复数知识点总结(办公室)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
复数
一、复数的概念
1. 虚数单位
(1) 它的平方等于1-,即 2i 1=-。
(2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律.
(3) 的乘方:4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈,它们不超出i b 的形式.
2. 复数的定义
形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数,,a b 分别叫做复数的实部与虚部
3. 复数相等i i a b c d +=+,即,a c b d ==,那么这两个复数相等
4. 共轭复数i z a b =+时,i z a b =-. 性质:z z =。2121z z z z ±=±。1121z z z z ⋅=⋅。 );0()(22121
≠=z z z z z
二、复平面及复数的坐标表示
1. 复平面
在直角坐标系里,点的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示,这个建立了
直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴为实轴,轴出去原点的部分称为虚轴.
2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b
3. 复数的向量表示 向量OZ .
4. 复数的模
在复平面内,复数i z a b =+对应点(,)Z a b ,点到原点的距离OZ 叫做复数的模,记作z .由定义
知,z =
三、复数的运算
1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++.
几何意义:设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =,则12z z +对应的向量
为12(,)OZ OZ a c b d +=++.因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释.
2. 减法(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.
几何意义:设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =,则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--.
12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离,也等于向量12Z Z 的
模.
3. 乘法()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.
4. 乘方 m n m n z z z +⋅=()m n mn z z =1212()n n
n
z z z z ⋅=⋅
5. 除法()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i
a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+===++-+.
6. 复数运算的常用结论
(1) 222(i)2i a b a b ab +=-+,22(i)(i)a b a b a b +-=+
(2) 2(1i)2i +=,2(1i)2i -=-
(3) 1i
i 1i +=-, 1i
i 1i -=-+
(4) 1212z z z z ±=±, 1212z z z z ⋅=⋅, 1122
z z z z ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,z z =.
(5) 2z z z ⋅=, z z =
(6) 121212z z z z z z -≤+≤+
(7) 1212z z z z ⋅=⋅,1212z z z z ⋅=⋅,n n
z z =
四、复数的平方根与立方根
1. 平方根若2(i)i a b c d +=+,则i a b +是i c d +的一个平方根,(i)a b -+也是i c d +的平方根. (的
平方根是i ±.)
2. 立方根如果复数1z 、2z 满足3
12z z =,则称1z 是2z 的立方根.
(1) 的立方根: 21,,ωω.
1
2ω=-+
,212ωω==-,31ω=. 210ωω++=. (2) 1-
的立方根:111,22z z -=
+=-. 五、复数方程
1. 常见图形的复数方程
(1) 圆:0z z r -=(0r >,0z 为常数),表示以0z 对应的点0Z 为圆心,r 为半径的圆
(2) 线段12Z Z 的中垂线:12z z z z -=-(其中12,z z 分别对应点12,Z Z )
(3) 椭圆: 122z z z z a -+-=(其中0a >且122z z a -<),表示以12,z z 对应的点、为焦点,长轴长为2a 的椭圆
(4) 双曲线: 122z z z z a ---=(其中0a >且122z z a ->),表示以12,z z 对应的点、为焦点,实轴长为2a 的双曲线
2. 实系数方程在复数范围内求根
(1)
求根公式:1,21,21,20 20 20 b x a b x a x ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩
一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 (2) 韦达定理:1212b x x a c
x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(3)