从梯子的倾斜程度谈起

从梯子的倾斜程度谈起

北师大出版社九年级数学下册第一章第一节

一、教学建议

本节课是由梯子的倾斜程度问题引入正切的概念，教科书呈现了梯子的几种情况，教学时可以呈现更多情形，供学生讨论，比如，可以增加“底边相同，高度不同”、“底边与高度成比例”的情形。采用倾斜角的正切来刻画倾斜程度，学生可能不太容易理解，教学时要注意引导。通过对教材上问题的讨论, 要引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

二、教学案例

1教学背景分析

锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。本节课是在学生学习了直角三角形角之间的关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题，总结规律。同时建立比较系统的研究问题的方法，学生认识和理解了正切的概念后可以为学习正弦、余弦作铺垫。

2整合思路

采用倾斜角的正切来刻画倾斜程度，学生不太容易理解，首先应展示学生比较熟悉的梯子的各种形状，

激发学生的学习兴趣。在学生讨论问题的过程中，利用多媒体演示梯子的形状变化，让学生理解可以用倾斜角的对边与邻边的比来刻画梯子的倾斜程度，从而正确掌握正切的含义。同时在幻灯片中展示不同类型

建立模型：题

引出正

切的概

念用电

脑出示

梯子的

几种情

况

出示：情

况

你能求出其它的边和角吗？

比如：要测一个古塔的高度，下面的方法行吗？（幻灯

片展示）

通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。探索新

知：

问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度

较大？

学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流, 最

后总结出不同的方法。

方法总结如下：（1）测量（2）BC与DF大小比较.（3）

AC 与ED

BC DF的大小比较.（4）过E点作EMI AB等.

问题2 :如图2,底与高都不等的两个梯子, 哪一

个倾斜程度大?

联系生活，激发学习兴趣

通过讨论引导几种方法，以便为

后面引入正切、正弦、余弦的概

念奠定基础.

㈠

二）

三）

出示〈想

一想〉内

容（幻灯

片出示）

问题3:你还会想到哪些类型？（幻灯片展示）问

题4：（幻灯片展示）小明，小亮的做法对吗?

B.

让学生充分理解当倾斜角确定

时，其对边与邻边的比随之确

定.这一比值只与倾斜角有关，

而与直角三角形的大小无关。

学生讨论：通过学生的讨论•总结刻画梯子倾斜程度的几种方

法。鼓励学生用自己思想解决问题

2.理解正切的概念

用直角三角形中的锐角的对边与邻边之比定义正切直角三角形中边与角的关系：锐角的三角函数--正切

函数

在直角三角形中，若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值，那么这个角的值也随之确定•

在Rt △ ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做/ A 的正切,记作tanA,即

丄a N A的对边

tan A -

N A的邻边

正切的概念

例1. （幻灯片出示）议一议

如图,梯子AB1的倾斜程度与

吗？

结论：与tanA有关:tanA

与/ A有关：/ A越大，梯子AB1越陡.通过引导：tamA 的值越大梯子就越陡直接应用上述结论

例题：下图表示两个自动扶梯，那一个自动扶梯比

tanA有关吗？与/ A有关

的值越大，梯子AB1越陡.

5m

解：甲梯

中

乙梯中，

5 tan

二

Jl32 -52

tan 一J3.

8 4

5

12

师：正切也经常用来描述山坡的坡度■/ tan 3 > tan a , •••乙梯更陡.

议一议

如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，

有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,

那么山坡的坡度i （即tan a ）就是：

60 3

i = tana = ------ =_.

100 5

结论：坡面与水平面的夹角（a ）称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i （或坡比）,即坡度等于坡角的正切.

一、随堂练习（一）

如图，△ ABC是等腰直角三角形，你能根据图中

如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的

c ） 点B.已知山顶B 到山脚下的垂直距离是 55m, 求山

d ） 坡的坡度（结果精确到0.001m ）.

随堂练习（二）

幻灯片展示。

四、课堂小结：1.tanA 是在直角三角形中定义的， / A 是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）

.

2. tanA 是一个完整的符号，表示/ A 的正切，习惯 省去号；

3. tanA 是一个比值（直角边之比.注意比

的顺序，且tanA > 0,无单位.

4. tanA 的大小只与/ A 的大小有关，而与直角三 角形的边长无关.

5. 角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等 则这两个锐角相等.

作业：P6 习题1.1

1,2,3 题

这节课 你有什

么收 学生互相交流 获？

B i

出示练 习：

a ） 所给数据求出tanC 吗?

b ）

注意坡度与坡角的区别和联

系

巩固正切的意义，掌握正切值 的计算。