高中数学人教A版选修4-1 (44)
2021年人教A版高中数学教材目录(全)
必修1欧阳光明（2021.03.07）第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和2.4等比数列2.5等比数列的前n 项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数 3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
江苏省西亭高级中学高中数学《4.1.2 极坐标系(1)》教案 新人教A版选修4-4
某某省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案教学目标：1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．教学重点：极坐标系的理解与应用．教学难点：极坐标系的概念．教学过程：一、问题情境：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？练习如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：1．他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ 2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、探究新知：思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？ 这些描述的对应位置是否惟一确定？（2）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ （3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 探究结果：（1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定．（2）到达图书馆，该位置惟一确定．（3）正东方向60m 处与西北方向50m 处．重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础．三、建构数学：（一）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点．引一条射线OX ，叫做极轴．再选定一个长度单位和角度单位这样就建立了一个极坐标系． （二）极坐标的表示与注意点：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标．特别强调：ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值X 围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 ．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角．③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.办公楼 E 实验楼D C 图书馆B 体育馆 A 教学楼60m 50m 120m 60° 45° O x当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ．M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或)(z k ∈四、数学应用：例1写出下图中各点的极坐标：例2 在极坐标系中，1．已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2．已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈， 说明满足上述条件的点M 的所组成的图形．变式训练1．若ABC ∆的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A2．若A ．B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积．（O 为极点）例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标．⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点．变式训练：1．在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是．)6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A 2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标．五、课堂练习：1．已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标．2．建立极坐标系，并画出点,6,4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B3．在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________．4．设点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴．直线l ．极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）．5．（2006年某某高考题）在极坐标系中，设O 是极点，A ．B 两点的极 坐标分别是(4,)3π．5(5,)6π-，则⊿OAB 的面积是 ． 6．在极坐标系中，已知两点2(3,),(1,)33A B ππ-，求A ，B 两点间的距离．7．在极坐标系中，已知1122(,),(,)A B ρθρθ12(0,0)ρ>ρ>，求⊿AOB 的面积．六．回顾小结：1．建立一个极坐标系需要哪些要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向．2．极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种．是因为极角引起的．3．一点的极坐标有否统一的表达式？有．（ρ，2k π+θ）七．课后作业：。
人教A版高中数学选修4-1第一讲2平行线分线段成比例定理教案4
平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
【活动四】 教学例3问题5 已知：如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AEE学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。
人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-1综合测试卷A(含答案).docx
高中数学学习材料唐玲出品数学选修4-1综合测试卷A（含答案）一选择题1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝（）A．3 B．4 C．4.5 D．42（1）（2）（3）2、如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF FGBC AD+的值为（）A．1 B．2 C．2.5 D．33、已知，如图，AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，BC=10，AC=6，则DE=（）A．1 B．2 C．2.5 D．34.如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，AE＝（）A．2 B．3 C．4 D．55.两个相似三角形的面积分别为4cm2和9 cm2,它们的周长相差6 cm,则较大的三角形的周长为（）A．9 B．12 C．16 D．18（4）（6）（7）6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为（）A．3 B．4 C．4.5 D．57．如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于A．2 B．3 C．4 D．58．正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1AE=,连接EC、ED则sin CED∠=A．31010B ．1010C ．510D ．5159 ．在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则222||||||PA PBPC+（）A．2 B．4 C．5 D．1010.在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝（）A ．2B ．3C ．4D ．5（10） （11） （12）11,.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为（ ） A ．6/5 B ．7/5 C ．8/5 D ．9/512.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为（ ） A ．22/7 B ．23/7 C ．24/7 D ．25/7二．填空题13．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.14．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4 cm,AC=3 cm,DE ∥BC 且DE 把△ABC 周长分为相等的两部分，则DE=_____.（14） （16）15、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为腰AB 上一点，AD ＝DC ，且AD 2＝AB ·BD ，则∠A ＝16.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，DE=3则BD= .三．解答题17如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF 的长18已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .19.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .20如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长．21.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . (1)求证：△ABF ∽△EAD ； (2)若AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长．22．如图，已知AB ∥CD ∥EF ， AB=a,CD=b(0<a<b),AE ∶EC=m ∶n ，（0<m<n)， 求EF 的长.答案一选择题（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABCDCCBDCBB二填空题（每小题5分，共20分）13【答案】3∶22∶1 14 【答案】30/715 【答案】 360 16【答案】69.【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令4AC BC ==,则42AB =,CD =1222AB =,1||22PC PD CD ===,22||||PA PB AD PD ==+= ()()2222210+=,所以222||||101010||2PA PB PC ++==. 12.如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237.15【证明】 过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E .∴∠EDC ＝∠BCD ，BD ＝CE . ∵AD 2＝AB ·BD ，AD ＝DC ，AB ＝AC ，∴AD AB ＝BD AD ＝CD AC ＝CEAD .又∠ECD ＝∠DCA ，∴△ECD ∽△DCA ，∴∠EDC ＝∠A .又AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACD ＝∠A ，∴∠BCA ＝∠BCD ＋∠ACD ＝2∠A .又AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠B ＋∠BCA ＝5∠A ＝180°，∴∠A ＝360 16.证明：∵三角形ABC 是正三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴AE AB ＝AE BC ＝12， ∵AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴AD CD ＝AE BC. 又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD . DE=3则BD=6 三解答题17（本小题满分10分）解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 18（本小题满分12分）证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC .又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC . ∴EC DC ＝ACBC ，∴12BC CD ＝AC BC ， 即BC 2＝2CD ·AC .19（本小题满分12分） 证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC . ∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ， ∴PB 2＝PE ·PF ，命题得证． 20（本小题满分12分）解：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56.∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD ，又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53.(2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ， 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴(53x )2＝x 2＋102， 解得x ＝7.5.∴BC ＝2x ＝15，AB＝AC＝53x＝12.5，∴△ABC的周长为40 cm.21（本小题满分12分）解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BF A＝∠C＋∠D，∴∠BF A＝∠D.∴△ABF∽△EAD.(2)∵AE＝4sin60°＝8 33，又BFAD＝ABAE，∴BF＝ABAE·AD＝3 32.22（本小题满分12分）【解析】如图，过点F作FH∥EC，分别交BA、DC的延长线于点G、H，由EF∥AB∥CD及FH ∥EC，知AG=CH=EF，FG=AE，FH=EC.从而FG∶FH=AE∶EC=m∶n.由BG∥DH，知BG∶DH=FG∶FH=m∶n.设EF=x,则得(x+a)∶（x+b)=m∶n.。
高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理
课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB，因为AB切⊙O于点B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°，又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.若AB＝6，BC＝8，则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时，如图，连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD.因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC.因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE 是⊙O 的切线．所以选项B 正确．当CD ＝BD 时，AO ＝BO ，同选项B ，所以选项C 正确．当AC ∥OD 时，因为DE ⊥AC ，所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线．所以选项D 正确．4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010B.210C.55D.24解析：选A 连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ，∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ，∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55， cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB＝255. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010. 二、填空题5.如图，⊙O 的半径为3 cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB ＝OA ，动点P 从点A 出发，以π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间t 为________s 时，BP 与⊙O 相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时，BP与⊙O相切．因为AB＝OA，OA＝OP，所以OB＝2OP，又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm，所以AP＝60×π×3180＝π，圆的周长为6π，所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时，BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B 点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图，连接AB，则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB.∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC ＝AC sin 30°＝32 3. 答案：30°332三、解答题8．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ；(2)BD 2＝CE ·CA .证明：(1)连接OD ，AD .∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又AB ＝AC ，∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点，∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC .(2)∵AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，∴△CDE ∽△CAD .∴CDCA ＝CECD .∴CD 2＝CE ·CA .又∵BD ＝DC ，∴BD 2＝CE ·CA .9.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，AB ＝AC ，连接AD 交⊙O 于H ，直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD ＝CG ；(3)若AH ∶AF ＝3∶4，CG ＝10，求FH 的长．解：(1)证明：由题知AE ＝AF ，CF ＝CD ，BD ＝BE ，又∵AB ＝AC ，∴CD ＝CF ＝BE ＝BD .∴D 为BC 中点．∴AD 是∠BAC 的角平分线．∴圆心O 在AD 上．(2)证明：连接DF .∵O 在AD 上，∴DH 为直径．∴∠DFH ＝90°.∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF，∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12，∴FH＝34FD＝9.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
第十九页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
[构建·体系]
第二十页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
1．如图 1-4-5 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD ＝2，BD＝3，则 AC 等于( )
5 A. 3
2 13 C. 3
图 1-4-5 21
B. 3 1
D.3
第六页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
[小组合作型]
与射影定理有关的计算 已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC， BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4. (1)求 AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【精彩点拨】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值； 再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值．最后由射影定理 CD2＝AD·BD，求得 CD 的长．
图 1-4-7
第二十五页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
【解析】 设圆 O 的直径 AB＝2R，则 AD＝23R，DO＝R3，DB＝43R.
由相交弦定理，得
CD2＝AD·DB，所以
CD＝2
3
2 R.
在 Rt△CDO 中，CO＝R，由射影定理可得 EO＝DCOO2＝R9，
于是 CE＝R－R9＝89R，故ECOE＝8. 【答案】 8
阶
阶
段
段
一
三
四 直角三角形的射影定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
第一页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
1．了解射影定理的推导过程． 2．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
人教版高中数学选修4-1《1.4直角三角形的射影定理》
直角三角形的射影定理
(1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB .
直角三角形的射影定理
教学目标： 1.能正确写出直角三角形的射影定理； 2.能运用直角三角形射影定理解决问题。 教学重点、难点： 用射影定理解决直角三角形的有关问题。
一. 复习引入
射影 垂足 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点 的 正射影 间的线段． ，
[证明] ∵CD 垂直平分 AB， ∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形， 且 AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF· AC＝BG· BE.
反思感悟
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中 运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此 类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出 基本图形进行求解或证明．
B.
2 3
C.
6
D.
5 6
五. 小结
直角三角形的射影定理
(1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB .
高中数学人教A版选修(4-1)2.4 同步练习 《弦切角的性质》(人教)
《弦切角的性质》同步练习一、选择题1．P在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．44．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D点，则CD ＝________.7．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．答案和解析一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B.2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC， ∴AC2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC.∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P.∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P.∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC2＝PB ·PA ，即AC2＝PB ·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O 半径为r ，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r ＝1.PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：358.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.证明：连接AC ，BE ，在DC 延长线上取一点F ，因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°.又因为AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°.所以∠BCF ＝∠DAC.又因为直线l 是圆O 的切线，所以∠CEB ＝∠BCF ，又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．解：(1)证明：因为XY 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2.因为BD ∥XY ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ，所以△ABE ≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ，所以△BCE ∽△ACB ，所以BC AC ＝CE CB， 即AC ·CE ＝BC2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，所以6·(6－AE)＝16.所以AE ＝103(cm)．。
高中数学人教A版选修4-1学业分层测评1 平行线等分线段定理 pdf版含解析
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1113，已知l 1∥l 2∥l 3，AB ，CD 相交于l 2上一点O ，且AO ＝OB ，则下列结论中错误的是( )图1113A ．AC ＝BDB ．AE ＝EDC ．OC ＝OD D ．OD ＝OB【解析】 由l 1∥l 2∥l 3知AE ＝ED ，OC ＝OD ，由△AOC ≌△BOD 知AC ＝BD ，但OD 与OB 不能确定其大小关系．故选D.【答案】 D2．如图1114，已知AE ⊥EC ，CE 平分∠ACB ，DE ∥BC ，则DE 等于( )【导学号：07370003】图1114A ．BC －ACB ．AC －BFC.(AB －AC )12D.(BC －AC )12【解析】 由已知得CE 是线段AF 的垂直平分线．∴AC ＝FC ，AE ＝EF .∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABF 的中位线，∴DE ＝BF ＝(BC －AC )．1212【答案】 D3．如图1115所示，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的，则FC 是ED 的( )23图1115A.倍B.倍2332C ．1倍 D.倍12【解析】 ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ，∴BF ＝FC .又∵AE ＝BF ，23∴FC ＝ED .32【答案】 B4．如图1116，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( )图1116A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G ，F 分别是线段AC ，BC 的中点，则EG ＝DC ，FG ＝AB ，1212∴Error!Error!解得Error!【答案】 B5.如图1117，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 中点，且AE ∥DC ，AE 交BD 于点F ，过点F 的直线交AD 的延长线于点M ，交CB 的延长线于点N ，则FM 与FN 的关系为( )图1117A ．FM >FN B ．FM <FNC ．FM ＝FND ．不能确定【解析】 ∵AD ∥BC ，AE ∥DC ，∴四边形AECD 是平行四边形.∴AD ＝EC ＝BC ，12即BE ＝EC ＝AD .∴△ADF ≌△EBF ，∴AF ＝FE ，∴△AFM ≌△EFN ，∴FM ＝FN .【答案】 C二、填空题6．如图1118所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝6，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，则EF ＝____.图1118【解析】 如图所示，过E 作GE ∥BC 交BA 于G .∵E 是DB 的中点，∴G 是AB 的中点，又F 是AC 的中点，∴GF ∥BC ，∴G ，E ，F 三点共线，∴GE ＝AD ＝1，GF ＝BC ＝3，1212∴EF ＝GF －GE ＝3－1＝2.【答案】 27．如图1119，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶1，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF 与FC 的比值为__________．【导学号：07370004】图1119【解析】 过D 作DG 平行于BC ，交AF 于点G ，再根据平行线等分线段定理即可解决．【答案】 128．如图1120，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC ，CD ＝AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD ＝20 12cm ，则EF ＝________.图1120【解析】 ∵E 为AB 的中点，EF ∥BD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，EG ∥AC ，∴G 为BD 的中点，若EG ＝5cm ，则AD ＝10 cm ，又CD ＝AD ＝5 cm ，∴AC ＝15 cm.若BD ＝20 cm，则12EF ＝BD ＝10 cm.12【答案】 15 cm 10 cm三、解答题9．(2016·南京模拟)如图1121，在梯形ABCD 中，CD ⊥BC ，AD ∥BC ，E 为腰CD 的中点，且AD ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，求BE的长度．图1121【解】 过E 点作直线EF 平行于BC ，交AB 于F ，作BG ⊥EF 于G (如图)，因为E 为腰CD 的中点，所以F 为AB 的中点，所以BF ＝AB ＝5 cm ，12又EF ＝＝＝5(cm)，AD ＋BC 22＋82GF ＝BC －FE ＝8 cm －5 cm ＝3 cm ，所以GB ＝＝＝4 cm ，BF 2－GF 225－9EC ＝GB ＝4 cm ，所以BE ＝＝＝4(cm)．BC 2＋CE 282＋42510．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1122(1)，先把矩形纸ABCD 对折，设折痕为MN ；再把B 点叠在折痕线上，得到Rt △ABE ，沿着EB 线折叠，就能得到等边△EAF ，如图(2)．想一想，为什么？图1122【解】 利用平行线等分线段定理的推论2，∵N 是梯形ADCE 的腰CD 的中点，NP ∥AD ，∴P 为EA 的中点．∵在Rt △ABE 中，PA ＝PB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.又∵PB ∥AD ，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.又∵∠1与和它重合的角相等，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt △AEB 中，∠AEB ＝60°，∠1＋∠2＝60°，∴△AEF 是等边三角形．[能力提升]1．如图1123，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝BD ，那么FC 是BF 的( )13图1123A.倍 B.倍5343C.倍D.倍3223【解析】 ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又∵DC ＝BD ，∴DC ＝BF .1323∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝BF .53【答案】 A2．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2【解析】 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝(AD ＋BC )·AE12＝×5×24＝60(cm 2)．12【答案】 D3．如图1124，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP ，若AB ＝9cm ，则AP ＝__________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝__________.【导学号：07370005】图1124【解析】 由AB ＝AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，得D 是BC 的中点．再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点．同理可得P 是AN 的中点，由此可得答案．【答案】 3 cm 4 cm4．如图1125所示，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于点M ，12求BM 与CG的长．图1125【解】 如图，取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于点Q ，则PQ 是梯形ADHE的中位线．∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝BC ＝CD ，12AE ＝12，DH ＝16，∴＝，＝，AB AD 14BM DH AB AD ∴＝，BM 1614∴BM ＝4.∵PQ 为梯形的中位线，∴PQ ＝(AE ＋DH )＝(12＋16)＝14.1212同理，CG ＝(PQ ＋DH )＝(14＋16)＝15.1212。