2021-2022学年四川省资阳市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省资阳市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的长轴的长为4，焦距为2，则C 的方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．2211612x y +=C ．22142x y +=D ．22143x y +=【答案】D【分析】由题设可得2422a c =⎧⎨=⎩求出椭圆参数，即可得方程.【详解】由题设，知：2422a c =⎧⎨=⎩，可得21a c =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，∴C 的方程为22143x y +=.故选：D.2．已知R x y ∈，，则“21x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由21x >可得1x >或1x <-，所以由21x >得不出1x >，故充分性不成立， 由1x >可得21x >，故必要性成立， 所以“21x >”是“1x >”的必要不充分条件， 故选：B.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．30【答案】C【分析】根据抽取比例4334++乘以50即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为45020334⨯=++，故选：C.4．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为1x ，2x ，标准差分别为1s ，2s ，则（ ）A ．1x ＞2x ，1s ＜2sB ．1x ＞2x ，1s ＞2sC ．1x ＜2x ，1s ＜2sD ．1x ＜2x ，1s ＞2s【答案】A【分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断1x 、2x 及1s 、2s 的大小. 【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则1x ＞2x ， 又甲成绩的分布比乙均匀，故1s ＜2s . 故选：A.5．执行下图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】直接按照程序框图运行即可得正确答案. 【详解】当0n =时，020180+=>不成立， 1n =时，121380+=>不成立，2n =时，222680+=>不成立， 3n =时，3231180+=>不成立，4n =时，4242080+=>不成立，5n =时，5253780+=>不成立，6n =时，6267080+=>不成立，7n =时，72713580+=>成立，输出n 的值为7，故选：C.6．工业生产者出厂价格指数（P R oduce R P R ice Index fo R Indust R ial P R oducts ，简称PPI ）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据．根据下面提供的我国2020年1月—2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论正确的（ ）A ．2020年各月的PPI 在逐月增大B ．2020年各月的PPI 均高于2019年同期水平C ．2021年1月—11月各月的PPI 在逐月减小D ．2021年1月—11月各月的PPI 均高于2020年同期水平 【答案】D【分析】根据折线图中同比、环比的正负情况，结合各选项的描述判断正误. 【详解】A ：2020年前5个月PPI 在逐月减小，错误； B ：2020年各月同比为负值，即低于2019年同期水平，错误； C ：2021年1月—11月各月的PPI 环比为正值，即逐月增大，错误；D ：2021年1月—11月各月的PPI 同比为正值，即高于2020年同期水平，正确. 故选：D.7．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（ ）A ．如果m n ⊥，m α⊥，n ∥β，那么αβ⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么α∥βC ．如果m ∥n ，m α⊥，n β⊥，那么α∥βD ．如果m ∥n ，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥【答案】C【分析】AB.利用两平面的位置关系判断；CD.利用面面平行的判定定理判断； 【详解】A. 如果m n ⊥，m α⊥，n ∥β，那么α，β相交或平行；故错误； B. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么α，β垂直，故错误；C. 如果m ∥n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，那么α∥β，故C 正确；D 错误， 故选:C8．已知过点()0,0的直线l 与圆()()22:2216C x y ++-=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（ ）A ．4⎡⎤⎣⎦B ．⎡⎤⎣⎦C ．[]4,8D ．⎡⎤⎣⎦【答案】D【分析】经判断点()0,0在圆内，与半径相连，所以l 与OC 垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将()0,0代入圆方程得：44816+=<，所以点()0,0O 在圆内，连接OC ，当l OC ⊥时，弦长最短，OC =AB ===l 过圆心时，AB 最长等于直径8，所以AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故选：D9．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>右焦点作x 轴的垂线，并交C 于A ，B 两点，直线l过C 的左焦点和上顶点.若以线段AB 为直径的圆与l 有2个公共点，则C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【分析】求得以AB 为直径的圆的圆心和半径，求得直线l 的方程，利用圆心到直线l 的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】椭圆的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，上顶点()0,b ， 222221c y b y a b a+=⇒=±， 所以AB 为直径的圆的圆心为2(,0)F c ，半径为2b a.直线l 的方程为1x yc b +=-，10x y c b+-=-由于以线段AB 为直径的圆与l 相交， 所以2220111c b c ba cb +--<⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211a b c b <+， 244242222222411,4,411a b b a b a b c b c c b ⎛⎫<<+<+ ⎪⎝⎭+， ()22242244222222222222242a c a a c c a aa c a c a c a cc c c --+<+-=+-=-++-， 2222155,0,055a c c c a a <<<<<， 所以椭圆的离心率的取值范围是50,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（ ）A 3π32- B 3π1 C 23π1 D 43π2 【答案】D【分析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】设正六边形的边长为1，则其面积为233361=. 阴影部分面积为221312π112π336⎛⎫⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2π334π6343π1843π23333---==. 故选：D11．已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．210【答案】A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3， 所以()()22121310C C =-+-=，由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ 的距离为110， 所以2216211010PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以四边形12PC QC 的面积为121161032210C C PQ ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A12．如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2BD =，1DE =，点P 在线段EF 上.给出下列命题：①存在点P ，使得直线//DP 平面ACF ； ②存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ；③直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是5⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8. 其中所有真命题的序号（ ） A ．①③ B ．①④C ．①②④D ．①③④【答案】D【分析】当点P 是线段EF 中点时判断①；假定存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出ACF 外接圆面积判断④作答. 【详解】取EF 中点G ，连DG ，令ACBD O =，连FO ，如图，在正方形ABCD 中，O 为BD 中点，而BDEF 是矩形，则//DO GF 且DO GF =，即四边形DGFO 是平行四边形，即有//DG FO ，而FO ⊂平面ACF ，DG ⊄平面ACF ，于是得//DG 平面ACF ，当点P 与G 重合时，直线//DP 平面ACF ，①正确；假定存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ，而FO ⊂平面ACF ，则DP FO ⊥，又//DG FO ，从而有DP DG ⊥，在Rt DEF △中，90DEF ∠=，DG 是直角边EF 上的中线，显然在线段EF 上不存在点与D 连线垂直于DG ，因此，假设是错的，即②不正确；因平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，则线段EF 上的动点P 在平面ABCD 上的射影在直线BD 上，于是得PDB ∠是直线DP 与平面ABCD 所成角的，在矩形BDEF 中，当P 与E 不重合时，PDB DPE ∠=∠， 222sin sin 1DEPDB DPE DPDE EP EP ∠=∠===++02EP <≤，则5sin 1PDB ≤∠<， 当P 与E 重合时，2PDB π∠=，sin 1PDB ∠=5sin 1PDB ≤∠≤，③正确； 因平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，BF BD ⊥，BF ⊂平面BDEF ，则BF ⊥平面ABCD ，2BC =ACF 中，223AF CF BC BF =+FO AC ⊥，222sin 3FOBO BF FAC AF+∠===，由正弦定理得ACF 外接圆直径32sin 2CF R FAC ==∠，322R =，三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面是ACF 的外接圆，其面积为298R ππ=，④正确， 所以所给命题中正确命题的序号是①③④. 故选：D【点睛】结论点睛：两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上. 二、填空题13．椭圆22:143x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为C 上的一点（P 与1F ，2F 不共线），则12PF F △的周长为______.【答案】6【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆方程为22143x y +=，所以2,1a c ==， 所以三角形12PF F 的周长为226a c +=. 故答案为：614．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.【答案】13【分析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥， 所以该几何体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯=.故答案为：1315．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a ，另一个作为对数的真数b.则()log 0,1a b ∈的概率为______. 【答案】380.375【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案. 【详解】log a b 的所有可能取值为22223333log 1,log 3,log 4,log 5,log 1,log 2,log 4,log 5， 44445555log 1,log 2,log 3,log 5,log 1,log 2,log 3,log 4，共16种，满足()log 0,1a b ∈的为3log 2，44555log 2,log 3,log 2,log 3,log 4，共6种， 所以()log 0,1a b ∈的概率为63168=. 故答案为：3816．设椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），且满足2213AF F B =，则直线l 的斜率为______.【答案】1【分析】设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及2213AF F B =求得直线l 的斜率.【详解】椭圆()22228,4,4,2,2,0a b c c F ====，由于A 在x 轴上方且直线l 的斜率存在，所以直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为2x my =+，且0m >，由222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并化简得()222440m y my ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，120y y >>， 则12242my y m -+=+①，12242y y m -⋅=+②， 由于2213AF F B =，所以1213=-y y ③，由①②③解得1m =.所以直线l 的方程为2,2x y y x =+=-，斜率为1. 故答案为：1 三、解答题17．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴，短轴长为2 (2)短轴一端点P 与两焦点1(20)F -，，2(20)F ，连线所构成的三角形为等边三角形． 【答案】(1)2214y x +=(2)2211612x y += 【分析】（1）设出椭圆方程，根据短轴长和离心率求出2a =，1b =，从而求出椭圆方程；（2）短轴端点与焦点相连所得的线段长即为a ，从而求出b ，得到椭圆方程. (1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则22b =，1b =，则c a ===:2a =， 则该椭圆的方程为2214y x +=．(2)设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题得：2c =，24a c ==，则22212b a c =-=， 则该椭圆的方程为2211612x y +=． 18．某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a ，b ，c 成等比数列，且公比为2．(1)求图中a ，b ，c 的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）； (2)根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率．【答案】(1)0.005a =，0.010b =，0.020c =，均值为65.6 (2)35【分析】（1）根据a ，b ，c 成等比数列且公比为2，得到a ，b ，c 的关系，利用频率之和为1，求出a ，b ，c ，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率. (1)由题意得，4c a =，2b a =，有()100.0150.0301c c b a ⨯+++++=，所以0.0454420.1a a a a ++++=，即110.055a =， 解得0.005a =，于是0.010b =，0.020c =．评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为450.15550.20650.30750.20850.10950.0565.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人．则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A 1，A 2，评分在“50～60”一组4人，记为B 1，B 2，B 3，B 4．从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共15个． 其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个．则所求的概率93155P ==， 即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为35．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1BB 的中点．(1)求证：直线1B E ⊥平面11FA D ；(2)求异面直线1A F 与AC 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； 10【分析】（1）证明111B BE A B F ≅，则111BEB B FA ∠=∠，可证明11B E A F ⊥，由11A D ⊥平面11ABB A ，可得111B E A D ⊥，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）连结11A C ，1C F 可知11//AC AC ，所以11FA C ∠或其补角即为异面直线1A F 与AC 所成的角，在11FA C 中由余弦定理计算11cos FAC ∠的值即可求解. (1)在正方形11ABB A 中，E ，F 分别为棱AB ，1BB 的中点， 则1BE B F =，111BB B A =，11190B BE A B F ∠=∠=， 所以111B BE A B F ≅，则111BEB B FA ∠=∠， 所以1111190BB E B FA BB E BEB ∠+∠=∠+∠=， 即11B E A F ⊥，又因为11A D ⊥平面11ABB A ，1B E ⊂面11ABB A ，所以111B E A D ⊥， 因为1111A D A F A =，所以1B E ⊥平面11FA D ．(2)连结11A C ，1C F ，可知11//AC AC ，所以11FA C ∠或其补角即为异面直线1A F 与AC 所成的角， 令112A B =，则11B F =，1122AC =，115A F C F ==， 在11FA C 中，由余弦定理可得：()()()222222111111111225510cos 252225AC A F C FFAC AC A F +-+-∠===⋅⋅⨯⨯， 故异面直线1A F 与AC 所成角的余弦值为105.20．已知圆C 的圆心为()11，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上． (1)求圆C 的方程；(2)直线l ：1y x =+与圆C 相交于M ，N 两点，P （异于点M ，N ）为圆C 上一点，求△PMN 面积的最大值．【答案】(1)()()22112x y -+-=； 33. 【分析】（1）设直径两端点分别为()0A a ，，()0B b ，，由中点公式求参数a 、b ，进而求半径，即可得圆C 的方程；（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求MN ，再由圆心到直线l 的距离求P 到直线l 的距离的最大值，即可得△PMN 面积的最大值． (1)设直径两端点分别为()0A a ，，()0B b ，，则012a +=，012b +=， 所以2a =，2b =，则圆C 的半径()()221200222r =-+-=，所以C 的方程为()()22112x y -+-=． (2)圆心C 到直线l 的距离111222d -+==，则()2222262MN ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 点P 到直线l 的距离的最大值为232222d r +=+=， 所以，△PMN 面积的最大值为132336=222⨯⨯． 21．如图①，在梯形P ABC 中，AB PC ∥，ABC 与PAC △均为等腰直角三角形，90PAC ABC ∠=∠=︒，4PC =，D ，E 分别为P A ，PC 的中点.将PDE △沿DE 折起，使点P 到点P '的位置（如图②），G 为线段P B '的中点.在图②中解决以下两个问题.(1)求证：平面//GAC 平面P DE '；(2)若二面角B DE P '--为120°时，求CG 与平面P AC '所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)220【分析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行（2）以D 为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值 (1)如上图所示，在PAC △中，因为D ，E 分别为P A ，PC 的中点，所以DE //AC ，因为DE ⊄ 平面GAC ，AC ⊂平面GAC ，所以DE //平面GAC ，连接BE ，交AC 于点M ，连接GM ，因为ABC 与PAC △均为等腰直角三角形，4PC =，所以22AC =2AB BC EC ===，所以//AB EC ，且AB EC =，则四边形ABCE 是平行四边形，所以M 是AC 中点，且G 为线段P B '的中点，所以GAC △中，GM //P E '，因为P E '⊄ 平面GAC ，GM ⊂平面GAC ，所以P E '//平面GAC ，又因为,DE P E '⊂平面P DE '，DE P E E '=，所以平面//GAC 平面P DE '因为,D ED DA ED P ⊥⊥'，,DA P D '⊂平面P DA '，DA P D D '=，所以ED ⊥平面P DA '，所以可以以D 为坐标原点，建立如上图所示的直角坐标系，此时)2,0,0A，()22,2,0B ，)2,22,0C，26P ⎛' ⎝⎭，因为G 为线段P B '的中点，所以3226G ⎝⎭，所以2326CG ⎛=- ⎝⎭，()0,22,0AC =，326AP ⎛'= ⎝⎭，设平面P AC '的法向量为(),,m x y z =，则有00m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩'= ，即2326002z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，得其中一个法向量()3,0,3m =，636244cos ,20523CG m -==⨯ ，所以CG 与平面P AC '222．在平面直角坐标系内，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(22-，，离心率为2e = (1)求E 的方程；(2)设直线1y kx =-（k ∈R ）与椭圆E 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使得对任意实数k ，直线AM ，BM 的斜率乘积为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)22184x y += (2)存在，()0,2M 或者()0,2M -【分析】（1）由离心率和椭圆经过的点列出方程组，求出22,a b ，得到椭圆方程；（2）假设存在()0,M m ，设出直线，联立椭圆，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，结合斜率乘积为定值得到关于m 的方程，求出答案.由题可得，22421a b +=， ①由e =c a ==222a b =， ② 将②代入①，解得28a =，24b =， 故E 的方程为22184x y +=． (2)设存在点()0M m ，满足条件． 记()11A x y ，，()22B x y ，．由22128y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y ，得()2212460k x kx +--=．显然，判别式∆＞0， 所以122412k x x k +=+，122612x x k -=+， 于是1212AM BM y m y m k k x x --⋅=⋅＝()][()121211kx m kx m x x ⎡⎤-+⋅-+⎣⎦ ＝()()()2212121211k x x k m x x m x x -++++＝()()()22211211336m m m k ⎡⎤++++-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．上式为定值，当且仅当()()21211033m m +++-=，解得2m =或2m =-． 此时，()21362AM BMm k k +⋅=-=-或16-．所以，存在定点()0,2M 或者()0,2M -满足条件．。