2022年人教版九年级数学上册第二十四章圆教案正多边形和圆(第2课时)

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【人教版】2020九年级数学上册第二十四章圆 24.3 正多边形和圆教案2 (新版)新人教版

24．3 正多边形和圆01 教学目标1．了解正多边形的概念．2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形． 3．会进行有关圆与正多边形的计算．4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形． 5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．02 预习反馈阅读教材P 105～107，完成下列知识探究． 1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°边数．4．正n 边形都是轴对称图形，它的对称轴有n 条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．03 新课讲授例1 (教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．【解答】如图，连接OB ，OC .因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l ＝6×4＝24(m)．作OP ⊥BC ，垂足为P .在Rt△OPC 中，OC ＝4 m ，PC ＝BC 2＝42＝2(m)，利用勾股定理，可得边心距r ＝42－22＝23(m)．亭子地基的面积S ＝12lr ＝12×24×23≈41.6(m 2)．思考：正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？【跟踪训练1】 (24.3习题)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，求⊙O 的内接正三角形EFG 的边长．解：连接AC ，OE ，OF ，作OM ⊥EF 于M ，根据正方形的性质可得AB ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝90°，∴AC 是⊙O 的直径．在Rt△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋42＝4 2. ∴OE ＝OF ＝22.∵OM ⊥EF ，∴EM ＝MF .∵△EFG 是正三角形，∴∠G ＝60°.∴∠EOF ＝2∠G ＝120°. ∴∠EOM ＝12∠EOF ＝60°.∴∠OEM ＝30°.在Rt△OME 中，OE ＝22，∠OEM ＝30°， ∴OM ＝2，ME ＝OE 2－OM 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴EF ＝2ME ＝26，即正三角形EFG 的边长为2 6.例2 已知⊙O，求作⊙O 的内接正△ABC.【解答】作直径AM ；再作OM 的垂直平分线BC ，交⊙O 于B ，C ；连接AB ，AC ，则△ABC 为⊙O 的内接正三角形．【跟踪训练2】你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？【点拨】只要作出已知⊙O 的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……04 巩固训练1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B )A ．4B ．5C ．6D ．72．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C )A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 33．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A )A ．2B . 3C ．1D .124．正三角形的边心距、半径和高的比为(D )A ．1∶2∶ 3B ．1∶2∶3C ．1∶2∶ 3D ．1∶2∶35．如图，正六边形的内切圆的半径OD ＝ 3 cm ，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB ＝2cm ，正六边形的面积S 2.6．如图，已知正三角形ABC 的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．解：设这个正三角形的中心为O ，连接OB ，OC ，作OH⊥BC 于H. ∵∠BOC＝360°3＝120°，∴∠BOH＝60°.在Rt △BOH 中，BH ＝12BC ＝3，∠OBH＝30°，∴OH＝3，OB ＝23，即该正三角形的中心角为120°，半径为23，边心距为 3. 【点拨】正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．05 课堂小结1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.。

九年级数学上册第二十四章圆24.3 正多边形和圆教案(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级

【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形. BCE CDA AB3【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（n-2）n例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.（2）用尺规等分圆正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=，连接OM、ON.（1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠O=30°，∠BOC=120°.又∵BM=，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“”中选取.练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。

人教版九年级数学上册第24章圆3 正多边形和圆

后千余年中国圆周率计算在世界的领先地位.
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开
口至少是多少？你能想办法知道吗？
你能举出来生活中常见的正多边形吗？
自主探究
1.请同学们阅读课本105页.
①如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一
定是正n边形吗？（一定是）
②填写下表：
正多边形的有关计算）
中心
正多边形
的对称性
正多边形的
有关概念
半径
边心距
中心角
正多边形
的性质
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
【教材习题】完成课本108-109页习题1，4，5，6题.
【作业本作业】完成相应练习.
【实践性作业】从家中找一枚一元硬币，测量它的直径，
则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大是多少？
解: (1)如答图,连接OC、OD,作 ⊥ 于H,
∵⊙O的周长为8πcm,∴易得 = .
∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴ ∠ = °,又∵ ⊥ ,

∴ ∠ = ∠ = °, ∴ = = ,
∴ = − = .∴圆心O到CD的距离为 .
例4:如题图,⊙O的周长为8πcm,正六边形ABCDEF内接于⊙
O.
(2)求正六边形ABCDEF的面积.
解: ∵ = ,∴易得 = .

∴正六边形ABCDEF的面积 = × × ×
= .
本节课我们学习了哪些知识？
（正多边形的有关概念；正多边形的画法；
例1：如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边

2020秋九年级数学上册第二十四章圆 24.3 正多边形和圆教案2 (新版)新人教版

24.3 正多边形和圆教学目标1。

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。

2。

通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。

3。

通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱。

重点:1。

正多边形的有关概念,特殊正多边形的有关计算。

2.掌握圆内接正多边形的半径、边心距、边长三者之间的联系.难点：1.正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算。

2.会作圆和正多边形的辅助性，构造直角三角形，运用勾股定理。

课前准备师：多媒体课件、圆形纸片生：直尺、圆规、圆形纸片教学过程一、复习回顾，引入新课问题1：观察下面多边形,找出它们的边、角有什么特点？（幻灯3）问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗? （幻灯4）【教学备注】【设计意图】让学生观察、归纳出正多边形的特点问题3：圆具有哪些对称性？（幻灯5）二、目标导学,探索新知目标导学1：理解正多边形的定义（幻灯6~8）问题1：什么叫正多边形？问题2：矩形是正多边形吗?为什么？菱形是正多边形吗？为什么？【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件:①各边相等；②各角相等。

二者缺一不可.问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗?【教师强调】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴,且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。

目标导学2：了解正多边形和圆的密切关系,借助圆可以画正多边形（幻灯9~11）问题1：怎样把一个圆进行四等分？问题2：依次连接各等分点,得到一个什么图形？【设计意图】意在暗含正多边形有一个辅助外接圆，为正多边形和圆有密切关系做好铺垫。

【教学提示】可借助圆规，或提示学生通过折叠得出结果。

【教学提示】从弧相等—弦相等-边相等；弧相等—圆周角相等-角相等，从而根据正多边形的定义得证。

人教版九年级数学上册《24章圆24.3正多边形和正多边形的有关计算》优质课教案_2

正多边形的有关计算教学目标1.使学生理解并掌握正多边形有关计算的定理；2.使学生掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长和面积的计算方法；3.使学生掌握利用解直角三角形去解决正多边形有关计算的方法，培养和提高学生的分析问题和解决问题的能力；4.通过例题的教学，训练学生把实际问题抽象为数学问题并能准确计算的能力.教学重点和难点把正多边形的有关计算转化为解直角三角形的思想方法和准确计算的能力.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.提问：什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角?怎样计算正n边形中心角的度数?2.在Rt△ABC中，∠＝90°，写出三角形中边的关系、角的关系、边角关系.3.正n边形的内角和等于多少?如何求出它的每一个内角?根据正多边形的定义和多边形内角和定理，学生很容易得到正n(n≥3)边形的每个内角都等于：4.作一个正五边形，作出它的半径、中心角和边心距，观察它们之间有何关系?(图7-248)由图7-248，学生容易说出：正五边形的五条半径把正五边形分成全等的五个等腰三角形，每条边上的边心距又把一个等腰三角形分为两个全等的直角三角形，并且直角三角形的两个锐角分别为每个中心角和内角的一半.5.若正多边形的边数为n时，它的边长、半径、中心角、边心距之间的关系如何呢?怎样做有关的计算?这就是我们这节课要学习的内容.(板书课题：正多边形的有关计算)二、提出猜想，证明猜想，形成定理1.提出猜想.根据上面第4个问题，引导学生提出如下猜想：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.2.证明猜想，形成定理.引导学生作出正n边形的n条半径(如图7-249)易证明这些半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形.再作正n边形的边心距，这些边心距都是相等的.因此得出这些边心距又把n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的，于是可得定理.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.教师指出：根据上述定理，正n边形的有关计算就可转化为解直角三角形问题.例如：若正n边形A1A2A3…Ａn的半径为R，由图7-250可知：在Rt△OA2P中，OA2＝R，∠POA2＝.于是边长a n＝2Rsin，边心距r n＝2Rcos，周长P n＝2nRsin，面积S n＝＝nR2sin·cos.以上各式都可很快推导出来，不需要死记硬背.三、应用举例，课堂练习例1 已知正六边形ABCDEF的半径为R(图7-251)，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6.引导学生作出△AOB及Rt△BOG，把问题转化为解Rt△BOG，学生完成解答已不困难.由学生口述，教师板书示范.最后，教师指出：(1)正六边形的边长等于它的半径，即a6＝R.这一结论很重要，要记住这个特性.(2)通过例1可知，正n边形的面积S n＝P n r n.说明正多边形的面积公式与三角形的面积公式有类似之处.练习 1 已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.说明：已知圆的半径为R，它的内接正三角形边长a3＝R，正方形的边长a4＝R，正六边形的边长a6＝R.这些结论经常用到，应当记住.例2 在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形(课本图7-88)，测得这个正五边形的边长是48厘米，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1厘米).引导学生从实际问题中抽象出几何图形，即把拨禾轮的侧面画成一个边长为48厘米的正五边形，作出相应的Rt△OAF(图7-252)，解这个直角三角形可得R5和r5.学生自己完成解答过程.例3 已知：正十边形的半径为R.引导学生进行分析：证明，实质上就是已知半径为R，求圆内接正十边形的边长.学生很可能用前边推出的公式得出此结论虽然成立，但不符合题目要求，应重新考虑.想到正十边形的中心角，联想到顶角为36°角的等腰三角形，如图7-253中，AB＝a10，OA＝OB＝R.∠AOB＝36°，∠OAB＝∠OBA＝72°.若能作出∠OBA的平分线，便可得到两个相似三角形△OAB和△BAM，由此可得到a10与R的关系式.证明：学生口述，教师板演.教师提出：从此题的结论可以看出：，这是在第二册学过的黄金分割.黄金分割在建筑及工艺设计上应用十分广泛.练习 2 (投影打出)完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：练习 3用代数式表示边长为2a的正十边形的面积.(引导学生利用例3的结论解题)四、师生共同小结提出问题，让学生自己小结.1.本节定理的主要内容是什么?2.怎样解决正多边形的有关计算问题?3.学习了哪些主要的数学思想方法?在学生回答的基础上，教师归纳总结：1.正多边形有关计算的定理告诉我们，可以把正n边形分成2n个全等的直角三角形，并且把正多边形的各元素集中地反映在这些直角三角形中.2.关于正多边形的有关计算问题可以转化为解直角三角形的问题来解决.3.渗透了化归的思想.五、布置作业课本p.173习题7.6A组7，8，9，10，11题.板书设计(略)课堂教学设计说明这份教案为两课时，教学内容的选择和板书安排可根据实际情况而定.。

九年级数学上册第24章《正多边形和圆》名师教案(人教版)

24.3 正多边形和圆一、教学目标（一）学习目标1.了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．2.会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．3.会进行有关圆与正多边形的计算．（二）学习重点正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．（三）学习难点理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．（2）把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°边数．（3）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．（4）正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有n条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．2.预习自测（1）如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为______．【知识点】多边形外角和．【思路点拨】根据多边形的外角和为360°，且正多边形每个外角度数相等，正多边形的边数和角的个数相同，由此可以得到答案.【解题过程】解：360°÷60°=6.【答案】6.（2）若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为_____．【知识点】边心距的概念．【数学思想】数形结合【思路点拨】根据正多边形的边心距与边长的比为1∶2，可以得到边心距与边的一半之比为1:1，利用数形结合的方法，根据上图可以得到等腰直角三角形，由此可以得到答案. 【解题过程】解：如图，∵12AB CD =，∴11AB BC = ∴ABC ∆为等腰直角三角形，∴45ACB ∠=o∴多边形的一条边所对的圆心角等于90°∴边数=360490=oo 【答案】4.（3）已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为（）．【知识点】中心角.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据正六边形的中心角360606=oo ，且两条半径相等，从而得到等边三角形，因此边长等于半径，由此可以得到答案.【解题过程】解：如图，360606A ∠==oo ∵AB=AC=3cm∴ABC ∆为等边三角形∴BC=AB=3cm∴周长=18cm【答案】18cm.（4）正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是_______.【知识点】多边形内角与外角.【思路点拨】根据多边形的中心角为360n o ，进而用含n 的式子表示每一个外角为360n o，利用内角和外角互补，即可得到答案.()()21803n n -⨯≥o 的整数【解题过程】解：设正多边形为正n 边形，则它的每个中心角是360n o ∵多边形的外角和是360°，∴每个外角是360no∵一个外角+一个内角=180°∴一个中心角+一个内角=180°故一个中心角和一个内角互补.【答案】互补.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正多边形的概念：各条边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.（2）正多边形的性质：各条边都相等；各个内角都相等.（3）n 边形的内角和为________________________，n 边形的外角和为360°.（4）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”.2.问题探究探究一从旧知识过渡到新知识●活动①回顾旧知观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.学生回答： (1)正六边形；(2)正八边形；(3)等边三角形；（4）正五边形．【设计意图】复习正多边形的概念，为今天的课程做准备．激发学生的学习兴趣． ●活动②整合旧知正多边形与圆有什么关系呢？学生根据教师提出的问题进行思考，回忆圆的有关知识，进而回答教师提出的问题．即等O EDC B 分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．探究二等分圆周，正多边形的有关概念（★▲）●活动①为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明．教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：如图，∵»»»»»AB BC CD DE EA ==== ∴AB BC CD DE EA ====¼¼»3BAD CAE AB == ∴ C D ∠=∠同理可证：A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠∴ 五边形ABCDE 是正五边形．∵A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上，∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．【设计意图】使学生理解、体会圆与正多边形的内在联系.●活动②如何三等分圆周呢？教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行作图，方法不限．以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图1．图1②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图2．图2(2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图3．图3(3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长为3，半径为2cm，用圆规在⊙O上截取长度为3的弦AB、AC，连结AB、BC、CA 即可．【设计意图】充分发展学生的发散思维．让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性．（2）正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n，都能和原来的图形重合．给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．●活动③在学生作图的基础上，教师归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆：（1）作正四边形、正八边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：只要做出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……（2）作正六、三、十二边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：先做出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．【设计意图】教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形．使学生体会随着正多边形边数的增多，正多边形越来越接近圆．探究三利用正多边形和圆解决实际问题.●活动①实际应用参照下图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．停教师提出问题后，学生认真思考，并在笔记本上试着作图，再与同学进行交流．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．学生作图如下：【设计意图】应用等分圆周的方法作图．●活动②方案设计例某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃（注意：面积相等必须由数学知识作保证）；（2）花卉总面积等于广场面积；（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．【设计意图】发展学生作图的能力，对学生进行美的教育，发展学生作图能力．【解题过程】探究四正多边形和圆的应用●活动①基础性例题例1.己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B. 3 C. 2 D. 23【知识点】正六边形、正三角形的性质，勾股定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：如下图，由正六边形的性质知，三角形AOB为等边三角形，所以，OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得内切圆半径：OC＝3【思路点拨】构成以半径、边心距、边长为边的直角三角形是解题关键．【答案】B练习：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=．【知识点】正多边形的计算【数学思想】数形结合【解题过程】解：设O是正五边形的中心，连接OD、OB．则∠DOB=25×360°=144°，∴∠BAD=12∠DOB=72°，故答案是：72°．【思路点拨】设O是正五边形的中心，连接OD、OB，求得∠DOB的度数，然后利用圆周角定理即可求得∠BAD的度数．正确理解正多边形的内心和外心重合是关键．【答案】72°．例2.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A. 4个B. 6个C.8个D.10个【知识点】正多边形和圆【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有2个位置，即有2个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个．故选C．【思路点拨】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．【答案】C练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是．【知识点】多边形内角与外角．【解题过程】解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．【答案】18【设计意图】熟记正多边形的有关概念，并会应用正多边形的有关概念解题．●活动2提升型例题例3.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为__________．【知识点】正多边形和圆．【解题过程】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直径，AC=42，∴OE=OF=22，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，在Rt△OME中，∵OE=22，∠OEM=12∠GEF=30°∴OM=2，EM=3OM=6，∴EF=26．故答案为26．【思路点拨】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．【答案】26．练习：如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=．【知识点】正多边形及其外接圆的性质，圆周角定理【数学思想】数形结合【解答过程】解：设该正十二边形的圆心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知∠A3OA10=536012⨯︒=150°，∴∠A3A7A10=75°，故答案为：75°．【思路点拨】作出恰当的辅助线，灵活运用正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理来分析是解答此题的关键．【答案】75°．例4. 如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD 与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为．【知识点】旋转的性质，坐标与图形性质，正方形的性质，正多边形和圆．【解题过程】解：如图，由题意得：正方形ABCD的边长为2，∴该正方形的对角线长为22，∴OA′=2；而OM=1，∴A′M=2﹣1；由题意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，∴∠MNA′=45°，∴MN=A′M=2-1；由勾股定理得：A′N=2﹣2；同理可求D′M′=2﹣2，∴M’N=2﹣（4﹣22）=22﹣2，∴正八边形的边长为22﹣2．【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题．【答案】22﹣2．练习：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【知识点】切线的性质；正多边形和圆．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB=3606=60°，∴∠ADB=12∠AOB=12×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．【思路点拨】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理求∠PAB．【答案】A【设计意图】熟练应用正多边形和圆的知识解题．●活动3探究型例题例5.如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1. 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）. 设点M转过的路程为m（0<m<1）. 随着点M的转动，当m从13变化到23时，点N相应移动的路径长为.【知识点】单点和线动旋转问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】①当m=时，连接PM，如图1，∠APM=360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=1×=．②当m=时，连接PM，如图2，∠APM=360°﹣×360°=120°，同理可得：NO=．综合①、②可得：点N 相应移动的路经长为+=．故答案为．【思路点拨】先求到点M转动的圆周角的度数，由对称性得到∠OAN的度数，从而求得点N 相应移动的路径长．若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．【答案】23.练习：有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于（）A．12B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9【知识点】正方形的性质，相似三角形的性质、正方形面积．【解题过程】解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵13EFAC=∴119DACSS∆=∴1118ABCDSS=正方形∴1118ABCDS S=正方形21118S x=∴∵214ABCSS∆=∴218ABCDSS=正方形218ABCDS=正方形∴S2218S x=∴221211::4:9188S S x x∴==故选D．【思路点拨】设小正方形的边长为x，再根据正方形的性质和三角形面积公式求出S1、S2的面积，即可得出答案．【答案】D例6.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则SS阴影空白=（）A. 3B. 4C.5D.6【知识点】正多边形和圆【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为12a，32a，∴S空白= 12a•32a=34a2，∵AB=a，∴OC=3a，∴S正六边形=6×12a•3a=33a2，∴S阴影=S正六边形﹣S空白=332a2﹣34a2=534a2，∴SS阴影空白=2253434aa=5，故选C．【思路点拨】正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【答案】C【设计意图】综合应用正多边形和圆等的知识解题，进一步提高解题能力．练习：如图(1)、(2)、(3)、…、(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图(1)中∠MON的度数；(2)图(2)中∠MON的度数是_________，图(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).【知识点】正多边形与圆，圆心角【数学思想】数形结合，特殊到一般【解题过程】(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90°，72°(3)∠MON=n360.【设计意图】综合应用正多边形和圆等的知识解题，进一步提高解题能力． 3. 课堂总结知识梳理（1）正多边形：各边相等、各角相等，缺一不可；（2）正多边形与圆的关系：()3n n n ≥−−−−−→分成等分圆圆内接正边形；（3）正多边形的有关概念：中心、半径、中心角和边心距；（4）与正多边形有关的计算公式：①正n 边形每个角为()2180n n-⋅o ；②正n 边形每个中心角为360n o；③正n 边形每个外角为360n o；④正n 边形的边心距()22,2n n a r R R a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是半径是边长；⑤正n 边形的周长()n n l na a =是边长；⑥正n 边形的面积()12S lr l n r n =是正边形的周长，是正边形的边心距；（5）正多边形的画法；（6）正多边形的性质：边、角、对称性. 重难点归纳（1）能够充分认识正多边形的有关概念，并计算有关长度、面积和角度；（2）与正多边形有关的性质的应用.（三）课后作业基础型自主突破1. 如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（）.A.B.C.D.【知识点】中心角【解题过程】360572=oo【思路点拨】中心角=360no ，则360n =o中心角.【答案】B2. 如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于，则阴影部分的面积等于（）A.B.C.D.【知识点】正多边形和圆【数学思想】数形结合【解题过程】解：作出正方形ABCD,如图所示：△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，EF=2x ，正八边形的边长是2x ．则正方形的边长是（2+2）x ．根据题意得：2x （2+2）x=20，解得：x 2=2+1=10（2﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x （2+2）x ﹣2×12x 2]=2（2+1）x 2=2（2+1）×10（2﹣1） =20．【思路点拨】设直角△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，EF=2x ，正八边形的边长是2x ．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x 的值，然后利用矩形和三角形的面积求解．【答案】A3. 如图，点是正六边形的对称中心，如果用一副三角尺的角，借助点（使该角的顶点落在点处）把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能取值的个数是（）A. B. C. D.【知识点】正多边形和圆【解题过程】解：360°÷30°=12；360°÷60°=6；360°÷90°=4；360°÷120°=3；360°÷180°=2；因此n的所有可能的值共5种情况.【思路点拨】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．【答案】B4. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（）A. B. C. D.【知识点】正多边形和圆【数学思想】数形结合【解题过程】解：由题意得：AB=48÷6=8m过O作OC⊥AB，∵AB=BO=AO=8m∴CO=228-4=43m∴正六边形面积为：43×8×12×6=963（m2）【思路点拨】首先根据正六边形的特点可把正六边形分成6个全等的等边三角形，再根据题意算出一个等边三角形的面积，进而可算出正六边形面积．【答案】A5.正八边形的中心角等于_______度．【知识点】中心角【解题过程】36045 8=oo【思路点拨】中心角=360no.【答案】45°6.半径为的圆内接正方形的对角线长为_____cm，面积为_____．【知识点】圆与正多边形【解题过程】对角线长=3×2=6（cm），面积=6×6÷2=18（cm²）【思路点拨】圆内接正方形的对角线等于圆的直径，正方形是特殊的菱形，面积=对角线乘积的一半.【答案】6；18.能力型师生共研7.已知正六边形的外接圆半径是，则这个正六边形的边是．【知识点】圆与正多边形【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=3606︒=60°，∵OB=OC=2，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2．【思路点拨】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC的度数，判断出△BOC 为等边三角形即可求出答案．【答案】28.如图，有一圆内接正八边形，若的面积为，则正八边形的面积为．【知识点】圆与正多边形【数学思想】数形结合【解题过程】解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．【思路点拨】取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE 全等的三角形构成．【答案】40探究型多维突破9.如图，的半径为，的一个内接正多边形的边心距为，求它的中心角、边长、面积．【知识点】圆与正多边形【数学思想】数形结合【解题过程】解：连结OB ，∵在Rt △AOC 中，AC=22OA OC -=21-=1， ∴AC=OC ，∴∠AOC=∠OAC=45°， ∵OA=OB ，OC ⊥AB ，∴AB=2AC=2，∠AOB=2∠AOC=2×45°=90°， ∴这个内接正多边形是正方形． ∴面积为22=4∴中心角为90°，边长为2，面积为4．【答案】中心角为90°，边长为2，面积为4．10.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE 是⊙O 的直径，用直尺和圆规作⊙O 的内接正八边形ABCDEFGH （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD ，已知OA=5，则扇形OAD （∠AOD ＜180°）面积等于．【知识点】圆与正多边形，扇形面积，复杂作图．【解题过程】解：（1）作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求，如图所示，（2）∵八边形ABCDEFGH 是正八边形， ∴∠AOD=3608︒⨯3=135°，∵OA=5，∴扇形OAD 的面积=ππ87536013552=︒︒⨯⨯. 故答案为：π875．【思路点拨】（1）将圆周八等分，顺次连接各分点即可．（2）会求八边形的内角的度数是解题的关键．【答案】π875自助餐1.一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（） A ．12mmB ．123mmC ．6mmD ．63mm【知识点】圆与正多边形【数学思想】数形结合【解题过程】解：已知圆内接半径r 为12mm ，则OB=12，∵OB=OC ，∠BOC=60°∴△OBC 为等边三角形，则BC=OB=12，可知边长为12mm ，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A ．【思路点拨】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．【答案】A．2.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．38B．34C．24D．28【知识点】正多边形和圆．【解题过程】解：如图1，在Rt△OCD中∵OC=1，∠OCD=12∠ACB=30°，∴OD=12OC=12；如图2，可知△OBE为等腰直角三角形∵OB=1，∴OE=22；如图3，∵∠AOB=60°可知△AOD为一个角为30°的直角三角形∵OA=1，∴AD=12OA=12∴OD=() 22112=32，则该三角形的三边分别为：12、2、3，∵（12）2+（22）2=（32）2，∴该三角形是以12、22为直角边，32为斜边的直角三角形，∴该三角形的面积是12×12×22=28，故选：D ．【思路点拨】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【答案】D ．3.如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A 点的坐标为（﹣1，0），则点C 的坐标为．【知识点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OE ，由正六边形是轴对称图形知：在Rt △OEG 中，∠GOE=30°，OE=1． ∴GE=12，OG=32．∴A（﹣1，0），B（﹣12，﹣32），C（12，﹣32），D（1，0），E（12，32），F（﹣1 2，32）．故答案为：（12，﹣32）【思路点拨】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．【答案】（12，﹣32）4. 如图，正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（，）【知识点】正多边形和圆；两条直线相交或平行问题，一次函数．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接AE，DF，∵正六边形ABCDEF的边长为3BA，EF交于点O，∴可得：△AOF是等边三角形，则3，∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，3∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故3×36，∴F（3，3），D（43，6），设直线DF的解析式为：y=kx+b，则33 436k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：332kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线DF的解析式为：y=33x+2，当x=23时，y=23×33+2=4，∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（23，4）．故答案为：23，4．【思路点拨】首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F点坐标，进而求出直线DF的解析式，进而求出横坐标为23时，其纵坐标即可得出答案．得出F，D点坐标是解题关键．【答案】23，4．5.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【知识点】正方形、五边形性质，一次函数、二次函数图象．【数学思想】数形结合【解题过程】解：S △AEF =21AE×AF=21x 2， S △DEG =21DG×DE=21×1×（3﹣x ）=23x-，S 五边形EFBCG =S 正方形ABCD ﹣S △AEF ﹣S △DEG =9﹣21x 2﹣23x -=﹣21x 2+21x+215，则y=4×（﹣21x 2+21x+215）=﹣2x 2+2x+30，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：y=﹣2x 2+2x+30（0＜x ＜3）．故选：A【思路点拨】先求出△AEF 和△DEG 的面积，然后可得到五边形EFBCG 的面积，继而可得y 与x 的函数关系式．解答本题的关键是求出y 与x 的函数关系式，对于有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值进行判断．【答案】A6.一张圆心角为45°的扇形纸板盒圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，求扇形和圆形纸板的面积比.【知识点】正多边形和圆；勾股定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图1，连接OD ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1， ∵∠AOB=45°， ∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=22215+=，∴扇形的面积是245(5)360πg =85π；如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC ， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=1， ∴MC=MB=2， ∴⊙M 的面积是π×（2）2=21π， ∴85π∶（21π）=5∶4【思路点拨】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．解此题的关键是求出扇形和圆的面积，【答案】5∶4.。

人教版九年级数学上册教案：24.3正多边形和圆2

武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案计划学时正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．教法一、复习提问：1、正多边形的半径、边心距、中心角都分别是什么？2、如何把圆进行四等分？二、自主探究：实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周．怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠oAc=30°．你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形．利用这种方法可以画出任意的正n边形.学生先自学课本，然后回答课件上的问题。

重点是回答：正多边形的半径、边心距、中心角都分别是什么？第二种方法，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可．你能尺规作出正十二边形、正二十四边形吗？以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………三、课堂练习：课后练习题四、课堂小结：说说作正多边形的方法有哪些?（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．五、布置作业：把一个圆进行二十四等分。

六、板书设计：圆和正多边形六等分圆十二等分圆练习题本节课学生给予动手的时间较多，目的是使学生学会等分圆的方法，整体学生参与度高，学习效果良好。

2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 正多边形和圆(第2课时)

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