有限元法专题实践-7
有限元法
有限元： 是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得 到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼 近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出 ，则是最近的事。 “有限元法”这一名称是美国的克拉夫在一篇题 为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用 的。此后
极少数情况下才能获得解析解，大部分情况下只能用 数值方法求得其近似解。随着计算机技术的飞速发展 ，数值解法变得越来越重要。 目前工程中实用的偏微分方程的数值解法主要有三种 ： 1.有限差分法 （概念及方法简单，但不适于求解区域形状复杂的问题。） 2.边界元法（计算精度高，但是对于非匀质和非线性问题不如有限元法方便） 3.有限元法
第二节 有限元法的基本步骤
1.单元划分 2.确定插值函数 3.建立单元方程 4.单元组 5.计入边界条件 6.后处理计算
ANSYS简介
创始人是John Swanson博士，匹兹堡大学力学系教授 、有限元界的权威。
第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求 解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限 大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习 惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细） 则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算 量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的 核心技术之一。
二、有限元法的应用
有限元法应用范围很广，它不但可以解决工程中的线 性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体 材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性 材料以及流体均能求解；另外对于工程中最有普遍意 义的非稳态问题也能求解，甚至还可以模拟构件之间 的高速碰撞、炸药爆炸燃烧和应力波的传播。 目前有限元法的用途已遍布机械、建筑、矿山、冶金 、材料、化工、能源、交通、电磁甚至日常生活用品 设计分析的各个领域。 如图表5-1列出来国际上流行的商用有限元程序的应用 范围。课本实例：
第7章 有限元分析概述
3、变形体及受力情况的描述:
基本变量:
u
(位移)
ε
(应变)
ζ
(应力)
（如果考虑三个方向(xyz)的情况，则有对应的向量、张量描述:
ε ij
ζ ij
ui
）
基本方程: ①力的平衡方面 三大类变量 ②几何方面 三大类方程 ③材料方面
求解方法: ①经典解析 ②半解析法 ③传统数值求解 ④现代数值求解(计算机软硬件，规范化，标准化， 规模化，计算机化)
几个概念： 单元：把弹性体假想地分割成有限个离散体，这些离
散体称为单元。 节点：离散单元仅在其顶点处相互连接，连接点成为节点。 要求：这种连接必须满足变形协调条件， 既：不能出现裂缝，不能发生重叠。 节点力：单元之间只能通过节点传递内力，通过节点 传递的内力成为节点力。 节点载荷：作用在节点上的载荷为节点载荷。 节点位移：当弹性体受到外力作用发生变形时，组成它的 各个单元也将发生变形，因而各个节点将产生
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。把这类 问题称为离散系统。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
平面桁架结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双向拉索悬索桥
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。这类问题称为连续系统。
例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。
目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 简介
MSC/Nastran
MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
著名结构分析程序，最初 由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
2024年有限元法-
第五章 有限元法
基于功能完善的有限元软件和高性能的计算机硬 件对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽 可能真实的结构受力信息，就可以在设计阶段对 可能出现的各种问题进行安全评判和设计参数修 改，据有关资料，一个新产品的问题有60％以上 可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程 也需要进行精细的设计，要做到这一点，就需要 类似有限元分析这样的分析手段。
第五章 有限元法
刚度矩阵的列数和行数都保持不变的边界条 件处理办法。 设平面桁架结构对应的平衡方程为
第五章 有限元法
(1) 边界条件 u1 =0 的实现。在刚度矩阵[K] 中，保留与u1相对应的并在主对角线上的 系数 k11 ，将第一行和第一列的其余各元素 均改为零；在列载荷[F]中令 Fx1=0
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
边界条件
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
（二） 整体坐标系中的单元刚度矩阵
第五章 有限元法
（三） 节点平衡方程
第五章 有限元法
第五章 有限元法
杆的应变为
单元内的轴向力（规定拉力为正）为
横截 面积
弹性 模量
节点力与轴力的关系可表示为
第五章 有限元法
力与位移间关系表示式
单元内的节点力矩阵
位移矩阵
单元刚度矩阵
具有对称性
第五章 有限元法
第五章 有限元法 在局部坐标系中的节点力与位移间的关系为
力的转换关系
第五章 有限元法
转换矩阵
第五章 有限元法 梁单元的节点力和位移可表示为矩阵形式为
第七讲有限元分析建模及若干问题
M
M
L
9-6 模型简化
2、力学问题的简化 、 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况， 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况，对其相应 的力学问题进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间 的力学问题进行简化， 的目的。 的目的。 1）对称结构受对称载荷作用 ）
p y
x 对称面
对称面上只有沿对称方向的位 移没有垂直对称面方向的位移
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 • c、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后，既 、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后， ）：其特点是结构与基础相连后 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。
9-4 有限元建模的基本内容
• 有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互 有限元建模在一定程度上是一种艺术， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是： 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性； 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 • 建模的基本内容： 建模的基本内容： • 1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线 、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、 流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。 取决于工程专业知识和力学素养。 性、流体、流固耦合 ） 取决于工程专业知识和力学素养 • 2、单元类型的选择（高阶元 低阶元？杆/梁元？平面 板壳？ ….. ） 低阶元？ 梁元 平面/板壳 梁元？ 板壳？ 、单元类型的选择（高阶元/低阶元 -----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 • 3、模型简化（对称性 反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支 反对称性简化、 、模型简化（对称性/反对称性简化 小特征简化、抽象提取、 坐等简化） 坐等简化） • 4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） 、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） • 5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） 、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） • 6、求解控制信息的引入 、
有限元法( 空间问题)(精选)38页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
有限元Байду номын сангаас( 空间问题)（精选）
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
Thank you
有限元分析ppt
分 片 近 似位
移 函 数
m(xm ym ) Fmy
vm um
vi i(xi yi )
Fmx ui
vj
y
Fix x
Fiy
uj
j(xj yj)
单 元 平 衡单
刚 方 程
整 体 平 衡总
刚 方 程
方
程
求 解
节 点 位
移
函
数
阶梯轴（梁）
A E (1)
(1)
A E (2) (2)
F
1
2
3
3
Φ1
Φ2
Φ3
l(1)
ui
vi
u
v
j j
um
vm
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm Fym
y
vm
m
um vj
vi
j uj
i
ui
Fym
m
Fyi
i
Fxm Fyj
j Fxj Fxi
x
平面应变板单元
1.2.3 .1 单元刚度的概念 单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移
之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的
l(2)
F1
F2
F3
分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点 载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体 结构中的编码，简称为总码。
1.1 有限元法概述
二．一个简单的应用实例
1. 离散化
① 局部码：各单元内，节点的编码； ② 各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记 ③ 所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节
有限元法
有限元法10.3.2 有限元法解题步骤有限元法解题步骤如下：(1) 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。
许多物理问题的分析结果在数学上都可以归结为下面形式的重要微分方程：ρϕϕ=+∇∇-g p )( (10.3-1)一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克莱边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
狄利克莱边界条件可表示为：)(Γ=Γf φ (10.3-2))(Γf 为位置的一般函数，在特殊情况下f 可以为常数或零。
狄利克莱条件表明电势在某个边界的值是给定的。
黎曼边界条件或者混合边界条件可以表示为：)()(ΓΓ+∂∂ΓΓb q n ＝ϕϕ(10.3-3) n为边界的外法向矢量，)(Γq 和)(Γb 为一般函数，在特殊情形下)(Γq 和)(Γb 为常数和零。
对应于上面的微分方程式(10.3-1)和边界条件式(10.3-2)，式(10.3-3)的泛函应为dS b q dV g p I S V ⎰⎰ΓΓ-+-+∇=)(222)()2()2()(ϕϕρϕϕϕϕ (10.3-4)式中)(ΓV 为以Γ为边界的体积(三维)或面积区域(二维)；S '为边界Γ上的一部分边界，在S '上势函数满足混合边界条件式(10.3-3)。
在二维情况下，如果ε=p ，εα=q ，b εβ=，0=g ，S '为整个Γ边界的情况下，微分方程式(10.3-1)及边界条件式(10.3-3)可以写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂∂+∂∂)(),(2222s y x ny x L βϕαϕερϕϕ (10.3-5) 这里平面场域为D , L 为D 的边界，s 为边界上的点。
根据式(10.3-4)，此时的泛函可取为()()⎰⎰Γ-+-∇=)()(2222)(L D S dS dV I βϕαϕερϕϕεϕ (10.3-6)证明：求泛函式(10.3-6)的极值与满足上述边界条件下的微分方程式(10.3-5)的求解是等价的。
有限元课程案例式教学探索与实践
有限元课程案例式教学探索与实践有限元课程是工程领域中常见的一门课程，通过该课程的学习，可以使学生掌握有限元理论和方法，能够对实际工程问题进行有限元分析和模拟。
传统的有限元课程教学方式往往以理论讲解为主，缺乏实际案例的引入和实践操作的锻炼，导致学生对有限元方法的掌握程度有限。
在我校有限元课程的教学中，我们采取了案例式教学探索与实践的方式，通过真实的工程项目案例，将理论知识与实际应用相结合，以提高学生的学习效果。
我们精心挑选了一些具有典型意义的工程案例，包括材料力学、结构力学、流体力学等方面的问题。
案例的选择需要考虑到能够涵盖有限元方法的各个方面，并且能够与学生在工程实践中所遇到的问题相契合，以提高学生的学习兴趣和参与度。
我们引入了工程软件的使用，让学生能够亲自动手进行有限元分析。
通过软件的模拟操作，学生可以更加直观地理解有限元方法的原理和步骤，以及各个参数的设置和调整。
在教学过程中，我们注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
通过案例的引入和实践的操作，学生需要思考如何将理论知识应用到具体的工程问题中，从而培养他们的分析和解决问题的能力。
我们还注重培养学生的团队协作能力和沟通能力。
在案例中，学生需要分组进行讨论和合作，共同解决问题。
通过小组的合作，学生可以相互交流和学习，提高学习效果。
我们通过课程设计和实验等形式，对学生的学习效果进行评估和反馈。
根据学生的实际表现和反馈意见，我们可以及时调整教学方法和内容，以提高教学质量。
通过案例式教学探索与实践的方式，我们发现学生的学习效果有了明显的提升。
他们不仅对有限元方法的理论有了更深入的理解，而且能够将其应用到实际工程问题中，并且在解决问题的过程中能够提出合理的假设和解决方案。
案例式教学探索与实践是提高有限元课程教学效果的一种有效方式。
通过引入工程案例和实际操作，培养学生的实际能力和解决问题的能力，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。
有限元法
2. 一维有限元法
以满足帕松方程的有源静电场为例：
2
-1
x 1
0 .5
1
n
i 1
i 1
N
N
f
＝
j
e
j qd e
f
e j
i 1
i 1
N
N
b
＝
j
e
j hd e
bej
i 1
i 1
2. 一维有限元法
k
e ij
e j i de
f
e j
e
j qd e
{ K e C f e b e}
1 x2
2
1 1
2
0.98
43
0.92 0.68
5 0.5
节点处与真解相等，节点间、 单元内有误差，显然剖分越
密，误差越小
2. 一维有限元法
有限元法小结： 有限元法是针对加权余数法和变分法将偏微分方程转变为代数方程后的后续 方法，它将代数方程系数矩阵的构成规范化，以便于计算机处理
称为有限元刚度矩阵，但 不能直接求解，需要消去
1行、1列。
2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
(有限元法)
有限元法1.有限元法概述实际工程计算中所涉及到的物理元器件本身结构非常复杂，部分材料的属性还存在非线性问题，难以有效地得到问题对应的解析解。
随着计算机技术的发展，一些数值计算方法在攻克科学技术难题时发挥了巨大的作用，其中比较常用的包括有限元法、边界元法、模拟电荷法、有限差分法等。
有限元的核心思想在于能够将复杂场域的计算问题等效为进行简单的方程组求解问题[22]。
有限元法将连续的求解区域进行剖分，得到有限数量的离散性质的单元体，选择较为简单的并且合适的插值函数进行插值，那么问题就转化为数学上求解一个普通的多元函数极值的问题，求解该多元函数方程组，便可以得到求解域的数值解[23-25]。
有限元法得到的单元体集合可以按照不同的方式进行组合，单个单元针对不同方向的计算问题也存在几种不同的单元形状，可有效地使复杂计算几何模型转变为有限元计算模型。
总的来说，有限元法相对于其它电磁场数值方法主要有以下优点：（1）能够处理复杂边界。
有限元法强大的网格划分功能能够合理的划分复杂边界，保证计算的精确度。
（2）异类介质的存在对计算无影响。
有限元法计算分析问题时，模型中可以同时存在不同种的介质材料，仅需要在网格划分前设定好各种介质的材料属性。
（3）场域维数可为三维。
二维计算虽具有一定的适应性，但是如果需要更加贴近实际的进行三维模型计算，就得采用有限元法将计算求解场域离散。
（4）电场计算更简单。
有限元法在处理形状简单的三角形单元或者四面体单元时，可以认为电场强度在单元内部是均匀不变的，计算更加简单。
目前，有限元法作为一种数值计算方法，比其他方法更适用于分析不同介质性质和不同边界形状的复杂问题，已经成为解决电磁场和电磁波工程问题的主流方法。
如电学中的汤姆逊定理，变分原理解释了物理学中的最小作用原理，为数值解的存在与稳定提供了前提条件。
变分原理通过将问题的物理特性离散化，列出相应的公式，简化了编写通用计算程序的难度，使解决问题的计算程序能构成模块化的子程序集合。