指数与对数的运算

指数与对数的运算

【课标要求】

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

【命题走向】

指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

【要点精讲】

1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n

∈⋅⋅= )0(10

≠=a a *),0(1

N n a a

a n n

∈≠=

- n 个a

(2)运算性质： )

()(),()()

,(Z n b a ab Z n m a

a Z n m a a a n n n mn

n

m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ 两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅

∴n m a a ÷=n

m a a -⋅=n

m a

- ② n b a )(可看作n

n b a -⋅ ∴n b

a )(=n n

b a -⋅=n n b a

2、根式：

（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n

则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：n

a x =

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0

名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数

（3）公式： a a n

n =)( ；当n 为奇数时 a a n n =； 当n 为偶数时 ⎩⎨

⎧<-≥==)

0()

0(a a a a a a n n

3、分数指数幂

（1）有关规定： 事实上，kn

n

k

a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n

m k ∈>= ，m

n n m

n k a a a ==)()(由n 次根式

定义, n a a m

n

m 的是次方根，即：n m n

m a a

=

（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=

-n N n m a a

a n

m n

m 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

)

,0,0()()

,,0()()

,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 4、对数的概念

（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b

=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,

log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；

②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （2）基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； ③1log =a a ；4）对数恒等式：N a

N

a =log 。

（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。 （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N

N m m a

两个非常有用的结论①1log log =⋅a b b a ；②b m

n

b a n

a m log log =

。 【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

(1) a f(x)

=b ⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b ⇔f(x)=a b

; （定义法） (2) a f(x)

=a g(x)

⇔f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法）

(3) a

f(x)=b

g(x)

⇔f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法)

(4) log a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)

【典例解析】

题型1：指数运算

例1．（1）计算：25.021

21

3

2

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

45()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简

3

2233--+ （3）化简：

5332

33

23

233

2

3

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯

-÷++--

。 （4）化简： 3

3

3

23

3

23

134)21(428a a

b b

ab a b a a ⨯-÷++-

例2．已知112

2

3x x

-+=，求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值。

题型2：对数运算 例3．计算

（1）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；

（3）1

.0lg 2

1

036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2

3--+⋅。