全等三角形经典题型50题带答案
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全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD
延长AD 到E,使DE=AD,
则三角形ADC 全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 从D 做辅助线 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 证明:连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。 所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥ AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE 12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB , 所以:∠C=∠F 14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C 证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当AD 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点)。 则:△AED 是等腰三角形。所以:AE=DE 而AB=CD 所以:BE=CE (等量加等量,或等量减等量)所以:△BEC 是等腰三 角形所以:角B=角C. 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB 作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的平分线,B'在线段AC 上(在AC 中间,因为AB 较短)因为PC 16. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE ∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F 因为,∠1 =∠2,BE ⊥AE 所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B E 17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 作AG ∥BD 交DE 延长线于G AGE 全等BDE AG=BD=5AGF ∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 D C B A F E A B C D P D A C B F A E D C B 18.(5分)如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC . 延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC; 三角形ABD 全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC 19.(5分)如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N . 求证:∠OAB =∠OBA 因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ,且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线 交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 证明:做BE 的延长线,与AP 相交于F 点,∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°, 又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF ,∠DEF=∠CEB ,∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B 证明:在AB 上找点E ,使AE=AC ∵AE=AC ,∠EAD=∠CAD , AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD , ∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠ED B=2∠B P E D C B A D C B A