几何专题(二)——旋转与折叠(讲义及答案)

几何专题（二）——旋转与折叠（讲义）

➢ 知识点睛

1. 轴对称（折叠）的思考层次

① 全等变换：对应边相等、对应角相等．

② 对称轴性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应

点的距离相等．

③ 轴对称常见结构：折叠会产生垂直平分、等腰三角形，如矩形中的折叠

常出现等腰三角形．

④ 应用：常应用在折叠问题、最值问题等． 2. 旋转思考层次

① 全等变换：对应边相等、对应角相等．

② 旋转三要素：旋转方向不确定会分类讨论；同一旋转中旋转角相等；旋

转中心在对应点所连线段的垂直平分线上．

③ 旋转常见结构：旋转会产生圆；旋转会出现等腰三角形，同一旋转过程

中产生的等腰三角形相似．

④ 当题目中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转结构解题．（常见有正方

形、等边三角形、等腰三角形）

➢ 精讲精练

1. 小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD ，折痕MN 分别

与边AD ，BC 交于点M ，N ，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A ，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN =5．

②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于点E ，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN ，BB′⊥MN ．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是______________．

A

B

C

D M

N

B'

A' D

C B

A B'

M

A'N 图1 图2

2. 如图，矩形ABCD 中，AB =15cm ，点E 在AD 上，且AE =9cm ，连接EC ，将

矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_______cm ．

A'

B

A D

C

E

第2题图 第3题图

3. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，将边AC 沿CE 翻折，使点

A 落在A

B 上的点D 处；再将边B

C 沿CF 翻折，使点B 落在C

D 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点

E ，

F ，则线段B′F 的长为（ ）

A ．35

B ．45

C ．2

3

D

．2

4. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ．如图2，

展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上的点N 处，折痕为BM ，BM 交EF 于点O ，且△NMO

的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．

图1B

A

D

F C

E

M

N

图2O

B A

D

F C E 5. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将 △ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长

为__________．

P H

G 图3

Q

B

A

D F C E

P

O E D

C B A

6. 如图，△ABC 中，AB =2，BC =1，∠BCA =90°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按

顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到的．有以下结论：①△AEF ≌△ABC ；②∠CAF =∠EAB ；

③△F AC 与△EAB

2；④当α=60°时，△AFC 是等边三角形．其中正确结论的序号是____________．

7. 如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕点A

逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转到点E ，则∠CDE 的正切值为_______．

8.

C'

O B A

F

C B'

9. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，

F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，

且∠ECF =45°，则CF 的长为（ ）

E

F E C B A

A ．102

B ．53 C

．

3

D

．

3

F

E

D C

B

A

10. 如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AB =2，BC

=E ，F 分别是线段

AB ，AD 上的点，连接CE ，CF ，当∠BCE = ∠ACF ，且CE =CF 时，AE +AF =______．

F

E D

C

B

A

【参考答案】

1.①②③④

2.8

3. B

4.12

5.24 5

6.①②③④

7.

8.5 2

9. A

10.