【最新】九年级数学-4.1 第1课时线段的比和成比例线段--精选练习

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北师大版初中数学九年级上册4.1 第1课时线段的比和成比例线段1

不是前三个数的第四比例项，因此应进行
分类讨论.
TB:小初高题库
北师大初中数学
2 解：若 x： 1＝ 2： 2，则 x＝；若
2 1： x＝ 2： 2，则 x＝ 2；若 1： 2＝ x： 2，则 x＝ 2；若 1： 2＝2：x，则 x＝2 2.
所以所添加的线段的长有三种可
2 能，可以是 cm， 2cm，或 2 2cm.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.
探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例
下列四组线段中，是成比例线段的是（）
A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段
好，计算前后两个数的积与中间两个数的
积，看是否相等作出判断.
【类型二】由线段成比例求线段的长
已知：四条线段 a、b、c、d，其
中 a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.
（1）若 a、b、c、d 是成比例线段，
求线段 d 的长度；
（2）若 b、a、c、d 是成比例线段，
求线段 d 的长度.
解析：紧扣成比例线段的概念，利用
的比相等的四条线段成比例.四个选项中，
26 只有 C 项排列后有＝ .故选 C.
5 15
方法总结：判断四条线段是否成
比例的方法：
（ 1）把四条线段按从小到大顺序排
好，计算前两条线段的比和后两条线段的
比，看是否相等做出判断；
（ 2）把四条线段按从小到大顺序排

专题4.1成比例线段-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(北师大版)[含答案]

专题4.1 成比例线段【十大题型】【北师大版】【题型1 由成比例线段直接求值】【题型2 比例尺】【题型3 由比例的性质判断结论正误】【题型4 由比例的性质求参数的值】【题型5 由比例的性质求代数的值】【题型6 由比例的性质进行证明】【题型7 由比例的性质比较大小】【题型8 比例的应用】【题型9 由黄金分割求值】【题型10 黄金分割的应用】知识点1：成比例线段1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d=）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足2b ac =．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 由成比例线段直接求值】【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）1．下列各组中的四条线段成比例的是（）A ．2cm 3cm 4cm 6cm ，，，B ．2cm 3cm 4cm 5cm ，，，C ．1cm 2cm 3cm 4cm ，，，D ．3cm 4cm 6cm 9cm ，，，【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）2．根据45a b =，可以组成的比例有（）A ．:5:4a b = B ．:4:5a b =C ．:4:5a b =D ．:54:a b=【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）3．已知:1:2a b =，且210a b +=．(1)求a 、b 的值；(2)若c 是a 、b 的比例中项，，求c 的值．【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）4．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC ，AB ，CD ，BC 是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.【题型2 比例尺】【例2】（2024·江苏泰州·三模）5．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图上比例尺由11000∶变为1500∶时，则地图上两个校区的路程增加了cm ．【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）6．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是．【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）7．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（）A ．6厘米B ．15厘米C ．60厘米D ．150厘米【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）8．西安市大雁塔广场占地面积约为667000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（）A ．一个篮球场的面积B ．一张乒乓球台台面的面积C ．《华商报》的一个版面的面积D ．《数学》课本封面的面积知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：()a cad bc bd bd=Û=¹0x yx y =Û3=223（2）反比性质：()ac b dabcd b d a c=Û=¹0x y x y23=Û=23(0)xy ¹（3）更比性质：a c a b b d c d=Û=或d cb a=()abcd ¹0x y x y 2=Û=233或32y x =(0)xy ¹（4）合比性质：a c abc db d b d++=Û=()bd ¹0x x y y y 2+2+3=Û=33(0)y ¹（5）分比性质：ac a b cd b d b d--=Û=()bd ¹0y y x x x 3-3-2=Û=22(0)x ¹（6）合分比性质：ac a b cd b d a b c d++=Û=--(,,)bd a b c d ¹0¹¹x x y y x y 2+2+3=Û=3-2-3(,)y x y ¹0¹（7）等比性质：()a c mb d n b d n ==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+¹0ac m ab d n b++⋅⋅⋅+⇒=++⋅⋅⋅+(0)b d n +++¹L 已知x y z234==，则当0x y z ++¹时，x y z x y z2342+3+4===++．【题型3 由比例的性质判断结论正误】【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）9．若34x y =，则下列各式中不正确的是（）A ．74x y y +=B ．14x y y -=C ．43x y=D ．2113x y x +=【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）10．下列结论中，错误的是（）A ．若45a c =，则45a c =B ．若16a b b -=，则76a b =C ．若23a cb d ==（b ﹣d ≠0），则23a c b d -=-D ．若34a b =，则a ＝3，b ＝4【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）11．若a cb d=（a 、b 、c 、d 、m 均为正数），则下列结论错误的是（）A ．ad bc=B ．2222a cb d =C ．22ad c b ad =D ．a m cb m d+=+【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）12．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A ．舞蹈社不变，溜冰社减少B ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【题型4 由比例的性质求参数的值】【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）13．已知222a b ck b c a c a b===+++，则k =（）A ．1B ．1±C ．1或2-D ．2【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）14．已知a ，b ，c 满足438324a b c +++==且12a b c ++=，试求a ，b ，c 的值．【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）15．已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长，且36a b c ++=，345a b c==．(1)求线段a ，b ，c 的长；(2)若线段x 是线段a ，b 的比例中顶（即a x x b=），求线段x 的长．【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）16．如果()0a c ek b d f b d f===++¹，且()3a c e b d f ++=++，那么k 的值是（）A ．2B ．3C ．13D ．12【题型5 由比例的性质求代数的值】【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）17．如果312234x y z +--==，且18x y z ++=，则2x y z --的值为．【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）18．已知()2520b a c b d d +=¹=，则22a c b d++的值为．【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）19．已知532a b c==．(1)求a bc+的值；(2)若29a b c +-=，求2a b c -+的值．【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）20．已知a b c 、、满足112234a b c -+-==，试求222a b c +-的最大值．【题型6 由比例的性质进行证明】【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）21．已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b=，求a bb +与a b a b -+的值；(2)如果(),a ca b c d b d =¹¹，求证a c b a d c=--；(3)如果a c ab d b +=+，求证ac b d=．【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）22．已知==ax by cz ，且1111x y z ++=.求证：()3323232a x b y c z a b c ++=++.【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）23．已知::a b c d =，且b nd ¹，求证：a a nc b b nd-=-．【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）24．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z 满足y z z x x yk x y z +++===，求2x y z --的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设y z z x x yk x y z+++===，则有：y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，将以上三个等式相加，得()()2x k z k x y z ++=++.Q x ，y ，z 都为正数，\2k =，即2y zx+=，.\20x y z --=.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x ，y ，z 满足222x y zk y z z x x y===+++，求k 的值；（2）已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ，b ，c 互不相等，求证：8950a b c ++=.【题型7 由比例的性质比较大小】【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）25．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y zC x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（）A ．A B C >>B ．A B C <<C ．C A B >>D ．A C B<<【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）26．如果a ，b ，c 满足b c a b ==，则a ，b ，c 之间的关系是（）A ．a b c =+B ．a b c >+C ．a b c <+D ．222a b c =+【变式7-2】（2024九年级·北京西城·专题练习）27．已知0257a b c ==¹，设1x a b c =++， a cy b +=， a b c z a +-=，试判断x ，y ，z 的大小关系．【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）28．已知a ，b ，c ，d 都是互不相等的正数.（1）若2a b =，2cd =，则b a d c，a c b d （用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若,a c b d=请判断b a b +和dc d+的大小关系，并证明；（3）令,a b t cd==若分式232a c b da cb d ++-+--的值为3，求t 的值.【题型8 比例的应用】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）29．如图，以O 为支点，木棍OA 所受的重力为G ．根据杠杆原理，在A 处需一竖直向上的拉力F 才能保持木棍不动，若向上的拉力F 与重力G 大小之比为3:7，6cm OD =，则CD 的长为．【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）30．在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为米．【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）31．装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）32．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）知识点3：黄金分割若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB AB »，BC AB =.AB »0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）【题型9 由黄金分割求值】【例9】（2024·内蒙古包头·三模）33．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 4个结论：①36A Ð=°，②PB =，③PA AD =，④PT PA =．请填写你认为正确的结论序号：．【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）34．如图，已知点C ，D 都是线段AB 的黄金分割点，如果4CD =，那么AB 的长度是（）A ．2B ．6-C ．8+D ．2【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）35．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF ，若4CE =，则AB = ．【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）36．如图，已知线段2AB =，经过点B 作BD AB ^，使12BD AB =，连接AD ，在AD 上截取DE BD =；在AB 上截取AC AE =，则:=AC AB ．【题型10 黄金分割的应用】【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）37．古希腊时期，0.618»，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【变式10-1】（2024·广东·二模）38．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a ），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b ，a 与b 的比例（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm ，则眼梢到鼻翼的距离为cm ． 2.236»，结果保留两位小数）【变式10-2】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）39．如图1在线段AC 上找一个点B ，B 把AC 分成AB 和BC 两段，其中AB 是较小的一段，满足AB BC BC AC =：：，则B 为线段AC 的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B 为AC 的黄金分割点（AB BC >)，AC 长度为15cm ，则AB 的长度 cm ；(结果用根号表示)【变式10-3】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）40．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点（AP BP >），若线段AB 的长为10cm ，则BP 的长为 cm ．（结果保留根号）1．A【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A ．∵2634´=´，∴四条线段成比例，符合题意；B ．∵2534´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；C ．∵1423´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；D ．∵3946´¹´，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．A【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．【详解】解：Q 45a b =，\:5:4a b =，故选：A ．3．(1)2a =，4b =；(2)c =±．【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．（1）利用:1:2a b =，可设a k =，2b k =，则410k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2c ab =，即28c =，然后根据平方根的定义求解；【详解】（1）解：∵:1:2a b =，∴设a k =，2b k =，∵210a b +=，∴410k k +=，∴2k =，∴2a =，4b =；（2）∵c 是a 、b 的比例中项，∴28c ab ==，∴c =±4．线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD=，理由见解析【分析】根据直角三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ⋅=⋅，整理变形即得答案.【详解】解：线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD =（或AB AC BC CD =）.验证如下：根据三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ⋅=⋅，所以AB CD AC BC ⋅=⋅，即AB BC AC CD =.【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若a cb d =，则ad=bc ，反之也成立，即若ad=bc ，则a c b d=.解题的关键是由直角三角形的面积得出AB CD AC BC ⋅=⋅.5．220【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．根据=图上距离比例尺实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．【详解】解：实际路程为2.2220000km cm =，当比例尺为1:1000时，图示距离为2200002201000cm =，当比例尺为1:500时，图上距离为220000440500cm =，∴440220220cm -=，故答案为：220 ．6．1:30000【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm :36km 120:36000001:30000==．故答案为：1:30000．7．A【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，∴图上距离300000(1:50000)6cm =´=，故选：A ．8．C【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．【详解】设其缩小后的面积为xm 2 ，则x:667000=(1:2000) 2，x=0.16675m 2，其面积相当于报纸的一个版面的面积.故选C.【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.9．B【分析】设3x k =，4y k =．代入选项计算结果，即可得到答案．【详解】解：设3x k =，4y k =，A ．34744x y k k y k ++==，正确，故A 选项不符合题意；B ．34144x y k k y k --==-，原式错误，故B 选项符合题意；C ．44312343x k k k y =⋅==⋅=，正确，故C 选项不符合题意；D ．23241133x y k k x k ++⋅==，正确，故D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．10．D【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A 正确，利用先化积，再化比例可判定B ，利用换元计算可判断C ，设比值，取k =1与k ≠1，可判断D ．【详解】解：A 、若45a c =，则54a c =，而45a c =，54a c =正确，不合题意；B 、若16a b b -=，则6（a ﹣b ）＝b ，故6a ＝7b ，则76a b =，正确，不合题意；C 、若23a c b d ==（b ﹣d ≠0）2233a b c d ==，，则()22223333b d b d ac bd b d b d ---===---，正确，不合题意；D、若34ab=，设34a kb k==，，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1，a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．11．D【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．【详解】A、∵a cb d=，两边同乘以bd得：ad bc=，故A正确，不合题意；B、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，故B正确，不合题意；C、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，两边同乘以da得：22ad cb ad=，故C正确，不合题意；D根据a cb d=不能得出a m cb m d+=+，故D不正确，符合题意；故答案为：D.【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．12．D【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa b c++，乙占全部的ba b c++，丙占全部的ca b c++．【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．13．C【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当0a b c ++¹时，根据等比性质计算得出结果；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，代入2c k a b=+计算得出结果．【详解】解：分两种情况：①当0a b c ++¹时，得2221a b c k b c a c a b++==+++++；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，22c k a b ==-+；综上所述，k 的值为1或2-．故选：C ．14．5a =，3b =，4c =【分析】本题主要考查了比例的性质，设438324a b c k +++===，得出34a k =-，23b k =-，48c k =-，根据91512a b c k ++=-=，求出3k =，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．【详解】解：设438324a b c k +++===，则34a k =-，23b k =-，48c k =-，∴91512a b c k ++=-=，解得：3k =，∴5a =，3b =，4c =．15．(1)91215a b c ===，，(2)x =【分析】（1）设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，再结合题意可列出关于k 的等式，解出k 的值，即可求出线段a ，b ，c 的长；（2）由题意可直接得出912x x =，解出x 的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，∵36a b c ++=，∴34536k k k ++=，解得：3k =，∴91215a b c ===，，；（2）∵a x xb =，∴912x x =，整理，得：2108x =，解得：x =．【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k 法”是解题关键．16．B【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得,,a bk c dk e fk ===，代入()3a c e b d f ++=++，即可求解．【详解】解：Q a c e k b d f===，,,a bk c dk e fk \===，Q ()3a c e b d f ++=++．()3bk dk fk b d f \++=++，3k \=，故选：B ．17．15-【分析】此题考查了比例的性质，设312234x y z k +--===，得出23x k =-，31y k =+，42z k =+，再根据18x y z ++=，求出k 的值，从而得出x ，y ，z 的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：设312234x y z k +--===，则23x k =-，31y k =+，42z k =+，18x y z ++=Q ，23314218k k k \-++++=，2k \=，1x \=，7y =，10z =，2271015x y z \--=--=-；故答案为15-．18．25##0.4【分析】先求出2225d a c b ==，再根据比例的性质即可得．【详解】解：()2520a d d c b b +==¹Q ，2252a c d b =\=，2225a cb d +\=+，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．19．(1)4(2)814【分析】本题主要考查了比例的性质，通过532a b c ==，设出()5320a k b k c k k ===¹，，是解题的关键．（1）设()5320a k b k c k k ===¹，，，则532a b k k c k++=，据此可得答案；（2）设()5320a k b k c k k ===¹，，，由29a b c +-=得到5349k k k +-=，解方程求出94k =，则812103294a b c k k k k -+=-+==．【详解】（1）解：∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，∴5342a b k k c k++==；（2）∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，，∵29a b c +-=∴5349k k k +-=．∴94k =，∴812103294a b c k k k k -+=-+==．20．25【分析】设112234a b c k -+-===，得到关于k 的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．【详解】解：设112234a b c k -+-===，∴a -1=2k ，b +1=3k ，c -2=4k ，即a =2k +1，b =3k -1，c =4k +2，∴a 2+b 2−c 2= (2k +1)2+(3k -1)2−(4k +2)2=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-(16k 2+16k +4)=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-16k 2-16k -4=-3k 2-18k -2=-3(k 2+6k +9-9)-2=-3(k +3) 2+25∵(k +3) 2≥0，则-3(k +3) 2≤0，∴a 2+b 2−c 2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．21．(1)4a b b+=，12a b a b -=+(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：（1）先根据已知条件得到14a b a b b +=+=，3a b =，再把3a b =代入a b a b -+中进行求解即可；（2）设a c k b d==，则a kb =，c kd =，再分别计算出a b a -和c d c -的值即可证明结论；（3）求出bc ad =，进而可得a cb d =。

九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段第1课时线段的比和比例的基本性质作业课件北师大版

4．已知 a，b，c，d 四条线段是成比例线段，其中 a＝2 cm，b＝5 cm，c＝4 cm，则 d＝1__0_c_m．
5．(陇南中考)已知a2 ＝b3 (a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( B)
A．ab ＝23
B．2a＝3b
C．ba ＝32
D．3a＝2b
6．(2019·郴州)若x＋x y
＝32
解：设 AP＝3x，BP＝2x.∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即 5x＝10，解得 x＝2，∴AP＝6，BP＝4. 设 BQ＝y，则 AQ＝AB＋BQ＝10＋y.∵ABQQ ＝32 ，∴10y＋y ＝32 ，解得 y＝20，∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24
，则yx
1 ＝_2___．
7．(教材 P79 习题 4.1T2 变式)如图，D，E 分别是 AB 和 AC 上的点，且ABDD ＝EACE ，若 AD＋EC＝9，DB＝49，DB＝4，AE＝5， ∴A4D ＝9－5AD ，解得 AD＝4 或 5
第四章图形的相似
4．1 成比例线段
第1课时线段的比和比例的基本性质
1．如图，C是线段AB上的一点，且AC∶CB＝2∶3，那么AB∶BC等于( B ) A．2∶3 B．5∶3 C．3∶2 D．3∶5
2．已知a＝2 cm，b＝30 mm，则a∶b＝____2_∶__3_.
3．下列各组中的四条线段成比例的是( C ) A．a＝ 2 ，b＝3，c＝2，d＝ 3 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝2，b＝ 5 ，c＝2 3 ，d＝ 15 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
8．(2019·雅安)若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是( A ) A．4 B．2 C．20 D．14

北师大版九年级上册数学41成比例线段4.1成比例线段练习

4.1 成比率线段一、填空题 1.假如线段 a=3，b=12，那么线段 a 、b 的比率中项 x=___________。

2、线段 a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ，那么 a 、 b 、 c 的第四比率项 d=____ 。

3.在 x ∶6= (5 +x)∶2 中的 x= ；2∶3 = ( 5- x)∶ x 中的 x= .4.若 x y z , 则 x y z ______ .1089y z5.若 a ∶3 =b ∶4 =c ∶ 5 , 且 a+b- c=6, 则 a= ，b= ， c= .6.已知 x ∶y ∶z= 3∶4∶5 , 且 x+y+z=12, 那么 x= ，y=， z=.7.若ac e 3 ,则ac e ______ .bd f4b d f8.已知 x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z =, ② (x+y)∶(y+z)=.9.若 x2 y 2 , 则 x _____ .y 3 y10.图纸上画出的某个部件的长是 32 mm ，假如比率尺是 1∶20，这个部件的实质长是 .11.如图，已知 AB ∶ DB = AC ∶EC ， AD = 15 cm , AB = 40 cm , A AC = 28 cm , 则 AE = ；D E12.已知，线段 a = 2 cm ， c3) cm ，则线段 a 、c 的比率(2BC中项 b 是.(第 11题图 )二、选择题 1.已知一矩形的长 a=1.35m ，宽 b=60cm ，则 a ∶b 的值为（）(A)9 ∶400 (B)9∶40 (C)9∶ 4 (D)90∶4 2.以下线段能成比率线段的是（） (A)1cm,2cm,3cm,4cm(B)1cm, 2 cm,2 2 cm,2cm(C) 2 cm, 5 cm, 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3.假如线段 a=4， b=16， c=8，那么 a 、 b 、 c 的第四比率项 d 为（）(A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知a2 ，则 ab的值为（）b3b(A)3(B)4(C)5(D)32 3 3 5 5.已知 x ∶y ∶z=1∶ 2∶ 3，且 2x+y- 3z= - 15，则 x 的值为（） (A)- 2 (B)2 (C)3 (D)- 3 6.在比率尺为 1∶38000 的南京交通旅行图上，玄武湖地道长约为 7cm ，它的实质长度约为（） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要丈量学校升国旗的旗杆高度，在同一时辰，量得某一起学的身高是1.5 米，影长是 1 米，旗杆的影长是8 米，则旗杆的高度是（）(A)12 米(B)11 米(C)10 米(D)9 米AD AE9.若 D、E 分别是ABC 的边 AB 、AC 上的点，且AB =AC，那么以下各式中正确的选项是（）AD DE AB AE DB AB AD AE(A) DB =BC(B) AD =AC(C)EC =AC(D) DB =AC10.若k a 2b b 2c c 2ac a b，且 a+b+c≠0，则 k 的值为（）11(A)- 1(B)2(C)1(D)- 2三、解答题已知xy z，求以下各式的值： (1)x yz(2)2x 3 y4z.1.50y5x 3 y z 37已知a bb c c a0，求 x+y+z 的值 .2.y zx3.已知 a、 b、c 为ABC 的三边，且 a+b+c =60cm， a∶ b∶ c=3∶4∶ 5，求ABC 的面积 .。

九年级数学上册第四章相似三角形4.1比例线段第1课时比例的基本性质随堂练习(含解析)(新

4.1 —比例线段—第1课时比例的基本性质■A 昌础述标if1.下列各组数中，成比例的是（A ）A. — 6, — 8, 3, 4B. — 7,— 5, 14, 5C. 3, 5, 9, 12D. 2, 3, 6, 122. 下列4条线段中，不能成比例的是（C ）A. a = 3, b = 6, c = 2, d = 4B. a = 1, b = 2, c = 6, d = 3C. a = 4, b = 6, c = 5, d = 10D. a = 2, b =5, c =\；15, d = 2 i'3 a 1 d 31 a d l-B — -- ------ — ---— - * — —; .b = 2, c = 6―2，…b = C '【解析】根据等式的性质 2,等式的两边同时乘以或者除以一个不为0 x 3 依然成立.故在等式左右两边同时除以 2y ,得y = ,故选A.a c 5. 如果-=,那么下列各式一定成立的是（D ）b da d ac c Ar - B.,= -a 3 1 c 2 1 a c A.b = 6 - 2 , d = -4 = 2 , …_【解析】 a 2 d 2 32 a d D.£ _ 5 , * =-.故选C. b c 3.已知比例外项为 m n , 比例内项为p, q ,则下列所给的比例式正确的是 A .m ： n = p : q B . m ： p = n ： q C .m ： q = n ： p D. m ： p = q : n C. ab z cd , ac z bd , ad z bc ；4. [2 017 •兰州]已知2x - 3y （y z 0）,则下面结论成立的是（A ）(D ) 的数或字母，等式 A-- yxD. 2c b bd b• x 1 -壬丄 ,X 2—11.若 1 a — b吐^ -6则a — b 5,则 b _5_， bc + 1 a + 2b c + 2d~d~ . b — d 6. [2017 •北京模拟]由5a — 6b (a ^0)，可得比例式(D ) b 5 b 6 A.— — - B. 6 a 5 a a b a _ b 7. ［2017 •高台校级期末］已知5 —j — k (k 工0)，则寸 —(B ) c ・2 D. x 5 x + y 7 8•如果2x — 5y ，则y =宁十= • ”「一 , x 5 x 5 卄 x + y 7 x 5 卄 x — y 3 ［解析】由 2x — 5y , 得 _— 2，二 ----------------- _ + 1 — 2+ 1，即 -------- —2， _ — 1 — 2— 1，即卩----- —空【解析】由比例的性质，得 2 5 c = 3a , b =6a . 5 2 a + — a .b±£ = 6 3 a — a 10.求下列各式中x 的值： (1) 3 : x — 6 : 12; (2) x ：(x 十 1) —(1 — x ) : 3. 解: (1)由比例的基本性质可知 6x — 3X 12,. x — 6; (2)由比例的基本性质可知(1十x )(1 — x ) —3x , 2 ••• x 十 3x — 1 — 0, 【解析】 a c a c ? + 2 — + 2? b d ' b 十 d 十 a + 2b b c + 2d d .故选D. a 5 C.b — 6 D. a — b ~b~ x _ y 3 y —2— c 9•已知4 = 6工°， b + c 3 则b -的值为__2 —3【解析】••• a+-^=|,^ 5a + 5b = 6b , b 5a 1 a — ba — 5a4 二5a = b 」b = 5，T =右=—5.12.已知 x : y : z = 3 : 5 : 6,且 2x — y + 3z = 38,贝U 3x + y — 2z =__4__.x y z【解析】 T x : y : z = 3 : 5 : 6,「.可设—= — = — =k ,贝U x = 3k , y = 5k , z = 6k .又T2X — y 3 5 6+ 3z = 6k — 5k + 18k = 38,即卩 k = 2,「. 3x + y — 2z = 9k + 5k — 12k = 2k = 4.【解析】根据已知条件，得出a +b = ck ,① b + c = ak ,②c + a = bk .③ ①+②+③，得 2(a + b + c ) = k (a + b + c ).(1) 当 a + b + C M 0,贝U k = 2；(2) 当 a + b + c = 0,贝U a + b = — c , b + c =— a , a + c =— b ,综上所述，k 的值是2或—1.13.若 a + b cb +c a c + a =k ,贝U k = __2 或一1.ace 14.若 b = d = f 2 5，求: a — c (1匸；2a + 3c — 4e⑵ 2b + 3d — 4f ；⑶ 比较(1) , (2)的结论，你能发现什么规律?2 2解：⑴令a = b , c = d , 5 5a — cb —2 2 2b -5d = b — d = 2 5； 2 2 2(2)令 a = 5b , c =”d , e =f则 2a + 3c — 4e则 2b + 3d — 4f 2 2 22x-b + 3X ：d —4X 匚f5 5 52b + 3d —4f2(2b + 3d — 4f ) 5 2b + 3d — 4fe 」a + mc^ nef = k ，则 lb + m 评 nf = k.15•已知三个数1, 2, 3，请你再添一个数（只添一个），使它们能构成一个比例式，试求这个数.解：设这个数为X ，分三种情形讨论:证明：••• a =d , a ca +bc + d-.①b da = c 主1,••• 1 — b = 1 —兀 0, a cX 与1是两内项时， x = 2 3;x 与2是两内项时， x =_2 ；x 与寸3是两内项时， 2 3X — 3①当 ②当 ③当 a — b a c —dc①十②, a + b a — b c + dc — d卄a⑶若b = 综上所述，这个数为 2 3或£或233.b d16.已知一=一工1, a c求证：斗二a —bc — d。

北师大版九年级上册数学 4.1 成比例线段同步练习(含答案)

4.1成比例线段同步练习一、单选题1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( )A．a bd c=B．b ac d=C．a bc d=D．b ca d=2．已知37x yx-=下列等式中正确的是（）．A．43xy=B．47xy=C．74xy=D．37xy=3．下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝c d＝5 C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝44．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7 B．5a＝2b C．72a bb+=D．52ab++＝15．如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（）A．a：b = 4：9 B．b：c = 2：3 C．a：b = 3：2 D．b：c = 3：2 6．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5 7．已知线段a＝3，c＝12，则线段a和c的比例中项b是（）A．±6 B．36 C．6 D．﹣6二、填空题8．线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm9．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝__．10．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．11．已知两地的实际距离为400米，画在图上的距离(图距)为2厘米，在这样的地图上，图距为16厘米的两地间的实际距离为______________米．12．A、B两地的实际距离为36km，用比例尺为1∶100000画在地图上的距离为__________厘米．13．已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm．14．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石15．若线段a 、b 、c 、d 满足，则的值等于_____．16．已知线段a =2cm 、b =8cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_________cm..三、解答题17．已知：245x y z ==，求223x y z x y z +--+的值． 18．已知457x y z ==，且3512z y =-，求32x y z -+的值． 19．已知线段a 、b 、c ，且345a b c ==. （1）求a b b+的值；（2）若线段a 、b 、c 满足60a b c ++=，求a 、b 、c 的值.参考答案 1．C2．C 3．C4．C5．B6．C7．C8．69．7：510．2311．320012．3613．3214．23．15．16．417．13. 18．63设457x y z k === 则4x k =，5y k =，7z k =因为3512z y =-，所以212512k k =- 解得3k =所以12x =，15y =，21z =所以3236154263x y z -+=-+= 19．（1）74；（2）15a =，20b =，25c =（1）设345a b c k === 则3a k =，4b k =，5c k = ∴34744a b k k b k ++== （2）∵60a b c ++= ∴34560k k k ++= 解得5k =∴15a =，20b =，25c =。

4.1 线段的比(含答案)-

4.1 线段的比本课导学点击要点四条线段a ，b ，c ，d 中，如果_______，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，比例线段是有__________的．学习策略解决本节习题应把握以下几方面：（1）了解线段的比和成比例线段；（2）理解并掌握比例的性质及其简单应用；（3）培养提出问题、分析问题和解决问题的能力．中考展望本节知识在中考试题中多以填空题为主．随堂测评基础巩固一、训练平台（第1～5小题各5分，第6小题8分，共33分）1．下列各线段中，能成比例的是（）A ．3cm ，5cm ，7cm ，9cmB ．2cm ，5cm ，6cm ，8cmC ．3cm ，6cm ，9cm ，18cmD ．1cm ，3cm ，4cm ，7cm2．在等边三角形中，一边上的高线与它边长的比是（）A ．1：2B 2C ：2D ．23．已知xy=mn ，则把它改写成比例式后，正确的是（）A ．x m n y =B ．y m x n =C ．x y m n =D ．x y n m= 4．若234x y n ==≠0，则下列各式中正确的是（） A ．54x y n += B ．2x=3y C ．9x y n ++=1 D ．4334y n ++= 5．（2004·青海）甲同学的身高为1.5m ，某一时刻他的影长为1m ，此时，乙塔影长为20m ，则塔高为_______m ．6．如图所示的网格中给出一个图形，请你在另外空白的网格中画出一个图形，使所画图形的各边长是原图形各边长的2倍．二、提高训练（第1～6小题各5分，第7小题10分，共40分）1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，EF∥AD交DC于F，若AE：EB=DF：FC=5：3，DC=16，则FC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．102．若k=222a b b c c ac a b---==，且a+b+c≠0，则k的值为（）A．-1 B．12C．1 D．-123．已知a b cb c c a a b==+++=k，且a，b，c为正数，则下列四个点中，在函数y=kx图象上的点的坐标是（• ）A．（1，12） B．（1，-12） C．（1，2） D．（1，-1）4．（2004．哈尔滨）若85a bb+=，则ab=________．5．若线段a=2cm，b=3cm，c=4cm，则比例线段ab=cd中，线段d=_______cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，则ac=_______．7．若25364a c b++==，且2a-b+3c=21，试求a，b，c的值．三、探索发现（共12分）阅读下面的一段文字，你得到了什么结论？设ab=cd…=mn=k，则有a=bk，c=dk，…m=nk，当b+d+…+n≠0时，a c mb d n++++++=bk dk nkb d n++++++=()b d n kb d n++++++=k=ab．（1）你得到的结论是：_____________．（2）利用（1）中的结论完成下题：在△ABC和△A′B′C′中，3''''''5AB BC CAA B B C C A===，且△A′B′C•′的周长是50cm，求△ABC的周长．四、拓展创新（共15分）已知ab=cd=ef=2，求：（1）a c eb d f++++的值（b+d+f≠0）；（2）2323a c eb d f+-+-的值（2b+3d-f≠0）．中考演练1．（2004·南京）在比例尺是1：8000•的南京市城市地图上，•太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m2．（2004·宁波）如果ab=23，那么aa b+=________．3．（2004·三明）若1725a b==，则23a b-=_________．答案: 本课导学a与b的比等于c与d的比ab=cd顺序随堂测评一、1．C 2．B 3．A 4．A 5．30 6．略二、1．B 2．A 3．A[提示：k=12] 4． 5．6 6．127．a=4，b=8，c=7三、（1）如果ab=cd=…=mn（b+d+…+n≠0），那么a c mb d n++++++=ab（2）30cm四、（1）2 （2）2※ 1．D 2．253．15.4.1 线段的比一选择1．已知三条线的比如下，可以组成三角形的是（）A ．5：20：30B ．10：20：30 ；Ｃ．15：15：30 Ｄ．20：30：30２.下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4；B. a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝3C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10;D. a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝233．在比例尺为1：n 的某市地图上，A ，B 两地相距5cm ，则A ，B 之间的实际距离为（）A ．51n cmB ．251n 2cm C ．5ｎcm Ｄ．25n 2cm ４．若5x =7y ,则y x 的值为( ) A ．75 B ．57 C ．3：5 ｄ．2 5．如果b a ＝bd 成立，那么下列各式一定成立的是（） A ．c a ＝b d B ．bd ac ＝b c C ．b a 1+ ＝d c 1+ D ．b b a 2+＝d d c 2+ 6．若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（）A ．-3B ．-5 Ｃ．-7 Ｄ．-15７．已知M 是线段AB 延长线上一点，且AM ：BM ＝5：2则AB ：BM 为（）A.3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：28．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（）A.12米 B ．11米 C ．10米 D ．9米二、填空9．若b b a -＝74，则ba ＝＿＿＿＿． 10．若b a ＝dc ＝52（b ＋d ≠0），则db c a ++＝＿＿＿＿． 11．已知5922=-+b a b a ，则b a ＝＿＿＿＿． 12．如果两地相距250km ，那么在1：10000000的地图上它们相距＿＿＿＿cm 。

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第四章图形的相似
4.1 成比例线段
第1课时线段的比和成比例线段

一、填空题
1.若线段a=12cm,b=3cm,则线段b:a= 。
2．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a，b，c，d四条线段成比例，则d=_______．
3．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：4，则AP：AB=_____，AB：PB=_______．
4．如果a=15cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=________．
5.已知b是a，c的比例中项，且a=3cm，c=9cm，则b= cm。
6.已知P是线段AB上一点，且AP:PB=2:5,则AB:PB= .

7.已知三个数2，4，32，请你再加上一个数使它们成一个比例式，这个数是。

8.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm，则这两城市的实际
距离是公里.
9.美是一种感觉，人体下半身长与身高的比值接近0.618，越给人一种美感，某女士身
高165cm，下半身与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为 cm.

二、选择题
10、如果bcax，那么将x作为第四比例项的比例式是（）
A xacb B bcxa C xcba D cabx
11、三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，
那么这三条线段的和与b的比等于（）

A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3
12、下列a、b、c、d四条线段，不成比例线段的是（）
A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm
C. a=30mm b=2cm c=59cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm
13、如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（）
A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4
14、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（）
A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12
15.下列各组线段中，能成比例的是（）
A、4，6，7，8 B、2，3，6，8 C、3，6，9，18 D、1，2，3，5

16.如果ab=cd(a,b,c,d都不等于0），那么（）
A、a:b=c:d B、a:c=b:d C、b:d=c:a D、a:d=b:c

三、解答题
17.已知四条线段a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm.试判断四条线段是否成比例。

18．求下列各式中的x:
（1）3：x= x：6 （2）5：2=（3-x）：x

19.如图，△ABC中，ECAEDBAD,AB=12,AE=6,EC=4.(1)求AD的长；
（2）试说明ACECABDB成立。