高考数学真题07 导数中的问题(学生版)

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第15讲导数中的极值点偏移问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。

2020年中学数学07 导数的运算及几何意义(解析版)

故，单调递减，
单调递增.
综上，当时在上单调递减;
当时，在上单调递减，在上单调递增. .
(2)曲线与曲线存在唯一公切线，设该公切线与分别切于点，显然 .
由于，
所以，
，
由于，故，且
因此，
此时，
设
问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点，
又，令，解得，
则在上单调递增，上单调递减，
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即 .
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为 .
7、【2020年山东卷】已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】（1）（2）
【解析】（1），， .
考点07导数的运算及几何意义
①了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义；
②理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；
导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。

(完整版)导数问题中虚设零点的三大策略

导数问题中虚设零点的三大策略导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”。

因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题。

此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其他条件，从而最终获得问题的解决。

我们称这种解题方法为“虚设零点”法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略。

策略1整体代换将超越式化简为普通式如果f′(x）是超越形式(对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式）,并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点,这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式,然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。

通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点.例1（2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21）设函数f（x）=e2x-alnx.（1)讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数;(2）证明：当a>0时，f（x)≥2a+aln2a。

解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x)=2e2x—ax（x>0)。

由f′（x）=0，得2xe2x=a。

令g（x）=2xe2x，g′(x）=（4x+2）e2x〉0（x>0）,从而g（x）在（0,+∞）单调递增，所以g （x）>g（0）=0.当a〉0时，方程g（x）=a有一个根，即f′（x）存在唯一零点;当a≤0时,方程g(x)=a没有根，即f′（x）没有零点。

（2）由(1）,可设f′（x)在（0，+∞）的唯一零点为x0，当x∈（0，x0)时，f′(x）〈0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）>0。

导数中八大切线问题题型总结(学生版)--高中数学

导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f (x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0) k=f (x0) ．2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f (x0)(m-x0)然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022·全国·高三专题练习(文))函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )A.0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2)B.0<f (2)<f(3)-f(2)<f (3)C.0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D.0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)【例2】函数y=f x 的图象如图所示，f′x 是函数f x 的导函数，则下列大小关系正确的是( )A.2f′4 <f4 -f2 <2f′2B.2f′2 <f4 -f2 <2f′4C.2f′4 <2f′2 <f4 -f2D.f4 -f2 <2f′4 <2f′2【题型专练】1.(2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中)(多选题)已知函数f x 的图象如图所示，f x 是f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f 3 <f 2B.f 3 <f 3 -f 2C.f 2 <f 3 -f 2D.f 3 -f 2 <02.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数y =f x 的图象如图所示，f x 是函数f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A.2f 3 <f 5 -f 3 <2f 5B.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3C.f 5 -f 3 <2f 3 <2f 5D.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3题型二：在点P 处切线(此类题目点P 即为切点)【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则A.a =e ,b =-1B.a =e ,b =1C.a =e -1,b =1D.a =e -1,b =-1【例2】(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )=-2x 3+3ax 2-f (1)x ，则函数f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线的斜率为( )A.-21B.-27C.-24D.-25【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线y =x ln (2x +5)在x =-2处的切线方程为( )A.4x -y +8=0B.4x +y +8=0C.3x -y +6=0D.3x +y +6=0【例4】过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为( )A.0,3π4B.0,π2∪3π4,π C.3π4,π D.π2,3π4【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线y =2x +ax +2在点1,b 处的切线方程为kx -y +6=0，则k 的值为( )A.-1B.-23C.12D.1【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末(理))已知函数f x =f 2 3x 2−x ,x >0g x ,x <0图像关于原点对称，则f (x )在x=-1处的切线方程为( )A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【题型专练】1.【2018年新课标1卷理科】设函数f x =x3+a-1x2+ax．若f x 为奇函数，则曲线y=f x 在点0，0处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.【2021年甲卷理科】曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为__________．3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为___________．4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=________．题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____ _______．【例2】(2022·四川·广安二中二模(文))函数f x =x2e x过点0,0的切线方程为( )A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0【例3】(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若过点12,0的直线与函数f(x)=xe x的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为( )A.e+1B.-12C.1D.12【例4】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线y=12x-b与曲线y=-12x+ln x相切，则b的值为( )A.2B.-2C.-1D.1【题型专练】1.(2022·陕西安康·高三期末(文))曲线y=2x ln x+3过点-12,0的切线方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+4y+1=0D.2x-4y+1=02.(2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线y=ln x的切线，则切点的纵坐标为( )A.eB.1C.1eD.1e3.过点(0，-1)作曲线f(x)=x ln x的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=04.已知f (x )=x 2，则过点P (-1，0)且与曲线y =f (x )相切的直线方程为( )A.y =0B.4x +y +4=0C.y =0或4x +y +4=0D.y =0或4x -y +4=0题型四：已知切线求参数问题【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线C :y =ln x +x 2+3-a x 上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若π3≤θ<π2，则实数a 的取值范围是( )A.23,0B.22,0C.-∞,23D.-∞,22【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线y =kx +1-ln2是曲线y =ln x +2的切线，则k =________．【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习(文))已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则b =_____【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数f x =x 2-2x ax +b a ≠0 在点a ,f a 处的切线方程为y =f a ，则b =( )A.-1或1B.-233或233C.-2或2D.-433或433【题型专练】1.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线f (x )=(x +a )e x 在点(-1,f (-1))处的切线与直线2x +y -1=0垂直，则实数a 的值为_________．2.(2022·云南昆明·模拟预测(文))若函数f x =a x +ln x 的图象在x =4处的切线方程为y =x +b ，则( )A.a =3，b =2+ln4B.a =3，b =-2+ln4C.a =32，b =-1+ln4D.a =32，b =1+ln43.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线l 的斜率为2，l 与曲线C 1：y =x 1+ln x 和圆C 2：x 2+y 2-6x +n =0均相切，则n =( )A.-4B.-1C.1D.4题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)【例1】(2022·河南洛阳·三模(文))若过点P 1,0 作曲线y =x 3的切线，则这样的切线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点(a ,b )可以作曲线y =ln x 的两条切线，则( )A.a <ln bB.b <ln aC.ln b <aD.ln a <b【例3】【2021年新高考1卷】若过点a ,b 可以作曲线y =e x 的两条切线，则( )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【例4】(2022·河南洛阳·三模(理))若过点P 1,t 可作出曲线y =x 3的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A.-∞,1B.0,+∞C.0,1D.0,1【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P (1,m )可以作三条直线与曲线C :y =xe x相切，则m 的取值范围为( )A.-∞,3e 2B.0,1eC.(-∞,0)D.1e ,3e 2【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y =x -1上一点P 可以作曲线f x =x -ln x 的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为( )A.0<t <1B.1<t <eC.0<t <eD.1e<t <1【题型专练】1.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C ：y =xe x 相切，则m 的取值范围是( )A.-3e 2,+∞ B.-1e,0 C.-1e ,-1e2 D.-3e2,-1e 2.(2022·广东深圳·二模)已知a >0，若过点(a ,b )可以作曲线y =x 3的三条切线，则( )A.b <0B.0<b <a 3C.b >a 3D.b b -a 3 =03.(2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点a ,b a >0 可以作曲线y =xe x 的三条切线，则()A.0<a <be bB.-ae a <b <0C.0<ae 2<b +4D.-a +4 <be 2<04.(2022·山东枣庄·高二期末)已知函数f x =x +1 e x ，过点M (1，t )可作3条与曲线y =f x 相切的直线，则实数t 的取值范围是( )A.-4e 2,0B.-4e 2,2eC.-6e 3,2e D.-6e 3,05.(2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m ∈R 有n 条直线与函数f x =xe x 的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为( )A.-5e 2<m <e B.-5e 2<m <0 C.-1e<m <0 D.m <e题型六：公切线问题【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学(理)试题)若直线y =kx +b 是曲线y =e x +1的切线，也是y =e x +2的切线，则k =( )A.ln2B.-ln2C.2D.-2【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数f x =ln x 与函数g (x )=x 2+x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( )A.ln12e,+∞ B.-1,+∞C.1,+∞D.ln2,+∞【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值可能是( )A.1.2B.4C.5.6D.2e【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C 1:f x =e x +a 和曲线C 2:g x =ln (x +b )+a 2a ,b ∈R ，若存在斜率为1的直线与C 1，C 2同时相切，则b 的取值范围是( )A.-94,+∞B.0,+∞C.-∞,1D.-∞,94【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为( )A.0,2eB.0,eC.2e ,+∞D.e ,2e【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线l :y =kx +b (k >1)为曲线f x =e x -1与曲线g x =e ln x的公切线，则l 的纵截距b =( )A.0B.1C.eD.-e【例7】(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))若直线y =k 1x +1 -1与曲线y =e x 相切，直线y =k 2x +1 -1与曲线y =ln x 相切，则k 1k 2的值为( )A.12B.1C.eD.e 2【题型专练】1.已知函数f x =x ln x ，g x =ax 2-x ．若经过点A 1,0 存在一条直线l 与曲线y =f x 和y =g x 都相切，则a =( )A.-1B.1C.2D.32.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1D.y =12x +123.(2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =a ln x ，g x =be x ，若直线y =kx k >0 与函数f x ，g x 的图象都相切，则a +1b 的最小值为( )A.2B.2eC.e 2D.e4.(2022·全国·高三专题练习)若两曲线y =ln x -1与y =ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是( )A.0,2eB.12e -3,+∞C.0,12e -3 D.2e ,+∞5.(2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数f (x )=a ln x (a >0)和g (x )=x 2的图象均相切，则实数a =( )A.eB.eC.2eD.2e6.若曲线y =ln x 与曲线：y =x 2−k 有公切线，则实数k 的最大值为( )A.78+12ln2 B.78-12ln2 C.12+12ln2 D.12+12ln2题型七：切线平行、垂直、重合问题【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x +ax 存在与直线2x -y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2] B.-∞,2-1e ∪2-1e ,2C.2,+∞D.0,+∞【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y=xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=( )A.-34B.-14C.-4D.14【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线x =a 与两曲线y =e x ,y =ln x 分别交于A ,B 两点，且曲线y =e x 在点A 处的切线为m ，曲线y =ln x 在点B 处的切线为n ，则下列结论：①∃a ∈0,+∞ ，使得m ⎳n ；②当m ⎳n 时，AB 取得最小值；③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3D.4【题型专练】1.(2022·山西太原·二模(理))已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23B.22C.3D.22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<0)处的切线互相垂直，则x 2-x 1的最小值为( )A.12B.1C.32D.23.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+x +2a (x <0)-1x(x >0)的图象上存在不同的两点A ,B ，使得曲线y =f (x )在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A.-∞,-18B.-1,18C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪18,+∞题型八：与切线相关的最值问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P 是曲线y =32x 2-2ln x 上任意一点，则点P 到直线y =x -3的距离的最小值为( )A.724B.332C.2D.5【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l 分别与直线y =2x -1，曲线y =32x 2-ln x 相交于A ,B 两点，则AB 的最小值为( )A.510B.55C.1D.5【例3】(2022·河南·许昌高中高三开学考试(理))已知函数y =e 2x +1的图象与函数y =ln x +1 +12的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( )A.2ln22B.2ln24C.24+ln22D.24+ln2【例4】(2022·山东聊城·二模)实数x 1，x 2，y 1，y 2满足：x 21-ln x 1-y 1=0，x 2-y 2-4=0，则x 1-x 2 2+y 1-y 22的最小值为( )A.0B.22C.42D.8【题型专练】1.(2022·山西·高二期末)已知点P 是曲线y =x 2-3ln x 上一点，若点P 到直线2x +2y +3=0的距离最小，则点P 的坐标为___________.2.(2022·江苏·高三专题练习)已知a ，b 为正实数，直线y =x -a 与曲线y =ln (x +b )相切，则a 22-b的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.0,12D.[1，+∞)3.(2022·全国·高三专题练习)曲线y =e 2x 上的点到直线2x -y -4=0的最短距离是( )A.5B.3C.2D.14.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数f(x)=ln x x-2x2在x=1处的切线为l，第一象限内的点P(a,b)在切线l上，则1a+1+1b+1的最小值为( )A.2+324 B.3+424 C.4+235 D.3+245.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知直线y=kx+b是曲线y=x+1的切线，则k2+b2 -2b的最小值为( )A.-12B.0C.54D.3。

第11讲导数中的隐零点问题(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)

第11讲：导数中的隐零点问题思维导图-----知识梳理1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有：①关系式0)('0=x f 成立；②注意确定0x 的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系；②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =.①若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个②若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号(2)若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一.脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶不含参数的隐零点问题套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫+含参数的隐零点问题套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫已知参数的取值范围证明不等式套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫x x2．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值.3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数()e 2x f x ax =--.(1)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间；(3)若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>恒成立，求k 的最大值.+∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫操作(课后作业)：行同陌路，抑或一见如故。

专题11 导数中的极值偏移问题(全题型压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习

f
x1
f
x2
f
x3 x1
x2
x3 ，求证：
x3
2
x1
e 1．
②差值代换法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 g(x) ex ax2 ax ， h(x) ex 2x ln x ．其中 e 为自然对数的底数．（1）若 f (x) h(x) g(x) ，讨论 f (x) 的单调性；
①对称化构造法
1．（多选）（2023 春·山东德州·高二统考期末）定义在 R 上的函数 f x 满足 f x ex f x ，且 f 0 1，则下列说法正确的是（）
A． f x 在 x 2 处取得极小值 B． f x 有两个零点 C．若 x 0 ， f x k 恒成立，则 k 1 D．若 x1 ， x2 R ， x1 x2 ， f x1 f x2 ，则 x1 x2 4 2．（2023 春·河北张家口·高二统考期末）已知函数 f x x ln x . (1)求函数 f x 的单调区间和极值； (2)若方程 f x 2x 1 的两个解为 x1 、 x2 ，求证： x1 x2 2e .
f
x
a x
有两个零点 x1 ， x2 ，求实数
a
的取值范围并证明 x1x2
e2 .
2．（2023 春·福建莆田·高二校考期中）已知函数 f x lnx ax2 . (1)讨论函数 f x 的单调性： (2)若 x1, x2 是方程 f x 0 的两不等实根，求证： x12 x22 2e ；
a
ln
x,
x
1为其极小值
点．
(1)求实数 a 的值；
(2)若存在 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 ，求证： x1 x2 2 ．

专题突破卷03 导数中的公切线问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)

专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln b a<B ．ln 1b a >+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（）A ．2ln n m <B ．2ln n m >C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（）A B C ．1D )e 5+题型三已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.(一) 抽象函数的奇偶性及应用若()()f x f x -=两边求导得()()f x f x ¢¢--=，即()()f x f x ¢¢-=-，即若可导函数()f x 是偶函数，则()f x ¢是奇函数，同理可得：若可导函数()f x 是奇函数，则()f x ¢是偶函数.【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数()y f x =¢.(1)求函数()e e x xf x -=+在点()()0,0f 的切线方程；(2)已知()cos sin f x a x b x =+，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得()()f x kf x -=-¢恒成立？(3)若函数()y f x =是奇函数，且满足()()23f x f x +-=.试判断()()22f x f x +=¢-¢对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由.【解析】（1）由题可知，()e e x x f x -¢=-，所以切线的斜率为(0)0f ¢=，且(0)2f =，所以函数在点()()0,0f 的切线方程为()200y x -=-，即2y =；（2）由题可知()sin cos f x a x b x ¢=-+，又因为定义域上对任意的实数x 满足()()f x kf x ¢-=-，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x -=-，即b aka bk -=ìí=-î，当R k Î且0k ¹时，0a b ==，当1k =时，0a b +=，当1k =-时，0a b -=；（3）因为函数()y f x =在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()f x x f x ¢¢¢-×-=-，所以()()f x f x ¢¢-=，所以()y f x ¢=是偶函数，因为()()23f x f x +-=，所以()()()()223f x f x x ¢¢¢¢+-×-=，即()()20f x f x ¢¢--=，即()()2f x f x ¢¢=-，因为()()f x f x ¢¢-=，所以()()2f x f x ¢¢-=-，即()()2f x f x ¢¢=+，所以()y f x ¢=是周期为2的函数，所以()()()22f x f x f x ¢¢¢=+=-，所以()()()()22f x f x f x f x ¢¢¢¢-=-==+. (二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子()f x k ¢-,可构造函数()()y f x kx b =-+，给出式子()f x kx ¢-,可构造函数()212y f x x b =-+ ，一般地，若给出()()f x g x ¢¢±通常构造函数()()y f x g x c =±+.【例2】已知()()y f x x =ÎR 的导函数()f x ¢满足()3f x ¢>且(1)3f =，求不等式()3f x x >的解集．【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ¢¢=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30F f =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．(三)积型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢+的式子通常构造函数()()y f x g x c =+ ，如给出()()xf x nf x ¢+可构造函数()ny x f x =，如给出()()f x nf x ¢+，可构造函数()e nx y f x =，如给出()()tan f x f x x ¢+，可构造函数()sin y f x x =.【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数()f x 在[],a b 上满足()()()0g x f x f x ¢=³且不恒为0，则称函数()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，()g x 称为函数()f x 的特征函数，称任意的实数(),c a b Î为绝对增点（()f x ¢为函数()f x 的导函数）．(1)若1为函数()()e xf x a x =-的绝对增点，求a 的取值范围；(2)绝对增函数()f x 的特征函数()g x 的唯一零点为0x ．（ⅰ）证明：0x 是()f x ¢的极值点；（ⅱ）证明：()g x 不是绝对增函数．【解析】（1）因为函数()()e x f x a x =-，所以()()1e xf x a x =--¢，则()()()()21e xf x f x x a x a =--+¢．由()()0f x f x ¢³得()()10x a x a --+³，解得1x a £-或x a ³，所以()f x 为区间(],1a -∞-及区间[),a +∞上的绝对增函数．又1为函数()f x 的绝对增点，所以11a <-或1a >，解得2a >或1a <，所以a 的取值范围为()(),12,-∞+∞U ．（2）（ⅰ）设()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，由题意知()00g x =，当0x x ¹时，()()00,,g x x a b >Î．①若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递增，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x >¢<，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递减，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x ¢<>，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上不单调，则存在()'000Δ,x x x x Î-，且()00f x ¢¢=，此时()00g x ¢=与()g x 有唯一零点0x 矛盾．所以()00f x ¹．②若()00f x ¹，不妨设()00f x >，则()00f x ¢=，且存在1Δ0x >，使得当()0101Δ,Δx x x x x Î-+时，()0f x >，且当()()010001Δ,,Δx x x x x x x Î-+U 时，()0f x ¢>，即1Δ0x $>，使()f x ¢在()010Δ,x x x -上单调递减，在()001,Δx x x +上单调递增．所以0x 为()f x ¢的极值点．同理，当()00f x <时也成立．（ⅱ）若()g x 为绝对增函数，则()()0g x g x ×¢³在[],a b 上恒成立，又()0g x ³恒成立，所以()0g x ¢³恒成立．令()()e x x g x j =×，所以()0x j ³，且()()()()e 0xx g x g x j ¢¢=×+³，所以()x j 在(),a b 上单调递增．又()00x j =，所以当()0,x a x Î时，()0x j <，则()0g x <，与()0g x ³矛盾，所以假设不成立，所以()g x 不是绝对增函数．【例4】定义在π(0,2上的函数()f x ，其导函数是()f x ¢，且恒有()()tan f x f x x <¢×成立，比较π6æöç÷èø与π3f æöç÷èø的大小.【解析】因为π(0,)2x Î，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <¢，得()cos ()sin f x x f x x <¢．即()sin ()cos 0f x x f x x ¢->．令()()sin f x g x x =，π(0,2x Î，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x ¢-¢=>．所以函数()()sin f x g x x =在π(0,2xÎ上为增函数，则π()(6g g <π3，即ππ()()63ππsin sin63f f <，所以π()612f <ππ(()63f <．(四)商型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢-的式子通常构造函数()()f x y cg x =+ ，如给出()()xf x nf x ¢-可构造函数()n f x y x =，给出()()f x nf x ¢-，可构造函数()nx f x y e =，给出()()tan f x f x x ¢-，可构造函数()sin f xy x=.【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在[],a b 上是一条连续不断的曲线；②在(),a b 内可导;③对(),x a b "Î，()0g x ¢¹，则(),a b x $Î，使得()()()()()()f b f a fg b g a g x x --¢¢=.特别的，取()g x x =，则有：(),a b x $Î，使得()()()f b f a f b ax -¢=-，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x ¢在()0,+∞上单调递增，证明：函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数.(2)若(),0,e a b "Î且a b >，不等式ln ln 0a b b a m b a a b æö-+-£ç÷èø恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题()()()00f x f x f xx -=-，由柯西中值定理知：对0x ">，()0,x x $Î，使得()()()()001f x f f f x x x -==¢¢-，()()f x f xx =¢，又()f x ¢在()0,∞+上单调递增，则()()f x f x ¢>¢，则()()f x f x x¢>，即()()0xf x f x ->¢，故()f x y x=在()0,∞+上为增函数；（2）22ln ln ln ln 0a b b a a a b b m m b a a b a b -æö-+-£Û£ç÷-èø，取()ln f x x x =，()2g x x =，因为a b >，所以由柯西中值定理，(),b a x $Î，使得()()()()()()22ln ln 1ln 2f a f b f a a b b g a g b a b g x xx x--+===-¢-¢，由题则有：1ln 2m xx+£，设()()1ln 0e 2x G x x x+=<<，()2ln 2xG x x -¢=，当01x <<时，()0G x ¢>，当1e x <<时，()0G x ¢<，所以()G x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()max 112G x G ==，故12m ³，所以实数m 的取值范围是1,2éö+∞÷êëø.【例6】已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x ¢>，其中()f x ¢为函数()f x 的导数，若a ，b 为锐角三角形两个内角，比较22cos (sin ),sin (cos )f f b a a b 的大小.【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x ¢¢×-××-×¢==>所以函数()g x 在()0,1上单调递增.a ，b 为锐角三角形两个内角,则π2a b +>所以ππ022b a <-<<，由正弦函数sin y x =在π0,2æöç÷èø上单调递增.则π0cos sin sin 12b b a æö<=-<<ç÷èø所以()()cos sin g g b a <，即()()22cos sin cos sin f f b a b a<所以()()22sin cos cos sin f f a b b a ×<×.(五)根据()()()f x f x g x ±-=构造函数若给出形如()()()f x f x g x ¢±=的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R "Î,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --³-+-,求实数m 的取值范围.【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=-- 令3()()()()2x g x f x g x g x =-\=- 即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ¢¢=-> 即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --³-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+³即(2)()g m g m -³,所以2m m -³,解得1m £ ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()1f x ¢£对任意x ÎR 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <£”的真假，并说明理由；(3)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.【解析】（1）()cos 1f x x =£¢，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g ¢=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢£，即()10f x ¢-£令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ¢¢=-£，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==£Þ£---，综上所述，01k <£，即命题“01k <£”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=£-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢³-，即()10f x ¢+³令()()G x f x x =+，故()()10G x f x ¢=+³¢，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==³Þ³-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-Î--，即()()1f a f b a b -£-当12x x =时，则()()120f x f x T -=£恒成立当12x x ¹时，若21x x T -£，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--³³-，故()()12f x f x T-£若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T Î+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--³>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -£，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C 1和曲线C 2有公共点P ，且在P 处的切线相同，则称C 1与C 2在点P 处相切．(1)设()()221,8f x x g x x x m =-=-+．若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处相切，求m 的值；(2)设()3h x x =，若圆M ：()()2220x y b r r +-=>与曲线()y h x =在点Q （Q 在第一象限）处相切，求b 的最小值；(3)若函数()y f x =是定义在R 上的连续可导函数，导函数为()y f x ¢=，且满足()()f x f x ¢³和()f x <都恒成立.是否存在点P ，使得曲线()sin y f x x =和曲线y =1在点P 处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)P x y ，由22()1,()8f x xg x x x m =-=-+，求导得()2,()28f x x g x x ¢¢=-=-，于是11228x x -=-，解得12x =，由11()()f x g x =，得2212282m -=-´+，解得9m =，所以m 的值为9.（2）设切点3222(,),0Q x x x >，由()3h x x =求导得2()3h x x ¢=，则切线的斜率为222()3h x x ¢=，又圆M ：222()x y b r +-=的圆心(0,)M b ，直线MQ 的斜率为322x bx -，则由3222213x x x b -×=-，得32213b x x =+，令31(),03x x x x j =+>，求导得221()33x x xj ¢=-，当0x <<()0x j ¢<，当x >()0x j ¢>，即函数()j x 在上递减，在)+∞上递增，因此当x =()x j ，所以当2x min b =（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ¢¢=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x ¢+=，即0000()sin ()cos f x x f x x ¢=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x ¢==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x ¢+=，因此2200201[()]1[()][()]fx f x f x ¢×+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x ¢+=，而恒有()()f x f x ¢³成立，则有2200[()][()]f x f x ¢³，从而4200[()]2[()]f x f x ³，显然0()0f x ¹，于是20[()]2f x ³，即0|()|f x ³与()f x <所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数()f x 与()g x 的图象在它们的公共定义域D 内有且仅有一个交点()()00,x f x ，对于1x D "Î且()10,x x Î-∞，2x D Î且()20,x x Î+∞，若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×-<ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互穿；若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互回.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，导函数分别为()f x ¢与()g x ¢，()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ，()f x ¢与()g x ¢的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ¢.(1)若()e xf x =，()1g x x =+，试判断函数()f x 与()g x 的位置关系.(2)若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互回，证明：()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.(3)研究表明：若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互穿，则()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互回且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.根据以上信息，证明：23e 126!ixx x x x i ³++++×××+（i为奇数）.【解析】（1）设()()()()e 1e 1x xH x f x g x x x =-=-+=--，则()e 1xH x ¢=-，当0x <时，()0H x ¢<，当0x >时，()0H x ¢>，()H x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 10H x H ³=-=，即()()f x g x ³，当且仅当0x =时取等号.又()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()0,1，\函数()f x 与()g x 关于点()0,1互回.（2）设1x m <，2x m >，则()()()()11220f x g x f x g x ¢¢¢¢éùéù-×->ëûëû，（互回的定义的应用）设()()()h x f x g x =-，则()()()h x f x g x ¢¢¢=-，故()()120h x h x ¢¢>.①若()()12,h x h x ¢¢均大于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，（提示：()f x ¢与()g x ¢的图象交于点()(),m f m ¢.所以()0h x ¢³，所以()h x 单调递增，又()()()0h m f m g m =-=，（提示：()f x 与()g x 的图象交于点()(),m f m ）所以()10h x <，()20h x >，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.②若()()12,h x h x ¢¢均小于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，所以()0h x ¢£，所以()h x 单调递减，又()()()0h m f m g m =-=，所以()10h x >，()20h x <，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.综上，()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.（3）设()e xi f x =，()23126!ii x x x g x x i =+++++L （N *i Î）则()()'1e xi i f x f x -==（2i ³），()()()231'11261!i i i x x x g x x g x i --=+++++=-L （2i ³）（关键：寻找()'i f x 与()1i f x -，()'i g x 与()1i g x -，2i ³之间的关系）易知()1e xf x =，()11g x x =+，由（1）可知()1f x 与()1g x 关于点()0,1互回.因为()()00e 10i i f g ===，所以*N i "Î，()i f x 与()i g x 的图象交于点()0,1.由（2）得()2f x 与()2g x 关于点()0,1互穿，（提示：()()21f x f x ¢=，()()21g x g x ¢=）由（3）得()3f x 与()3g x 关于点()0,1互回，易得当i 为奇数时，()i f x 与()i g x 关于点()0,1互回，所以()1,0x "Î-∞，()20,x Î+∞，有()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû（i 为奇数）.（提示：互回的定义的应用）由题意得()()()()2212120i i i i f x g x f x g x --éùéù-×->ëûëû对任意正整数i 恒成立，（提示：由本问信息可得）所以()()()()121222220i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû()()()()222232320i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû，L ，()()()()222212120f xg x f x g x éùéù-×->ëûëû累乘得()()()()()()222121212120i i i i f x g x f x g x f x g x --éùéùéù-×-->ëûëûëûL 所以()()()()2212120i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû易知()()12120f x g x ->，（点拨：()()11f x g x ³，当且仅当0x =时等号成立，又()20,x Î+∞，所以()()1212f x g x >.所以()()220i i f x g x ->.因为()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，（i 为奇数），所以()()110i i f x g x ->（i 为奇数），因为()()00i i f g =，所以()()i i f x g x ³（i 为奇数），即23e 126!ixx x x x i ³++++¼+（i 为奇数），得证.【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间I 上连续的可导函数()y f x =，在I 上任取两点()11(,)x f x ，()22(,)x f x ，如果对于任意的1x 与2x 的算术平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的算术平均值，则称该函数在I 上具有“M 性质”.如果对于任意的1x 与2x 的几何平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的几何平均值，则称()y f x =在I 上具有“L 性质”.(1)如果函数log a y x =在定义域内具有“M 性质”，求a 的取值范围.(2)对于函数ln y ax x =-，若该函数的一个驻点是1=x e ，求a ，并且证明该函数在2,x e éùÎ+∞ëû上具有“L 性质”.(3)设存在,m n I Î，使得()()f m f n =.①证明:取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-②若[,]I a b =，设命题p :函数()y f x =具有“M 性质”，命題:()q f x ¢为严格减函数，试证明p 是q 的必要条件.(可用结论:若函数()f x 在区间I 上可导，且在区间I 上连续，若有(,)a b I Í，且()()f a f b =，则()f x 在区间I 上存在驻点)【解析】（1）由函数()log a f x x =在(0,)+∞上具有“M 性质”，可得对任意()1212121,(0,),log log log log 22aa a a x x x x x x +Î+∞³+=又12x x +³1a >；（2）令1()ln ,()g x ax x g x a x ¢=-=-由10e g æö¢=ç÷èø，得ea =则()e ln g x x x =-，在10,e æöç÷èø上严格减:在1,e æö+∞ç÷èø上严格增.要证()g x 在)2e ,é+∞ë上具有“L 性质”.需证g³即证()()212gg x g x éù³×ëû，而(222212 e ln gx x éù==-ëû()()()()()2121122121221e ln e ln e e ln l n ln ln g x g x x x x x x x x x x x x x ×=--=-++×则()()2212121lnln 4x x x x =-()121221ln ln n e l ln x x x x x x +-³，需证()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x x x +-++³，由()212121ln ln ln ln 4x x x x+³，()()122112e ln ln x x x xx x +-12ln ln x x éù=××ëû2e==故只需证0³，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x -¢=，即在(e,)+∞上()0,()h x h x<¢递减，所以0hh éù-£ëû，即0³.综上，()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x p x x +-++成立，故g³，得证.（3）①令()(()())()()g x f m f n x f x m n =---，()()()()()g x f m f n f x m n ¢¢=---，由可用结论，令x x =为该函数的驻点，则0()()()()()g f m f n f m n x x ¢¢==---，即取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-，得证.②取12,(,)x x a b Î，设12,(0,1),{1,2}k x x u k <ÎÎ，记01220012,x x x h x x x x =+=-=-，则1020,x x h x x h =-=+，由①中的结论，则有:()()()0001f x h f x hf x u h ¢+-=+（1）()()()0002f x h f x hf x u h ¢--=-（2）由(1)-(2)，得()()()()()00001022f x h f x h f x h f x u h f x u h ¢¢éù-++-=+--ëû对()f x ¢在区间[]0201,x u h x u h -+使用①中的结论，则：()()()2120102()f u u h h f x u h f x u h x ¢¢¢¢éù+=+--ëû，其中，()0201,x u h x u h x Î-+.由于()f x ¢是严格减函数，则()0f x ¢¢£，即()()()0002f x h f x h f x ++-³，即()()121222f x f x x x f ++æö³ç÷èø.所以p 是q 的必要条件.【例3】已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，导函数为()f x ¢，若()()1f x f x x <¢+恒成立，求证：()()3210f f -<.【解析】设函数()()()01f xg x x x =³+，因为()()1f x f x x <¢+，0x ³，所以()()()10x f x f x ¢+-<，则()'g x ()()()()2101x f x f x x -=+¢+<，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，从而()()13g g >,即()()1324f f >，所以()()3210f f -<.【例4】已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，判断函数()()()2132g x f x f x =-éùëû零点的个数.【解析】()()()()1''1x x x f x f x e f x e f x e +=Û+=()'1x e f x éùÛ=ëû，∴()xe f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=.()()()()213002g x f x f x f x =-=Þ=éùëû或()16f x =，()1001xx f x x e +=Þ=Þ=-；()()1116166x x x f x e x e +=Þ=Þ=+，如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例5】已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x ¢,且满足()()2sin f x f x x +-=,当0x ³时()sin cos f x x x x ¢>-- ,求不等式()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x <+的解集.【解析】设()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,所以()()g x g x --=()()f x f x --2sin 0x -=,所以()g x 是偶函数,设()()sin 0h x x x x =-³,则()1cos 0h x x ¢=-³,所以()()0h x h ¢³,即sin 0x x -³,所以0x ³时()sin cos cos f x x x x x ¢>--³- , 所以0x ³时()()cos 0g x f x x ¢¢=+>,()g x 在[)0,+∞上是增函数,所以()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x<+()2sin 2f x xÛ-ππsin 22f x x æöæö<---ç÷ç÷èøèø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èøπ22x x Û<-Û()22π22x x æö<-ç÷èøππ3022x x æöæöÛ+-<ç÷ç÷èøèøππ26x Û-<<,故选C.【例6】已知定义域为R 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ¢¢=，满足对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<.(1)若()sin 4xf x ax =+，求实数a 的取值范围；(2)若存在0M >，对任意x ÎR ，成立()f x M £，试判断函数()y f x x =-的零点个数，并说明理由；(3)若存在a 、()b a b <，使得()()f a f b =，证明：对任意的实数1x 、[]2,x a b Î，都有()()122b af x f x --<.【解析】（1）若()sin 4x f x ax =+，则cos ()4xf x a ¢=+，由题意，对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<，则1cos 4x a +<，即1cos 14xa <+<-，所以cos cos 1441x xa <---<，由于1cos 4x -的最小值为34，cos 14x --的最大值为34-，所以3344a -<<，即实数a 的取值范围为33,44æö-ç÷èø；（2）依题意，()10y f x ¢¢=-<，所以，()y f x x =-在R 上为减函数，所以至多一个零点；()f x M £Þ()M f x M -<<，，当1x M =--时，()()110y f x x f M M =-=--++>，当1x M =+时，()()110y f x x f M M =-=+--<，所以()y f x x =-存在零点，综上存在1个零点；（3）因为()1f x ¢<，由导数的定义得()()12121f x f x x x -<-，即()()1212f x f x x x -<-，不妨设12a x x b £££若122b ax x --£，则()()12122b a f x f x x x --<-£若122b a x x -->，则()()()()()()1212f x f x f x f b f a f x -=-+-()()()()12f x f b f a f x <-+-12b x x a<-+-()22b a b ab a --<--=.1.若定义域为D 的函数()y f x =使得()y f x ¢=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”．(1)分别判断()13=x f x ，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，证明：()()()()132g a g a g a g a +-<+-+；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增．2．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ¢，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ÎR ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y ll l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>¹，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ¢¢¢¢éù====+êúëû.(1)已知()10x xf x xx -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ¹，0x >.研究()112xxm g x æö+=ç÷èø的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2t s s a b æö+ç÷èø和2st t a b æö+ç÷èø大小关系.5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ÎN 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++¢¢×××+¢+×××．注：()f x ¢¢表示()f x 的2阶导数，即为()f x ¢的导数，()()()3n f x n ³表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+×××．当0x ³时，试比较cos x 与212x-的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设*n ÎN ，证明：()111142tannk n n n k n k=>-+++å.6. 函数()f x 满足22()(e )(2)ex f x f x -+=（e 为自然数的底数），且当1x £时，都有()()0f x f x ¢+>（()f x ¢为()f x 的导数），比较20202022(2022)(2020),e ef f 的大小 .7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，且2()()0f x xf x ¢+>．求证： ()0f x ³.8.已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，()23f x +是偶函数，记()()g x f x ¢=，()2g x +也是偶函数，求()2023f ¢的值.9. 定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x ¢<<恒成立，其中()y f x ¢=为函数()y f x =的导函数，求证：()()2481f f <<.10．已知()f x ¢为定义域R 上函数()f x 的导函数，且()()20f x f x ¢¢+-=，1x ³， ()()()120x f x f x -+>¢且()31f =，求不等式()()241f x x >-的解集11.定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），求(2)(1)f f 的取值范围.12.设()y f x =是定义在R 上的奇函数.若()(0)f x y x x=>是严格减函数，则称()y f x =为“D 函数”.(1)分别判断y x x =-和sin y x =是否为D 函数，并说明理由；(2)若1112xy a =-+是D 函数，求正数a 的取值范围；(3)已知奇函数()y F x =及其导函数()y F x ¢=定义域均为R .判断“()y F x ¢=在()0,∞+上严格减”是“()y F x =为D 函数”的什么条件，并说明理由.13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x ¢满足0()1f x ¢<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n Î，使得等式()0()()()f n f m n m f x ¢-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R Î，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．14.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()2f x f x ¢+>，()02024f =，求不等式2022()2e xf x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集。

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专题07 导数中的问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y ＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．2．(2022·新高考Ⅱ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________．3．(2022·全国乙文)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )A ．－π2，π2B ．－3π2，π2C ．－π2，π2＋2D ．－3π2，π2＋2 4．(2022·新高考Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3，0)中心对称，则( ) A ．f (x )在区间(0，5π12)单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 6．(2022·全国乙理)已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若 x 1＜x 2，则a 的取值范围是____________．7．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，814]B ．[274，814]C ．[274，643] D ．[18，27] 【知识总结】1．导数的几何意义(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f (x )的定义域；②求导函数f ′(x )；③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调递减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集；③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0附近两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点．(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【同类问题】题型一曲线的切线方程1．(2021·全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 2．(2020·全国Ⅱ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋13．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x4．(2020·全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2021·新高考Ⅱ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a7．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)8．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．9．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．10．过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．题型二曲线的公切线方程11．(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x ＋12 C ．y ＝12x ＋1 D ．y ＝12x ＋1212．已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为．13．若直线l 与曲线y ＝e x 及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________． 14．曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．15．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝．16．(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．17．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．18．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1，0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( )A ．0B ．－1C ．3D ．－1或319．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________．20．已知曲线f (x )＝ln x ＋1与g (x )＝x 2－x ＋a 有公共切线，则实数a 的取值范围为．题型三函数的性质21．设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 22．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为．23．函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 24．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点25．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e 26．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．127．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值1228．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2 29．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．30．(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e|x |，则下列选项正确的是( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e＋1。