广东省珠海市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。
广东省湛江市2016-2017学年高二上学期期末调研考试数学理试题 Word版含答案
湛江市2016—2017学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修⑤、选修2-1)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1.命题“0x ∀>，20x x +>”的否定是A . 0x ∀> ，20x x +≤B ． 0x ∀≤ ，20x x +>C ．00x ∃> ，2000x x +≤D . 00x ∃≤ ，2000x x +>2.已知ABC ∆中，1a =，b =，30A =，则B 等于A . 30B .30或150C ．60D . 60或1203.已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 作倾斜角为23 的直线l 交椭圆于,A B 两点，则的1AF B ∆的周长是A . 20B ．16C ．8D .64.已知定点1(2,0)F -与2(2,0)F ，动点M 满足12||||4MF MF -=，则点M 的轨迹方程是A . 2211612x y -=B ．220(2)412x y x -=≥ C ．0(||2)y x =≥ D . 0(2)y x =≥ 5.已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是A .1B ．15 ， C ．35 D . 75学校 班级 姓 学密 封 线6.抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是 A . 22y x = B ． 22x y =- C ．2y x =- D . 2x y =- 7.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件8.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若40S ≠，且843S S =，设128S S λ=，则λ=A .13 B ．12C ．2D . 3 9.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B =A .14 B .12 C D .10．方程(0x y +-=表示的曲线是A . 一条直线和一个圆B . 一条直线和半个圆C ．两条射线和一个圆D . 一条线段和半个圆11.如果方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A .(2,)+∞ B .(,1)-∞- C ．(,1)(2,)-∞-∞ D . (2,1)(2,)--+∞12.已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆22:(1)(4)1C x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为A . 3B ． 4C ．5D . 6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知空间三点(1A ，1，1)，(1B -，0，4)，(2C ，-2，3)，则AB 与CA的夹角大小是_________． 14.函数9()1lg lg f x x x=++（0<x <1）的最大值是_________． 15. 已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形，且11AB AD AA ===，1160BAA DAA ∠=∠= ，则1AC 的长是_________．16.已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左支上一点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，且120PF PF ∙= ，若2PF 的中点N 在第一象限，且N 在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos c A a C b A ⋅+⋅=⋅. （Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若a =4b c +=，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：12a =，132n n a a +=+.（Ⅰ）证明：{1}n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设212231333n n n n S a a a a a a +=+++，求n S .19.（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1CC ，11B C 的中点， （Ⅰ）证明：1//A N 平面1AMD ； （Ⅱ）求二面角1M AD D --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为1(2F ，0).AB CD M N1A1B1C1D（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于与原点不重合的两点A ，B ，且OA OB ⊥，求l 的方程.21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，24AB AD ==，BD =PD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O，且恰好与直线1:20l x y -+=相切，设点A 为圆上一动点，AM x ⊥轴于点M ，且动点N满足MA MN =，设动点N 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求OBD ∆面积的最大值.湛江市2016—2017学年度第一学期期末调研考试高中数学（必修⑤、选修2-1）参考答案与评分标准PABCD一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．23π（也可写0120）； 14．5- ； 15； 16 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． 解：（Ⅰ）由正弦定理得：2sin cr C =，2sin a r A =，2sin b r B =（其中r 为外接圆半径）.……………………1分 代入cos cos 2cos c A a C b A ⋅+⋅=⋅得： sin cos sin cos 2sin cos C A A C B A +=即：sin()2sincos sin()2sin cos AC B A B B A π+=⇒-=. …………………………3分sin 2sin cos B B A ∴=， ……………………………………………………………………4分(0,)sin 0B B π∈∴≠.1cos 2A ∴=. …………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由余弦定理222122b c bc =+-⋅,即2()37b c bc +-=………………………7分 上式代入4b c +=得3bc =.…………………………………………………………………8分111sin 3222ABC S bc A ∆∴===⨯=所以ABC ∆…………………………………………………………………10分 18． （Ⅰ）证明：由113213(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+.………………………………1分112,130a a =∴+=≠ 且10n a +≠. ……………………………………………………2分1131n n a a ++∴=+.…………………………………………………………………………………3分所以{1}n a +是首项为3公比为3的等比数列.………………………………………………4分11333n n n a -+=⋅=，得31n n a =-.即{}n a 的通项公式是31nn a =-.……………………………………………………………6分（Ⅱ）22223112231333333(31)(31)(31)(31)(31)(31)n nnn n n a a a a a a +++++=+++------ 22311111111[()()()]2313131313131n n +=-+-++------- …………………………9分 1111111()223142(31)n n ++=-=---. ………………………………………………………11分 11142(31)n n S +∴=--.………………………………………………………………………12分19． 解：（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为轴建立如图直角坐标系.………1分则11(2,0,2),(1,2,2),(0,2,1),(2,0,0),(0,0,2)A N M A D . 11(1,2,0),(2,2,1),(2,0,2)A N AM AD =-=-=-. (2)设平面AMD 1的法向量是(,,)n x y z =.则220220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩.分 一个法向量为1(1,,1)2n = .……………………………………………………………………4分所以11(1)1202A N n ∙=-⨯+⨯= ，即1A N n ⊥ .…………………………………………5分又1A N ⊄平面1AMD .∴1//A N 平面1AMD . ………………………………………………………………………6分（Ⅱ）平面ADD 1的一个法向量为(0,1,0)m =，…………………………………………8分由（Ⅰ）得11cos ,3||||n m n m n m ∙<>===⋅.…………………………………………11分所以二面角1M AD D --的余弦值是13.…………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知21142p p =⇒=. …………………………………3分 （Ⅱ）设直线的方程为2y x t =+. …………………………………………………………4分由222y x ty x=+⎧⎨=⎩得224(42)0x t x t +-+=，由题22(42)440t t --⋅>.解得 14t <.……………………………………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2124t x x =，221212()(2)(2)y y x x t ==.………………………6分1212,0,0.OA OB OA OB x x y y ⊥∴∙=∴+=…………………………………………8分204t t ∴±=，解得0t =或4,4-.……………………………………………………………9分 由题意直线l 不过原点且14t <得4t =-符合题意. ………………………………………11分 所以所求直线方程为24y x =-.……………………………………………………………12分21. 解：（Ⅰ）由题∵222216,16.CD AB BC BD ==+=∴222.CD BC BD BC BD =+⇒⊥ ………………………………………………1分又∵PD ⊥底面.ABCD ∴.PD BC ⊥………………………………………2分 又∵.PD BD D = ∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面PBC ， ∴平面⊥PBC 平面.PBD ……………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，⊥BC 平面PBD ,所以∠PBD即∠PBD .4π=………………………………………5分而32=BD ，所以PD = …………………6分 因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……………………7分 则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ， )32,0,0(P ,……………………………8分所以，)32,0,2(-=AP ，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,……………………9分设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则0,0,n BC n BP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即20,0.a -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1=b 则(0,1,1),n =……………………………………………………………………10分∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为.462432sin =⨯==θ……………12分22. 解：（Ⅰ）设动点),(y x N ，),,(00y x A 因为x AM ⊥轴于M ，所以)0,(0x M ， 设圆1C 的方程为222r y x =+.………………………………………………………………1分由题意得34153=+=r . ……………………………………………………………………2分所以圆1C 的程为922=+y x . ………………………………………………………………3分由题意, 0(0,)MA y = ，0(,)MN x x y =-，MA MN =.……………………………4分所以00,.x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………5分将),,(00y x A 代入圆922=+y x ,得动点N 的轨迹方程为221.93x y += ………………6分（Ⅱ）由题意可设直线02:=++m y x l ，设直线l 与椭圆13922=+y x 交于),(),,(2211y x D y x B ，联立方程222,39y x m x y =--⎧⎨+=⎩. 得093121322=-++m mx x .………………………………………………………………7分0)93(41314422>-⨯-=∆m m ，解得392<m .………………………………………8分1331176261246812222,1m m m m x -±-=-±-=.……………………………………9分又因为点O 到直线l 的距离5md =，12BD x x =-=………10分13)39(313)3117(1331172552122222m m m m m m S OBD-=-=-⋅⋅=∆…………11分233≤.（当且仅当2239m m -=即 2392=m 时取到最大值）OBD ∆∴面积的最大值为233.……………………………………………………………12分 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“200x x x ∀>+≥，”的否定形式是（ ） A ．200x x x ∀≤+>， B ．200x x x ∀>+≤， C ．200000x x x ∃>+<， D ．200000x x x ∃≤+>，2.抛物线24x y =的焦点坐标是（ ） A ．1(0,)16 B ．1(,0)16C ．(0,1)D ．(1,0) 3.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为（ ） A ． 12 B ．13 C ．14 D ．154.设x R ∈，则“13x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为a b c 、、，则（ ） A. a b c =< B.b c a =< C.a c b =< D.a b c ==6.执行如图所示的程序框图，则输出结果s 的值为（ ）A ．12- B ．-1 C. 12D ．0 7.若过点(1,3)P 的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．2[,]23ππB ．[,]63ππ C. [,]32ππ D ．[,]62ππ8.某产品的广告费用（万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程y bxa =+ ，其中 0a =.据此模型预报x .当广告费用为7万元时的销售额为（ ） x4 2 35 y38203151A ．60B ．70 C. 73 D ．699.曲线2()3x f x x x e =+-在点(0,(0))f 处的切线的方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C. 21y x =- D ．21y x =+10.设12,F F 为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上一点，12MF MF ⊥，且2||||MF MO =（其中点O 为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（ ） A ．31- B ．23- C.22 D ．3211.在单位正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则点1C 到平面1A DM 的距离为（ ）A ．63 B ．66 C.22D ．1212.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 的右支上的点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 作PQ 的平行线交1PF 于点M ，若121||||4MP F F =，则C 的离心率为（ ）A ．32B ．3 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数32()2365f x x x x =++-，则'(0)f = ．14.若五个数1,2,3,4，a 的平均数为4，则这五个数的标准差为 ．15.设实数,a b 均为区间(0,1)内的随机数，则关于x 的不等式2210a x bx ++<有实数解的概率为 ．16.设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(3,1)，则2||||PM PF +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分），得袋中有大小、形状完全相同的红球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，得到红球或绿球的概率是23.到红球或黄球的概率是512（1）从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率；（2）从中任取一球，求得到不是“红球”的概率.18. （本小题满分12分）设命题2++++≥，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取q x a x a a:(2)1:(21)(1)0p x-≤，命题2值范围.19. （本小题满分12分）从某高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195)，得到频率分布直方图如图所示：（1）计算第三组的样本数；并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数，平均数.20. （本小题满分12分）已知圆22:(1)9C x y +-=，直线:20l x my m -+-=，且直线l 与圆C 相交于A B 、两点. （1）若||42AB =，求直线l 的倾斜角；（2）若点(2,1)P 满足AP PB =，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-，（e 为自然对数的底数）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知点(2,0),(2,0)A B -，P 是平面内的一个动点，直线PA 与PB 的斜率之积是12-.（1）求曲线C 的方程；（2）直线(1)y k x =-与曲线C 交于不同的两点M N 、.当AMN ∆的面积为1225时，求k 的值.2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（文）试题答案（时间120分钟，满分150分）一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A C D B D B C A A C二、填空题：13. 6 14. 15. 16. 9三、解答题：17.(本题满分10分)解：（I）从个球中任取一个，记事件“得到红球”，事件“得到黄球”，事件“得到绿球”，则事件、、两两互斥，由题意有：即．．．．．．．．3分解之，得，，，故得到红球、黄球、绿球的概率分别为、、．．．．．．．．．．．．．．6分（II）事件“不是红球”可表示为事件“”，由（1）及互斥事件概率加法公式得：，．．．．．．．．．．．．．．．．9分故得到的不是“红球”的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：互斥事件的概率公式及概率的关系．18.(本题满分12分)解：设,,易知,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由是的充分不必要条件知A B ，∴或．．．．．．．．．．．9分故所求实数的取值范围是或.．．．．．．．．．．．．．．．12分19.(本题满分12分)解：（Ⅰ）由第三组的频率为，则其样本数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由，则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为（人）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）前四组的频率为，，则中位数在第四组中，由, 得，所以中位数为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分经计算得各组频数分别为平均数约为：．．．．．．．．12分20.(本题满分12分) 解：（Ⅰ）因为圆心到直线的距离，圆的半径为，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）联立方程组消去并整理，得 ..．．．．．．．．．8分所以，. ①设，，由知点P为线段AB的中点.所以，解得,..．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以所求直线方程为..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.(本题满分12分)解：（Ⅰ）（1）当时，在R上单调递增；．．．．．．．．．．．2分（2）当时，令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分综上知（1）当时，在R上单调递增；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，由题意，只需，解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当时，在R上单调递增，而当时，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当时，对于给定的，若，则，而，故必存在使得，不合题意.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上知，满足条件的实数的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.(本题满分12分)解：（I）设点P(x,y)为曲线上的任意一点，则，，由题意，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（II）由，得，设点，则，，,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以，又因为点到直线的距离为，．．．．．．．．．．．．9分所以的面积为，由．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
广东省珠海市2016-2017学年高三上学期第五次周考理数试题Word版含答案
广东省珠海市2016-2017学年高三上学期第五次周考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}21012U =--，，，，，{}210A =--，，，{}012B =，，，则()U C A B = （ ） A ．{}0 B ．{}12， C ．{}21--， D ．{}012，，2.若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．0 B ．45 C ．35 D ．45- 3.下面的程序框图输出S 的值为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1284.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π+．2π+2π D ．π 5.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列命题： ①若αβ⊥，//m α，则m β⊥；②若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ③若m β⊥，//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ.其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③ C.②④ D ．①③6.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（ ）A ．14种B ．48种 C. 72种 D ．120种7.在ABC ∆)tan tan tan tan 1B C B C +=-，则cos 2A =（ ）A ．12 B ．12- D ．8.已知两点()1,0A ，(B ，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且150AOC ∠=︒，设()2OC OA OB R λλ=-+∈，则λ=（ ）A ．-1B ．12-C.12D ．1 9.已知()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（ ） A ．12 B ．13 C.12- D ．13- 10.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[]3,2--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ）A ．()()sin cos f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ< C.()()cos cos f f αβ< D ．()()cos cos f f αβ>11.已知O 为原点，双曲线()22210x y a a-=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）A 2 D ．312.如图，已知直线l α⊥平面，垂足为O ，在ABC ∆中，2BC =，2AC =，AB =点P 是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A l ∈，（2）C α∈，则OP P B +的最大值为（ ）A ．2B ．1 C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.()21,0cos ,0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()1x f x dx -⎰的值等于 ．14.在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．15.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =积为 ．16.定义域为[],a b 的函数()y f x =图象上两点()(),A a f a ，()(),B b f b ，(),M x y 是()y f x =图象任意一点，其中()1x a b λλ=+-，[]0,1λ∈.已知向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤ 对任意[]0,1λ∈恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”，若函数1y x x=-在[]1,3上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知平面上三点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα.（1）若()27OA OC+=，（O 为坐标原点），求向量OB 与OC夹角θ的大小； （2）若AC BC ⊥，求sin 2α的值.已知等差数列{}n a 满足：()1n n a a n N *+>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且22log 1n n a b +=-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）某校高二奥赛班名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100110 的学生有21人.（1）求总人数N 和分数在110115 分的人数；（2）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x （满分150分）、物理成绩y 进行分析，该生7次考试的成绩如下表：已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ()()()111211=ni ni uu v v u uβ==---∑∑， v u αβ=-.如图所示的几何体ABCDEF 中，ABC ∆，DEF ∆都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 为正方形，且所在平面垂直于平面ABC .（Ⅰ）证明：//ADE BCF 平面平面； （Ⅱ）求二面角D AE F --的正切值.21.（本小题满分12分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()0,1，离心率2e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′（A ′与B 不重合），则直线A B ′与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说=说明理由.已知函数()()ln xf x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数.（1）求实数a 的值；（2）若()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数.广东省珠海市2016-2017学年高三上学期第五次周考理数试题答案一、选择题1-5:CBDAB 6-10:DACBA 11、12：CB 二、填空题13. -2 14.112 15.12π 16.43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）因为()2cos ,sin OA OC αα+=+ ，()27OA OC+=，所以()222cos sin 7αα++=，18.（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0d >，由11a =，21a d =+，312a d =+，分别加上1,1,3后成等比数列， 所以()()22242d d +=+，0d > ，2d =∴()11221n a n n =+-⨯=-∴又22log 1n n a b =--，2log n b n =-∴即12n n b =（2）由（1）知212n n nn a b -=， 23135212222n n n T -=++++∴…①234+111352122222n n n T -=++++…② ①-②，得：212341*********1211212222122222222212n n n n n n n T -++⎛⎫⨯- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+⨯++++-=+⨯- ⎪⎝⎭-…1111121323122222n n n n n +++-+=+--=- 2332n n n T +=-∴19.解：（1）分数在100110 内的学生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，所以该班总人数为21600.35N ==. 分数在110115 内学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，分数在110115 内的人数600.16n =⨯=.（2）12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5994β==， 1000.510050α=-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+. ∴当130x =时，115y =.考点：频率分布直方图，线性回归方程.20.解;（Ⅰ）取BC 的中点O ，ED 的中点G ，连接,,,AO OF FG AG .则AO BC ⊥，又BCED 平面ABC 平面，所以AO BCDE ⊥平面，同理FG BCDE ⊥平面，所以//AO FG ，又AO FG =易得，所以四边形AOFG 为平行四边形，所以//AG OF ，又//DE BC ，所以//ADE BCF 平面平面.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC =，则)A，，()012B ，，，()012C -，，，()2F ，，()2AD = ，，()12AE =- ，，()2AF =- ，.设平面ADE 的一个法向量是(),,n x y z =，则0200200n AD y z z x n AE y z y ⎧⎧⎧=++==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+=⎪⎪⎪=⎩⎩⎩，令2x =，得(n =.设平面AEF 的一个法向量是(),,m x y z =′′′，则020020m AE y z z m AF z y ⎧⎧⎧=-+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩′′′′′′′′′，令1x =′，得(m =.所以5cos ,7m n m n m n <>=== ， 易知二面角D AE F --为锐二面角，故其余弦值为57， 所以二面角D AE F --.考点：1.平面与平面垂直的判定方法；2.二面角的求法.21.解：（1）依题意可得2221,,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，1b =.所以，椭圆C 的方程是2214x y +=.（2）由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224230m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则()11,A x y -，且12224m y y m +=-+，12234y y m =-+ ， 经过点()11,A x y -′，()22,B x y 的直线方程为112121y y x x y y x x +-=+-. 令0y =，则()()21111221211211211212x x y x y y x x x y x y x y x y y y y y y -++-+=+==+++又111x my =+ ，221x my =+.∴当0y =时，()()()21121212121226211244424m mmy y my y my y y y m m x m y y y y m --+++++++====++-+这说明，直线A B ′与x 轴交于定点()4,0.考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.22.解：（1）()()ln x f x e a =+ 是奇函数，()()f x f x -=- ，即()()ln ln x xe a e a +=-+恒成立，()()1x x e a e a -++=∴，211x x ae ae a -+++=∴，即()0x x a e e a -++=恒成立，故0a =.（2）由（1）知()()sin g x f x x λ=+，()cos g x x λ=+∴′，[]1,1x ∈-，∴要使()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，则有()0g x ≤′恒成立，1λ≤-∴.又()()max 1sin1g x g λ=-=-- ，∴要使()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，只需sin1λ--≤21t t λ++时恒成立即可，()21sin110t t λ++++≥∴（其中1λ≤-）恒成立即可.令()()1h t λ=+()2sin1101t λλ+++≥≤-，则()10,10t h +≤⎧⎨-≥⎩，即210,s i n 10,t t t +≤⎧⎨-+≥⎩，而2si n 10t t -+≥恒成立，1t ≤-∴. （3）由（1）知方程()2ln 2xx ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x =-+，令()1ln xf x x=，()222f x x ex m =-+， 当(]0,x e ∈时，()10f x ≥′，()1f x ∴在(]0,e 上为增函数； 当[),x e ∈+∞时，()10f x ≤′，()1f x ∴在[),e +∞上为减函数； 当x e =时，()1max 1f x e=.而()()22222f x x ex m x e m e =-+=-+- 当(]0,x e ∈时，()2f x 是减函数，当[),x e ∈+∞时，[),x e ∈+∞是增函数，∴当x e =时，()22min f x m e =-.故当21m e e ->，即21m e e>+时，方程无实根； 当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根； 当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个根.考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性；3.函数与方程.。
广东省湛江市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)(word版含答案)
2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞02．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．64．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．39．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．=3a n+2．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．19．（12分）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x＞0“的否定是：∃x0＞0，x02+x0≤0，故选：C【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．【解答】解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°，由得，sinB===，又b＞a，0°＜B＜180°，则B=60°或B=120°，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．【解答】解：∵椭圆，可得a=4．过右焦点F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF1|＞|MF2|，可推断出动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．【解答】解：假设M（x，y），根据|MF1|﹣|MF2|=2，可以得到：﹣=2，两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F1F2|=2，且|MF1|＞|MF2|，所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．故选D【点评】本题主要考查了轨迹方程．考查了学生分析问题和解决问题的能力．5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=，∴=，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，由此能求出λ的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，S12=λS8，∴由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，∴2（S8﹣S4）=S4+（S12﹣S8），∴2（3S4﹣S4）=S4+（λ•3S4﹣3S4），解得λ=2．故选：C．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=，∴sinB==，故选：C．【点评】此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆【考点】曲线与方程．【分析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0（x2+y2﹣9≥0）∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆．故选：C．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m2＞m+2＞0，解出即可得出．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：M（1，）|CM|=4﹣，点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3抛物线的准线方程：y=﹣1则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．故选B．【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是120°．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．【解答】解：=（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），cos＜，＞===﹣，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°【点评】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，考查空间想象能力，属于基础题．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是﹣5．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，当且仅当lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等号，即有f（x）的最大值为﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据=++，求模长即可．【解答】解：∵=++，∴||2=12+12+12+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos90°=5，∴||=，即A1C的长是．故答案为：．【点评】本题考查了线段长度的求法，解题时应利用空间向量的知识求模长，是基础题目．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，①设F1（﹣c，0），F2（c，0），由=0，可得三角形F1PF2是以P为直角顶点的三角形，即有m2+n2=4c2，②直线ON的方程为y=x，由题意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，即有=，③由①③可得m=，n=，代入②可得+=4c2，由c2=a2+b2，可化为a2=（b﹣a）2，可得b=2a，c==a，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的运用，注意运用中位线定理和勾股定理，以及定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）代入c•cosA+a•cosC=2b•cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosA⇒sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．所以△ABC的面积是．…（10分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•湛江期末）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=3a n+2．（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n+1=3a n+2，变形为a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（Ⅱ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+2⇒a n+1+1=3（a n+1）．…（1分）∵a1=2，∴a1+1=3≠0且a n+1≠0．…（2分）∴．…（3分）所以{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列．…（4分），得．即{a n}的通项公式是．…（6分）（Ⅱ）解：=…（9分）=．…（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等比数列的通项公式的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•湛江期末）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…（1分）则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…（2分）设平面AMD1的法向量是．则．…（3分）取x=1，得．…（4分）所以，即．…又A1N⊄平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…（8分）平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…（11分）由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016秋•湛江期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的几何性质求p的值；（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知．…（3分）（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t．…（4分）由得4x2+（4t﹣2）x+t2=0，由题（4t﹣2）2﹣4•4t2＞0．解得．…设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（6分）∵．…（8分）∴，解得t=0或﹣4，4．…（9分）由题意直线l不过原点且得t=﹣4符合题意．…（11分）所以所求直线方程为y=2x﹣4．…（12分）【点评】本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．属于综合题．21．（12分）（2014•长葛市三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（12分）（2016秋•湛江期末）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）A（x0，y0），先求出圆C1的方程，再根据动点N满足=，得到关于x0，y0的方程组，解得即可．（Ⅱ）设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AM⊥x轴于M，所以M（x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2．…（1分）由题意得．…（2分）所以圆C1的程为x2+y2=9．…（3分）由题意，=（0，y0），=（x﹣x0，y）），=．…（4分）所以…将A（x0，y0），代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为．…（6分）（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程．得13x2+12mx+3m2﹣9=0．…（7分）△=144m2﹣13×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜39．…（8分）．…（9分）又因为点O到直线l的距离，，…（10分）．（当且仅当m2=39﹣m2即时取到最大值）∴△OBD面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，基本不等式，是一道综合题，需要认真仔细．。
【最新经典文档】2016-2017年广东省湛江市高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
故选： B．
4．（5 分）已知定点 F1（﹣ 2， 0）与 F2（ 2， 0），动点 M 满足 | MF1| ﹣| MF2| =4，
则点 M 的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．y=0（| x| ≥ 2） D．y=0（x≥2）
【解答】 解：假设 M（x，y），根据 | MF1| ﹣ | MF2| =2，可以得到：
12．（5 分）已知点 M 是抛物线 x2=4y 上的一动点， F 为抛物线的焦点， A 是圆 C：
（ x﹣1）2+（y﹣ 4） 2=1 上一动点，则 | MA|+| MF| 的最小值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】 解：如图所示，利用抛物线的定义知： MP=MF
当 M 、A、P 三点共线时， | MA|+| MF| 的值最小
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13．（ 5 分）已知空间三点 A（1，1，1）、B（﹣ 1，0，4）、C（2，﹣2，3），则
10．（ 5 分）方程
表示的曲线是（
）
A．一条直线和一个圆 C．两条射线和一个圆
B．一条直线和半个圆 D．一条线段和半个圆
11．（ 5 分）如果方程
表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范
围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣ 1） C．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 2，∞） D．（﹣ 2，
﹣ 1）∪（ 2，+∞）
﹣
=2，
两边平方，化简可以得到 y=0，又因为 | F1F2| =2，且 | MF1| ＞| MF2| ， 所以：动点 M 的轨迹，是一条射线，起点是（ 2，0），方向同 x 轴正方向． 故选： D．
广东省惠州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0 2．（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶3．（5分）“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．86．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．2 B．C．3 D．68．（5分）在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．1410．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）12．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是．14．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y 与产量x 之间的线性回归方程为 ．15．（5分）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P （﹣1，3，2），则点P 到平面OAB 的距离d 等于 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=4|a |x ﹣2a +1．若命题：“∃x 0∈（0，1），使f （x 0）=0”是真命题，则实数a 的取值范围为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y |y=x 2﹣x +1，x ∈[，2]}，B={x |x +m 2≥1}，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．（12分）从抛物线y2=32x 上各点向x 轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=k （x ﹣2）（k ＞0）与轨迹E 交于A ，B 两点，且点F （2，0），若|AF |=2|BF |，求弦AB 的长．20．（12分）已知椭圆的两焦点为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|． （1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．22．（12分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件的概念求解．【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．故选：D．【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念．3．“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则k（1﹣k）＜0，即k（k﹣1）＞0，解得k＞1或k＜0，即“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义和方程是解决本题的关键．4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，∴由题意知：，解得n=2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．2 B．C．3 D．6【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到所求值．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=r2的圆心为（3，0），半径为r，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由直线和圆相切的条件：d=r，可得r==2．故选：A．【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．8．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2﹣4b2＜0，对应的区域为直线a﹣2b=0的上方，面积为1﹣=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．9．程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能，用裂项法可求S的值，进而解不等式可求k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值，由于：S=+++…=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=，所以：由≥，解得：k≥12，所以：当时，输出的k的值为12．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．10．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），由此能求出结果．【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，∴P（A）=，P（B）=，P（AB）=，P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．12．在三棱锥P ﹣ABC 中，D 为底面ABC 的边AB 上一点，M 为底面ABC 内一点，且满足，，则三棱锥P ﹣AMD 与三棱锥P ﹣ABC 的体积比为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM ，进一步得到△ADM 与△ABC 面积的关系得答案．【解答】解：如图，设三棱锥P ﹣ABC 的底面三角形ABC 的面积为S ，高为h ，∵，，∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM ，∴=．∴=．故选：D ．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是y2=16x 或x2=﹣8y．【考点】抛物线的标准方程．【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（4，0）∴抛物线的标准方程为y2=16x当焦点在y轴上时，根据x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（0，﹣2）∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y故答案为：y2=16x或x2=﹣8y【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．14．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为=1.10x+4.60．【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程．【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4，=×（7+8+9+12）=9，b==1.10，且回归直线过样本中心点（，），∴a=9﹣1.10×4=4.60，故所求的回归直线方程为：=1.10x+4.60．故答案为：=1.10x+4.60．【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目．15．在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于2．【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间点到平面的距离公式求解即可．【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，﹣2，1），已知点P（﹣1，3，2），则点P到平面OAB的距离d===2．故答案为：2．【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，是基础题．16．已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．【分析】由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．【解答】解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：【点评】本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•惠州期末）已知集合A={y |y=x 2﹣x +1，x ∈[，2]}，B={x |x +m 2≥1}，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．【考点】充分条件．【分析】先求二次函数在区间[，2]上的值域，从而解出集合A ，在解出集合B ，根据“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件即可得到关于m 的不等式，从而解不等式即得实数m 的取值范围．【解答】解：y=； 该函数在[]上单调递增，x=2时，y=2； ∴，B={x |x ≥1﹣m 2}；∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件；∴； 解得m ，或m ；∴实数m 的取值范围为． 【点评】考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．18．（12分）（2016秋•惠州期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列出方程即可求出a的值；（Ⅱ）利用表中数据计算数学成绩在[50，90）内的人数，再求在[50，90）之外的人数．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10×（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005，所以图中a的值为0.005；（Ⅱ）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05×1=5（人）；数学成绩在[60，70）的人数为：100×0.4×=20（人）；数学成绩在[70，80）的人数为：100×0.3×=40（人）；数学成绩在[80，90）的人数为：100×0.2×=25（人）；所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10（人）．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目．19．（12分）（2016秋•惠州期末）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=k（x﹣2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；（Ⅱ）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B 的中点横坐标，即可求出弦AB的长．【解答】解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x．（Ⅱ）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），∴x1=2x2+1∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=2，x2=，∴|AB|=x1+x2+p=+4=．【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．20．（12分）（2016秋•惠州期末）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．【分析】（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）依题意得|F1F2|=2，又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=4=2a，∵c=1，∴b2=3．∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设P点坐标为（x，y），∵∠F2F1P=120°，∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解方程组并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴S△PF1F2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．21．（12分）（2013•广州一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角【分析】（1）通过补形，延长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为，则点H到E点的距离应最小，由此得到H 的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF⊥平面A1AB，从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．【解答】法一、（1）证明：如图，延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴C为AF的中点．∵E为AB的中点，∴CE∥BF．∵BF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，∴BF⊥平面A1AB．∵AB⊂平面A1AB，A1B⊂平面A1AB，∴BF⊥AB，BF⊥A1B．∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．在Rt△EHB中，=，cos∠ABA1=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．法二、（1）证明：如图，取A1B的中点F，连接DF、EF．∵E为AB的中点，∴EF∥AA1，且．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴EF∥CD，EF=CD．∴四边形EFDC是平行四边形．∴CE∥DF．∵DF⊂平面A1BD，CE⊄平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB⊂平面A1AB，AA1⊂平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．在Rt△EHB中，．∵Rt△EHB～Rt△A1AB，∴，即．∴AA1=4．以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．∴=（0，0，4），=，=（0，2，﹣2）．设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），由，，得，令y=1，则．∴平面A1BD的一个法向量为n=．∵AA1⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一个法向量．∴cos=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．22．（12分）（2007•福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质．【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=﹣1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（﹣1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=﹣1，易得抛物线方程；（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）•（2，﹣y）=（x﹣1，y）•（﹣2，y），化简得C：y2=4x．（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），又，联立方程组，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1•λ2＜0．则：．①过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（文）试题一、选择题1．设直线，，若，则（）A. B. 1 C. D. 0【答案】A【解析】，解得：，故选A.2．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.3．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.4．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为，故选C.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】圆心坐标为，圆心在直线，代入，解得，而直线的斜率为，故选A.6．已知是两个不重合的平面，直线，直线，则“相交”是“直线异面”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“相交”，有可能直线“相交”，所以不是充分条件，反过来，若“不相交”，那，也就能推出，即不异面，这个命题的逆否命题就是“异面”，则相交，所以是必要不充分条件，故选B.7．把双曲线的实轴变虚轴，虚轴变实轴，那么所得到的双曲线方程为（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】焦点在轴，，所以得到的双曲线方程为，故选A.8．下列判断错误的是（）A. 命题“若，则”是假命题B. 直线不能作为函数图象的切线C. “若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题D. “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件【答案】D【解析】A.若，等式成立，此时为任意实数，所以是假命题，正确；B.，所以函数上任一点的切线斜率都是负数，不可能是，也正确；C.两条直线垂直，解得，原命题正确，那么逆否命题也正确；D.应是既不充分也不必要条件，因为后，还需判断两侧的单调性，判断是否变号，变号才是极值点，反过来，在处取得极值，也不一定，例如：，在处，就不满足，所以D不正确，故选D.9．已知，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】，，，那么，故选D.10．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体中最长的棱长等于（）A. B. C. D. 9【答案】B【解析】该几何体如下图红色线所示，最长的棱为，故选B.【点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.除了熟记这些，还需会根据三视图还原几何体的正放，侧放的位置，另外一个比较有效的方法是将几何体放在正方体或长方体中.11．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，那么，，根据对称性可知，，整理为，因为，所以，计算，所以，故选A.【点睛】考查椭圆离心率时，先分析所给的条件是不是有明显的几何关系，如果有就要用上平面几何的性质，比如本题，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，直角三角形内三边的表示，以及椭圆的对称性和椭圆的定义相结合，最后才有用角表示离心率，利用三角函数求范围.二、填空题12．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由条件可知，是函数的对称轴，并且是函数的顶点，所以是函数的最小值，所以C不正确，故选C.13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到底面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．【考点】几何体的体积的计算．16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标，并证明：过圆心；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据两直线垂直，求得直线的斜率为3，这样求出直线的方程，联立两直线方程求交点的坐标，并代入圆心坐标；（2）根据直线与圆相交，求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，得到直线的方程.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，将圆心代入方程易知过圆心，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.19．已知函数，其中且．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是，当时，的减区间是，增区间是（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据的正负讨论导数符号变化规律，进而得单调区间（2）对应不等式有解问题，一般利用变量分离法，转化为对应函数最值问题：最大值，再利用导数求函数最大值，先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而得出单调性，确定极值与最值试题解析：（1）定义域为，当时，时，；时，，当时，时，；时，所以当时，的增区间是，减区间是，当时，的减区间是，增区间是（2）时，，由得：，设，，所以当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，，所以的取值范围是【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.20．如图1，在中，，是斜边上的高，沿将折成的二面角.如图2.（1）证明：平面平面；（2）在图2中，设为的中点，求异面直线与所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解.试题解析：（1）证明：因为折起前是边上的高，则当△折起后，，，又，则平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：取的中点，连结，则，所以为异面直线与所成的角，连结、，设，则，，，，在中，，在中，由题设，则，即，从而，，在△中，，在中，．在△中，，所以异面直线与所成的角为.【考点】面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用.21．已知函数.（1）若图象上的点处的切线斜率为，求的极大值；（2）若在区间上是单调减函数，求的最小值.【答案】（1）当时，取极大值；（2）最小值为.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可知，，解得，代入函数后求函数的导数，并根据导数零点判断两侧的单调性，求函数的极大值；（2）将问题转化为，当恒成立，即，这样就转化为关于的二元一次不等式组，求目标函数的最小值. 试题解析：（1）∵，∴由题意可知：，且，∴得：，∴，令，得，由此可知：极小值极大值∴当时，取极大值.（2）∵在区间上是单调减函数，∴在区间上恒成立，根据二次函数图象可知且，得即，作出不等式组表示的平面区域如图：当直线经过交点时，取得最小值，∴的最小值为.【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题，求导后变为二次函数，所以要熟练掌握二次函数的问题，比如开口，以及与轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响，如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0，这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组，进行求解.22．已知椭圆经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆上一点的椭圆的切线方程为）.【答案】（1）；（2）定点坐标为.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知的周长为，即，解得：，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设，写出过这两点的切线方程，并代入点的坐标，得到直线的方程，求出定点.试题解析：（1）由题意得：，又∵椭圆过点，∴，∴，∴椭圆的方程为.（2）由题意得：，设，则直线，直线，又在上述两切线上，∴，∴直线，即：，由得，∴直线过定点，且定点坐标为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的考查是高考的热点，其中会涉及设直线方程或设未知点的问题，当题中涉及多条直线时，需考虑哪条是关键直线，那么这条直线与圆锥曲线的交点就设出来，一般设而不求，利用韦达定理写出根与系数的关系，代入条件表达式；而本题是也是设而不求，利用两点确定直线，所以根据两点满足的方程，写出直线方程求解.。
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广东省珠海市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）1．设全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ≥0}，B={x|y=log 2（x 2﹣1）}，则（∁U A ）∩B=（ ） A ．[1，2） B ．（1，2） C ．（1，2] D ．（﹣∞，﹣1）∪[0，2]2．若A （1，﹣2，1），B （4，2，3），C （6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形3．已知在等比数列{a n }中，a 4，a 8是方程x 2﹣8x+9=0的两根，则a 6为（ ） A ．﹣3 B ．±3 C ．3 D ．24．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y=B ．y=C ．y=±xD ．y=5．已知x ≥5，则f （x ）=有（ ）A ．最大值8B ．最小值10C ．最大值12D ．最小值146．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．07．过点M （﹣2，0）的直线m 与椭圆+y 2=1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（k ≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A．2 B．﹣2 C．D．﹣8．数列{an}的通项an是关于x的不等式x2﹣x＜nx（n∈N*）的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn=（）A．n2B．n（n+1）C． D．（n+1）（n+2）9．下列命题正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．410．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元11．已知点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S=S S成立，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．2 D．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an }是公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为．14．抛物线x2=y上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是．15．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于．16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．18．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．19．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．20．已知动圆P 过点F （1，0）且和直线l ：x=﹣1相切． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）已知点M （﹣1，0），若过点F 的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，求证：直线MA ，MB 的斜率之和为定值．21．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．已知点A （0，﹣2），椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．广东省珠海市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|y=log2（x2﹣1）}，则（∁UA）∩B=（）A．[1，2）B．（1，2）C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的定义域化简B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，∴∁UA={x|0＜x＜2}，由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1．∴B={x|y=log2（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，则（∁UA）∩B={x|0＜x＜2}∩={x|x＜﹣1或x＞1}=（1，2）．故选：B．2．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A3．已知在等比数列{an }中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，则a6为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．2【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得a4+a8=8，a4a8=9，进一步得到a4＞0，a8＞0，再由等比数列的性质得答案【解答】解：∵在等比数列{an }中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，∴a4+a8=8，a4a8=9，∴a4＞0，a8＞0，∴a6＞0，∵=9，∴a6=3．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．已知x≥5，则f（x）=有（）A．最大值8 B．最小值10 C．最大值12 D．最小值14【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x﹣4＞0，f（x）=x+=（x﹣4）++4，再由基本不等式即可得到所求最值．【解答】解：x≥5＞4，即为x﹣4＞0，则f（x）==x+=（x﹣4）++4≥2+4=10，当且仅当x﹣4=，即x=7时，取得等号，则f（x）的最小值为10．故选：B．6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B． C．D．0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D7．过点M （﹣2，0）的直线m 与椭圆+y 2=1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（k ≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】点斜式写出直线m 的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P 的横坐标，再代入直线m 的方程求出P 的纵坐标，进而求出直线OP 的斜率k2，计算 k 1k 2的值．【解答】解：过点M （﹣2，0）的直线m 的方程为 y ﹣0=k 1（x+2 ）， 代入椭圆的方程化简得（2k 12+1）x 2+8k 12x+8k 12﹣2=0，∴x 1+x 2=，∴P 的横坐标为，P 的纵坐标为k 1（x 1+2 ）=，即点P （，），直线OP 的斜率k 2=，∴k 1k 2=﹣． 故选D ．8．数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2﹣x ＜nx （n ∈N *）的解集中的整数个数，则数列{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．n 2B ．n （n+1）C ．D ．（n+1）（n+2）【考点】数列的求和．【分析】通过解不等式求出数列{a n }的通项a n 判断数列{a n }是什么数列，即可数列{a n }的前n 项和S n【解答】解：不等式x 2﹣x ＜nx （n ∈N *）的解集为{x|0＜x ＜n+1} ∵通项a n 是解集中的整数个数∴an=n（n∈N*）∵an+1﹣an=n+1﹣n=1（常数），∴数列{an}是首先为1，公差为1的等差数列．∴前n项和Sn=．故选C9．下列命题正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．10．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ） A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元【考点】简单线性规划．【分析】设分别租用A 、B 两种型号的客车x 辆、y 辆，总租金为z 元．可得目标函数z=1600x+2400y ，结合题意建立关于x 、y 的不等式组，计算A 、B 型号客车的人均租金，可得租用B 型车的成本比A 型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B 型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z 达到最小值36800．【解答】解：设分别租用A 、B 两种型号的客车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则 z=1600x+2400y ，其中x 、y 满足不等式组，（x 、y ∈N ）∵A 型车租金为1600元，可载客36人，∴A 型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B 型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B 型车的成本比租用A 型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B 型车，可使总租金最低 由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求 且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值 故选：C11．已知点P 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S =SS成立，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接IE 、IF 、IG ，可得△IF 1F 2，△IPF 1，△IPF 2可看作三个高相等且均为圆I 半径r 的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S=SS，化简可得|PF 1|﹣|PF 2|=|F 1F 2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接IE 、IF 、IG ，则IE ⊥F 1F 2，IF ⊥PF 1，IG ⊥PF 2，它们分别是： △IF 1F 2，△IPF 1，△IPF 2的高，∴S=×|PF 1|×|IF|=|PF 1|，=×|PF 2|×|IG|=|PF 2|，S =×|F 1F 2|×|IE|=|F 1F 2|，其中r 是△PF 1F 2的内切圆的半径．∵S=SS，∴|PF 1|=|PF 2|+|F 1F 2|，两边约去得：|PF 1|=|PF 2|+|F 1F 2|，∴|PF 1|﹣|PF 2|=|F 1F 2|，根据双曲线定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴2a=c ⇒离心率为e=2， 故选：C ．12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上，且AM=，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为4，则动点P 的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【考点】抛物线的定义．【分析】作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2﹣PQ2=RQ2=4，又已知PR2﹣PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．【解答】解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2﹣PQ2=RQ2=4．又已知 PR2﹣PM2=4，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选 B．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an }是公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为﹣．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，解方程可得所求值．【解答】解：由数列{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q=﹣，∵q≠1，∴q=﹣．故答案为：﹣．14．抛物线x2=y上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（1，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，x2），求出点A（x，x2）到直线2x﹣y﹣4=0的距离，利用配方法，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，x2），点A（x0，x2）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==|（x﹣1）2+3|，∴当x=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故答案为：（1，1）．15．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【考点】解三角形．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．【考点】数列的应用．【分析】根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b ﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1=0，解得，∵0＜x＜1，∴．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I ）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II ）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a ．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A ﹣3cos （B+C ）=1，得2cos 2A+3cosA ﹣2=0，即（2cosA ﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A ＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．18．已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2﹣mx ﹣2=0的两个实根，不等式a 2﹣5a ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数m ∈[﹣1，1]恒成立；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围．【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用．【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p ：x 1和x 2是方程x 2﹣mx ﹣2=0的两个实根，不等式a 2﹣5a ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数m ∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P 是真命题时，a 的取值范围；由命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，我们也易求出q 为假命题时的a 的取值范围，再由命题p 是真命题，命题q 是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案． 【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣2=0的两个实根∴∴|x 1﹣x 2|==∴当m ∈[﹣1，1]时，|x 1﹣x 2|max =3，由不等式a 2﹣5a ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数m ∈[﹣1，1]恒成立．可得：a 2﹣5a ﹣3≥3，∴a ≥6或a ≤﹣1， ∴命题p 为真命题时a ≥6或a ≤﹣1， 命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解． ①当a ＞0时，显然有解． ②当a=0时，2x ﹣1＞0有解③当a ＜0时，∵ax 2+2x ﹣1＞0有解， ∴△=4+4a ＞0，∴﹣1＜a ＜0，从而命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解时a ＞﹣1． 又命题q 是假命题， ∴a ≤﹣1，故命题p 是真命题且命题q 是假命题时， a 的取值范围为a ≤﹣1．19．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）先取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，根据中位线定理可知EM ∥AD ，而AD ⊥平面ABB 1A 1，则EM ⊥面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，则∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt △BEM 中，求出此角的正弦值即可．（Ⅱ）在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F 平面A 1BE ，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ，因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1=BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，根据中位线定理可知EG ∥A 1B ，从而说明A 1，B ，G ，E 共面，则BG ⊂面A 1BE ，根据FG ∥C 1C ∥B 1G ，且FG=C 1C=B 1B ，从而得到四边形B 1BGF 为平行四边形，则B 1F ∥BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，根据线面平行的判定定理可知B 1F ∥平面A 1BE ．【解答】解：（I ）如图（a ），取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD ．又在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt △BEM 中，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F 平面A 1BE ，事实上，如图（b ）所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ， 因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1=BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B ，又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E 共面，所以BG ⊂平面A 1BE因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG=C 1C=B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE ．20．已知动圆P 过点F （1，0）且和直线l ：x=﹣1相切． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）已知点M （﹣1，0），若过点F 的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，求证：直线MA ，MB 的斜率之和为定值． 【考点】轨迹方程．【分析】（1）由抛物线的定义知，点P 的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程． （2）设直线AB 的方程为x=my+1，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论．【解答】解：由题意得：圆心P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离， ∴圆心P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 设圆心P 的轨迹方程为y 2=2px （p ＞0）（p ＞0）．∵=1， ∴p=2．∴圆心P 的轨迹方程为：y 2=4x ；证明：（2）设直线AB 的方程为x=my+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立直线与抛物线可得y 2﹣4my ﹣4=0，∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣4，∴k MA +k MB =+==0，即直线MA ，MB 的斜率之和为定值．21．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用拆项法化简b n ，再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式即可得到．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知a 1•a 4=a 2•a 3=8，又a 1+a 4=9，解得：或（舍去）由得：公比q=2，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又因为，所以T n =b 1+b 2+…+b n ===．所以，（或）．22．已知点A （0，﹣2），椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a 、c 关系，通过A 求出a ，即可求E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y=kx ﹣2代入，利用△＞0，求出k 的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ 的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0，当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…。