2021-2022学年四川省达州市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省达州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列抛物线中，以点()1,0F 为焦点的是（ ） A ．24y x = B ．24x y = C ．24y x =- D ．24x y =-【答案】A【分析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程. 【详解】∵抛物线为()1,0F ，∴可设抛物线方程为()220y px p =>，∴12p=即2p =， ∴抛物线方程为24y x =， 故选：A.2．为了解青少年视力情况，统计得到10名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）A ．4.6B ．4.5C ．4.3D ．4.2【答案】B【分析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：3.8、3.9、4.0、4.2、4.4、4.6、5.0、5.1、5.2、5.3，因此，这组数据的中位数为4.4 4.64.52+=. 故选：B.3．下列双曲线中，以()2,0为一个焦点，以()1,0为一个顶点的双曲线方程是（ ） A ．2214x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．221x y -=【答案】C【分析】设出双曲线方程，根据题意，求得,a b ，即可选择.【详解】因为双曲线的一个焦点是()2,0，故可设双曲线方程为22221x y a b-=，且224a b +=；又()1,0为一个顶点，故可得1a =，解得23b =， 则双曲线方程为：2213y x -=.故选：C .4．已知a 、b 、c 、l 是直线，α、β是平面，A 、B 、P 是点（A 、B 不重合），下列叙述错误的是（ ）A ．若∈A l ，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊂ B ．若P α∈，P β∈，l αβ=，则P l ∈C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．若a b ⊥，c b ⊥，则//a c 【答案】D【分析】由公理2可判断A 选项；由公理3可判断B 选项；利用平行线的传递性可判断C 选项；直接判断线线位置关系，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由公理2可知，若∈A l ，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊂，A 对；对于B 选项，由公理3可知，若P α∈，P β∈，l αβ=，则P l ∈，B 对；对于C 选项，由空间中平行线的传递性可知，若//a b ，//b c ，则//a c ，C 对； 对于D 选项，若a b ⊥，c b ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，D 错. 故选：D.5．一组“城市平安建设”的满意度测评结果1x ，2x ，…，54x 的平均数为116分，则1x ，2x ，…，54x ，116的（ ）A ．平均数变小B ．平均数不变C ．标准差不变D ．标准差变大【答案】B【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出1x ，2x ，…，54x ，116的平均数、方差从而可得答案.【详解】1x ，2x ，…，54x 的平均数为116分，125454116x x x +++=⨯则1x ，2x ，…，54x ，116的平均数为()()125411116541161161165555x x x ++++=⨯+= 设1x ，2x ，…，54x 的方差为2δ则()()()222212111611611654n x x x δ⎡⎤=-+-++-⎣⎦所以()()()22221211611611654n x x x δ-+-++-=则1x ，2x ，…，54x ，116的方差为()()()()2222212111611611611611655n x x x δ⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦()()()22222121541161161165555n x x x δδ⎡⎤=-+-++-=<⎣⎦所以1x ，2x ，…，54x ，116的平均数不变，方差变小.标准差变小. 故选：B6．在区间[]1,4上随机取一个数a ，则事件“曲线22220x y x ay +-++=表示圆”的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】先求出曲线表示圆参数a 的范围，再由几何概率可得答案.【详解】由22220x y x ay +-++=可得()2221124a a x y ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭曲线22220x y x ay +-++=表示圆，则2104a ->解得2a >或2a <-又[]1,4a ∈所以曲线22220x y x ay +-++=表示圆的概率为422413-=- 故选：D7．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点是抛物线28y x =的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（ ） A ．2214x y +=B ．22142x y +=C ．221164x y +=D ．22143x y +=【答案】A【分析】求得抛物线的焦点从而求得a ，再结合题意求得b ，即可写出椭圆方程.【详解】因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，故可得2a =； 又短轴长为2，故可得22b =，即1b =； 故椭圆方程为：2214x y +=.故选：A .8．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：cm ），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）A ．()8001005π+ B ．()9001005π+ C ．1100π D ．1000π【答案】A【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为22223010102010(8001005)S ππππ=⨯-⨯+⨯+⨯=+，故选：A9．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ） A ．076 B ．104C ．390D ．522【答案】D【分析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择. 【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测， 故需要分为30组，每组26人，设第n 组抽中的编号为n a ， 设26n a n m =+，由题可知：354a =，故可得24m =-， 故可得2624n a n =-.当21n =时，21262124522a =⨯-=. 故选：D .10．已知直线20ax y a --+=与圆22450x y x +--=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（ ） A ．3,25⎡⎤⎣⎦B ．4,25⎡⎤⎣⎦C ．[]4,6D ．25,6⎡⎤⎣⎦【答案】C【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可. 【详解】因为直线方程为：20ax y a --+=，整理得()21y a x -=-， 故该直线恒过定点()1,2M ，又，故点()1,2M 在圆22450x y x +--=内， 又圆22450x y x +--=的圆心为则max 26AB r ==，此时直线过圆心()2,0；当直线20ax y a --+=与直线MN 垂直时，AB 取得最小值， 此时2222954AB r MN=-=-=.故AB 的取值范围为[]4,6. 故选：C . 11．已知sin6a π=，1ln e b =，6c π=，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．12B ．1-C ．6πD ．1【分析】计算出a 、b 的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果. 【详解】1sin62a π==，1ln 1e b ==-，则b a c <<，执行如图所示的程序，12x =，112-<成立，则1x =-，16π<-不成立，输出x 的值为1-.故选：B.12．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，点P 在双曲线上，PO b ，122π3F PF ∠=，则C 的离心率为（ ）A ．51-B ．2C ．102D ．3【答案】C【分析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得,a c 关系，即可求得离心率. 【详解】根据题意，作图如下：不妨设12,PF m PF n ==，则2m n a -=，22224m n mn a +-=，①；在△12PF F 中，由余弦定理可得：2224cos1202m n c mn+-︒=，代值得：2224mn m n c -=+-，②；联立①②两式可得：243b mn =；在△1POF 和△2POF 中，由12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得：222222022c b m c b n bc bc +-+-+=，整理得：222222m n c b +=+，③； 联立②③可得：222422c mn c b -=+，又243b mn =，故可得：2253c b =，则222223a cb b =-=，则2252c a =10.二、填空题13．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道y 与x 具有线性相关性，其线性回归方程为ˆˆ0.125yx a =+，则ˆa =______.（参考公式：ˆˆy bx a =+） x1 2 3 4 5 6 7 y6.06.26.36.46.46.76.8【答案】5.95910【分析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得ˆa. 【详解】根据表格数据可得： ()14,6 6.2 6.3 6.4 6.4 6.7 6.8 6.47x y ==++++++=. 故ˆa，解得ˆa 5.9=. 故答案为：5.9.14．经过点()0,0，()0,1，()1,0的圆的方程为______.【答案】22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出,,D E F 的值，可得圆的方程【详解】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则 01010F E F D F =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，所以圆的方程为220x y x y +--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．过点()1,0P 的直线与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，2AP =，则直线AB 的方程为______.【答案】1x =10x -=【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P 为抛物线的焦点，设()11A x y ，，利用抛物线的定义可得11x =，有AB x ⊥轴，即可得出结果.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标(10)F ，，又(10)P ，， 所以点P 为抛物线的焦点，设()11A x y ，，由2AP =，由抛物线的定义得112x +=，解得11x =， 所以AB 垂直与x 轴，所以直线AB 的方程为：1x =. 故答案为：1x =16．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成.若几何体能够穿过直径为4的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）. 【答案】①【分析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与2比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，3222=，该正四面体的外接球半径为1323362r ⨯==<，满足要求；②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥P ABCD -，如下图所示：设AC BD O =，连接PO ，则O 为AC 、BD 的中点，因为四边形ABCD 是边长为3的正方形，则32AC BD == 所以，222PA PC AC +=，所以，PA PC ⊥，所以，1322OP OA OC AC ====， 32OB OD ==O 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，且该球的半径为23222r =>，不满足要求； ③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为3的正四棱锥拼接而成， 由②可知，该正八面体的外接球半径为33222r =>，不满足要求； ④由题设，几何体为棱长为3的正方体，其外接球半径为4332r =>，不满足要求； 故答案为：①. 三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足11a =，48a =. (1)求数列{}n a 的前8项和8S ； (2)求数列{}n a 的前n 项积n T . 【答案】(1)255 (2)()122n n -【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由48a =，求出公比，然后由等比数列前n 项和公式可得答案.（2） 先得出通项公式，然后可得123n n T a a a a =，由指数的运算性质，结合由等差数列前n 项和公式可得答案. (1)设等比数列{}n a 的公比为q ，33418a a q q ===，解得2q所以12n na所以()8881122125512S ⨯-==-=-(2)23112312222n n n T a a a a -==⨯⨯⨯⨯⨯()()11231222n n n -++++-==18．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E 分别是AB ，1DD ，1AA 的中点.(1)证明：平面MNE ∥平面1BCD ； (2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）分别证明BC ∥平面MNE ，1D C ∥平面MNE ，最后利用面面平行的判定定理证明平面MNE ∥平面1BCD 即可；（2）由ME ∥1D C 得EMN ∠即为直线MN 与1D C 所成角，在直角△MNE 即可求解. (1)∵BC ∥EN 且EN ⊂平面MNE ,BC ⊄平面MNE , ∴BC ∥平面MNE ,又∵1D C ∥EM 且EM ⊂平面MNE , 1D C ⊄平面MNE , ∴1D C ∥平面MNE 又∵1D C BC C =, ∴ 平面MNE ∥平面1BCD ,(2)由（1）得ME ∥1D C ,∴ EMN ∠为直线MN 与1D C 所成的角，设正方体的棱长为a ,在Rt △MEN 中，EN a =，222222a a EM a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴tan EN EMN EM ∠=222a a ==. 19．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150.(1)估计该班本次测试的平均分x ；(2)在[)110,130、[]130,150中按分层抽样的方法抽取6个数据，再从这6个数据中任抽取2个，求抽出2个中至少有1个成绩在[]130,150中的概率.【答案】(1)114.4x =；(2)35. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得x 的值；（2）分析可知，所抽取的6个数据中，成绩在[)110,130内的有4个，分别记为a 、b 、c 、d ，成绩在[]130,150内的有2个，分别记为A 、B ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：由频率分布直方图可得800.081000.321200.41400.2114.4x =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)解：因为数学成绩在[)110,130、[]130,150内的频率分别为0.4、0.2，所以，所抽取的6个数据中，成绩在[)110,130内的有4个，分别记为a 、b 、c 、d ， 成绩在[]130,150内的有2个，分别记为A 、B ，从这6个数据中，任取抽取2个，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、 (),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15个，其中，事件“抽出2个中至少有1个成绩在[]130,150中”所包含的基本事件有：(),a A 、 (),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9个， 故所求概率为93155P ==. 20．如图，在三棱锥M ABC -中，MA MB CA CB ===，点P 为线段MC 上的点.(1)若MC ⊥平面PAB ，试确定点P 的位置，并说明理由；(2)若2MA =，1AB =，23MC =1）成立的前提下，求二面角PAB C 的余弦值.【答案】(1)点P 为MC 的中点，理由见解析；5【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点P 为MC 的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.(1)点P 为MC 的中点，理由如下：因为MC ⊥平面PAB ，,PA PB ⊂平面PAB ，所以MC PA ⊥，MC PB ⊥，又MA MB CA CB ===，由三线合一得：点P 为MC 的中点(2)取AB 的中点H ，连接PH ，CH ，则由（1）知：MBC MAC ≅，结合点P 为MC 的中点，所以P A =PB ，故由三线合一得：PH ⊥AB ，且CH ⊥AB ，所以∠CHP 即为二面角P AB C 的平面角，因为2MA =，23MC =，1AB =，所以2MB CA CB ===，3PC =，12BH =，由勾股定理得：22431PB BC PC =-=-=，2213142PH PB BH =-=-=，22115442CH CB BH =-=-=， 在△PCH 中，由余弦定理得：2221533544cos 25153222CH PH PC CHP CH PH +-+-∠===⋅⨯⨯， 故二面角P AB C 的余弦值为5521．已知()()2πsin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； (2)已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边长分别是a ，b ，c ，若()1f C =，2c =.求ABC 面积的最大值.【答案】(1)5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2)23.【分析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到()sin(2)13f x x π=-+，再求其单调增区间即可.（2）根据()1f C =得到6C π=，根据余弦定理和基本不等式得到4(23)ab ≤，结合三角形面积公式计算即可.(1)由题意13()sin 221sin(2)123f x x x x π=+=-+． 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，得51212x ππ-≤≤， 所以()f x 在[0,]2π上的单调递增区间是5[0,]12π． (2)因为()sin(2)113f C C π=-+=，所以2()3C k k Z ππ-=∈， 得62k C ππ=+，又C 是锐角，所以6C π=， 由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，得22423b b a a a b +=+≥， 所以4(23)ab ≤+，且当a b =时等号成立． 所以11sin 2324ABC S ab C ab ==≤+△， 故ABC 面积最大值为23+．22．如图，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，离心率为12.过1F 的直线与椭圆1C 的一个交点为A ，过2F 垂直于1AF 的直线与椭圆1C 的一个交点为B ，12AF BF P ⋂=.(1)求椭圆1C 的方程和点P 的轨迹2C 的方程；(2)若曲线2C 上的动点M 到直线AB ：y kx m =+21，求2k 的值.【答案】(1)椭圆1C 的方程为22143x y +=，点P 的轨迹2C 的方程为221x y += (2)2472k = 【分析】（1）由题意可得11,2c c a ==，求出a ，再结合222a b c =+，求出2b ，从而可得椭圆1C 的方程，设(,)P x y ，则由题意可得120F P F P ⋅=，坐标代入化简可得点P 的轨迹2C 的方程，（2）由题意结合点到直线的距离公式可得222(1)m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆方程中消去y ，整理利用根与系数的关系，由120AF BF ⋅=，可得2112121x x x x y y -=--，因为22112122(())4x x x x x x -=+-，代入化简计算可求得答案(1) 由题意得11,2c c a ==，解得2a =，则 2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程22143x y +=， 设(,)P x y ，则由题意可得120F P F P ⋅=，所以(1,)(1,)0x y x y +⋅-=，所以221x y +=，所以点P 的轨迹2C 的方程为221x y +=(2)由（1）知曲线2C 是以原点为圆心，1为半径的圆， 因为曲线2C 上的动点M 到直线AB ：y kx m =+1，11=，得222(1)m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以2221212222284128(1)1284,34343434km m k k x x x x k k k k --+--+====++++， 1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++2222241283434m km k km m k k --=⋅+⋅+++ 22212334k m k -+=+ 22222126(1)663434k k k k k -++-+==++， 因为120AF BF ⋅=，所以()()11221,1,0x y x y ---⋅--=，所以21121210x x x x y y -+-++=，所以22221121222284661211343434k k k x x x x y y k k k --++-=--=--=+++， 因为22112122(())4x x x x x x -=+-， 所以2222222128844343434k km k k k k ⎛⎫+-⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 所以222222(12)644(84)(34)k k m k k +=--+， 222222(12)642(1)4(84)(34)k k k k k +=⋅+--+， 所以42492470k k --=，得22(21)(247)0k k +-=，得212k =-（舍去），或2472k =。