习题课第1章 静电场的基本规律
1
第1章 静电场的基本规律（习题课）
一、 本章内容提要
要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理
定理（律）的成立条件和运用方法。
1. 两种电荷、电荷守恒和电荷量子化
2. 库仑定律 rrqqFˆ412210
3. 电场强度 0qFE
4. 场强叠加原理 iEE
5. 点电荷电场 rrqEˆ4120
6. 电荷连续分布的带电体 三种电荷分布 dldqdSdqdVdq
rrdqEdE2041
计算电场分布的第一种方法（如何计算矢量积分？）
7. 电场线及其性质
发自正电荷（无穷远），终止于负电荷（无穷远），不在没有电荷处中断。
在静电场中，电场线不构成闭合曲线。两条电场线不相交。
8. 高斯定理 电场的通量
0
isqSdE
（积分形式）
2
0
E
（微分形式）
电场的散度 EEdiv ， 有源场和无源场
高斯定理的意义——反映一般电场性质的规律。
哈密顿算符
zkyjxi
ˆ
ˆˆ
，
rererer1ˆsin
1
ˆˆ
计算电场分布的第二种方法（有条件的）
9. 静电场的环路定理 电场的环量
0ldE
L
（积分形式）
0E
（微分形式）
电场的旋度 EErot ，有旋场和无旋场
反映静电场性质的规律。静电力是保守力，静电场是有势场。
10. 静电势能 ld0QPPQQPEqAWW
代表0q与场源电荷之间的相互作用能
11. 电势差和电势
ld00QPPQQPQPPQEqAqWWUUU
ldoPoPpEUUU
电势U和静电势能W参考零点的选择：
（A）场源电荷分布于有限空间内，无穷远；
3
（B）地面、金属外壳。
12. 点电荷电场的电势 rqU041 ，（以无穷远处作为零点）
13. 电势叠加原理 iiirqUU041
rdqdUU04
1
计算电势分布的两种方法
13. 等势面 iCzyxUU),,( ，规定 .1consCCUii
等势面与电力线处处正交，场强指向电势下降的方向。
15.电势梯度 )(UkzUjyUixUgradU
)(kzUjyUixUUE
EU
计算电场分布的第三种方法（如电偶极子等）
16.泊松方程、拉普拉斯方程
0
U
0222222zUyUxUU
（自由空间）
拉普拉斯算符 2222222zyx
4
二、 矢量场的数学（补充）
对我们深刻理解电磁学的概念、定理和定律有极大帮助。
1. 矢量代数和函数微分运算的几个常见公式
标量BA
矢量BA
0AA
0BA(A）
CBACB(A）（）
）（）（）BACCABCB(A
0)zy,,x( zzfyyfxxfz)y,f(x,
xyfyxf22
2. 标量场和矢量场对空间的微商
矢量微分算符kzjyix
梯度T，——梯度的意义
散度
f
，
旋度f。
3. 矢量恒等式和数学定理1、2
①
0T)(
定理1 如果0A，就有一个，使得
A
。
（旋度为零的矢量场，可表述为某一标量场（标量势函数）的梯度）
5
②
0)f(
定理2 如果0B，就有一个A，使得
AB
。
（散度为零的矢量场，可表述为某一矢量场（矢量势函数）的旋度）
4. 矢量场的积分和数学定理3
定理3 ldT)()1(T)2(T21，或 0)(ldT，
5. 通量、散度和Gauss`Law
定义 Vsdflimffdivs0V ——散度的意义
高斯定理 Vsdv )f(sdf
6. 环流、旋度和Stokes`Law
定义 Sldflim)f()f(rotL0Snn——旋度的意义
斯托克斯定理
sd)f(ldfSL
6
三、 基本结果
要求：熟练掌握计算方法，能够借用基本结果处理其他问题。（自己推导
一遍）
1. 计算电场分布的第一种方法（叠加原理）
（1） 一段均匀带电细棒
（2） 无限长均匀带电直线
（3） 均匀带电圆环轴线上
（4） 均匀带电圆盘轴线上
2.计算电场分布的第二种方法（高斯定理）
（1） 均匀带电的球面、球体、球壳
（2） 均匀带电的无限大平面、平板
（3） 均匀带电的无限长直线、圆柱、圆筒
3. 计算电场分布的第三种方法（EU）
4. 计算电势分布（两种方法）
（1） 点电荷电场
（2） 均匀带电的球面、球体、球壳
（3） 均匀带电圆环轴线上
（4） 均匀带电的无限长直线
（5） 电偶极子的电势和电场
5.计算电场力的功
7
四、典型问题
例1半个圆环（半径R）上均匀带电，左半边带负电-q，右半边带正电+q，
求：圆心o点的场强。
①建立坐标系。
②分割带电体，取电荷元，给出Ed。
③分解Ed。xdE
左右两边的电场，大小相等，方向对称。
合场强沿着X轴负方向，大小等于一边
Ex的2倍。
答案 202xRqE ④积分。
例2宽度为b的无限长均匀带电面，电荷面密度为，求：x轴和y轴上
P、Q两点的场强。
①建立坐标系。
②分割带电体，取电荷元，给出Ed。
尽量利用已知基本结果。
无限长均匀带电直线
rr2E0
③分解Ed。
④积分。
答案 b2Yb2Yln2E000Q，00p2XbarctgE
Y
O
Q（0，Y0,0）
P(X0,0,0)
X
Z
2题
b
X
O
Y
1题
-q +q
8
例3半导体P-N结，假设看成是一对无限大均匀带电平板，ppnnLL，
N区和P区包含的电荷电量相等，符号相反。求：P-N结内外的电场分布
和电势分布。
（1）求场强：利用无限大均匀带电平板的电场。
板内，板外00x,2dE
（A）高斯定理； （B）叠加原理。
（2）求电势：以X=0处为零点。
答案 N区，0)Lx(En0n
P区，0)xL(Ep0p
N区，0)2xxL(U2n0n
P区，0)2x-xL(U2p0p
O
X
N P
-L
n
L
p
3题
9
例4有一锥顶角为的圆台，上下底的半径为21,RR，若它的侧面均匀带
电，电荷面密度为，求：顶点o的电势。
①建立坐标系。
②分割带电体，取电荷元，给出dU。
尽量利用已知基本结果。
均匀带电圆环轴线上
r4
q
U0
③积分。
答案 )R-R(2U120
五、小测验
１. 在直角坐标系下计算验证：点电荷的电场除了在点电荷所在处，电场
的散度处处为零。
２. 实验测得：在近地面处有方向向上的静电场，大小为100V/m；在高
度为1.5km处，有方向向上的静电场，大小为25V/m。（1）估算大气
中电荷的体密度；（2）若地球上电荷全在地面上，估算地面上电荷的
面密度。
（真空介电常数或电容率 22120mN/C1085.8）
X
O
4题
电磁学第一章习题
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C
第一章 静电场的基本规律
q2
1m E2 x
q1 解: q1在P点所激发的场强为
2m
P E1
－9 9 1.0 10 E1 9.0 10 i 2.3i ( N / C ) 2 2 .0
y
q2
1m E
E2
P E1
q1
2m
Hale Waihona Puke xE 2 x E 2 cos E 2 y E 2 sin
F E 2、对 q0 的说明:
电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无 关，只与激发电场的电荷(场源电荷) 有关 对应场中确定的点就有确定的电场强度 一般情况下 E E( x, y, z, t ) 静电场 E E( x, y, z)
特殊情况
E E( x, y, z) C
A
20世纪：爱因斯坦，相对论加强了场概 念的重要性，质能关系揭示出实物与场 不能截然划分。场本身参与能量和动量 B 交换。光子理论认为电磁场由光子组成， 带电粒子通过交换光子相互作用。
二、场的物理学概念
• • 场是物质的一种特殊形态，如引力场、电磁场、核力场等。 场的物质性：它是一种客观实在，不依赖于人们的意识而 存在，为人们的意识所反映；而且与实物一样，具有质量、 能量、动量、角动量等。 场的特殊性：场是一种弥漫在空间的特殊物质，遵从叠加 性（一种场所占据的空间，能为其它场同时占有，互不发 生影响）。 实物之间的各种相互作用总是通过各种场来传递的。
dF （2）令： 0 dr
qq ' 1 3 2r 2 [ 2 2 3/ 2 ]0 2 2 5/ 2 20 (a r ) 2 (a r ) x q
q
o
a
第一章 静电场的基本规律
q 0 er
O 源点
r
q0
P 场点
E
F q E＝ e 2 r q0 40 r
当 q 0 时， E 与 r 同向 当 q 0 时， E 与 r 反向
q0
O 源点
r
E P 场点
q0
点电荷场强 公式重要！
20
正 点 电荷 产生 的 场是 以点 电 荷 为中 心成 辐 射状 向外 的场。
1
电磁学
1、电磁学的发展
◎ 1785年，库仑研究电荷之间的相互作用，提出库仑定律 ◎ 1819年，奥斯特发现了电流对磁针的作用 ◎ 1820年，安培发现了磁铁对电流的作用 ◎ 1831年，法拉第发现电磁感应定律，最先提出电场和磁场的观点 ◎ 1865年，麦克斯韦建立了系统的电磁场理论
2、电磁学的主要内容
1.袁淑娟，办公室G215，电话：66132416
shujuanyuan@ 2. 每周二收、发作业，作业要字迹工整，写清自己 的姓名学号，准备两本作业本。 3. 课件可在课间拷贝或到办公室G215拷贝， 但希望 协助保护老师的知识产权. 4. 作业情况、考勤、课堂练习等的记录均作为平时 成绩的依据. 5. 答疑时间地点：每周四下午，G215
x
0.52m
q1
Fx F13 cos 30 120 N F y F13 sin 30 70 N
q 2 作用于电荷 q3 上的力 F23 的大小
(6.5 10 5 ) (5.0 10 5 ) F23 8.99 109 N 325 N 2 (0.3)
3）任意带电体的场强
将带电体看成是许多电荷 元 dq 的集合，每一电荷元 dq 在 P 点产生的场强为
高中物理 第一章 静电场 习题课：电场力的性质试题 教科版选修3-1-教科版高二选修3-1物理试题
习题课：电场力的性质[学习目标]1.会分析两等量同种电荷和两等量异种电荷的电场分布.2.会由粒子的运动轨迹分析带电粒子的受力方向和所在处的电场方向.3.会解答库仑力作用下带电体的平衡问题和加速问题.一、电场力作用下的平衡1.共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零.2.处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法.3.选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用.例1 如图1所示，带电荷量分别为＋q 和＋4q 的两点电荷A 、B ，相距L ，问：图1(1)假设A 、B 固定，在何处放置点电荷C ，才能使C 处于平衡状态？(2)在(1)中的情形下，C 的电荷量和电性对C 的平衡有影响吗？(3)假设A 、B 不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？答案 见解析解析 (1)由平衡条件，对C 进展受力分析，C 应在AB 的连线上且在A 、B 之间，设与A 相距r ，如此k ·q ·q C r 2＝k ·4q ·q C (L －r )2 解得：r ＝L 3(2)电荷量的大小和电性对平衡无影响，距离A 为L 3处，A 、B 的合场强为0. (3)假设将C 放在A 、B 电荷两边，A 、B 对C 同为向右(或向左)的力，C 都不能平衡；假设将C 放在A 、B 之间，C 为正电荷，如此A 、B 都不能平衡，所以C 为负电荷.设放置的点电荷的电荷量为Q ，与A 相距r 1，分别对A 、B 受力分析，根据平衡条件对电荷A ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·q r 21对电荷B ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·4q (L －r 1)2 联立可得：r 1＝L 3，Q ＝49q (负电荷) 即应在AB 连线上且在A 的右边，距A 点电荷L 3处放置一个电荷量为49q 的负电荷.1.同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零，根据平衡方程可得，电荷间的关系为：“两同夹异〞、“两大夹小〞、“近小远大〞.2.对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必对第三个电荷列平衡方程.例2 如图2所示，真空中两个一样的小球带有等量同种电荷，质量均为m ，分别用绝缘细线悬挂于绝缘天花板上同一点，平衡时，B 球偏离竖直方向θ角，A 球竖直且与墙壁接触，此时A 、B 两球位于同一高度且相距L .求：图2(1)每个小球带的电荷量q ；(2)B 球所受绳的拉力T ；(3)墙壁对A 球的弹力N .答案 (1)L mg tan θk (2)mg cos θ(3)mg tan θ 解析 (1)对B 球受力分析如下列图：B 球受三个力且处于平衡状态，其中重力与库仑力的合力大小等于绳子拉力的大小，方向与绳子拉力方向相反，由图可知：F ＝mg tan θ＝kq 2L2，① 解得：q ＝L mg tan θk(2)由B 球的受力分析知，T ＝mg cos θ. ②(3)分析A 球的受力情况知N ＝F ＝k q 2L2③ 结合①得N ＝mg tan θ.二、两等量点电荷周围的电场(1)等量同号点电荷的电场(电场线分布如图3)：①两点电荷连线上，中点O 处场强为零，向两侧场强逐渐增大.②两点电荷连线中垂线上由中点O 到无限远，场强先变大后变小.(2)等量异号点电荷的电场(电场线分布如图4)：①两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小.②两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都一样，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧.沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大.图3 图4例3 两个带等量正电荷的点电荷，O 点为两电荷连线的中点，a 点在连线的中垂线上，假设在a 点由静止释放一个电子，如图5所示，关于电子的运动，如下说法正确的答案是()图5A.电子在从a 向O 运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大B.电子在从a 向O 运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大C.电子运动到O 时，加速度为零，速度最大D.电子通过O 后，速度越来越小，加速度越来越大，一直到速度为零答案 C解析 带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O 处的场强为零，向中垂线的两边先变大，达到一个最大值后，再逐渐减小到零.但a 点与最大场强点的位置关系不能确定，当a 点在最大场强点的上方时，电子在从a 点向O 点运动的过程中，加速度先增大后减小；当a 点在最大场强点的下方时，电子的加速度如此一直减小，故A 、B 错误；但不论a 点的位置如何，电子在向O 点运动的过程中，都在做加速运动，所以电子的速度一直增加，当达到O 点时，加速度为零，速度达到最大值，C 正确；通过O 点后，电子的运动方向与场强的方向一样，与所受电场力方向相反，故电子做减速运动，由能量守恒定律得，当电子运动到与a 点关于O 点对称的b 点时，电子的速度为零.同样因b 点与最大场强的位置关系不能确定，故加速度大小的变化不能确定，D 错误.针对训练 如图6所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d ，电荷量分别为＋Q 和－Q .在它们的水平中垂线上固定一根长为L 、内壁光滑的绝缘细管，有一电荷量为＋q 的小球以初速度v 0从管口射入，如此小球()图6A.速度先增大后减小B.受到的库仑力先做负功后做正功C.受到的库仑力最大值为8k d2 D.管壁对小球的弹力最大值为4k d2 答案 C解析 由等量的异种电荷形成的电场特点，根据小球的受力情况可知在细管内运动时，合力为重力，小球速度一直增大，A 错误；库仑力水平向右，不做功，B 错误；在连线中点处库仑力最大，F ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝8k d 2，C 正确；管壁对小球的弹力与库仑力是平衡力，所以最大值为8k d2，D 错误. 三、电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析例4 如图7所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M 点以一样速度垂直于电场线方向飞出a 、b 两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示.如此()图7A.a 一定带正电，b 一定带负电B.a 的速度将减小，b 的速度将增加C.a 的加速度将减小，b 的加速度将增加D.两个粒子的动能，一个增大一个减小答案 C解析 带电粒子做曲线运动，所受力的方向指向轨迹的内侧，由于电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A 错误；从图中轨迹变化来看，速度与力方向的夹角小于90°，所以电场力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B 、D 错误.电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a 受力减小，加速度减小，b 受力增大，加速度增大，故C 正确.1.合力方向与速度方向：合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向.2.分析方法：由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F ＝ma 可判断电荷加速度的大小.四、电场中的动力学问题例5 如图8所示，光滑斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m ，电荷量为q ，置于斜面上，当沿水平方向加如下列图的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的12，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g ＝10m/s 2)求：图8(1)原来的电场强度；(2)小物块运动的加速度；(3)小物块2s 末的速度和2s 内的位移.答案 (1)3mg 4q(2)3m/s 2，方向沿斜面向下 (3)6m/s6m解析 (1)对小物块受力分析如下列图，小物块静止于斜面上，如此mg sin37°＝qE cos37°，E ＝mg ta n37°q ＝3mg 4q. (2)当场强变为原来的12时，小物块受到的合外力F 合＝mg sin37°－12qE cos37°＝0.3mg ，又F 合＝ma ，所以a ＝3m/s 2，方向沿斜面向下.(3)由运动学公式v ＝at ＝3×2m/s ＝6 m/sx ＝12at 2＝12×3×22m ＝6m.1.(多项选择)如图9所示，质量分别为m 1、m 2，电荷量分别为q 1、q 2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么()图9A.两球一定带异种电荷B.q 1一定大于q 2C.m 1一定小于m 2D.m 1所受的库仑力一定大于m 2所受的库仑力答案 AC解析 由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A 正确.根据平衡条件可得两球之间的库仑力F ＝m 1g tan α＝m 2g tan β，因α＞β，所以m 1g ＜m 2g ，即m 1＜m 2，选项C 正确.2.如图10所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球A、B、C(可视为点电荷)，三小球在一条直线上均处于静止状态，如此以下判断正确的答案是()图10A.A对B的电场力一定是引力B.A对B的电场力可能是斥力C.A的电荷量可能比B少D.C的电荷量一定比B少答案 A解析三小球在一条直线上处于静止状态，如此A、C一定是同种电荷，A、B一定是异种电荷，即“两同夹异〞，另外，A和C的电荷量一定大于B的电荷量，即“两大夹小〞，选项A正确.3.(多项选择)如图11所示，带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况.一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示.假设不考虑其他力，如此如下判断中正确的答案是()图11A.假设粒子是从A运动到B，如此粒子带正电；假设粒子是从B运动到A，如此粒子带负电B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电C.假设粒子是从B运动到A，如此其加速度减小D.假设粒子是从B运动到A，如此其速度减小答案BC解析根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧可知粒子所受电场力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B 正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点受到的电场力大，在B点时的加速度较大.假设粒子是从B运动到A，如此其加速度减小，故C正确；从B到A过程中电场力与速度方向成锐角，即做正功，动能增大，速度增大，故D错误.应当选B、C.一、选择题(1～5题为单项选择题，6～9题为多项选择题)1.两个等量点电荷P、Q在真空中产生的电场线(方向未画出)如图1所示，一电子在A、B 两点所受的电场力分别为F A和F B，如此它们的大小关系为()图1A.F A＝F BB.F A＞F BC.F A＜F BD.无法确定答案 B解析从电场线的疏密判断，A点的电场强度比B点的电场强度大，故E A＞E B.根据电场力F ＝qE知，F A＞F B，故B正确，A、C、D错误.2.如图2所示的电场中，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，如此()图2A.粒子一定带负电B.粒子一定是从a点运动到b点C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度答案 C解析做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，电场线在c点的受力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；粒子从c到a的过程，电场力与速度成锐角，所以粒子做加速运动，在c 点的速度一定小于在a 点的速度，D 错误；应当选C.3.如图3所示，光滑绝缘的水平面上的P 点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N 点由静止开始释放一个也带正电的小球(可视为质点)，以向右为正方向，如下选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是()图3答案 B解析 N 点的小球释放后，受到向右的库仑力作用，开始向右运动，根据库仑定律F ＝k q 1q 2r 2可得，随着两者之间的距离的增大，小球受到的库仑力在减小，根据牛顿第二定律a ＝F m可得，小球做加速度减小的加速直线运动，应当选项B 正确.4.相距为L 的点电荷A 、B 带电荷量分别为＋4q 和－q ，如图4所示，今引入第三个点电荷C ，使三个点电荷都处于平衡状态，如此C 的电荷量和放置的位置是()图4A.－q ，在A 左侧距A 为L 处B.－2q ，在A 左侧距A 为L2处 C.＋4q ，在B 右侧距B 为L 处D.＋2q ，在B 右侧距B 为3L 2处 答案 C解析 A 、B 、C 三个电荷要平衡，必须三个电荷在一条直线上，外侧二个电荷相互排斥，中间电荷吸引外侧两个电荷，所以外侧两个电荷距离大，要平衡中间电荷的引力，必须外侧电荷电量大，中间电荷电量小，所以C 必须带正电，在B 的右侧.设C 所在位置与B 的距离为r ，如此C 所在位置与A 的距离为L ＋r ，要能处于平衡状态，所以A 对C 的电场力大小等于B 对C 的电场力大小，设C 的电量为Q .如此有：k 4q ·Q (L ＋r )2＝k r 2，解得r ＝L .对点电荷A ，其受力也平衡，如此：k 4q ·Q (L ＋r )2＝k 4q ·q L 2，解得：Q ＝4q ，即C 带正电，电荷量为4q ，在B 的右侧距B 为L 处.5.直角坐标系xOy 中，M 、N 两点位于x 轴上，G 、H 两点坐标如图5.M 、N 两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q 的正点电荷置于O 点时，G 点处的电场强度恰好为零.静电力常量用k 表示.假设将该正点电荷移到G 点，如此H 点处场强的大小和方向分别为()图5A.3kQ 4a2，沿y 轴正向 B.3kQ 4a 2，沿y 轴负向 C.5kQ 4a2，沿y 轴正向 D.5kQ 4a 2，沿y 轴负向 答案 B解析 因正电荷Q 在O 点时，G 点的场强为零，如此可知两负电荷在G 点形成的电场的合场强与正电荷Q 在G 点产生的场强等大反向，大小为E 合＝k Q a 2；假设将正电荷移到G 点，如此正电荷在H 点的场强为E 1＝k Q (2a )2＝kQ4a2，因两负电荷在G 点的合场强与在H 点的合场强等大反向，如此H 点的合场强为E ＝E 合－E 1＝3kQ 4a2，方向沿y 轴负向，应当选B. 6.如图6所示，金属板带电荷量为＋Q ，质量为m 的金属小球带电荷量为＋q ，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O 恰好在同一条水平线上，且距离为L .如下说法正确的答案是()图6A.＋Q 在小球处产生的场强为E 1＝kQ L2 B.＋Q 在小球处产生的场强为E 1＝mg tan αqC.＋q 在O 点产生的场强为E 2＝kq L2 D.＋q 在O 点产生的场强为E 2＝mg tan αQ答案 BC解析 金属板不能看作点电荷，在小球处产生的场强不能用E ＝kQ r2计算，故A 错误；根据小球受力平衡得小球受电场力F ＝mg tan α，由E ＝F q 得：E 1＝mg tan αq，B 正确；小球可看作点电荷，在O 点产生的场强E 2＝kq L2，C 正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的电场力大小为F ＝mg tan α，但金属板不能看作试探电荷，故不能用E ＝F q求场强，D 错误.应当选B 、C.7.如图7所示，在真空中等量异种点电荷形成的电场中：O 是电荷连线的中点，C 、D 是连线中垂线上关于O 对称的两点，A 、B 是连线延长线上的两点，且到正、负电荷的距离均等于两电荷间距的一半.如此以下结论正确的答案是()图7A.B 、C 两点场强方向相反B.A 、B 两点场强一样C.C 、O 、D 三点比拟，O 点场强最弱D.A 、O 、B 三点比拟，O 点场强最弱答案AB8.如图8所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d 是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的电场力分别为F d、F c、F e，如此如下说法中正确的答案是()图8A.F d、F c、F e的方向都是水平向右B.F d、F c的方向水平向右，F e的方向竖直向上C.F d＝F c＞F eD.F d＞F c＞F e答案AD解析根据场强叠加原理，等量异种点电荷连线与中垂线上的电场线分布如下列图，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点电荷在各点受电场力方向与场强方向一样，故A 正确，B错误；连线上场强由a到b先减小后增大，中垂线上场强由O到无穷远处逐渐减小，因此O点场强是连线上最小的(但不为0)，是中垂线上最大的，故F d>F c>F e，故C错误，D 正确.9.如图9所示，A、B两点固定两个等量正点电荷，在A、B连线的中点C处放一点电荷(不计重力).假设给该点电荷一个初速度，方向与AB连线垂直，如此该点电荷可能的运动情况为()图9A.往复直线运动B.匀变速直线运动C.加速度不断减小，速度不断增大的直线运动D.加速度先增大后减小，速度不断增大的直线运动答案AD解析假设该点电荷为正电荷，给它初速度，将沿两电荷的中轴线运动，向上运动的过程中，受到电场力的合力先增大后减小，合力方向沿中轴线向上，所以该电荷向上做加速度先增大后减小，速度不断增大的直线运动.假设该电荷为负电荷，受到电场力的合力沿轴线向下，向上做减速运动，当速度为0后，又返回做加速运动，在两点电荷连线以下做减速运动，减到速度为零，又返回做加速运动，所以电荷做往复直线运动.故A、D正确，B、C错误.二、非选择题10.如图10所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2kg，所带电荷量为＋2.0×10－8C.现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成30°角，绳长L ＝0.2m，求：(重力加速度g的大小取10m/s2)图10(1)这个匀强电场的电场强度大小.(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？答案(1)36×107N/C(2)做初速度为0的匀加速直线运动2033m/s2与绳子拉力方向相反解析(1)根据共点力平衡得，qE＝mg tan30°解得E＝36×107N/C.(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动.F合＝mgcos30°＝ma,a＝2033m/s2加速度方向与绳子拉力方向相反.11.如图11所示，把一个倾角为θ的绝缘斜面固定在匀强电场中，电场方向水平向右，电场强度大小为E，有一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以初速度v0从A端滑上斜面恰好能沿斜面匀速运动，求物体与斜面间的动摩擦因数.图11答案qE cos θ－mg sin θmg cos θ＋qE sin θ解析 物体受力情况如下列图，将各力沿斜面和垂直斜面两个方向进展正交分解，如此沿斜面方向上：f ＋mg sin θ＝qE cos θ① 垂直斜面方向上：mg cos θ＋qE sin θ＝N ② 其中f ＝μN ③由①②③解得：μ＝qE cos θ－mg sin θmg cos θ＋qE sin θ.12.如图12所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E ＝1.25×104N/C ，一根长L ＝1.5 m 、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN 固定在电场中，杆的下端M 固定一个带电小球A ，电荷量Q ＝＋4.5×10－6C ；另一带电小球B 穿在杆上可自由滑动，电荷量q ＝＋1.0×10－6C ，质量m ＝1.0×10－2 kg.将小球B 从杆的上端N 静止释放，小球B 开始运动.(静电力常量k ＝9.0×109N·m 2/C 2，取g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：图12(1)小球B 开始运动时的加速度为多大？(2)小球B 的速度最大时，与M 端的距离r 为多大？ 答案 (1)3.2m/s 2(2)0.9m解析 (1)如下列图，开始运动时小球B 受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得mg sin θ－k L 2－qE cos θ＝ma .解得：a ＝g sin θ－k L 2m －qE cos θm，代入数据解得：a＝3.2m/s2.(2)小球B速度最大时合力为零，即mg sinθ－kr2－qE cosθ＝0,解得：r＝kmg sinθ－qE cosθ，代入数据解得：r＝0.9m.。
第一章 静电场 ppt 电磁学课件
E
•
A
E
Ax
E p
1 E r3
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结论： 1.电偶极子延长线上一点的场强与
电偶极子电矩的二倍成正比，与该点离 中心的距离的三次方成反比，方向与电 矩方向相同。
2. 电偶极子中垂线上距离中心较远处 一点的场强，与电偶极子的电矩成正比， 与该点离中心的距离的三次方成反比，方 向与电矩方向相反。
本节主要内容: 一、 电场线及其数密度 二、电通量 三、高斯定理及应用
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§3.1电场线及其数密度
1、电场线（电力线）electric line of force 定义：在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向
与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。
电场线上各点的切线方向表示电场中该点场强的 方向，在垂直于电场线的单位面积上的电场线的条 数（数密度)等于该点的场强的大小。
例题1：求点电荷q所产生的电场中各点的电场强度
p 在真空O点有一静止的点电荷q,在空间p放置一试探电荷q0
q0所受力:
F
1
qq0
rˆ
1
qq0
r
场点
4 r 2
4 r 3
位矢
r
r q E
F q0
0
q
4 0r3
r
0
O 场源 ( 的方向O指向P的方向)
1）球对称场。 2）非均匀场
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即均匀带电圆环轴线上一点的场强
E
1
4 0
(x2
qx R2
)3/ 2
R
x dE
r
方向沿轴线方向，
讨论: 1）当x=0 时，E=0，即环心处的场强为0。
静电场习题课
e ES cos
闭合曲面外法线方向(自内向外)为正
s
穿进闭合面的电场线对该闭合面提供负通量； 穿出闭合面的电场线对该闭合面提供正通量 C.有时利用高斯定理求电通量非常方便
利用高斯定理求电通量 例1: 点电荷ｑ位于正立方体中 q 心,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量 e 6
4 0
(A)
0
(B)
(C)
(D)
8 0
2. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面， 半径分别为R1和R2，其上均匀带电，沿轴线 方向单位长度上所带电荷分别为1和2 ，则 在两圆柱面之间、距离轴线为r的P点处的场 ［ A ］ 强大小E为： 1 1 1 2 2 (A) 2 π r (B) (C) 2 R r (D) 2 0 r R1 0 2 2 0 r 0
UP
i
E
3、 先求 V,再求 E 。 E gradV
V V V gradV x i y j z k
4 0 r 带电体
dq
2
r
0
4 0 ri
dq 4 0 r
qi
U
带电体
先求 E 再求 U 。
pe q
q2 F q 2 0 2 0 s
Sd S
•电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩 ＝ｐ ｅ ｅ Ｅ Ｆ＝０ Ｍ •力偶矩 力图使电偶极子的偶极矩 转到与外电场
一致方向上来
八、电势、电势差与电势能 零电势点 1. 电势： U E dl （ ＝ E dl ） ａ
底
2 E DS d DS / 0
静电习题课
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r x )
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静电场习题课
y
dl R r O x R x R x
y
r
O dE
r R sin ,
x R cos ,
dl Rd
E
/2
0
2R 3 sin cos d 3 4 0 40 R
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静电场习题课 2. 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2 ， 在它的侧面上均匀带电，电荷面密度σ，求：顶角O的 电势。（以无穷远处电势为零点）
R1
R2
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静电场习题课 1、判断带电体类型（均匀的连续面分布） 2、选坐标 3、找微元
dq ds
4 r q U 4 r
i 1 0
i
连续分布的带电体 场无对称性
U
dq 4 r
0
场有对称性
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U P E dl
P
静电场习题课
F
定理
D ds q
0
qq ˆ r 4 r 1
1 2 2
i
有源场
s
静 电 学
方向沿x正方向
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
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r0 l r0
r0 l dx q ln x 4 0 r0
静电场习题课 8.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半 径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量 为r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点 的电场强度和A点与外筒间的电势差．
第一章静电场的基本规律教案..
第⼀章静电场的基本规律教案..《电磁学》教案⼀、教学⽬的与任务电磁学是物理专业⼀门⼗分重要的基础课程，它对后续课程的学习和现代电⼦技术等⽅⾯的应⽤，都具有⼗分重要的意义。
通过对本课程的学习，使学⽣：（1）全⾯系统地掌握电磁运动的基本现象、基本概念和基本规律；（2）具有独⽴分析、处理和讲授中学物理电磁学课程的能⼒；（3）了解电磁学的发展概况、实际应⽤和最新成就；（4）进⼀步提⾼科学知识、科学⽅法、科学态度和科学精神等科学素质。
⼆、教学的基本要求：（1）本教案是根据教育部1991年颁布的物理专业教学⼤纲的基本要求，结合当前全国和我校的实际⽽制定的。
（2）对于教学⼤纲中规定的教学内容，除按系上修订的将交流电⼀章放在电⼯学以外,其余章节全部讲授。
⼀般不能随意增减变更，确有特殊情况，也必须经过校、系批准，⽅可变动。
（3）教学中，严格地按照教案的设计，将讲授课、习题课和课堂演⽰等有机地结合起来，以达到最优化的教学效果。
三、教学的基本⽅式：电磁学是物理专业的⼀门基础理论课程，因此其教学⽅式应以课堂讲授为主，但同时必须注意将习题课、辅导答疑课、实验课及课堂演⽰紧密结合，以提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒，全⾯提⾼学⽣的素质。
四、教材及参考书⽬主教材：梁灿彬等.电磁学（第⼆版）.北京：⾼等教育出版社，2004.参考书：（1）赵凯华等.电磁学（上、下册）.⾼等教育出版社，1985.（2）梁绍荣等.普通物理学——电磁学. ⾼等教育出版社，1993.（3）陈鹏万.电磁学.⼈民教育出版社，1981.（4）贾起民.电磁学.⾼等教育出版社，2000.五、教学内容（分章节编写）绪论（⼀）⽬的要求：（1）了解电磁学的研究对象、发展简史和知识体系。
（2）熟悉电磁学的学习⽅法与要求。
（⼆）教学内容（1）研究对象（2）发展简史（3）知识体系（4）学习⽅法与要求（三）教材分析电磁学就是研究电磁现象的规律以及物质的电学和磁学性质的科学。
电磁学的知识和应⽤范及摩擦⽣热、光的本质等等的研究，都是以电磁相互作⽤为基础的。
第一章 静电场(定稿)
1.1电荷及其守恒定律、库仑定律、电场强度【学习目标】1、了解元电荷的含义，理解电荷守恒定律的不同表述。
2、掌握库仑定律，能够解决有关的问题。
3、理解电场强度及其矢量性，掌握电场强度的叠加，并进行有关的计算。
4、知道用电场线描述电场的方法。
理解引入电场线的意义。
【自主学习】一、电荷及电荷守恒1、自然界中存在电荷，正电荷和负电荷，同种电荷相互，异种电荷相互。
电荷的多少叫做，单位是库仑，符号是C。
所有带电体的带电量都是电荷量e= 的整数倍，电荷量e称为。
2、（1）点电荷是一种模型，当带电体本身和对研究的问题影响不大时，可以将带电体视为点电荷。
真正的点电荷是不存在的，这个特点类似于力学中质点的概念。
3、使物体带电有方法：摩擦起电、感应起电、接触起电，其实质都是电子的转移。
4、电荷既不能，也不能，只能从一个物体到另一个物体，或从物体的转移到，在转移的过程中，电荷的总量，这就是电荷守恒定律。
二、库仑定律1、真空中两个之间的相互作用力F的大小，跟它们的电荷量Q1、Q2的乘积成，跟它们的距离r的成反比，作用力的方向沿着它们的。
公式F= 其中静电力常量k适用范围：真空中的。
4、库仑定律与万有引力定律的比较如下表：三、电场强度1、电场和电场强度2、电场强度的几个公式（1）FEq是电场强度的定义式，适用于的静电场。
（2）2QE kr =是点电荷在真空中形成的电场中某点场强的计算式，只适用于 在真空中形成的电场。
（3）UE d =是匀强电场中场强的计算式，只适用于 ，其中，d 必须是沿 的距离。
3、电场的叠加电场需按矢量的运算法则，即按平行四边形定则进行运算。
四、电场线（1）电场线：在电场中画出一些曲线，使曲线上每一点的 方向都跟该点的 方向一致，这样的曲线就叫做电场线。
电场线是人们为了描述 而人为地画出来的，电场中并非真正存在着这样一些曲线。
它可以形象直观地反映电场的 和 。
（2）电场线的性质：电场线起始于 （或无穷远处）；终止于 （或无穷远处）。
第一章静电场
第一章静电场第1单元电场的力的性质Ⅰ电荷守恒和库仑定律【基本概念及规律】一、两种电荷二、电荷守恒定律三、元电荷、点电荷和净电荷1、元电荷2、点电荷3、净电荷四、库仑定律真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
即：221 r qkqF 其中k为静电力常量，k=9．0×10 9 N m2/c21．成立条件①真空中（空气中也近似成立），②点电荷。
即带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略不计。
（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多近，r都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心距代替r）。
2.同一条直线上的三个点电荷的计算问题【典型例题】【例1】在真空中同一条直线上的A、B两点固定有电荷量分别为+4Q和-Q的点电荷。
①将另一个点电荷放在该直线上的哪个位置，可以使它在电场力作用下保持静止？②若要求这三个点电荷都只在电场力作用下保持静止，那么引入的这个点电荷应是正电荷还是负电荷？电荷量是多大？【例2】已知如图，带电小球A、B的电荷分别为Q A、Q B，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点。
静止时A、B相距为d。
为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍B．将小球B的质量增加到原来的8倍C．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B质量增加到原来2倍3．与力学综合的问题。
【例3】已知如图，光滑绝缘水平面上有两只完全相同的金属球A、B，带电量分别为-2Q 与-Q。
现在使它们以相同的初动能E0，开始相向运动且刚好能发生接触。
接触后两小球又-2各自反向运动。
当它们刚好回到各自的出发点时的动能分别为E 1和E 2。
有下列说法：①E 1=E 2> E 0，②E 1=E 2= E 0，③接触点一定在两球初位置连线的中点右侧某点④两球必将同时返回各自的出发点。