【学海导航】2014版高考数学一轮总复习 第31讲 等差数列的概念及基本运算同步测控 文

第31讲 等差数列的概念及基本运算
1.(2011·江西卷)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
2.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2
＋n (a ∈R )，则下列关于数列{a n }的说法正确的是
( )
A ．{a n }一定是等差数列
B ．{a n }从第二项开始构成等差数列
C ．a ≠0时，{a n }是等差数列
D ．不能确定其是否为等差数列
3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝( )
A ．1 B.13
C.12 D ．－13
4.(2012·广东卷)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝__________．
5.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列的通项公式为__________．
6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12
＝__________． 7.(2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.
(1)求{a n }的通项a n ；
(2)设c n ＝5－a n 2
，b n ＝2c n ，求T ＝log 2b 1＋log 2b 2＋log 2b 3＋…＋log 2b n 的值．
1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S n n 2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是______．
2.(2012·湖北省重点教学全作学校)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 20＝S 40，则下列结论中正确的选项为______．
①S 30是S n 中的最大值； ②S 30是S n 中的最小值；
③S 30＝0; ④S 60＝0.
3.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1
(n ∈N *)． (1)求证：{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．
第31讲
巩固练习
1．B 2.A 3.B
4．2n －1 解析：设公差为d (d >0)，则1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.
5．－1n
解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1
＝1， 即1
a n ＋1－1a n
＝－1，又1a 1＝－1， 则数列{1a n }是以－1为首项和公差的等差数列，
于是1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n
. 6.310
解析：由等差数列的求和公式可得，
S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13
，可得a 1＝2d 且d ≠0. 所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310
. 7．解析：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－2
， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.
(2)因为a n ＝－2n ＋5，所以c n ＝5－a n 2＝5－（－2n ＋5）2
＝n ， 所以b n ＝2c n ＝2n ，
所以T ＝log 2b 1＋log 2b 2＋log 2b 3＋…＋log 2b n ＝log 22＋log 222＋log 223＋…＋log 22n
＝1＋
2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2
. 提升能力
1．2
解析：因为{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得a 1＝1，d ＝4，从而S n
＝2n 2－n ，所以T n ＝2－1n
，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值≤M 即可．又T n ＝2－1n
<2，所以只需2≤M ，故M 的最小值是2. 2．④
解析：因为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ， 当d >0时，S 20＝S 40，则S 30为最小值；
若d <0，S 20＝S 40，则S 30为最大值；
因此S 30不一定为0，因此①②③不正确； 在等差数列{a n }中，S 20，S 40－S 20，S 60－S 40成等差数列． 所以2(S 40－S 20)＝S 20＋S 60－S 40，
又S 40＝S 20⇒S 60＝0，
故选项④正确．
3．解析：(1)证明：b n ＋1－b n ＝
1a n ＋1－1－1a n －1
＝12－1a n
－1－1a n －1 ＝a n
a n －1－1a n －1 ＝1，
所以{b n }是公差为1的等差数列．
(2)由(1)知，b n ＝b 1＋(n －1)×1
＝135
－1＋(n －1)＝n －72， 所以1a n －1＝n －72，所以a n ＝2n －52n －7
， 又a n ＝1＋
1
n －72， 由函数y ＝1＋1
x －72的图象可知，
n＝4时，a n最大；n＝3时，a n最小，所以最大项为a4，最小项为a3.。