2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末

数学试题

一、单选题

1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）

A．3B．2C．4D．

【答案】D

【解析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．

【详解】

由均为单位向量，它们的夹角为60°

∴

∴，

∴

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了向量的模的运算问题，对于求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，着重考查了推理与运算能力。

2．函数y=的最小正周期为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．

【详解】

由题意，函数，

故函数的周期为π，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了同角函数函数的基本关系式，以及余切函数的最小正周期的求解问题，其中熟记同角三角函数的基本关系式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．已知a=，，c=，则a、b、c的大小关系为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由，

，即可判断出大小关系．

【详解】

由题意，，

则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，

结合三角函数的图象，即可求解。

【详解】

令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

在[0，]内，那么，

∴y的值域为[-1，2]．

那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，

结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据图象求出周期，注意到与关于对称，求出，就是的值。

【详解】

由图象可得最小正周期为，所以，

注意到与关于对称，

故，所以，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了函数的图象的应用，其中解答中合理利用三角函数的图象与性质，利用对称性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。6．cos960°=（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】

由题意，可得cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=．故选C．

【点睛】

本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

二、填空题

7．已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．

【答案】{λ|λ＜且λ≠-6}

【解析】根据题意可得，且不共线，由此求得λ的取值范围．

【详解】

因为向量=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，

∴，即；

且不共线，即，∴．

综上可得，λ的范围为{λ|且}，

故答案为：{λ|且}．

【点睛】

本题主要考查了两个向量的数量积、两个向量共线的条件，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及两个向量的共线的条件，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

8．计算=______．

【答案】

【解析】利用两角和的正切函数的变形式，tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），化简即可求出表达式的值．

【详解】

由题意，知tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），

则

.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的求值与化简，两角和公式的应用，弦切互化，其中解答熟记两角和的公式，合理利用诱导公式运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。

三、解答题

9．如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是形的内接矩形，其中D在线段OQ上，A、B在线段OP上，记∠BOC为θ．

（1）若Rt△CBO的周长为，求cos2θ的值；

（2）求OA•AB的最大值，并求此时θ的值．

【答案】（1）±（2）θ=时，OA•AB取得最大值

【解析】（1）由题意可得BC=sinθ，OB=cosθ，由条件可得sinθ+cosθ=，0

＜θ＜，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；

（2）分别求得OA，AB，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得最大值以及相应的角．

【详解】

（1）∠BOC为θ，可得BC=OC sinθ=sinθ，

OB=OC cosθ=cosθ，

由题意可得+sinθ+sinθ=，

化为sinθ+cosθ=，0＜θ＜，

两边平方可得2sinθcosθ=＞0，

即sin2θ=，cos2θ=±=±；

（2）在直角三角形OBC中，BC=sinθ，

即有AD=sinθ，