第33讲：数列与数表综合(一)测试题
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。
高考数学文一轮：一课双测A+B精练三十三数列的综合应用1
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十三) 数列的综合应用1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )A.2B ．4 C ．2D.122．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )A ．±42B ．－42C ．42D ．无法确定3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an ，an ＋1是函数f(x)＝x2－bnx ＋2n 的两个零点，则b10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．642 4 1 2 x yz4.列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(·上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai 是边长为ai ，ai ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )A ．{an}是等比数列B ．a1，a3，…，a2n －1，…或a2，a4，…，a2n ，…是等比数列C ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列D ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列，且公比相同6．已知数列{an}满足3an ＋1＋an ＝4且a1＝9，其前n 项之和为Sn ，则满足不等式|Sn－n－6|<1125的最小整数n是( )A．5B．6C．7D．87．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．8．(·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．9．(·安徽模拟)在数列{an}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列；②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a2n}是等方差数列．③{(－1)n}是等方差数列；④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列；其中正确命题的序号为________．10．已知数列{a n}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.11．已知各项均为正数的数列{an}满足：a2n＋1＝2a2n＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足：bn＝nan2n＋12n，是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由．12．设同时满足条件：①bn＋bn＋22≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝aa－1(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2Snan＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn为“嘉文”数列．1．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a1＝12，an ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．(·安庆模拟)设关于x 的不等式x2－x<2nx(n ∈N*)的解集中整数的个数为an ，数列{an}的前n 项和为Sn ，则S100的值为________．3．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n 年的纯收入．(f(n)＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十三)A 级1．C2.A3.D4.B5．选D ∵Ai ＝aiai ＋1，若{An}为等比数列，则An ＋1An ＝an ＋1an ＋2anan ＋1＝an ＋2an 为常数，即A2A1＝a3a1，A3A2＝a4a2，…. ∴a1，a3，a5，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则An ＋1An ＝an ＋2an ＝q ，从而{An}为等比数列．6．选C 由递推式变形得 3(an ＋1－1)＝－(an －1)，则an －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，所以|Sn －n －6|＝|a1－1＋a2－1＋…＋an －1－6|⎪⎪⎪⎪⎪⎪8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1＋13－6＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1125，即3n －1>250，所以满足条件的最小整数n 是7.7．解析：设等比数列{an}的公比为q(q ≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q ＋a1q2)，即3q2－q ＝0， 故q ＝13.答案：138．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：20009．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a2n }是公差为p 的等差数列，故①正确．对于②，取an ＝n ，则数列{an}是等方差数列，但数列{a2n }不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a2n －a2n －1＝p(n ≥2，n ∈N*)，则a2k n －a2k n －1＝(a2k n －a2k n －1)＋(a2k n －1－a2k n －2)＋…＋(a2k n －k ＋1－a2k n －1)＝kp 为常数，故④正确．答案：①③④10．解：(1)∵数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2， ∴当n ≥2时，an ＝Sn －S n －1＝n2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式， 故an ＝2n －1(n ∈N*)．又数列{bn}为等比数列，设公比为q ， ∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q ＝2.∴bn ＝2n －1(n ∈N*)． (2)cn ＝abn ＝2bn －1＝2n －1.Tn ＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n)－n ＝21－2n 1－2－n.所以Tn ＝2n ＋1－2－n.11．解：(1)因为a2n ＋1＝2a2n ＋anan ＋1， 即(an ＋an ＋1)(2an －an ＋1)＝0. 又an>0，所以2an －an ＋1＝0， 即2an ＝an ＋1.所以数列{an}是公比为2的等比数列．由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故数列{an}的通项公式为an ＝2n(n ∈N*)． (2)因为bn ＝nan2n ＋12n ＝n 2n ＋1， 所以b1＝13，bm ＝m 2m ＋1，bn ＝n2n ＋1.若b1，bm ，bn 成等比数列， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1， 即m24m2＋4m ＋1＝n6n ＋3.由m24m2＋4m ＋1＝n6n ＋3，可得3n ＝－2m2＋4m ＋1m2，所以－2m2＋4m ＋1>0， 从而1－62<m<1＋62. 又n ∈N*，且m>1，所以m ＝2， 此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，bm ，bn 成等比数列． 12．解：(1)因为S1＝aa －1(a1－1)＝a1，所以a1＝a.当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝a a －1(an －an －1)，整理得an an －1＝a ，即数列{an}是以a为首项，a 为公比的等比数列．所以an ＝a ·an －1＝an. (2)由(1)知， bn ＝2×a a －1an －1an＋1＝3a －1an －2aa －1an，(*)由数列{bn}是等比数列，则b22＝b1·b3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a2＋2a ＋2a2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得bn ＝3n ，故数列{bn}为等比数列，所以a ＝13.由于1bn ＋1bn ＋22＝13n ＋13n ＋22>2 13n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1bn ＋1，满足条件①；由于1bn＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn 为“嘉文”数列． B 级1．选C 由题意得an ＋1＝f(n ＋1)＝f(1)f(n)＝12an ，故Sn ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.则数列{an}的前n 项和的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.2．解析：由x2－x<2nx(n ∈N*)， 得0<x<2n ＋1， 因此知an ＝2n. 故S100＝1002＋2002＝10100.答案：101003．解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列． 则f(n)＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n －72>0，解得2<n<18. 又n ∈N*，故从第三年开始获利． (2)①平均利润为fn n＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n ＝6.②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128.故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
数列综合试题
数列1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列−1，3，−5，7，−9，…的一个通项公式为( )A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n=(−1)n+1(2n−1)2.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=( )A. 8B. 6C. 4D. 23.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项和为( )A. −24B. −3C. 3D. 84.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=−14，S9=−27，则使得S n取最小值时的n为( )A. 1B. 6C. 7D. 6或75.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏6.在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项7.数列{a n}中，已知对任意n∈N∗，a1+a2+a3+⋯+a n=3n−1，则a 12+a 22+a 32+⋯+a n2等于( )A. (3n−1)2B. 12(9n−1) C. 9n−1 D. 14(3n−1)8.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高考数学一轮总复习专题33数列求和检测文(2021年整理)
2019年高考数学一轮总复习专题33 数列求和检测文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习专题33 数列求和检测文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习专题33 数列求和检测文的全部内容。
专题33数列求和本专题特别注意：1。
倒序求和2. 错位相减求和3.分组求和4。
分项求和5。
裂项求和6.构造求和【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法,如错位相减、裂项相消以及分组求和等．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列｛a n｝为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若｛a n｝为等差数列,则S n＝错误!＝____________________．若{a n｝为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________(｛a n}为常数列);当q≠1时，S n＝______________＝_________（2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．（3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离"的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5）分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6）并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n＝（－1）n f（n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99）＋（98＋97)＋…＋（2＋1)＝5 050。
数列全章测试题
数列全章测试题第I 卷（选择题）一、选择题（每题4分，共60分） 1.已知{a n }为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A. 7B. 5C. －5D. －72.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若23S =，415S =，则6S =（ ）A. 31B. 32C. 63D. 643.已知等差数列{a n }前9项的和为27，10=8a ，则100=aA. 100B. 99C. 98D. 974.已知等差数列{a n }的公差和首项都不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则1324a a a a +=+（ ）A.13B.23C.53D. 25.已知数列{a n }为等比数列，S n 为等差数列{b n }的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（ ）A. 44B. －44C. 88D. －886.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ）A. 12B. 10C. 8D. 2+log 357.设等差数列{a n}前n 项和为S n，等差数列{b n}前n 项和为T n，若2018134n n S n T n -=+，则33a b =（ ） A. 528B. 529C. 530D. 5318.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（ ） A. 1008B. 1009C. 1010D. 10119.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为n A 和n B ，且6302n nA nB n +=+，则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 510.已知数列{a n }满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =（ ）A. 2018112-B. 2019112-C. 20183122-D. 20193122- 11.已知数列{a n }中，11a =，230a =，1122n n n a a a +-=++（*n N ∈且2n ≥），则数列{a n }的最大项的值是（ ） A. 225B. 226C. 75D. 76 12.设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且*1*11,2,21,21,n n n a n k k N a a n k k N --⎧+=∈⎪=⎨+=+∈⎪⎩，若S m >2020，则正整数m 的最小值为A.15B.16C.17D.18第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分） 13.已知数列{a n }满足11a =，132n n a a +=+，则数列{a n }的通项公式为________． 14.设{a n }是等比数列，且245a a a =，427a =，则{a n }的通项公式为_______．15.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =__________．16.设等差数列{a n }的公差为d （0≠d ），其前n 项和为S n ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为________三、解答题（17题10分，其余每题12分，共74分） 17.. （10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且530S =，10110S =.（1）求S n ； （2）记12111n nT S S S =+++L ，求T n .18. （12分）数列{a n }满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（1）设1n n n b a a +=-，证明{b n }是等差数列； （2）求{a n }的通项公式．19.. （12分）等比数列{a n }的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .20. （12分）数列{a n }中，11a =，121n n a a n +=++.（1）求{a n }的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{b n }的前n 项和.21. （12分）各项均为正数的等比数列{a n }满足23a =，9234=-a a .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设*322(21)log ()n n b n a n N +=-⋅∈，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前 n 项和为T n ，证明：12n T <.22. （12分）已知数列{a n }满足422n n n S a -=，其中S n 为{a n }的前n 项和． （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）求证：126n n a⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （3）证明：对任意*n N ∈，都有()12311111636363631nn a a a a ++++<-+-+⋅-L ．试卷答案1.D 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-. 由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 2.C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质，得到2S ，42S S -，64S S -成等比数列，进而可求出结果. 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， 所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-， 即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选C【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和的计算，熟记前n 项和的性质即可，属于常考题型.3.C 试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4.B 【分析】用1,a d 表示2a ，4a ，8a ，利用它们成等比数列可得1d a =，从而可得1324a a a a ++的值.【详解】设等差数列的公差为d ，则21a a d =+，413a a d =+，817a a d =+， 因为2a ，4a ，8a 成等比数列，故()()()211137a d a d a d +=++，整理得到21d a d =，因0d ≠，故1d a =，故1n a na =，故13244263a a a a +==+，选B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 5.A 【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，则11111611()11442b b b S +==⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.B 由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选：B. 7.D 【分析】根据等差数列的性质得到结果即可.【详解】根据等差数列的性质：2121n n n n a S b T --=得到：3535201851531354a S b T ⨯-===⨯+. 故选D.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即2121n n n n a S b T --=，题目比较基础. 8.C 【分析】利用()12n n n S S a n --=≥，结合数列的递推公式可解决此问题． 【详解】解：当 2n ≥时，12n n a S n -+=①，故121n n a S n ++=+② 由②－①得，()1121n n n n a a S S +--+-=，即()112n n a a n ++=≥ 所以()()()201912345201820191010S a a a a a a a =+++++⋯++= 故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有n S 时常用()12n n n S S a n --=≥进行转化． 9.A 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式，可得12241862121n n a n b n n +==+++，要使得nn b a 为正整数，求得n 的取值个数，即可求解，得到答案。
课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用
课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用一、综合练——练思维敏锐度1．《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )A ．1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.12＋122＋…＋12n <1 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n >1 解析：选B 该命题说明每天取的长度构成了以12为首项，12为公比的等比数列，因为12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1，所以能反映命题本质的式子是12＋122＋…＋12n <1.故选B. 2．(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2a n ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D.a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193解析：选BD 由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1＝5，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，又b n ＝2a n，∴b n ＋1bn ＝2a n ＋1 2a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 选项正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 选项错误；a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 选项错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 选项正确． 3．(2021·济南模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：选A ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 4．已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，将P ∪Q 中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n <1 000成立的n 的最大值为( )A ．9B ．32C ．35D ．61解析：选C 数列{a n }的前n 项依次为1,2,3,22,5,7，23，….利用列举法可得：当n ＝35时，P ∪Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n }，所以数列{a n }的前35项可重新排列为1,3,5,7,9,11,13，…，55,57,59,2,4,8,16,32，则S 35＝30＋30(30－1)2×2＋2(25－1)2－1＝302＋26－2＝962<1 000，当n ＝36时，S 36＝962＋61＝1 023>1 000， 所以n 的最大值为35.故选C.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上，若对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为__________．解析：由数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上可得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，故{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，故可得a n ＝n .对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n ≥λ恒成立，即λ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n 的最小值．令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋2－12n ＋1＝－1(2n ＋1)(2n ＋2)<0，即f (n )<f (n ＋1)，可得f (n )递增，即f (1)为最小值，且为12，可得λ≤12，则实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 6．(2021·济宁模拟)若数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，那么就称数列{a n }具有性质P .已知数列{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 2 020＝________.解析：根据题意，数列{a n }具有性质P ，且a 2＝a 5＝2， 则有a 3＝a 6＝3，a 4＝a 7，a 5＝a 8＝2. 由a 6＋a 7＋a 8＝21，可得a 3＋a 4＋a 5＝21， 则a 4＝21－3－2＝16，进而分析可得a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3n ＝3，a 4＝a 7＝a 10＝…＝a 3n ＋1＝16，a 5＝a 8＝…＝ a 3n ＋2＝2(n ≥1)，则a 2 020＝a 3×673＋1＝16. 答案：167．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为np 1＋p 2＋…＋p n(n ∈N *)．若各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 019b 2 020＝________.解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，所以n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)，S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝13，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． 又b n ＝a n ＋14，所以b n ＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 019b 2 020＝11×2＋12×3＋…＋12 019×2 020＝1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020. 答案：2 0192 0208．(2020·天津高考)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，b 5＝4(b 4－b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n ＋2<S 2n ＋1(n ∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a n－2)bna n a n ＋2，n 为奇数，an －1b n ＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，可得d ＝1，从而{a n }的通项公式为a n ＝n .由b 1＝1，b 5＝4(b 4－b 3)，q ≠0，可得q 2－4q ＋4＝0， 解得q ＝2，从而{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，故S n S n ＋2＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，S 2n ＋1＝14(n ＋1)2(n ＋2)2， 从而S n S n ＋2－S 2n ＋1＝－12(n ＋1)(n ＋2)<0， 所以S n S n ＋2<S 2n ＋1.(3)当n 为奇数时，c n ＝(3a n －2)b n a n a n ＋2＝(3n －2)2n －1n (n ＋2)＝2n ＋1n ＋2－2n －1n ；当n 为偶数时，c n ＝a n －1b n ＋1＝n －12n .对任意的正整数n ，有∑k ＝1nc 2k －1＝∑k ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2k ＋1－22k －22k －1＝22n2n ＋1－1， ∑k ＝1nc 2k ＝∑k ＝1n 2k －14k ＝14＋342＋543＋…＋2n －14n .①由①得14∑k ＝1n c 2k ＝142＋343＋…＋2n －34n ＋2n －14n ＋1.②由①－②得34∑k ＝1n c 2k ＝14＋242＋…＋24n －2n －14n ＋1＝24⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14－14－2n －14n ＋1，从而得∑k ＝1n c 2k ＝59－6n ＋59×4n.因此∑k ＝12nc k ＝∑k ＝1nc 2k －1＋∑k ＝1nc 2k ＝4n2n ＋1－6n ＋59×4n －49.所以数列{c n }的前2n 项和为4n2n ＋1－6n ＋59×4n －49.9．近日，某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？解：(1)由题意得f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n (n ＋1)2＋0.9n＝0.1n 2＋n ＋14.4.(2)设该车的年平均费用为S 万元，则有S ＝1n f (n )＝1n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10＋14.4n ＋1≥2 1.44＋1＝3.4.当且仅当n 10＝14.4n ，即n ＝12时，等号成立，即S 取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．10．甲、乙两同学在复习数列知识时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，一个条件看不清了，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知________， (1)判断S 1，S 2，S 3的关系； (2)若a 1－a 3＝3，设b n ＝n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为 T n ，证明：T n <43. 甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 1q ，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2. 又S 1，S 3，S 2成等差数列，所以S 1＋S 2＝2S 3， 即a 1＋a 1＋a 1q ＝2a 1＋2a 1q ＋2a 1q 2， 整理可得a 1q (1＋2q )＝0.由于在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以q ＝－12，故乙同学记得的缺少的条件是正确的． 故补充的条件为q ＝－12.(1)由题意可得S 1＝a 1， S 2＝a 1＋a 2＝a 1－12a 1＝12a 1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1－12a 1＋14a 1＝34a 1，可得S 1＋S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列． (2)证明：由a 1－a 3＝3，可得a 1－14a 1＝3，解得a 1＝4，则b n ＝n 12|a n |＝n 12·⎪⎪⎪⎪4·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝23n ·⎝⎛⎭⎫12n，则T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ， 12T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1×14＋2×18＋3×116＋…＋n ×12n ＋1， 上面两式相减可得，12T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋116＋…＋12n －n ×12n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1， 化简可得T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n ＋22n ＋1，由1－n ＋22n ＋1<1，可得T n <43.二、自选练——练高考区分度1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…，则在这个子数列中第2 020个数是( )A ．3 976B ．3 974C ．3 978D ．3 973解析：选A 由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2个数，且第n 次取的最后一个数为n 2.当n ＝63时，63×(63＋1)2＝2016，故前63次共取了2 016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3 969，即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970,3 972,3 974,3 976，…，所以第2 020个数是3 976.2．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后老鼠相遇？( )A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天解析：选B 设第n 天老鼠相遇，则依题意得 大老鼠打洞：1＋2＋22＋23＋…＋2n －1(尺)； 小老鼠打洞：1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1(尺)． 可得方程：1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＋1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＝5. 利用等比数列求和公式得：1－2n1－2＋1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝5，化简得22n －4×2n －2＝0，解得2n ＝2＋ 6.因为4<2＋6<8，所以2<n <3， 所以两鼠在第3天相遇．3．(2021·青岛模拟)已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①a 1＝2，②a 1＝1，③a 1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n }存在；并在此存在的数列{a n }中，试解答下列两个问题．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝(－1)n ＋1a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n. 解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a 1时，由题意知，可能的组合有， a 1＝2，a 2＝6，a 3＝7不是等差数列，a 1＝2，a 2＝9，a 3＝8不是等差数列； 当第一行第二列为a 1时，由题意知，可能的组合有， a 1＝2，a 2＝4，a 3＝7不是等差数列， a 1＝2，a 2＝9，a 3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a 1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12不是等差数列．则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1＝1，a2＝4，a3＝7，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12不是等差数列．则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．综上可知：a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2n＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3－a4)(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)·(a n－1－a n)＝－3(a1＋a2＋a3＋…＋a n)＝－3×n(1＋3n－2)2＝－92n2＋32n；当n为奇数时，T n＝T n－1＋b n＝－92(n－1)2＋32(n－1)＋(3n－2)2＝92n2－32n－2，∴T n＝⎩⎨⎧－92n2＋32n，n＝2k，k∈N*，92n2－32n－2，n＝2k－1，k∈N*.。
课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用
∴数列a3nn是首项为13，公差为 1 的等差数列， ∴数列a3nn的前 n 项和 Sn＝n3＋nn2－1＝3n26－n.
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用 结束
2．解：(1)对 f(x)＝x＋1x(x＞0)求导，得 f′(x)＝1－x12， 则切线 ln 的方程为：y－n＋n1＝1－n12(x－n)， 即 y＝1－n12x＋n2. 易知 Ann＋1，n＋1＋n＋1 1，Bnn＋1，n＋1＋n－n21， 由 an＝|AnBn|知 an＝n＋1 1－n－n21＝n2n1＋1. (2)证明：∵nan＝nn1＋1＝n1－n＋1 1， ∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＜1.
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用 结束
B 卷：增分提能 1．解：(1)设 an，bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动
力型公交车的数量．
依题意，得{an}是首项为 128，公比为 1＋50%＝32的等比数 列，{bn}是首项为 400，公差为 a 的等差数列． 所以{an}的前 n 项和 Sn＝128×1－1－32 32n＝25632n－1，
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用 结束
∴不等式 3(2n－1)＞k·3·2n－1－2， 即 k＜2－3·21n－1对一切 n∈N*恒成立． 令 f(n)＝2－3·21n－1，则 f(n)随 n 的增大而增大， ∴f(n)min＝f(1)＝2－13＝53，∴k＜53. ∴实数 k 的取值范围为－∞，53.
⇔(an－an－1)(bn＋1－bn)－(an＋1－an)(bn－bn－1)＝0 ⇔d(bn＋1－bn)－d(bn－bn－1)＝0 ⇔bn＋1－bn＝bn－bn－1 ⇔q＝1，这与 q≠1 矛盾，