小学六年级奥数-第十九章-圆锥和圆柱

。 -可编辑修改- 第十九章 圆锥和圆柱 知识要点 圆柱、圆锥的意义，表面积、体积的计算方法及计算公式是相互关联的，理解掌握计算公式是非常重要的。 名称 意义 表面积计算公式 体积计算公式

圆柱体 一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成的几何体 表面积＝侧面积 ＋底面积×2 S＝Ch＋2r 体积＝底面积 ×高 V＝Sh

圆锥 一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体 表面积＝侧面积 ＋底面积 S＝rl＋r2 体积＝13×底面 积×高 V＝13r2h (其中r表示底面圆的半径，h表示高，C表示底面周长，V表示体积，S表示面积，l表示母线长) 计算圆柱和圆锥的表面积和体积时，要注意分析题中的已知条件，善于发现所求问题和已知条件的关系，通过转换或变换找出内在的联系。 例1 一个圆柱体，高4厘米，把它的底面分成许多个相等的扇形，然后切开，拼成一个与圆柱体等底、等高的近似长方体，这时长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米。求圆柱体的体积是多少立方厘米。 点拨 长方体的六个面，其中有四个面是由圆柱转换来的，有两个面即被切开后没有盖住的两个长方形，长都是圆柱的高，宽都是底面的半径。

解 圆柱的底面半径： 48÷2÷4＝6(厘米) 圆柱的底面积： 62×3.14＝37.68(平方厘米) 圆柱的体积： 37.68×4＝150.72(立方厘米) 答：圆柱的体积是150.72立方厘米。 例2 一个圆柱形钢材被切割成如下形状，求圆柱形钢材剩下的侧面积是多少？ 点拨 我们可以发挥一下想象：剩下的侧面展开后会是一个什么形状？(可做实验)我们会发现是两个一样的梯形，所以我们求两个梯形的面积问题可解。 。 -可编辑修改- 解 (4＋5)×(3.14×2×12)×12×2 ＝9×3.14 ＝28.26(平方分米)

其中3.14×2×12是底面周长的一半，即梯形的高。 答：剩下的侧面积是28.26平方分米。 例3 一个草垛，上面是一个圆锥，底面周长是6.24米，圆锥的高是0.6米；下面是一个圆台，下底面周长为4.71米，圆台的高是1.5米。如果每立方米的草重160千克，这个草垛草的总重量有多少千克？(结果保留整千克)

点拨 已知两底面的周长，可以求出半径，并应用公式求出体积。圆台的体积应是大圆锥的体积减去小圆锥的体积，题中没有直接给出下面小圆锥的高，这就要利用设未知数的方法来求。 解 设下面小圆锥的高O2C为x米。 半径O2B＝4.71÷3.14÷2＝0.75(米) 半径O1A＝6.24÷3.14÷2＝1(米) 根据三角形O2BC的面积十梯形O1O2BA的面积＝三角形O1AC的面积，即 0.75x÷2＋(1＋0.75)×1.5÷2＝1×(x＋1.5)÷2 0.75x＋2.625＝x＋1.5 0.25x＝1.125 x＝4.5 圆台的体积：

12××(1.5＋4.5)×13－0.752××4.5×13 。 -可编辑修改- ＝2－2732

＝3732 圆锥的体积：12××0.6×13＝15 草垛草的总重量： 160×(3732＋12) ＝217 ＝681.31(千克) ≈681千克 答：草垛的草约重681千克。 例4 有一个长20厘米的圆柱体，圆柱的底面半径是3厘米。在圆柱的一个底面上挖一个4厘米深的最大圆锥，求所剩下立体图形的表面积和体积。

点拨 圆锥表面积的计算要首先求出母线AB的长，底面圆的半径OB＝3是已知的，可以求出圆锥的侧面积。圆锥的展开图是一个以母线长为半径的扇形。圆锥底面的周长是扇形圆心角所对的弧长，弧长占扇形所在圆周长的几分之几，扇形面积就占所在圆面积的几分之几。

解 由勾股定理得：AB＝2234＝916＝5(厘米) 圆锥的侧面积：rl＝×3×5＝15 圆柱的侧面积：3×2×20＝120 圆柱的底面积：32×＝9 所求图形的表面积：15＋120＋9 ＝144 ＝452.16(平方厘米) 圆柱的体积：32××20＝180

圆锥的体积：32××4×13＝12 所求图形的体积：180－12 ＝168 ＝527.52(立方厘米) 答：所求图形的表面积是452.16平方厘米，体积是527.52立方厘米。 。 -可编辑修改- 解题技巧 求圆柱、圆锥的表面积和体积主要是应用公式解决问题。有些题中的条件比较隐蔽，要通过转换或计算求出所要用的条件，这就要求我们必须善于剖析和发现所求图形与基本图形的组合关系或隐含的联系，根据所学过的知识来解决圆柱、圆锥的应用题。

竞赛能级训练 A 级

1.如下左图，这是一个底面被锯走14的圆柱形树干，此时，这个树干的表面积是多少？

2.一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍后，可装水40升。问原来的水桶可装水多少升？ 3.如下左图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

4.求上右图零件的体积(单位：厘米)。 5.有一根圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件底面的一端有一个圆柱形圆孔，圆孔直径4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米？(

取3.14) 6.皮球掉进一个盛水的圆柱形水桶中，皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米，皮

球有45的体积浸在水中。问皮球掉进水中后，桶中的水面升高了多少厘米？(注：半径为r

的球体的体积是43r3) 7.如图，将一个底面半径是4厘米、高3厘米的圆柱体挖去一个最大的圆锥。求剩下部分的体积和表面积。(＝3.14) 。

-可编辑修改- 8.下左图是一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱，在它的中央依次向上挖底面半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱。则最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？(＝3.14)

9.上右图是一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？(＝3.14)

B 级 1.有一种酒瓶(如下左图)，容积为286立方厘米。当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是18厘米；当瓶口向下时，余下部分的高是4厘米。求瓶内酒有多少立方厘米。

2.如上右图，以三角形ABC的AB边为轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积。 3.在一个立方体的前、后、左、右侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个柱形的洞，如右图。已知立方体的边长为10厘米，前、后、左、右侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下面的洞口是直径为4厘米的圆。求所剩物体的表面积。

4.把一个棱长是2分米的正方体木块削成一个体积最大的圆柱体，应削去多少立方分米的体积？

5.一个圆锥形容器如下左图，装有3升水，水面高度正好是容器的12，容器的容积是多少？

6.上中图是一个倒圆锥容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米。容器里放着一个铁块，铁块的体积是絮曼丌立方厘米，将容器倒满水后，再把铁块取出来(见上右图)。此时容器中的水面高度是多少厘米？ 。 -可编辑修改- 7.将一个半径为30厘米的圆形铁片剪掉13扇形，剩下的23扇形做成一个圆锥。求圆锥底面半径是多少厘米。 8.有一根长20厘米、直径6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个深为4厘米、底面直径也是6厘米的圆锥形孔。这个零件的表面积、体积各是多少？

能力测试 一、填空题(每题7分，共35分) 1.一个圆柱形容器高15厘米，底面面积是18.84平方厘米，容器里原有10厘米深的水，插入一根半径2厘米、长20厘米的圆柱形铁棒，当水要溢出时，铁棒浸湿的部分长( )厘米。 2.一根铁管长2米，外直径3厘米，壁厚0.5厘米。如果每立方厘米的铁重7.8克，这根铁管重( )千克。 3.做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是5分米，高与直径相等。做这个水桶要用铁皮( )平方分米。 4.一个圆锥形小麦堆，底面周长是15.7米，高1.2米。如果每立方米小麦重740千克，这堆小麦的整千克数是( )千克。 5.压路机的滚筒是圆柱形，长是1.5米，滚筒的半径是0.54米。如果每分钟转动16周，每分钟可压路面的整数平方米是( ) 平方米。 二、选择题(每题7分，共35分) 1.右图是一个圆锥形容器，装入1升的水，水面高度正好是容器高度的告。这个圆锥形容器的容积是( )升。 A.3 B.9 C.27 D.36

2.甲、乙两个圆柱体，等底等高。如果把甲圆柱的半径扩大2倍，高不变，把乙圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，这时的体积( )。 A.甲大 B.乙大 C.相等 D.不能确定

3.一个圆柱体的体积比一个圆锥多13，而圆锥的底面积是圆柱的212倍，圆柱的高比圆。 -可编辑修改- 锥多( )。

A.18 B.19 C.110 D.111 4.如图，甲、乙两个圆锥形状相同，容积相等，方向相反。甲容器中水的高度是圆锥高的13，乙圆锥中水的高度是圆锥高度的23。甲中水的体积是乙中的( )倍。

A.3 B.234 C.238 D.2 5.两个圆柱形容器，甲容器的底面半径为5厘米，乙容器的底面半径为3厘米，甲容器中水深18厘米，乙容器中水深10厘米。再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 A.20 B.25 C.30 D.22.5

甲 乙 三、解答题(每题10分，共30分) 1.在一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米长，那么这时桶里的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少？ 2.求下图钢材的体积(单位：厘米)。

3.一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？