2021-2022学年四川省眉山市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年四川省眉山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题 1．抛物线212x y =的焦点到准线的距离是（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D【解析】根据抛物线的方程，可直接得出焦准距.【详解】抛物线212x y =的焦点到准线的距离是14p =.故选：D.2．某空间几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A ．2 B ．23C ．1D ．13【答案】C【分析】由三视图还原几何体为底面是底边长度为1、底边上的高为1的等腰三角形，侧棱长度为2的直三棱柱，根据柱体的体积公式即可求解.【详解】解：根据空间几何体的三视图，可得该空间几何体是一个直三棱柱（如图），其底面是底边长度为1、底边上的高为1的等腰三角形，侧棱长度为2，所以其体积为111212V Sh ==⨯⨯⨯=， 故选：C.3．圆224x y +=与圆22(3)(4)49x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】A【详解】两圆圆心为()()0,0,3,4，圆心距为5；两圆半径分别为2,7，由于725-=，故两圆内切.故选A.4．l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，βγ⊥，l αγ=，则l β⊥B ．若m n ⊥，n l ⊥，则m l ∥C ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥ 【答案】A【分析】可利用长方体线线，线面，面面之间的关系.【详解】如下图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，令α 为平面1AD ，β 为平面1AB ，γ 为平面11A C ，易知A 正确； 令m 为AD ，n 为DC ，l 为1CC ，易知B 错误；令α为平面1AD ，β为平面1BC ，m 为AD ，n 为1CC ，易知C 错误； 令α为平面1AD ，β为平面AC ，l 为1BC ，易知D 错误. 故选：A5．若m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，且n α⊥，则“m n ⊥”是“m α”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据线面垂直性质和线面平行的性质定理，可判定当//m α时，m n ⊥，但当m n ⊥时，并不能推出//m α，再结合充分条件和必要条件即可判断【详解】已知n α⊥，且m ，n 是两条不重合的直线由于//m α，不妨设过直线m 的一个平面β与平面α交于直线l ，根据线面平行的性质定理，可知：//m l 又n α⊥，则有：l n ⊥根据平行传递性，可知：m n ⊥；若m n ⊥，则//m α或m α⊂．故“m n ⊥”是“//m α”的必要不充分条件 故选：C6．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为A ．±1B ．C ．D ．±【答案】B【详解】圆的圆心为()1,3-，半径2r =，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为11=，解得a =7．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为AB C D【答案】C【分析】可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐近线的方程为by x a=±,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐进线的方程为by x a=±，可得=b=2a ，可得，可得离心率e=ca故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.8．下列命题中，正确命题的个数是（） ①若p xa yb =+，则p 与a ，b 共面②若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y 使得p xa yb =+ ③若MP xMA yMB =+，则P ，M ，A ，B 共面④若P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y 使得MP xMA yMB =+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据平面向量基本定理逐一分析①、②、③、④即可得答案.【详解】解：对于②，若a ，b 共线，p 与a ，b 不共线，则不存在实数x ，y 使得p xa yb =+，故②错误；对于④，若M ，A ，B 共线，P 在直线AB 外，则不存在实数x ，y 使得MP xMA yMB =+，故④错误；由平面向量基本定理知①③正确．故选：B.9．已知定点()13,0F -，()23,0F ，M 是22:1O x y +=上的动点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的中垂线与直线2F N 交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．椭圆C ．圆D ．直线【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P 到1F ，2F 的距离只差可知. 【详解】由题意及图可知，1222PF PF PN PF NF -=-=，因为O 、M 分别为121,F F F N 的中点，所以222NF OM ==，所以12122PF PF F F -=< 故点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，2为实轴长的双曲线. 故选：A10．直线l 过椭圆221259x y +=的中心，交椭圆于A ，B 两点，F 是椭圆的一个焦点，则ABF周长的最小值为（） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】利用椭圆的对称性，再利用椭圆的定义，将ABF 的周长化简为10AB +，再根据椭圆的性质，可得min 26AB b ==，即ABF 周长的最小值为16【详解】如图，E ，F 是椭圆的两个焦点，则四边形AEBF 是平行四边形，结合椭圆的对称性ABF 周长为：210AB AF BF AB AF AE AB a AB ++=++=+=+又有：min 26AB b ==则有：ABF 周长的最小值为16 故选：B11．已知直线1:4330l x y -+=，2:1l x =-，P 是抛物线24y x =上的动点，则P 到1l 、2l 的距离之和的最小值为（）A ．15B ．45C ．75D ．73【答案】C【分析】过点P 作直线1l 、2l 的垂线，垂足分别为A 、B ，由抛物线的定义可得出PB PF =，由当P 在线段AF 上时，PA PB +取最小值，结合点到直线的距离公式可求得结果.【详解】易知2l 是抛物线24y x =的准线，抛物线焦点为()1,0F ．如图，过点P 作直线1l 、2l 的垂线，垂足分别为A 、B ，由抛物线的定义可得PB PF =，则PA PB PA PF AF +=+≥，当且仅当P 在线段AF 上时等号成立，故当1AF l ⊥时，PA PB +取得最小值，为F 到1l 75=.故选：C.12．若一个三棱锥的底面是斜边长为三条侧棱长均为则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．4πB ．C ．8πD ．16π【答案】D【分析】根据侧棱相等的三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的外心，而球心在过底面三角形外心且与底面垂直的直线上，构造三角形借助勾股定理可解. 【详解】三条侧棱棱长相等， ∴P 在底面的射影D 是ABC 的外心， 又∵ABC 是斜边为BC 的等腰直角三角形， ∴D 是BC 中点，易知直线PD 上的点到A 、B 、C 的距离相等，故三棱锥外接球的球心O 在直线PD 上， 记球的半径为R ，则直角三角形BOD 中有222()R PD R BD =-+ 3PD PB ==，2R ∴=，故外接球表面积为16π.故选：D 二、填空题13．命题“x N ∀∈，1x >-”的否定为______． 【答案】0x N ∃∈，01x ≤-【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“x N ∀∈，1x >-”的否定为“0x N ∃∈，01x ≤-”. 故答案为：0x N ∃∈，01x ≤-.14．双曲线221mx y +=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =______． 【答案】4-【分析】直接利用双曲线的方程求出实轴长和虚轴长，列出方程即可求解.【详解】由已知条件得双曲线221mx y +=的标准方程为2211x y m-=-， 则21a =，21b m =-，实轴长为2，虚轴长为由题意得2=4m =-. 故答案为：4-.15．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长棱的长度为______．【答案】【分析】画出原几何体，理清位置及数量关系，即得． 【详解】该几何体的直观图如图所示，由三视图可知原几何体为四棱锥，其中底面为直角梯形ABCD ，其中AB =1，AD =2，CD =2，BCP A ⊥平面ABCD ，且P A =2，PD=PBCD ⊥平面P AB ，PC=故该多面体的各条棱中，最长棱的长度为故答案为：16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1BC 上的动点，下列四个结论： ①1//A E 面1ACD ； ②1B D ⊥面1ACD ；③直线AD 与平面1ACD； ④三棱锥1A D EC -的体积不变． 其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④【分析】对于①利用线面平行的判定定理证明即可，对于②利用线面垂直的判定定理证明即可，对于③先找到D 在平面1ACD 的投影为O ,即AD 在平面1ACD 的投影为AO ,故可以知道ADO ∠为直线AD 与平面1ACD 所成角，故sin ADO ∠即可求解，对于④关键要证明1BC ∥平面1ACD ，即可得知三棱锥1A D EC -的体积不变.【详解】①由题意可知11A C ∥AC ,111AC ACD ⊄,AC ⊂平面1ACD ,则11A C ∥平面1ACD , 同理可证1BC ∥平面1ACD , 又∵1BC 、11A C ⊂平面11A C B ,1111A C BC C ,∴平面11A BC ∥平面1ACD ，又∵1A E ⊂平面11A BC ，∴1A E ∥面1ACD ,故①正确； ②∵AC BD ⊥,1AC B B ⊥，∴AC ⊥平面11D DBB ，且1B D ⊂面11D DBB ， ∴1AC B D ⊥, 同理可证1AD ⊥平面11A DCB , ∴11AD B D ⊥, 由此可知1B D ⊥面1ACD ，故②正确；③设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，记D 在平面1ACD 的投影为O ,则DAO ∠为直线AD 与平面1ACD 所成角，由11D ACD D ACD V V --=得，111133ACD ACD SDD SDO ⋅=⋅,则DO =, 即sin DO DAO AD ∠==故③不正确； ④∵1BC ∥1AD , 1AD ⊂平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ， 即E 到平面1ACD 的距离不变，∵11A D EC E AD C V V --=，1ACD △的面积不变， ∴三棱锥1A D EC -的体积不变，故④正确. 故答案为：①②④. 17．已知命题:p 方程221231xy aa +=-表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：方程2211028x y ax y ++-+=表示圆．若“p 或q ⌝”为假，求实数a 的取值范围． 【答案】[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】若“p 或q ⌝”为假，等价于命题p 为假，且命题q 为真，再椭圆和圆的方程要求列不等式，解出不等式即可【详解】解：当命题p 为真命题时20310231a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：113a <<当命题q 为真命题时214a >，即12a >或12a <-． 若“p 或q ⌝”为假，则命题p 为假，且命题q 为真若命题 “p ”为假命题，则有：1a ≥或13a ≤综上可得：12a <-或1a ≥实数a 的取值范围：[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭三、解答题18．已知O ，F 分别是抛物线2112y x =的顶点和焦点，动点M 与点O 的距离是它与点F 的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹；(2)若过点()2,2的直线l 与动点M 的轨迹有且只有一个交点，求直线l 的方程． 【答案】(1)点M 的轨迹是以()0,1N -为圆心，半径为2的圆； (2)512140x y -+=或20x -=.【分析】(1)求出点O 、F 坐标，根据给定条件直接列式化简作答. (2)按斜率存在与否结合圆心到直线距离等于半径求解作答. (1)设(),M x y ，依题意()0,0O ，()0,3F ，由12MO MF = 化简得22230x y y ++-=，即()2214x y ++=，所以，点M 的轨迹是以()0,1N -为圆心，半径为2的圆. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，即220kx y k -+-=， 因直线l 与动点M 的轨迹有且只有一个交点，由(1)知，即直线l 与圆N 相切，由圆心()0,1N -到直线l 的距离等于半径22=，解得512k =， 直线l 的方程为512140x y -+=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =，显然与圆N 相切，所以直线l 的方程为512140x y -+=或20x -=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，CD 的中点． (1)求证：//EF 平面11A CD ；(2)求异面直线1ED 与1A C 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；. 【分析】(1)取1CD 中点G ，连接FG ，1GA ，证四边形1FGA E 是平行四边形，结合线面平行的判定即可推理作答.(2)连AC ，取AC 中点T ，连接ET ，1D T ，利用几何法计算作答. (1)在正方体1111ABCD A B C D -中，取1CD 中点G ，连接FG ，1GA ，如图， 而F 是CD 的中点，则1//FG DD ，112FG DD =，又E 是1AA 的中点，则11//A E DD ，1112A E DD =， 因此，1//A E FG ，1A E FG =，四边形1FGA E 是平行四边形，有1//EF GA ，而EF ⊄平面11A CD ，1GA ⊂平面11A CD ，//EF 平面11A CD .(2)连AC ，取AC 中点T ，连接ET ，1D T ，DT ，E ，T 分别为1AA ，AC 中点，则1//ET AC ， 即有1D ET ∠为异面直线1ED 与1A C 所成角或其补角， 令正方体棱长为2，则1D E112ET AC ==DT =1DT ， 在1D ET △中，由余弦定理得2221111cos 2D E ET DT D ET D E ET +-∠=⋅，所以异面直线1ED 与1A C20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左右焦点分别是1F ，2F ，以1F 为圆心、3为半径的圆与以2F 为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2H 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点D 为椭圆上一点，且四边形OADB 为平行四边形，求AOB 的面积． 【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）根据椭圆定义可得a ，结合离心率可解；（2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理结合已知可求斜率，进而可求12x x -，再由AOB AOH OH S S S =-△△△B 可得. (1)设圆1F 与圆2F 的一个交点为P ，则124PF PF += 由点P 在椭圆C 上知24a =，即2a =又c a =c =21b = 故椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)已知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()224116120k x kx +++= 264480k =->△即234k >∴1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，()121224441y y k x x k +=++=+∵四边形OADB 为平行四边形 ∴OD OA OB =+ ∴()1212,D x x y y ++ ∵点D 在椭圆C 上 ∴()()22121244x x y y +++=，即2222164444141k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即421656150k k --=，即()()22415410k k -+=，即2154k =∴12x x -===∴12122AOB AOH OH S S S x x =-=⨯⨯-=△△△B 21．如图，已知AB ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ，E ，F 分别是AD ，AC 的中点． (1)求证：BC CD ⊥；(2)若24BD AB ==，直线BD 与平面ABC 所成角为30°，求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)14- 【分析】（1）将线线垂直问题转化为线面垂直问题，结合已知逐步转化可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求，注意观察，借助EF ⊥平面ABC 不难发现二面角为钝角.(1)过B 作BH AC ⊥于H∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC平面ACD AC = ∴BH ⊥平面ACD∵CD ⊂平面ACD∴BH CD ⊥∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD∴AB CD ⊥又∵AB BH B ⋂=∴CD ⊥平面ABC∵BC ⊂平面ABC∴BC CD ⊥(2)以C 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系C xyz -由（1）知BD 在平面ABC 内的射影为BC ，即CBD ∠为直线BD 与平面ABC 所成角 ∴2CD =，BC =()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,B，()A，()E，()F()2,=-BD，()1,BE =，()0,BF =， 设面BAD 的法向量()111,,m x y z =由00BE m BD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得11111020x z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则1x =10z =，即()3,1,0m = 设面BEF 的法向量()222,,n x y z =由00BE n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令21y =，则20x =，2z (0,1,3n =设二面角F BE D --的平面角为θ，由图知θ为钝角， 所以1cos 4m nm n θ⋅=-=-⋅ 即二面角F BE D --的余弦值为14- 22．设抛物线()220y px p =>位于第一象限的点M 与焦点F 的距离为52，点M 到x 轴的距离为2p ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且MA MB ⊥．(1)求抛物线的方程和点M 的坐标；(2)探究直线l 是否恒过定点，并说明理由．【答案】(1)抛物线的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2(2)直线l 恒过定点()4,2-，理由见解析【分析】（1）结合定义和已知，用p 表示点M 坐标，代入方程可得；（2）设直线方程为x ty m =+，利用韦达定理将条件坐标化后，找到t 和m 的关系代回直线方程可得.(1)设()00,M x y ，则0522p MF x =+=，即0522p x =-，02y p =， 由2002y px =得254222p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得1p = 故抛物线的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2．(2)直线l 的斜率显然不为0，设其方程为x ty m =+，设()11,A x y ，()11,B x y 由22x ty m y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2220y ty m --=， 则122y y m =-，122y y t +=而MA MB ⊥，则0MA MB ⋅=，即()()()()121222220x x y y --+--=，即()()2212122222022y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得：()()()()12122222104y y y y ++⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 而12y ≠且22y ≠，则()()12224y y ++=-，即()1212280y y y y +++=，所以有：2480m t -++=，即24m t =+所以直线l 方程为24x ty t =++，即()24x t y =++故直线l 恒过定点()4,2-.。