二次根式提高练习题(含答案)

一.计算题：
1． (
235+-）（235--）；
2. 1145
-－7114
-－7
32+；
3.（a
2
m
n
－
m
ab mn ＋
m
n n
m ）÷a 2b
2
m
n ；
4.（
a ＋
b
a a
b b +-）÷（
b ab a +＋a
ab b
-－
ab b a +）（a ≠b ）．
二.求值：
1.已知x ＝
2
32
3-+，y ＝
2
323+-，求32234
2
3
2y x y x y x xy
x ++-的值．
2.当x ＝1－2时，求
2
2
2
2a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
21
a
x +的值．
三.解答题：
1．计算（2
5＋1）（
2
11
+＋
3
21+＋431+＋…＋100
991+）．
2.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋
14-x ＋2
1
．求
x
y y x ++2－x
y
y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将
35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．
【解】原式＝(35-)2－2
)
2(＝5－2
15＋3－2＝6－215．
2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝
11
16)
114(5-+－7
11)
711(
4-+－
7
9)
73(2--＝4＋
11
－
11
－
7
－3＋
7＝1．
3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a
2
m
n
－m ab mn
＋m
n
n
m
）·2
21b a n
m
＝2
1b
n
m m n ⋅－
mab 1
n
m
mn ⋅＋
22b ma n n
m
n m ⋅ ＝21b
－
ab 1＋2
21b a ＝2
221b a ab a +-．
4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝b
a a
b b ab a +-++÷)
)(()
)(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--
＝
b
a b
a ++÷
)
)((2
222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----
＝b
a b a ++·
)
()
)((b a ab b a b a ab +-+-＝－
b a +．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 求值： 1．、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．
【解】∵ x ＝2
32
3-+＝2)23(
+＝5＋26，
y ＝
2
323+-＝
2)
23(-＝5－2
6．
∴ x ＋y ＝10，x －y ＝4
6，xy ＝52－(26
)2＝1．
3
22342
32y x y x y x xy x ++-＝2
2)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝65
2． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从
而使求值的过程更简捷． 2、【提示】注意：x 2
＋a 2
＝2
22)
(
a x +，
∴ x 2＋a 2－x 2
2
a
x +＝
2
2
a
x +（
2
2a
x +－x ），x 2－x
2
2a
x +＝－x （
2
2a x +－x ）．
【解】原式＝
)
(2
2
2
2
x a x a x x
-++－
)
(2222
2x a x x a x x -++-＋
2
21
a
x +
＝
)
()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+- ＝
)
()(22
2
2
2
2
22222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=
)
()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝
)
()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝
x 1
．当x ＝1－2时，原式＝211
-＝－1－
2．【点评】本题如果将前两个“分式”
分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)
(2
2
2
2
x a x a x x
-++－
)
(22
2
22x a x x a x x -++-＋
2
21
a
x +
＝)1
1
(2222a
x x a x +--+－)11
(22x x a x --+＋221
a x +＝
x
1
．
解答题： 1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（2
5＋1）（
1
212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099
100--）
＝（2
5
＋1）[（
12-）＋（23-）＋（3
4-）＋…＋
（
99
100-）]
＝（25＋1）（1100-）
＝9（2
5＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，
将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
2、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧==y x
【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≤.4141
x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21． 又∵
x
y
y x ++2－x
y
y x +-2＝2)(x y y x
+－2)(x
y y x - ＝|
x
y y x
+|－|x y
y
x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y
x ＜
x
y ．
∴ 原式＝
x
y y x +－
y
x x
y +＝2
y
x 当x ＝
41
，y ＝2
1时，
原式＝2
2
141＝
2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，
进而求出y 的值．。