含参的单调区间的讨论

含参函数的单调性讨论

类型一：导函数可转化为一次函数或二次函数型

分类讨论步骤： ① 求定义域.

② 讨论导数的最高项系数.

若最高项系数含有参数则需分大于零，小于零，等于零进行讨论； 若最高项系数不含参数则此步略.

③ 求极值点，即导函数的变号零点.

首先讨论有无极值点：一次函数型有无极值点一目了然；二次函数型可用判别式、因式分解等方法判定.

然后讨论两极值点的大小，以及极值点与给定区间端点的大小关系，即极值点是否在给定区间内. ④总结

例1：讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间

变式1：已知函数()ln ()a

f x x a R x

=+∈，试讨论其在[1,]e 上的单调性及最值.

变式2：讨论x ax x f ln )(+=的单调性

例2：设函数a ax x a x x f 244)1(3

1)(23

+++-=讨论函数)(x f 的单调性.

变式1：设函数x a x a x x f ln 4)1(22

1)(2

++-=

，讨论函数)(x f 单调性.

变式2：设函数

)0(ln 4)1(22

1

)(2≥++-=a x x a ax x f ，讨论函数)(x f 单调性.

例3：设函数

a ax ax x x f 2443

1

)(23++-=，讨论函数)(x f 单调性.

变式1：讨论x

a

x x f +=)(的单调性，求其单调区间

变式2：设函数23

()1(1)f x a x x x =++--，其中0a > （1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；

（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值

例4：

已知函数(),(0,1],f x x a x a R +=-+∈∈，讨论函数的单调区间

类型二：导函数不可转化为多项式函数型

分类讨论步骤：

① 求定义域; ② 求导函数;

③ 先讨论只有一种单调区间的（即()0f x '≥或()0f x '≤）的情况，再讨论有增有减的情况（即

导函数存在变号零点）; ④ 总结

例5：讨论函数()22x

f x e ax =-+的单调区间

变式1：讨论函数()22x

f x e ax =-+在[0,1]上的单调区间

变式2：讨论函数2

()(2)2

x a f x e x x ax =--+的单调区间

例6:试讨论()ln 2f x x x ax =-的单调区间

变式：试讨论()ln 2f x x x ax =-在(0,)e 的单调区间