2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题17选讲系列训练手册

合集下载

2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题22数学思想方法专项训练手册(含答案)

专题22 数学思想方法专项【训练目标】1、领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e x x(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得，等差数列{a n }的公差d >0，设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称，故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】－9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ba·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a2b 2＝3R2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ，即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22，经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22. 2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. 【答案】 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________.【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( ) A.a <b B.a >b C.a ＝b D.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cosx >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立，即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e}【解析】关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.21故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题09复数推理与证明训练手册20190305131

【名校试题荟萃】1.若集合，，则等于（）A． B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以。

2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意，对应点为，在第四象限．故选D．3.若复数是纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为且，所以.所以.因为.故选A.4.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B5.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可得，则，则．6.是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：设（），则，，．又，，故．方法二：，，又，，，.7、已知为实数，若，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】且复数不可比较大小，必为实数，，，.故选B.8、已知，，定义：.给出下列命题:（1）对任意,都有；（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立.则其中真命题是（）A.（1）（2）（3）（4）B.（2）（3）（4）C.（2）（4）D. （2）（3）【答案】C9、复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.10、考察下列等式：，，，……，其中为虚数单位，均为实数．由归纳可得，的值为.【答案】0【解析】通过归纳可得，，从而．11、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为_______.【答案】12、下面四个命题中，①复数，则其实部、虚部分别是；②复数满足，则对应的点集合构成一条直线；③由，可得；④为虚数单位，则．正确命题的序号是.【答案】①②13、已知复数和复数,则的值_______.【答案】【解析】.14、若是实数，，则.【答案】【解析】，因为是实数，所以是实数，又，故.15、设，复数满足：且（其中为虚数单位），求的值为．【答案】16、下列说法中正确的序号是_______.①②若一个数是实数,则其虚部不存在③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④设(为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是⑤若,则对应的点在复平面内的第四象限.【答案】④⑤17、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.4【答案】B18、观察下列各式：，…，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.所以，所以，所以，故选C.19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。

2019版高考数学二轮复习课件+训练：第二部分第二板块贯通4大数学思想——解得稳讲义理(重点生,含解析)

第二板块贯通4大数学思想——解得稳思想(一) 函数方程稳妥实用在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．[例1] 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k恒成立，求实数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，所以公差d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)由(1)知S n ＝n (n ＋1)，则b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋n ＋＋1n ＋n ＋＋…＋12nn ＋＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则需使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．[应用体验]1．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎪⎫6×34a 2×h ＝332⎝ ⎛⎭⎪⎫9－h 24h ＝332⎝ ⎛⎭⎪⎫－h 34＋9h . 令y ＝－h 34＋9h ，则y ′＝－3h24＋9，令y ′＝0，解得h ＝2 3.易知当h ＝23时，y 取最大值，即正六棱柱的体积最大． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13<0，则S 1，S 2，S 3，…，S 12中的最大项为________．解析：由a 3＝12，得a 1＝12－2d ，所以S 12＝144＋42d >0.S 13＝13a 1＋78d ＝156＋52d ＜0，所以－247＜d ＜－3. S n ＝na 1＋n n －2d ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎪⎫12－52d n ，由d ＜0，S n 是关于n 的二次函数，知对称轴方程为n ＝52－12d .又由－247＜d ＜－3，得6＜52－12d ＜132，所以当n ＝6时，S n 最大．答案：S 63．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．解析：可设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝x 1－cos 2B .由余弦定理得cos B ＝x 2＋22－2x22·2·x＝4－x 24x.则S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝ 128－x 2－216.由⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值，最大值为2 2. 答案：2 2在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．[例2] 已知函数f (x )＝lg 1＋2x＋4x·a a 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．[解析] 参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，得1＋2x ＋4x·a ＞0，故a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数，因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x max ＝－34，所以a ＞－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y ＝－14x ＋12x 的单调性巧妙地求出实数a 的取值范围．此法也叫主元法．[技法领悟][应用体验]4．设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围为________．解析：问题可以变成关于m 的不等式 (x 2－1)m －(2x －1)<0在[－2,2]上恒成立，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝x 2－－x －，f－＝－x 2－－x －，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0，解得7－12<x <3＋12. 故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋125．已知椭圆C 的离心率为32，过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾斜角为π6，直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．解：(1)因为e ＝ca ＝32，b c ＝33，b ＝1，所以a ＝2，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为直线l 过点E (－1,0)，所以可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍去)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x 并整理，得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0， Δ＝(－2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>y 2，则y 1＋y 2＝2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，所以|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4，所以S △AOB ＝12|OE ||y 2－y 1|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设t ＝m 2＋3，则g (t )＝t ＋1t，t ≥3，所以g ′(t )＝1－1t2＞0，所以g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥433，所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时等号成立．所以△AOB 的面积存在最大值，为32.在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．[例3] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1.[解] (1)f ′(x )＝a e x⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋b e x －1x －x 2(x ＞0)，由于直线y ＝e(x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝e ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a e ＝e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知f (x )＝e xln x ＋2ex －1x(x ＞0)，从而f (x )＞1等价于x ln x ＞x e －x－2e .构造函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )＜0，当x ∈1e ，＋∞时，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .构造函数h (x )＝x e －x－2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1. [技法领悟]对于第(2)问“a e xln x ＋b e x －1x ＞1”的证明，若直接构造函数h (x )＝a e xln x ＋b e x －1x－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“a e xln x ＋b e x －1x＞1”合理拆分为“x ln x ＞x e －x－2e ”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．[应用体验]6．已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )·cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 解析：选B 令g (x )＝ f xcos x，则g ′(x )＝f xx － f x－sin xcos 2x＝1＋ln xcos 2x. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <π2，gx ，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，gx ，解得0<x <1e.所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，因为π3>π4>1e ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故选B. 7．若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2解析：选C 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．[例4] 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，问：是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．[解] 存在．显然F 的坐标为(1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)．当k ＝0时，l 与C 只有一个交点不合题意，因此，k ≠0. 将y ＝k (x ＋1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，①依题意，x 1，x 2是①式不相等的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－2－4k 2×k 2>0，x 1＋x 2＝－k2k2，x 1x 2＝1.②以AB 为直径的圆过F ⇔AF ⊥BF ⇔k AF ·k BF ＝－1 ⇔y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1⇔x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0⇔x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0⇔(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0.③把x 1＋x 2＝－k2k 2，x 1x 2＝1代入③式，得2k 2－1＝0.∴k ＝±22，经检验，k ＝±22适合②式．综上所述，k ＝±22为所求． [技法领悟]“是否存在符合题意的实数k ”，按思路的自然流向应变为“关于k 的方程是否有解”．另外，解得k ＝±22后，必须经过②式的检验，就是说，k ＝±22时，直线l 与抛物线C 要确实有两个不同的交点．[应用体验]8. 已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围为________．解析：|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12.所以a 与b 的夹角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π9．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则函数y ＝5x －2x 的最小值为________．解析：将原函数变形为y 2x 2－5x ＋2＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.设f (x )＝y 2x 2－5x ＋2，该方程有解的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧12≤52y2≤2，Δ＝25－8y 2≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0且f解得2≤y ≤524，所以y min ＝2，此时x ＝12或x ＝2.答案： 2把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值．[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15，所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为α＋βα－β＝103，且α＋βα－β＝α＋βcos αcos βα－βcos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1.所以得到方程x ＋1x －1＝103. 解这个方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsinβ⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值．[应用体验]10．已知函数f (x )满足条件f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，则f (x )＝________.解析：用1x代换条件式中的x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x，因此f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x， ②②×2－①得3f (x )＝2－x 2x ，解得f (x )＝2－x 23x .答案：2－x23x11．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形AP Q B 的面积为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y ，得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|B Q|＝2，|P Q|＝8，梯形AP Q B 的面积为48. 答案：48 [总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．(3)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．思想(二) 数形结合直观快捷充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合思想的应用包括以下两个方面：由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．方法一：直接作图[例1] (1)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)(2)已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[解析] (1)先作出f (x )＝|lg x |的图象如图所示，通过图象可知，如果f (a )＝f (b )，则0＜a ＜1＜b ，且b ＝1a，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令h (a )＝a ＋2a，由对勾函数的性质知函数h (a )在(0,1)上为减函数，所以h (a )>h(1)＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．故选C.(2)f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，化简得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， x ∈[0，π，－sin x ，x ∈π，2π].作出f (x )的图象及直线y ＝k ，由图象知当1＜k ＜3时，函数f (x )与直线y ＝k 有且仅有两个交点．[答案] (1)C (2)(1,3) [技法领悟]如本例(1)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键．本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即ab ＝1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性．本例(2)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况．但有些题中的这条水平线就不容易能看出来．特别提醒：务必注意水平直线与函数图象的交点的横坐标之间的联系．例如，一条水平直线与二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线与三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性等等．[应用体验]1．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．解析：原方程等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <0，1，0≤x ≤1，2x －1，x >1，其图象如图所示，要使a ＝f (x )有零点，则a ≥1，因此a 的最小值为1.答案：12．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b 设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－x －x －，x ≤0，x －2－x －x －，x >0，⇒f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.故关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点．作出函数f (x )的大致图象如图所示，从图中不难得知0<m <14.设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，由此可得x 2x 3＝m .当x <0时，由2x 2－x ＝14，得x ＝1－34.当m 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增时， |x 1|也在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－34上递增．从而m |x 1|随着m 的递增而递增，而x 1<0，所以x 1x 2x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0为所求．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0方法二：先变形后作图[例2] (1)若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．(2)已知函数g (x )＝a －x 2－2x ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，x <0，g x －，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)利用分离参数思想，直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，等价于方程1－a ＝x 2－|x |有四个不同的根，令g (x )＝x 2－|x |，画出g (x )的图象，如图所示．将水平直线y ＝1－a 从上往下平移，当1－a ＝0，即a ＝1时，有3个交点，再往下平移，有4个交点，继续往下平移，当1－a ＝－14，即a ＝54时，有两个交点．因此a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 2－2x ，x <0，a －x 2＋1，x ≥0，y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于y ＝f (x )与y ＝x 的图象有三个不同的交点，试想将曲线f (x )上下平移使之与y ＝x 有三个交点是何等的复杂，故把原函数变形，由f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 2－3x ，x <0，a －x 2－x ＋1，x ≥0，可得f (x )－x ＝a ＋⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0，所以y ＝f (x )－x 有三个零点等价于a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x <0，x 2＋x －1，x ≥0有三个根．令h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x <0，x 2＋x －1，x ≥0，画出y ＝h (x )的图象如图所示，将水平直线y ＝a 从上向下平移，当a ＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a ＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a ∈[－1,0)．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 (2)[－1,0) [技法领悟]如果对本例(1)不变形，也可求出参数的取值范围，变形只是让作图更简单易行．然而多数情况下，变形是解题的关键，如本例(2)．如果不变形，恐怕不是复杂一点点的问题了．[应用体验]3．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B 显然x ＝0不是f (x )的零点，将f (x )＝0变形得a ＝3x －1x 3，由题意得直线y ＝a 与函数y ＝3x －1x3的图象有唯一交点且交点在y 轴右边．由于函数g (x )＝3x －1x3为奇函数，考虑当x∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝－x2x 4，g (x )在x ＝1处取得极大值，且当x 趋近于0时，g (x )趋近于－∞；且当x 趋近于＋∞时，g (x )趋近于0，画出y ＝g (x )的图象如图所示，平移直线y ＝a ，由图象知a 的取值范围是(－∞，－2)．4．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．解析：x ＝0，显然是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为 1k＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0且x ≠－4的大致图象如图所示，由图，易得0<1k<4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞利用数形结合求解kx 方法一：旋转动直线若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向．[例3] (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][解析](1)由题意得函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有两个不同的交点，分别画出函数图象如图所示．直线g (x )＝kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数f (x )＝|x－2|＋1只有一个交点，此时k ＝1－02－0＝12，然后直线绕着原点逆时针旋转，当与f (x )在x >2时的图象平行时，就只有一个交点，所以12<k <1.(2)因为|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，x ＋，x >0，若a >0，则当x 趋于正无穷时，ax >ln(1＋x )，与题意矛盾，所以a ≤0.故只需满足动直线g (x )＝ax 在区间(－∞，0)内落在f (x )＝x 2－2x 之下即可．其临界情形是g (x )＝ax 与f (x )＝x 2－2x 相切，即x 2－2x ＝ax 只有一个实数解，可得a ＝－2.如图所示，动直线g (x )＝ax 逆时针旋转满足题意，因此a ∈[－2,0]．[答案] (1)B (2)D [技法领悟]解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析．[应用体验]5．已知方程x －x－ax －4＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：方程x －x －ax －4＝0有两个不相等的实数根等价于函数y ＝x－x与y ＝ax ＋4有两个不同的交点，y ＝x－x是一个半圆，直线y ＝ax ＋4是绕点(0,4)旋转的动直线，画出y ＝x －x 的图象，如图所示，要使x －x ＝ax ＋4有两个不同的实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时a 的值，由⎩⎨⎧y ＝x －x ，y ＝ax ＋4⇒(a 2＋1)x 2＋(8a －4)x ＋16＝0，Δ＝0⇒a ＝－34.由图可知，直线y＝ax ＋4绕点(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当－1≤a ＜－34时，直线与曲线有两个交点，于是a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－346．用max{a ，b }表示a ，b 两个数中最大数，设f (x )＝max{－x 2＋8x －4，log 2x }，若g (x )＝f (x )－kx 有两个零点，则k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,4)D ．[0,4]解析：选C 法一：画出f (x )的图象如图所示，g (x )有两个零点，即y ＝f (x )的图象与y ＝kx 的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时－x 2＋8x －4＝kx ，Δ＝(k －8)2－16＝0⇒k 1＝4，k 2＝12(舍去，此时与下方相切)，所以当0<k <4时，g (x )有两个零点．法二：利用排除法，首先k ＝0不成立，排除D ，其次，二次函数的顶点是(4,12)，与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A 、B ，故选C.方法二：平移动直线[例4] (1)已知函数f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f (x )恰有两个交点，则实数a 的值是( )A ．0B ．2k (k ∈Z)C ．2k 或2k ＋14(k ∈Z)D ．2k 或2k －14(k ∈Z)(2)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则a 的取值范围是________． [解析] (1)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，y ＝x ＋a 是斜率恒为1的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与y ＝f (x )的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与y ＝f (x )，x ∈[0,1]相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝x 2⇒x 2－x －a ＝0，Δ＝1＋4a＝0⇒a ＝－14，所以在一个周期内得到满足条件的a 的值为a ＝0或a ＝－14，又因为周期为2，所以a ＝2k 或a ＝－14＋2k (k ∈Z)．(2)令f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |，由于g (x )＝|x －a |的图象是V 形．首先将这个V 形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a ＝2.然后再将V 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示．由图可知，向左平移的临界情况是V 形尖点右支与 f (x )相切，此时联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －a ，y ＝2－x 2，知x 2＋x －a －2＝0有一个解，Δ＝1＋4(2＋a )＝0⇒a ＝－94.要特别注意，此时g (x )＝|x －a |的图象与f (x )＝2－x 2的图象相切，但不等式取不到等号，因此a ≠－94，注意到a ＝2时无负数根，因此a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2. [答案] (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2 [技法领悟]对于平移的动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会．[应用体验]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,3)C ．(－∞，1)D ．(2,4)解析：选A 画出f (x )的图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 的图象只有一个交点．首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f (x )图象与直线y ＝－x ＋a 只有一个交点，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 注意本题只有在(－1，＋∞)内才是周期为1的函数，根据函数的解析式首先画出在(－∞，0]内的图象，然后截取(－1,0]的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f (x )的图象，如图所示．y ＝x ＋a 是斜率为1的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足f (x )图象与直线y ＝x ＋a 有两个交点，所以a 的取值范围是(－∞，1).[例5] (1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.(2)如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接O Q ，则O Q ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|O Q|＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c2⇒e ＝ca＝ 5.[答案] (1)B (2)D [技法领悟](1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[应用体验]9．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．解析：由题意知圆的圆心C (1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S △PAC ＝12·|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.答案：2 210．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．解析：因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作P Q ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接A Q ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|P Q|＋|PA |＋|AF |≥|A Q|＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12[总结升华]运用数形结合思想分析解决问题的3个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．思想(三) 分类讨论巧分善合在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了．因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法．其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起．这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用．[例1] (2018·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1D ．1或3[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1－qn1－q，S n ＋2＝a 1－q n ＋21－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3. [答案] C[技法领悟]本题易忽略对q 的取值情况进行讨论，而直接利用S n ＝a 1－qn1－q，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n 项和公式的使用就要分q ＝1，S n ＝na 1和q ≠1，S n ＝a 1－q n1－q进行讨论．[应用体验]1．一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0解析：选C 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则求得a ＝7，直线方程为x ＋y －7＝0.2．已知双曲线的渐近线方程是2x ±y ＝0，则该双曲线的离心率等于( ) A. 5 B.52C.455D.5或52解析：选D 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .①若双曲线的焦点在x 轴上，则因双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，故有b a＝2，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝5； ②若双曲线的焦点在y 轴上，则因双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，故有a b ＝2，即b a ＝12，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝52. 综上，离心率e ＝5或52.[例2] 已知a >0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( )A ．(a －1)(b －1)＜0B ．(a －1)(a －b )＞0C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0[解析] ∵a >0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1， ∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(a －1)(b －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1， ∴(a －1)(a －b )＜0，(a －1)(b －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 综上可知，选D. [答案] D [技法领悟]应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．[应用体验]3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意；若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案：144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解：(1)由cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，得sin C ＝104.(2)由2sin A ＝sin C 及正弦定理，得2a ＝c ，所以c ＝4. 由sin C ＝104，得cos C ＝±64. 下面分两种情况：。

2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题04三角函数与解三角形小题部分训练手册20190305136

专题04 三角函数与解三角形小题部分【训练目标】1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断；2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形；3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式；5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式；6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。

【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。

【名校试题荟萃】1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三三校联考试题）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2-=上，则α2cos ＝（）.A 54- .B 53- .C 53 .D 54【答案】C2、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若，且，则=+ca b________。

【答案】12【解析】显然sin 0A ≠，则，则，根据两角差的正弦公式，利用降幂公式及辅助角公式得，再由正弦定理可求得。

3、（湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第四次月考试题+数学（文））ABC D 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，则角C = ( )A.34p B. 3p C. 6p D. 4p【答案】D4、（江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考试题）已知⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是．【答案】410+ 【解析】先利用两角差的正切公式可求得3tan 4α=，结合⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，利用同角三角函数的基本关系可求得，则。

5、（陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试（二））已知，则.【答案】13【解析】由于，根据诱导公式知。

2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题07数列小题部分训练手册(附答案)

专题07 数列小题部分【训练目标】1、理解并会运用数列的函数特性；2、掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质；3、掌握根据递推公式求通项公式的方法；4、掌握常用的求和方法；5、掌握数列中简单的放缩法证明不等式。

【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。

总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。

【名校试题荟萃】1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（文）试卷）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若，则使0na 的最小正整数n 的值是（）A.8B.9C.10 D.11【答案】C2、等差数列n a 中，n S 为n a 的前n 项和，208a ，567S ，则12a =（）8、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三上学期12月三校联考试题+数学（文））已知等差数列{}n a 中，100a ，公差2,0d，若，，则数列n a 的前n 项和n S 的最大值为（）A.B.5C.D.【答案】D 【解析】原式，再根据平方差公式，两角和差的余弦公式可得，根据等差数列的性质可知，则即，结合100a 可求得13a ，则，再利用配方法可知当9n 或10时取得最大值，最大值为。

【答案】D10、（河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题）已知数列，若数列的前项和，则的值为________.【答案】16 【解析】据题意，得，所以当时，.两式相减，得.所以当时，，故.11、（河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学（文）试题）已知数列的前项和为，正项等比数列中，，，则( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立．∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．根据b n+3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），∴=4，化为q 2=4，解得q=2．。

浙江省2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题16解析几何大题部分训练手册24

专题16 解析几何大题部分【训练目标】1、理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；2、掌握直线方程的5种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；3、识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；4、掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；5、掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。

6、掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；7、掌握椭圆，双曲线的离心率求法；8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系；9、掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法；【温馨小提示】本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。

【名校试题荟萃】 1、已知圆和圆.（1）若直线l 过点)0,4(A 且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；（2）设平面上的点P 满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

【答案】（1）0y=或（2）313(,)22-或51(,)22-【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离，点到直线距离公式，得：求直线l 的方程为：0y =或，即y =或；故有：，化简得：关于k 的方程有无穷多解，有：,或解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。

2、已知椭圆与抛物线共交点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足52QF =．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 做抛物线的切线y kx m =+交椭圆于A ，B 两点，设线段AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的取值范围．【答案】（1）24y x =，22198x y +=（2）(1,0)-（2）显然0k ≠，0m ≠，由24y kx my x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得，由题意知，得1km =，由22198y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得，其中，化简得，又1k m=，得，解得209m <<．设11(,)A x y ，22B(,)x y ，则．由22119k m =>，得01x >-．∴0x 的取值范围是(1,0)-． 3、已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率21=e ，点)0,(b A ，点F B 、分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆C 交于H G ,两点（G 在H M ,之间）设直线l 的斜率0>k ，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PH PG ,为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围？如果不存在，请说明理由．【答案】（1）13422=+y x （2）（Ⅱ）设直线l 的方程为，设，则，，，由于菱形对角线垂直，则，解得，即，，（当且仅当k k43=时，等号成立）. 所以存在满足条件的实数m ，m 的取值范围为.4、已知椭圆．（1）若椭圆C的离心率为12，求n的值；（2）若过点(2,0)N 任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点,A B，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32（2）（-1，0）5、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的短轴长为（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若，求点M的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为椭圆C的短轴长为，所以2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩C 的方程为22162x y +=．在直角AMN △中，由60AMN ∠=︒，得，所以，解得m =，所以点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭． 6、已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1（a>0）的右焦点，点M （m ，0），N （0，n ）分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →（O 为坐标原点）．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．【答案】（1）y 2＝4ax （2）经过【解析】（1） ∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1（a>0）右焦点F 的坐标为（a ，0）， ∴NF →＝（a ，－n ）．∵MN →＝（－m ，n ）， ∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0.设点P 的坐标为（x ，y ），由OM →＝2ON →＋PO →，有（m ，0）＝2（0，n ）＋（－x ，－y ）， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y2.代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax.即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax.解法二：①当AB ⊥x 时，A （a ，2a ），B （a ，－2a ），则l OA ：y ＝2x ，l OB ：y ＝－2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＝－a ，得点S 的坐标为S （－a ，－2a ），则FS →＝（－2a ，－2a ）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＝－a ，得点T 的坐标为T （－a ，2a ），则FT →＝（－2a ，2a ）． ∴FS →·FT →＝（－2a ）×（－2a ）＋（－2a ）×2a ＝0.②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k （x －a ）（k ≠0），A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214a ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224a ，y 2，同解法一，得FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －a ），y 2＝4ax ，得ky 2－4ay －4ka 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F.7、如图，已知抛物线C ：y 2＝x 和⊙M ：（x －4）2＋y 2＝1，过抛物线C 上一点H （x 0，y 0）（y 0≥1）作两条直线与⊙M 分别相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点．（1）当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；（2）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．【答案】（1）－14（2）-11法二：∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H （4，2），∴∠AHB ＝60°，可得k HA ＝3，k HB ＝－3，∴直线HA 的方程为y ＝3x －43＋2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －43＋2，y 2＝x ，得3y 2－y －43＋2＝0， ∵y E ＋2＝33，∴y E ＝3－63，x E ＝13－433. 同理可得y F ＝－3－63，x F ＝13＋433，∴k EF ＝－14.（2）法一：设点H （m 2，m ）（m ≥1），HM 2＝m 4－7m 2＋16，HA 2＝m 4－7m 2＋15.以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为：（x －m 2）2＋（y －m ）2＝m 4－7m 2＋15，① ⊙M 方程：（x －4）2＋y 2＝1.②①－②得：直线AB 的方程为（2x －m 2－4）（4－m 2）－（2y －m ）m ＝m 4－7m 2＋14. 当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4m －15m（m ≥1），∵t 关于m 的函数在[1，＋∞）单调递增，∴t min ＝－11. 法二：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵k MA ＝y 1x 1－4，∴k HA ＝4－x 1y 1，可得，直线HA 的方程为（4－x 1）x －y 1y ＋4x 1－15＝0，同理，直线HB 的方程为（4－x 2）x －y 2y ＋4x 2－15＝0，∴（4－x 1）y 20－y 1y 0＋4x 1－15＝0，（4－x 2）y 20－y 2y 0＋4x 2－15＝0， ∴直线AB 的方程为（4－y 20）x －y 0y ＋4y 20－15＝0，令x ＝0，可得t ＝4y 0－15y 0（y 0≥1），∵t 关于y 0的函数在[1，＋∞）单调递增，∴t min ＝－11.8、已知椭圆的一个焦点F ，点()2,1M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于直线OM （O 坐标原点），且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y += （2）（2）由直线l 平行于OM 得直线l 的斜率为，又l 在y 轴上的截距m ，故l 的方程为12y x m =+．由得，又线与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，设()11A x y ，，()22B x y ，，则，．所以，于是22m -<<．AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0m ≠，则，即22m <，又0m ≠，所以m 的取值范围为．9、椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12,其左焦点到点()2,1P不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且线段AB 被直线OP 平分. （1）求椭圆C 的方程；（2）求ABP ∆的面积取最大时直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=（2）（2）易得直线OP 的方程12y x =,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 中点()00,R x y ,其中0012y x =,因为 ,A B 在椭圆上,所以2211143x y +=,2222143x y +=,相减得,即,故,,其中且0m ≠.令,则,令()0f m '=得1m =（因4和1+不满足且0m ≠,舍去）当时,()0f m '>,当时,()0f m '<,所以,当1m =-,ABPS ∆取得最大值,此时直线l 的方程为.10、已知抛物线的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E ()2,t 到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线1x =-上的点，且FP FQ ⊥．求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．【答案】（1）24y x = （2）1个【解析】（1）抛物线的准线方程为2px =-，所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=．解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．故直线PQ 的斜率．故直线PQ 的方程为，即．①又抛物线C 的方程24y x =，②联立消去x 得，故0y y =，且故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点．11、已知圆1C 与y 轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l 上．（1）求圆1C 的方程；（2）圆1C 与圆2C ：相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN 的长．【答案】（1）（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16 （2）【解析】（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y=x ﹣1．由题意可得，圆心在直线y=3上，联立，解得圆心坐标为（4，3），故圆C 1的半径为4．则圆C 1的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=16；12、已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线与圆C 相切.（1）求圆C 的方程;（2）过点Q （0,-3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A11,)x y （、B 22(,)x y ，当时,求△AOB的面积.【答案】（1）（2）2【解析】（1）设圆心为,因为圆C 与相切,所以,解得（舍去）,所以圆C 的方程为设,则, ①,将①代入并整理得,解得k = 1或k =-5（舍去）, 所以直线l 的方程为圆心C 到l 的距离,13、已知B A ,是椭圆C ：上两点，点M 的坐标为()0,1.（1）当B A ,两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（2）当B A ,两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.【答案】（1）9314 （2）见解析⑵根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB ：y =kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为N （x 0，y 0），联立，消去y 得（2+3k 2）x 2+6kmx +3m 2-9=0，由△＞0得2m 2-9k 2-6＜0，① 所以x 1+x 2=-2326k km +,y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m =2324k m +, 所以N （-2323k km+，2322km+），又M （1， 0），假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ，所以k MN ×k =-1，即×k =-1，化简得3k 2+2+km =0，② 由②得m =-k k 232+，代入①得2222)23(k k +-3（3k 2+2）＜0，化简得3k 2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立，故△MAB 不可能为等边三角形. 14、已知圆，点A 为圆1C 上的一个动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围. 【答案】（1）（2）（2）当直线l 的斜率不存在时，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设直线OP 为x y =，联立22,1,84y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得同理求得所以364=PQ ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为m kx y +=，设联立，可得由求根公式得（*） ∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当2241kk =，即22±=k 时等号成立．又由，，；综上，得．15、如图，椭圆经过点A （0，-1），且离心率为2。

2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题22数学思想方法专项训练手册20190305118

专题22 数学思想方法专项【训练目标】1、领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －＋x －2>0，x －＋x －2>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得，等差数列{a n }的公差d >0，设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称，故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】－9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－2＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a2b 2＝3R2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－2－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ，即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22，经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. 【答案】 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( )A.a <bB.a >bC.a ＝bD.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB→＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3xx ＋2＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立，即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ＝9－r 2>0，φ－＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.21 【答案】{2e}【解析】关于x 的不等式e x －x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x －x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题17 选讲系列【训练目标】 1、掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程； 2、理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题； 3、掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义； 4、掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。 5、理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式； 6、掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式； 7、掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题； 8、初步掌握综合法和分析法证明不等式。【温馨小提示】高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。【名校试题荟萃】

1、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31xtyt（t为参数）.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为

极轴的极坐标系中,曲线。（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; （2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 【答案】（1），（2）22 【解析】

（1）由3,{1,xtyt消去t得,

所以直线l的普通方程为. 由, 得. 将代入上式, 得曲线C的直角坐标方程为,即.

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22. 法2:设与直线l平行的直线为,

当直线l与圆C相切时,得, 解得0b或4b（舍去）, 所以直线l的方程为0xy.

所以直线l与直线l的距离为. 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.

2、在直角坐标系xOy中，曲线1C：（为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：．（1）写出曲线1C和2C的普通方程；（2）若曲线1C上有一动点M，曲线2C上有一动点N，求使MN最小时M点的坐标．【答案】

（1），（2）

此时，，结合可解得：，，即所求M的坐标为． 3、在直角坐标系xoy中，已知曲线1C、2C的参数方程分别为1C：，2C：

．（1）求曲线1C、2C的普通方程；（2）已知点1,0P，若曲线1C与曲线2C交于A、B两点，求PBPA的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】

（1）曲线1C的普通方程为：13422yx，当2k，kZ时，曲线2C的普通方程为：，当2k，kZ时，曲线2C的普通方程为：1x；（或曲线2C：）

4、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx27（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l的交点为QBA,,是曲线C上的动点，求ABQ面积的最大值．

【答案】（1），（2）5152 【解析】（1）由tytx27消去t得，所以直线l的普通方程为，

由＝，得，化为直角坐标方程得：，所以曲线C的直角坐标方程为 . 5、已知曲线C的极坐标方程是cos4.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是. （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于.AB两点，且||13AB，求直线l的倾斜角的值.

【答案】（1）（2）【解析】

（1）由cos4得. ∵ ∴曲线C的直角坐标方程为：.

（2）将直线的参数方程代入圆的方程化简得. 设A,B两点对应的参数分别为21,tt，则21,tt是上述方程的两根，则有

. ∴ ∴ ∵，0∴. 6、已知直线l的参数方程为14232xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；

（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求AB的值．【答案】（1），（2）33

（2）将π6代入曲线C的极坐标方程2cos得3， ∴A点的极坐标为π3,6．

将π6代入直线l的极坐标方程得，解得43． ∴B点的极坐标为π43,6， ∴33AB． 7、平面直角坐标系中，直线l的参数方程为131xtyt（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; （2）已知与直线l平行的直线l过点20M,，且与曲线C交于A，B两点，试求MAMB．【答案】（1），22yx

（2）

将其代入曲线C的直角坐标方程可得，设点A，B对应的参数分别为1t，2t．由一元二次方程的根与系数的关系知12163tt，1243tt． ∴． 8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝a＋acos φ，y＝asin φ（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：

x＝bcos φ，

y＝b＋bsin φ

（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝ αρ≥0，0≤α≤π2与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. （1）求a，b的值；（2）求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．【答案】（1）1，2 （2）42＋4

化为普通方程为x2＋（y－b）2＝b2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，由题意可得当θ＝π2时，|OB|＝ρ＝4，∴b＝2. （2）由（Ⅰ）可得C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ. ∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4 ＝42sin2θ＋π4＋4， ∵2θ＋π4∈π4，5π4，∴42sin2θ＋π4＋4的最大值为42＋4，当2θ＋π4＝π2，θ＝π8时取到最大值. 9、已知函数．（1）当1a时，求不等式3fx的解集；（2）0xR，03fx，求a的取值范围．【答案】（1）（2）5,1．【解析】（1）当1a时，， ①当2x时，，令3fx，即213x，解得2x， ②当21x时，3fx，显然3fx成立，∴21x， ③当1x时，21fxx，令3fx，即213x，解得1x，综上所述，不等式的解集为．（2）∵， ∵0xR，有3fx成立，∴只需23a，解得51a， ∴a的取值范围为5,1． 10、已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）解集为（2）实数的取值范围是.

（2）设，则. 因为当且仅当时取等号，所以. 因为函数的值域为，所以有解，即. 因为，所以，即. 所以实数的取值范围是 11、已知不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）

12、已知函数．（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，由，可得，

①或②或③ 解①得：解②得：解③得：综上所述，不等式的解集为（2）若当时，成立，即故即对时成立故 13、已知函数．（1）解不等式（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）或

14、已知（1）当a＝—1，b＝2时，解不等式f（x）≥0；（2）若存在a，b的值，使不等式m成立，求实数m的最小值．【答案】（1）（2）-2 【解析】（1），解得．（2）由得，故，当且时取等号．故．∴m的最小值为． 15、设，. （1）若的最大值为，解关于的不等式；（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）

16、在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为cos4,曲线C与曲线D关于极点对称．（1）以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线D的极坐标方程；（2）设P为曲线D上一动点,记P到直线3sin与直线2cos的距离分别为1d,2d，求1d+2d的最小值．【答案】（1）（2）【解析】

（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，则，即曲线的极坐标方程为。（2）由曲线的极坐标方程为得直角坐标方程为，设，直线与直线的直角坐标方程分别为，从而