广东省八年级数学三角形的证明1.1等腰三角形1.1.3等腰三角形三课件新版北师大版
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北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
数学八年级下北师大版教学课件
知识讲解
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
5.4.2 分式方程
5.4.3 分式方程
第六章 平行四边形
6.1.1 平行四边形的性质
6.1.2 平行四边形的性质
6.2.1 平行四边形的判定
6.2.2 平行四边形的判定
6.2.3 平行四边形的判定
6.3 三角形的中位线
6.4.1 多边形的内角和与外角和
6.4.2 多边形的内角和与外角和
第 一章 三角形的证明
可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看
看你有什么新的发现？
A
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得
BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
B
D
C
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平
定理:等腰三角形的两个底角相等.
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边
上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
知识讲解
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等.
第一章三角形的证明小结与复习课件(共51张PPT) 北师大版八年级数学下册
则 1 2 1 BAC.
2
∵ AB = AC， ∴ AE⊥BC.
A
∴∠2 +∠ACB = 90°.
12
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠ACB = 90°.
D
∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们 是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的 特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是 30° 的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段.
结论 ，并将结论改成 条件 ，便可以得到原命题的逆 命题．
3. 逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它
也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫 做另一个的 逆 定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆 定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
什么是反证法？
反证法：先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们 把它叫做反证法.
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.
求证：∠BAC = 2∠DBC.
A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”
的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，
来获取角的数量关系.
B
12
D
E
C
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
初中数学《等腰三角形》课件北师大版3
AD＝AD （公共边）B
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
方法1
作顶角的平分线AD 证：△ABD≌ △ACD （SAS）
12
方法2 作△ABC 的中线AD
证：△ABD≌ △ACD （SAS）
方法3 作△ABC 的高线AD
B
D
C
证Rt△ABD≌Rt△ACD （HL）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝ CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
某地地震后，河沿村中学的同学用下 面的方法检测教室房梁是否水平：
在等腰三角尺AB中点拴一条绳，线绳 的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺 的AB边贴在房梁上，结果线绳经过三 角尺的顶点C，同学们确信房梁是水平 的．他们的判断对吗？为什么？
AO B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
一
△ABC中，AB = AC
4. 课堂归纳，小结提升
课后：
四 教学过程
5. 注重个性，布置作业
1、必做题：课本第143页A组第1、2、3题 2、选做题：课本第143页B组第1题
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
北师大版八年级数学下册1.1等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
等边三角形的判定及含30°角的直角 三角形的性质
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
图形
等腰三角形
两条边相等
性
两个角相等
质
三线合一
轴对称图形（1条）
等边三角形
三边都相等 三个角都是等边三角形？一个等腰三角形满足什么 条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
三边相等（定义）含30°角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一般
随堂训练
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则 △ABC的周长为_9_____cm.
2.三角形的三条边长a,b,c满足(a b)2 | b c | 0
（只填写一个条件）
A
B
C
3.在△ABC，∠A=60°。AB=AC=10cm，则 BC=10cm .
例1.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.
A
B
E
F
C
注：边相等可转换为角相等
BD=CE
例2：如图, △ABC是等边三角形,DE∥BC ，请问△ADE 是等边三角形吗?试说明理由.
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
判定2：三个角相等
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
判定3：一个角是60°的等腰三角形 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角
1.1 等腰三角形
等边三角形的判定及含30°角的直角 三角形的性质
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
图形
等腰三角形
两条边相等
性
两个角相等
质
三线合一
轴对称图形（1条）
等边三角形
三边都相等 三个角都是等边三角形？一个等腰三角形满足什么 条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
三边相等（定义）含30°角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一般
随堂训练
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则 △ABC的周长为_9_____cm.
2.三角形的三条边长a,b,c满足(a b)2 | b c | 0
（只填写一个条件）
A
B
C
3.在△ABC，∠A=60°。AB=AC=10cm，则 BC=10cm .
例1.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.
A
B
E
F
C
注：边相等可转换为角相等
BD=CE
例2：如图, △ABC是等边三角形,DE∥BC ，请问△ADE 是等边三角形吗?试说明理由.
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
判定2：三个角相等
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
判定3：一个角是60°的等腰三角形 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角
等腰三角形(3)课件2022-2023学年北师大版八年级数学下册
6.【例3】用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角, 则∠B＋∠C＝180°,则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角, 则∠B＋∠C＞180°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设①②错误, 所以∠B,∠C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角.
对点训练
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图,在△ABC中,∠B＝∠C,求 证:AB＝AC. (提示:添加辅助线,构造全等三角形)
证法一:如图1,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＝∠C,AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC.
解:(1)∵∠ABC＝∠ACB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. ∵BE＝BD＝BC, ∴△BCD,△BED是等腰三角形. ∴图中所有的等腰三角形有:△ABC,△BCD,△BED.
(2)∵∠AED＝114°,∴∠BED＝180°－∠AED＝66°. ∵BD＝BE,∴∠BDE＝∠BED＝66°. ∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°. 设∠ACB＝x°,∴∠ABC＝∠ACB＝x°. ∴∠A＝180°－2x°. ∵BC＝BD,∴∠BDC＝∠ACB＝x°. 又∵∠BDC为△ABD的外角, ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD. ∴x＝180－2x＋48,解得x＝76.∴∠ACB＝76°.
等腰 三角形.
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF∥AD,交 AC于点E,交BA的延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
课件
课件
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课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
北师大版八年级下册 第一章 1.1 等边三角形的判定 课件(共26张PPT)
A
B
C
总 结
等边三角形的判定方法有：
从边的角度
定义：三条边都相等的三角形是 等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是 等边三角形. 定理：有一个角等于 60°的等腰 三角形是等边三角形.
从角的角度
从边和角的角度
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则
△ABC的周长为（ A.6cm B.8cm
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个
怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能
发现什么结论？说说你的理由.
结论：在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半．
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
求证：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. A
（2）含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半． 2．经验与能力方面： 这节课你又获得了哪些能力？和同学们一起分享！
1. 必做：完成教材 P12-13 习题、《作业本》上相 应的练习； 2.选做：探索定理“在直角三角形中，如果一个 锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．”的逆命题是否成立，如果成立，请
又∵ AC ＝AC， ∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
A
30°
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）. 1 1 ∴ BC＝ — BD＝ — AB. 2 2
B
八年级下册数学课件(北师版)等腰三角形 第三课时
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 以上讲解我们可以得到什么结论？
推论1：三个角都相等的三角 形是等边三角形.
这是由判定定理推导出的一个 定理，即判定一个三角形是等 边三角形的一种方法.
已知：在等腰△ABC中，AB=AC， ∠A=60°(或者∠B=60°）.
例2 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上 的高，找出图中有哪些等腰直角三角形.
C
A
D
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB.
【定义】 有两边相等的三角形叫作等腰三角形; A
【性质定理】 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
讲授新课
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等.
A
请一位同学说出已知、求证.
已知:在△ABC中,∠B= ∠C.
求证：AB=AC.
B
C
A
B
D
证法一：作∠BAC的平分线AD.
在 △BAD和△CAD中，
∠BAD= ∠ CAD，
∠B=∠C,
C AD=AD(公共边）， ∵△BAD≌△CAD（AAS）,
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
等边三角形（特殊的等腰三角形）
【定义】 有三边相等的三角形叫作等边三角形;
【性质定理】 等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°.
用反证法证题的一般步骤
（1）假设命题的结论不成立; （2）从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与 定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结 果; （3）由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确.
北师大版八年级数学下册第一章第1节等腰三角形课件
北师大版数学八年级下册
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,