习题课第1章 静电场的基本规律

第1章 静电场的基本规律（习题课）

一、 本章内容提要

要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理

定理（律）的成立条件和运用方法。

1. 两种电荷、电荷守恒和电荷量子化

2. 库仑定律 r

r q q F ˆ4122

10

⋅=πε 3. 电场强度 0

q F

E

=

4. 场强叠加原理 ∑=i E E

5. 点电荷电场 r r

q

E ˆ4120⋅=πε 6. 电荷连续分布的带电体 三种电荷分布 ⎪⎩

⎪

⎨⎧===dl dq dS dq dV

dq λσρ r r dq E d E 2041

⋅==⎰

⎰πε 计算电场分布的第一种方法（如何计算矢量积分？）

7. 电场线及其性质

发自正电荷（无穷远），终止于负电荷（无穷远），不在没有电荷处中断。 在静电场中，电场线不构成闭合曲线。两条电场线不相交。 8. 高斯定理 电场的通量

ε∑⎰⎰

=

⋅i

s

q

S d E

（积分形式）

ερ=

⋅∇E （微分形式）

电场的散度 E

⋅∇=E

d i v ， 有源场和无源场 高斯定理的意义——反映一般电场性质的规律。 哈密顿算符 z k y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆˆˆ，

θϕθθ

ϕ∂∂

+∂∂⋅+∂∂=∇r e r e r e

r 1ˆsin 1ˆˆ

计算电场分布的第二种方法（有条件的）

9. 静电场的环路定理 电场的环量

0l d =⋅⎰

E L

（积分形式）

0=⨯∇E

（微分形式）

电场的旋度 E

⨯∇=E

r o t ，有旋场和无旋场 反映静电场性质的规律。静电力是保守力，静电场是有势场。 10. 静电势能 l d 0

⋅==-⎰

Q

P

PQ Q P E q A W W

代表0q 与场源电荷之间的相互作用能 11. 电势差和电势

l d 0

⋅==

-=-=⎰

Q

P

PQ Q

P Q P PQ E q A q W W U U U

l d ⋅=

-=⎰

o P

o P p E U U U

电势U 和静电势能W 参考零点的选择：

（A ）场源电荷分布于有限空间内，无穷远；

（B ）地面、金属外壳。

12. 点电荷电场的电势 r q

U ⋅=0

41

πε ，（以无穷远处作为零点）

13. 电势叠加原理

i i

i r q U U ⋅==∑041πε r dq

dU U ⋅==⎰⎰0

41πε

计算电势分布的两种方法

13. 等势面 i C z y x U U ==),,( ，规定 .1cons

C C U i i =-=∆+ 等势面与电力线处处正交，场强指向电势下降的方向。

15.电势梯度 )(U k z U j y U i x U gradU

∂∂+∂∂+∂∂=∇=

)(k z U j y U i x U U E

∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=

E U

→计算电场分布的第三种方法（如电偶极子等）

16.泊松方程、拉普拉斯方程

ε

ρ

-=∆U

0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆z

U

y U x U U （自由空间）

拉普拉斯算符 2

2

22222∇=∇⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆z y x

二、 矢量场的数学（补充）

对我们深刻理解电磁学的概念、定理和定律有极大帮助。

1. 矢量代数和函数微分运算的几个常见公式

标量=⋅B A

矢量=⨯B A

0A A =⨯

0B A (A =⨯⋅）

C B A C B (A

⋅⨯=⨯⋅）（）

）（）（）B A C C A B C B (A

⋅-⋅=⨯⨯

0)z y,,x ( z z

f

y y f x x f z)y,f(x,→∆∆∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆

x y f

y x f 22∂∂∂=

∂∂∂

2. 标量场和矢量场对空间的微商

矢量微分算符k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇

梯度T ∇，——梯度的意义

散度f ⋅∇，

旋度f

⨯∇。

3. 矢量恒等式和数学定理1、2 ① 0T )(=∇⨯∇

定理1 如果0A =⨯∇

，就有一个ψ

，使得ψ

∇=A

。

（旋度为零的矢量场，可表述为某一标量场（标量势函数）的梯度）

② 0)f (=⨯∇⋅∇

定理2 如果0B =⋅∇ ，就有一个A

，使得A B ⨯∇=。

（散度为零的矢量场，可表述为某一矢量场（矢量势函数）的旋度）

4. 矢量场的积分和数学定理3 定理3 l d T )()1(T )2(T 2

1

⋅∇=

-⎰

，或 0)(=⋅∇⎰l d T ，

5. 通量、散度和Gauss`Law

定义 V s

d f lim f f div s

V ∆⋅=⋅∇=⎰⎰→∆

——散度的意义 高斯定理

6. 环流、旋度和Stokes`Law

定义 S l

d f lim )f ()f (rot

L

S n n ∆⋅=⨯∇=⎰→∆

——旋度的意义

斯托克斯定理