矩阵在自动控制中的应用+

矩阵理论在控制中的应用

吴祥 矩阵5班 201022070738

摘要：本文就控制中的常见问题进行了讨论，并应用矩阵，对控制中的一些问题进行描述，运用矩阵的线性变换对控制理论中一些问题的求解进行了简化。

关键字：状态空间、对角标准型、约当标准型 1、引言

20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，推动了以状态空间为基础，最优控制为核心，主要在时域研究多输入多输出系统的现代控制理论的诞生。

经典控制理论是以系统的输入输出为研究依据，其基本数学模型为线性定常高阶微分方程、传递函数。对线性定常离散系统，其数学模型为线性定常高阶微分方程、脉冲传递函数。这些模型仅仅描述系统输入、输出之间的外部特性，不能揭示系统的内部物理状态量的运动规律。若要揭示系统内部特性，就引入了状态空间。 2、用矩阵来建立状态空间

假设单输入、单输出线性定常n 阶连续系统，n 个状态变量为1x ，

2x ……. n x 。其状态方程的一般形式为：

'111112211'221122222'1122....................

.........n n n n n n n nn n n x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u

=++++=++++=++++

输出方程为

1122......n n n y c x c x c x b u =++++

其向量-矩阵法方程形式的状态空间表达式为：

'111

11121'2122222

2'12....................n n n n nn n n n

x x b a a a a a a x x b u a a a x x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎢⎥⎢

⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢

⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦⎣⎦

1

2

12[.....].

.n n x x y c c c Du x ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

简单记为:

'

x Ax Bu =+

（1-1）

y Cx Du =+ (1-2)

其中1-1和1-2叫做状态空间。1-1式叫做状态方程，1-2式叫做输 出方程。

3、状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型

实际上，为了便于揭示系统特性和简化系统的分析、综合工作，通常通过线性奇异变换，将系统的状态空间表达式等价为某种标准型，如能控标准型，能观标准型、对角标准型、约当标准型。 3.1、对角标准型

对线性定常系统

'x Ax Bu =+ y Cx =

若系统的特征值为1λ，2λ………. n λ互异，则必存在非奇异变换矩阵T ，

使A 矩阵变换为对角阵。即

A= 12

.n λλλ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ 3.2、约当标准型

但如果1λ，2λ………. n λ非互异时就不能变为对角阵，那么必存 在非奇异变换矩阵T 使系统变换为约当标准型。即

A=12

.n J J J ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ 其中i J =11.1i i i λλλ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ 4、线性定常齐次状态方程的解

对线性系统动态性能进行定量分析的实质是求解其动态数学模 型方程并分析解得性质，有传递函数和状态空间两种分析方法。传递函数分析方法是经典控制中常用的方法。状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统的输入、输入与内部状态的关系的数学模型——状态空间方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统方程的解法及分析解得性质，是现代控制理论的主要任务。 4．1、线性定常齐次方程的解

假设线性定常系统在输入u 为0时，由初始状态引起的运动称为

自由运动其状态方程为：

0't=t 0x =Ax

x(t)|=x(t )

（2-1）

式2-1的解()x t 称为自由运动的解或零输入响应。若矩阵A 为一阶即A=a ，则2-1式变为式2-2所示的标量方程，即

0't=t 0x =ax

x(t)|=x(t )

（2-2）

其解为：0

()0()()a t t x t e x t -=将其展开为泰勒级数

()221

10002!!1()().......().....a t t k k k e a t t a t t a t t -=+-+-++-+ （2-3）

将2-3式代入2-1中得到：

0()

22

1

1100002!!

!0

()().......().....()A t t k

k

k k k k k e

I A t t A t t A t t A t t ∞

-==+-+-++

-+=-∑

于是2-1方程的解可用系统矩阵指数表达为

()0()()A t t x t e x t -= （2-4）

一般把0

()A t t e -称为状态转移矩阵记为0()t t Φ-。

4．2、利用特征值标准形及相似变换计算状态转移矩阵

由于就矩阵转移函数时涉及到k A ，但对一般矩阵的k A 计算比较困难而当A 矩阵为对角矩阵，约当矩阵时对k A 的计算比较容易。下面用矩阵线性变换来求解0()t t Φ-。

若系统的特征值为1λ，2λ………. n λ互异，则必存在非奇异变换矩阵T ，使A 矩阵变换为对角阵则

112211()..k

k k n n A V V V V λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣

⎦