大工矩阵与数值分析实验报告

矩阵与数值分析实验报告 姓 名： 学 号： 院 系：机械工程学院 班 级：003班 老 师：

2014年12月20日 第1页，共29页

1.方程在x=3.0附近有根，试写出其三种不同的等价形式以构成两种不同的迭代格式，再用这两种迭代求根，并绘制误差下降曲线，观察这两种迭代是否收敛及收敛的快慢。 解：三种不同的等价形式：

32242195xxx 5421923xx

x 19

425223xxx

两种不同的迭代方法： 方法一：简单迭代法

选择19425223xxx作为简单迭代法k1k()xx的迭代格式，k1k||xx



时，迭代终止，这里取δ=1E-5，

简单迭代法的程序如下： 程序1.1：简单迭代法： %第一题简单迭代法程序 clc clear del=1E-5; x=3; e=1E10; n=0; while e>del n=n+1; t=sqrt((2*x^3-19*x+42)/5); e=abs(t-x); E(n)=e; x=t; end X,n; plot(E,'g','linewidth',3) title('误差下降曲线图') xlabel('迭代次数') ylabel({'迭','代','误','差'},'rotation',0)

计算结果1.1：

x = 2.0000 n = 12

02468101200.050.10.150.20.25误差下降曲线图

迭代次数迭代误差 第2页，共29页

结果分析1.1： 这里的迭代结果是收敛的的，但是我也试过第3个迭代方程，发现是发散的，由计算结果可知，迭代法的收敛性与构造的迭代函数是直接相关的，我们应该根据定理4.5来构造迭代函数，这样可以得到收敛的结果。 方法2：Newton迭代法 1) 0421952)(23xxxxf 2) 19106)(2'xxxf 3) 19106421952)()(223)(')()()1(xxxxxxxfxfxxkkkk 当k1k||xx时，迭代终止，x0=3,δ=1e-5. 程序1.2：Newton迭代法： %第一题Newton迭代法程序 clc clear %Newton迭代法 del=1E-5; x=3; e=1E10;%条件判断值，足够大即可 n=0; while e>del n=n+1; t=x-(2*x^3-5*x^2-19*x+42)/(6*x^2-10*x-19); e=abs(t-x); E(n)=e; x=t; end x n plot(E,'g','linewidth',3) title('误差下降曲线图') xlabel('迭代次数') ylabel({'迭','代','误','差'},'rotation',0)

计算结果1.2：

x = 3.5000 n =6

11.522.533.544.555.5600.20.40.60.811.21.4误差下降曲线图

迭代次数迭代误差 第3页，共29页

结果分析1.2： Newton迭代法是二阶收敛，弦截法是在前者基础上变化来的，收敛阶1.618，在该题中使用简单迭代法的迭代步数为12，Newton迭代法为6，很明显，Newton迭代法收敛比较快。 2.用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为，并将计算结果与精确解进行比较： （1） （2） 解：程序和结果如下： 程序2.1.1：使用复化梯形公式解第一个等式： function s=tixing1(a,b,n) format long a=1; b=2; n=150000; eror=100; h=(b-a)/(2*n); index1=(a+h):(2*h):(b-h); index2=(a+2*h):(2*h):(b-2*h); s1=sum(subs(fun2,index1)); s2=sum(subs(fun2,index2)); s=h*(subs(fun2,a)+subs(fun2,b)+2*s2) c=exp(4) error=abs(c-s)

计算结果2.1.1： s = 54.598150039042402 c = 54.598150033144236 error = 5.898165511553088e-009 程序2.1.2：使用复化Simpson公式解第一个等式： function s=simpon(a,b,n) format long a=1; b=2; n=370; eror=100; h=(b-a)/(2*n); index1=(a+h):(2*h):(b-h); index2=(a+2*h):(2*h):(b-2*h); s1=sum(subs(fun2,index1)); s2=sum(subs(fun2,index2)); s=h*(subs(fun2,a)+subs(fun2,b)+4*s1+2*s2)/3 c=exp(4) error=abs(c-s) 第4页，共29页

计算结果2.1.2： s = 54.598150034153207 c = 54.598150033144236 error = 1.008970684779342e-009 程序2.1.3：使用复化Romberg公式解第一个等式： function[t]=romberg(f,a,b,e) t=zeros(10,4); t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); for k=2:4 sum=0; for i=1:2^(k-2) sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1)); end t(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum; for i=2:k t(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1); end end

for k=5:15 sum=0; for i=1:2^(k-2) sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1)); end t(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum; for i=2:4 t(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1); end if k>6 if abs(t(k,4)-t(k-1,4)) disp(['答案 ',num2str(t(k,4))]); break; end end end if k>=15 disp(['溢出']); end

计算结果2.1.3： 第5页，共29页

程序2.2.1：使用复化梯形公式解第2个等式： function s=tixing2(f,a,b,t) error=0.5*10^-8; n=2; s=0; while abs(s-t)>error h=(b-a)/n; s1=0; for k=1:n-1 x=a+h*k; s1=s1+feval(f,x); end n=n+1; s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+2*s1)/2; end n=n-1 end

计算结果2.2.1：在matlab命令框内输入tixing2(@(x) 2*x/(x^2-3),2,3,log(6))得到积分（2）的梯形公式计算量：

tixing2(@(x) 2*x/(x^2-3),2,3,log(6)) n = 14908 ans = 1.7918 程序2.2.2：使用复化Simpson公式解第2个等式： function s=fuhuasimpson(f,a,b,t) ep=0.5*10^-8; N=2; s=0; while abs(s-t)>ep h=(b-a)/(2*N); s1=0;s2=0; for k=1:N x=a+h*(2*k-1); 第6页，共29页

s1=s1+feval(f,x); end for k=1:(N-1) x=a+h*2*k; s2=s2+feval(f,x); end N=N+1; s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3; end N=N-1 end

计算结果2.2.2：

N = 95 ans = 1.791759474175664 程序2.2.3：使用复化Romberg公式解第2个等式： function[t]=romberg(f,a,b,e) t=zeros(15,4); t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); for k=2:4 sum=0; for i=1:2^(k-2) sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1)); end t(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum; for i=2:k t(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1); end end

for k=5:15 sum=0; for i=1:2^(k-2) sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1)); end t(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum; for i=2:4 t(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1); end if k>6 if abs(t(k,4)-t(k-1,4)) disp(['答案 ',num2str(t(k,4))]); break; end end end if k>=15 disp(['溢出']); end