初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题
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分式知识点
一、分式的定义
如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子
叫做分式,A 为分子,B 为分母。B A 二、与分式有关的条件
①分式有意义:分母不为0()
0B ≠②分式无意义:分母为0()
0B =③分式值为0:分子为0且分母不为0()
⎩⎨⎧≠=0
0B A ④分式值为正或大于0:分子分母同号(或)⎩⎨⎧>>00B A ⎩
⎨⎧<<00B A ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(或)
⎩⎨⎧<>00B A ⎩⎨⎧><0
0B A ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B )
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。字母表示:,,其中A 、B 、C 是整式,C 0。C B C ∙∙=A B A C
B C ÷÷=A B A ≠四、分式的约分
定义:把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子
分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。五、分式的通分定义:把几个异分母的分式化成同分母分式,叫做分式的通分。步骤:分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。六、分式的四则运算与乘方①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:
d
b c a d c b a ∙∙=∙分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
c
c ∙∙=∙=÷b
d a d b a d c b a ②分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
n n n
b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛③分式的加减法则:同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为c
b a
c b ±=±c a 异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
bd
bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,
再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,
提高解题质量。
注意:加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
七、整数指数幂
(1)同底数的幂的乘法:;
m n m n a a a +∙=(2)幂的乘方:;
()m n mn a a =(3)积的乘方:;
()n n n ab a b =(4)同底数的幂的除法:( a≠0);
m n m n a a a -÷=(5)分式(商)的乘方:;(b≠0)()n
n n a a b b
=(6) ;)n a
1=-n a 0≠a (7) ;() (任何不等于零的数的零次幂都等于1)
10=a 0≠a 八、科学记数法
把一个数表示成的形式(其中,n 是整数)的记数方法叫做科学记数法。
n a 10⨯101<≤a 用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时,其中10的指数是。
1-n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
九、分式方程
含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此
分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 :(分式方程必须检验)
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
分式练习
一、选择题
1. 若关于x 的方程+=2的解为正数,则m 的取值范围是( ) A . m <6B . m >6
C . m <6且m≠0
D . m >6且m≠8 2. 若> > ,则的值为( )
A.正数
B.负数
C.零
D.无法确定
3.方程的根是( )x
x x -=++-1315112A.=1 B.=-1 C.= D.=2x x x 83x 4.那么的值是( ),04412=+-x x x 2A.2 B.1 C.-2 D.-1
5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是(
)A. 去分母得,;11
211-++=-x x x 1)2)(1(1-+-=+x x x B.,去分母得,;125552=-+-x
x x 525-=+x x C.,去分母得,;2
42222-=-+-+-x x x x x x )2(2)2(2+=+--x x x x D. 去分母得,2;,1
132-=+x x 3)1(+=-x x 6. 赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半书时,发现平均每天要多读21
页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下面所列方程中,正确的是( )
A.
=14 B. =1421140140-+x x 21
280280++x x C.=14 D. =121140140++x x 21
1010++x x 7.若关于的方程,有增根,则的值是( )x 0111=----x x x m m A.3
B.2
C.1
D.-18.若方程那么A 、B 的值为( ),)
4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A A.2,1
B.1,2
C.1,1
D.-1,-1 9.如果那么( ),0,1≠≠=b b a x =+-b
a b a A.1- B. C. D.x 111+-x x x
x 1-11+-x x