出问题，让学生利用二次函数解决实际问题。
如求解最大值或最小值问题。
学生分组讨论，合作解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
人教版九年级数学二次函数应用题(含问题详解)
人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案）一、单选题1.在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为[ ] A．28米B．48米C. 68米D．88米2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax2 +bx+c的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称．，题中的二次函数确定具有的性质是[ ] A．过点(3，0)B．顶点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是A．2mB．3mC .4 mD．5 m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是[ ] A．6 mB．8mC. 10 mD．12 m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为[ ] A．72 mB．36 mC．36 mD．18 m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2 +50x-500，则要想获得最大利润，销售单价为[ ] A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运行的路线是抛物线y=ax2 +bx+c所示，则下列结论正确的是①a<；② <a<0；③ a-b+c>0；④ 0<b<-12a[ ]A.①③B.①④C.②③D.②④8.关于x的二次函数y=2mx2 +(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值围是[ ] A．m<≥且m≠0C．m=D.m m≠09.某种产品的年产量不超过1 000吨，该产品的年产量（吨）与费用（万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）①②[ ] A．1 000B．750C. 725D．50010.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）[ ] A．5.1 mC．9.1 mD．9.2 m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[ ]A. y= - 2x2B．y=2x2C. y=-2 x2D．y= x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？[ ] A．第8秒B．第10秒C. 第12秒D．第15秒二、填空题13.把一根长为100 cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设其中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为S cm2，则S与x的函数关系式是( )，自变量x的取值围是( )．14.如图所示，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为( )．如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要( )，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是( )m .16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数，通常取10m/s)，若v0=10 m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面( )m三、计算题17.求下列函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l) (x-2).四、解答题18.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道设双行道，现有一辆货运卡车高为4.2 m，宽为2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．19.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x (元)满足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？能力提升20.如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用40 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB =x m，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200 m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=y m，如果x，y满足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是120元，为了解市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果如下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；方案乙：不断地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：(1)如果方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？(2)分析两种方案，为了获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2 +bx+c(a ≠0)相吻合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为7.5微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8的函数图象的示意图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)结合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0 的总时间．）23.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5 m，长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=x m．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36 m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践探究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有一批物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以40 km/h的速度开往乙地，当行驶1 h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？25.全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．如图所示是庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道．(1)建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线EHF的解析式；(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格30元／千克收购了这种野生菌1 000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．(3)经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）27.在如图所示的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10 m，为了减轻桥身重量，还为了桥形的美观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的顶点C、B、D离桥面的距离分别为4m、10 m、2 m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高，如图乙．根据图象提供的信息解答下面问题(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月最少获利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W（元）关于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x(元)满足w=-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每天的利润最大？最大利润是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？word参考答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2. 25 2.515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y= 3(x+l) (x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的解析式为y =+6．(2)当x=2.4时，y=+6 =-1. 44+6=4. 56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．19、解：(l)y=(x-30) (162-3x)= - 3 x2 +252x-4860 (2)y= -3 (x-42) 2 +432 当定价为42元时，最大销售利润为432元20、解：(l)S=x(40- 2x)=-2 x2+40x, 当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2 =x(x+y) ②由①、②解得x=20±，其中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y= -x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160 ×40+180 ×20+180 ×20-120 ×(70+50+40+20+20)=6 200元．方案甲前五天的总利润为(150-120)×50×5=7 500元，显然6200<7 500，前五天中方案甲的总利润大．(2)若按甲方案中定价为150元／件，则日利润为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S =xy-120y=x(-x+200) -120(-x+200)= -x2 +320x- 24000= - (x-160) 2 +1600，即将售价定在160元／件，日销售利润最大，最大利润为1600元．22、解：(1)图象略．(2) 当x=4时，函数y有最大值8．所以服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD= EF=BC=x m，所以AB=18-3x.所以水池的总容积为1. 5x(18-3x)=36，即x2- 6x+8=0，解得x1=2，x2=4，所以x应为2或4．2 +27x，且x的取值围是：0<x<6．(3)V=4.5 x2 +27．所以当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.24、解：(1)设抛物线的解析式为y= ax2，1 / 10word桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．所以即抛物线的解析式为y=-. (2)货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x 轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，显然E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．设抛物线的解析式为+bx+c 依题意有：所以y= +3．(2)y=1，路灯的位置为（，1）或（一，1）．（只要写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为1.08+2=3.08，因为3.08-0.5=2.58>2.5，所以能通过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3+910x+30000 (3)由题意得W=（-3+910x+30000）-30×1000-310x=-3（x-100）2+30000 当x=100时，W最大=30000．100天<160天，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．27、解：抛物线OBA过B(50, 40) ,A(100,0)，抛物线OBA的解析式为．当x=20, 30, 40时，y的值分别为：MC=4( m)，EN= (m)，FQ=50-= ( m)，GT= ( m)，BR= 10 (m). G1T1 =GT- (m)，PQ1-FQ= (m)．又抛物线CE过顶点C(10,46),E(20，)，解析式为y=-(x-10)2 +46．而抛物线PD过顶点D(85,48),P(70，)．解析式为y=-(x-85)2+48．x= 80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1 = (m)．综上：三条抛物线的解析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的顶点为(6,4),由题知t=3, 4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，其中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴所以该公司一月份最少获利元29、解：（1）当x=150吨时，利润最多，最大利润2 000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600 (2) y=-2+120x-1 600=-2（x-30）2+200 当x=30时，最大利润为y=200元．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）2+200=150解得x l=25，x2=3 5．又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得1 50元的利润．2 / 10。
九年级数学下册二次函数的应用教案
课题：2.4二次函数的应用教学目标：1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系.教学重点与难点：重点：经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.难点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．课前准备：导学案,多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（利用导学案）探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体展示）问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上．（1）设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）∵BC ∥AD ， ∴△EBC ∽△EAF ．∴EB BCEA AF=． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴404030x BC-=．∴BC ＝34(40－x )． ∴AD ＝BC ＝34(40－x )＝30－34x ． （2）y ＝AB ·AD ＝x (30－34x )＝－34x 2＋30x ＝－34（x 2－40x ＋400－400） ＝－34（x 2－40x ＋400）＋300 ＝－34（x －20）2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师适时点评，并在多媒体上展示正确结果.设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中BC 在斜边上，,A D 在直角边上．如果设矩形的一边m AD x =，那么AB 边的长度如何表示？当x 取何值时，矩形面积y 的值最大？最大值是多少？解：设矩形的一边m AD x =，由GAD ∆GFD ∆，得AD GMEF GN=， 即5024x GM=， ∴1225GM x =．∴122425AB MN GN GM x ==-=-． 21212(24)242525ABCDS AD AB x x x x ==-=-+矩形．当24251222()25b x a =-=-=⨯-时，y 有最大值，最大值为224300124()25y -==⨯-最大值 处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真． 设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．三、例题解析,新知应用 活动内容：（多媒体出示例题）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15， ∴y ＝1574x xπ--．设窗户的面积是S (m 2)，则S ＝12πx 2＋2xy＝12πx 2＋2x ·1574x x π-- ＝12πx 2＋(157)2x x x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x＝－3.5(x 2－157x ) ＝－3.5(x －1514)2＋1575392． ∴当x ＝1514≈1.07时， S 最大＝1575392≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多． 答案：.02.407.12m S m x =≈最大时，处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关．此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.方法提炼：我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．（学生讨论，教师多媒体展示）(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果．四、拓展提升,学以致用一养鸡专业户计划用116m 长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？解：设AB 长为x m ，则BC 长为(116－2x )m ，长方形面积为S m 2． 根据题意得S ＝x (116－2x )＝－2x 2＋116x＝－2(x 2－58x ＋292－292)＝－2(x －29)2＋1682．当x ＝29时，S 有最大值1682，这时116－2x ＝58．即设计成长为58m ，宽为29m 的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m 2．处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展示答案. 活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的．五、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.六、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?2.如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向BQCAF E BG D C A点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?参考答案1.过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则AM=222012-=16cm. 设DE=x cm,S 矩形=y cm 2,则由△ADG∽△ABC,故AN DG AM BC =,即161624x DG-=,故DG=32(16-x ). ∴y =DG ·DE=32(16-x )x =-32(x 2-16x)=-32(x -8)2+96,从而当x =8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.2.设第t 秒时,△PBQ 的面积为y cm 2.则∵AP=t cm,∴PB=(6-t )cm;又BQ=2t.∴y =12PB ·BQ=12(6-t )·2t =(6-t )t =-t 2+6t =-(t -3)2+9,当t =3时,y 有最大值9.故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是9cm 2.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本47页，习题2.8第1、2、3题． 选做题：课本48页，习题2.8第4题． 结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）2.4.1二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排 1课时 三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题． 五、教学过程 （一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法： (1)最大值： (2)最小值： （二）讲授新课 活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.yx x ++π=由 157.4x x y --π=得2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积271522x x =-+ 2715225().21456x =--+2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时即当x ≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2. （四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】 1.12.52. 2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积302,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 60402m ,10221032210210m .=--⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为()2S3002002m.=-最大3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得y＝80（x－22．5）2＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，∴BF BECE CD=, ∴8y xx m-=即28x x ym-=⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m -=得关于x 的方程:28120x x -+=，得1226x x ==，∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ， 此时， Rt △BFE ≌Rt △CED ，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2. 即△DEF 为等腰三角形，m 的值应为6或2. 5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x ． ∴y=-2x 2+40x ．x 的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x 2+40x=210． 即x 2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105， ∴2(20)411050,--⨯⨯<∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究： 例题:“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性. 七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习八、教学反思课题：2.4.2二次函数的应用教学目标：知识与技能1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度与价值观1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
九年级数学下册《二次函数的应用》优秀教学案例
（一）导入新课
在导入新课环节，我将结合学生的实际生活，提出以下问题：“同学们，你们在生活中遇到过抛物线运动吗？比如抛硬币、投篮等。这些现象与数学中的哪个知识点有关？”通过这个问题，引导学生回顾之前学过的抛物线知识，为新课的学习做好铺垫。
接着，我会展示一些与二次函数相关的图片和实例，如拱桥、卫星轨道等，让学生观察并思考这些图像的共同特点。在此基础上，引出本节课的主题——二次函数的应用，激发学生的好奇心和探究欲望。
小组合作是本章节教学的重要组成部分。我将根据学生的学习特点和兴趣，合理分组，使学生在合作交流中共同进步。在小组合作过程中，引导学生明确分工、相互协作，共同探讨二次函数的性质、图像以及应用问题。通过小组讨论、成果展示等形式，培养学生的团队协作能力和表达能力。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，让学生在反思中总结经验，不断提高。在每节课结束后，引导学生回顾所学内容，总结二次函数的性质、图像和应用方法，查找自己在学习过程中的不足之处，并进行针对性的改进。同时，开展多元化的评价方式，如自我评价、同伴评价、教师评价等，全面了解学生的学习情况，激发学生的学习积极性，促进学生的全面发展。此外，我还将关注学生的情感态度与价值观的培养，鼓励学生积极参与课堂活动，充分展示自己的个性特长，使学生在数学学习中获得成功的体验。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组选出一名组长负责组织讨论。以下为讨论的主题和步骤：
1.各小组结合教材和实例，探讨二次函数在实际问题中的应用方法。
2.各小组分享自己在讨论过程中的发现和心得，相互交流、学习。
3.针对本节课的重点和难点，引导学生相互提问、解答，共同提高。
4.学会使用数学软件或图形计算器绘制二次函数图像，以便更好地理解二次函数的几何性质。
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专题课件
复习作业16 二次函数的应用
一、选择题
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数：h＝－5(t－1)2＋6，则小
球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D
．7米
2． 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关
系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
（第2题） （第3题）
3． 如图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，
桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x
轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( )
A．16940米 B.174米 C．16740米 D
.154米
二、解答题
4．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能
售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为多少元时，该服装店
平均每天的销售利润最大．
2
5．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场的面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其各边长；如果不能，请说明理由．
6． 某超市对进货价为10元/千克的某品种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)
与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图。
(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？