山东省潍坊市_学年高一数学下学期期末试卷(含解析)【含答案】
山东省济南市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2016—2017学年度第二学期期末考试高一数学试题第I卷（选择题，每题5分，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有.. 一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. -HI.： -："：1的值是（）A. B. C. D.2 2【答案】A【解析】由题意可得：.ii、二、.iii —T-二'.in ri = ■. -i ='.本题选择A选项.2. 已知I.：：. li ■:.H.I :■：:'，且丄-「一L；，则".的值分别为（）A. - 7,—5B. 7 , - 5C. —7, 5D. 7 , 5【答案】C【解析】试题分析:沁:iQ,，」「■；.■＜：, ，解得：—一‘，故选C.考点：向量相等3. 在区间上随机取一个数，「:的值介于0到之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在区间上随机取一个数x,即x€时，要使:左；的值介于0到之间，」I 7T TTX TI 卜TT TTX TI需使或:'■■■;2 2或：冬詔,区间长度为，TT¥由几何概型知：•「•一的值介于0到之间的概率为.本题选择A选项.4. 已知圆._ + ||r.[:上任意一点M关于直线• I . ■的对称点N也再圆上，则的值为（）A. |B. 1C. :'D. 2【答案】D【解析】T圆x2+y2- 2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，•••直线x+y=0经过圆心I ,故有[- ■，解得m=2,本题选择D选项•5. 下列函数中，周期为，且在 |上单调递增的奇函数是（）A. -；|||；：;- - :B. _ I :；C. . - ；D. . -din --；【答案】C【解析】化简所给函数的解析式：A. --…凡，该函数周期为，函数为偶函数，不合题意；B. ■. |~ ■-，该函数周期为，在|上单调递减，不合题意；C. . - ' :: - ..ii ■■-,该函数周期为，在|上单调递增，函数是奇函数符合题意；D. ■■■ - siix：：-:'一：汎汽喪，该函数周期为.':i，不合题意；本题选择C选项•6. 已知7血中，i"，t;分别是角-F； <的对边，讥山，则=（）A. L 辽B. I:.C. J.35 或£D.【答案】B【解析】由题意结合正弦定理可得，汕" ,a<b,则A<B=60°A=45°.本题选择B选项.点睛：1 •在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解.2 •正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化•如a2= b2+ c2—2bccos A可以转化为sin2 A = sin2 B+ sin2 C —2sin Bsin CCos A 利用这些变形可进行等式的化简与证明.7. 将函数• -，「：.的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为（）•A. 二I wB. . - ' ■ iii ■C. . - I .：■!. -D. .-11 -【答案】B【解析】将函数• -的图象向右平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为：=|'二in'-,再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的解析式为.- I本题选择B选项.点睛：由y= sin x的图象，利用图象变换作函数y= Asin（ w x +© ）（ A> 0, 3> 0）（ x€ R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别•先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| 0 |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再平移变换，平移的量是A个单位.8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）•若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）甲组S62 516 1 ? yX 4?gA. 3 , 5B. 5 , 5C. 3 , 7D. 5 , 7【答案】C【解析】由已知中甲组数据的中位数为"h,故乙数据的中位数为即一二，，可得乙数据的平均数为'-,即甲数据的平均数为■-,故’「r-... ■=■■,故选.【方法点睛】本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于难题•要解答本题首先要弄清中位数、平均数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据； (3)平均数既是样本数据的算数平均数「 .9. 在；中，点在上，且汕二j| ，点Q 是AC 的中点，若：-.二：丄工， 贝g"等于()•A. ( — 6,21)B. (6 , - 21)C. (2, - 7) D. (— 2,7)【答案】A【解析】由题意可得：I I 7「I 、： ,则：N 二,结合题意可得：：」.,「： I-.,.:.本题选择A 选项.10. 从某高中随机选取 5名高一男生，其身高和体重的数据如下表所示: 身高x(cm)160165170175180身高y(kq)63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程 ，「:一....据此模型预报身高为172cm 的高一男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05 【答案】B【解析】由表中数据可得样本中心点一定在回归直线方程上故'.■： 解得 W 1故「二门in当 x=172 时，：I! ：：•「丨：工J 门|丄、, 本题选择B 选项.点睛： (1)正确理解计算；「•的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键. ⑵ 回归直线方程 li-. - 1必过样本点中心■■- •63^ 55 + 70 + 72 + 7-15-〔-心,(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测. 11.函数匸-:1、|门 +- ■. I--: 的最大值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】整理函数的解析式:t(x) = |sin(x + 鲁)+ cosjx-^ = |sin(x + ^ + sin(x + ^ 6 . i lit 6 二評叫X+詁弓 本题选择A 选项•12. 已知是两个单位向量，且■■ I. ..I i| . ii.若点C 在一，1 •内，且—二二，则------------ »------------ K-------------- 1- mOC 二 mOA + nOBfrn.in 曲)，则R 二()A. B. 3 C. D. :;因为I ：-是两个单位向量，且■ '■■■ - ■: .'I ■.所以'' :'K ,故可建立直角坐标系如图所示。
2023-2024学年山东省潍坊市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．lg100−2713=（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣22．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝lnxB ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝e x ﹣13．设m ∈R ，命题“存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根”的否定是（ ） A ．任意m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 B ．任意m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 C ．存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 D ．存在m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 4．已知a =21.01，b =log 34，c =√154，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．710 B ．310C ．25D ．156．已知关于x 的不等式2x−a x−1≤−1的解集是[23，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．43D ．27．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现偶数点”，B ＝“第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互为对立 C ．A 与B 相等D ．A 与B 相互独立8．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若对于任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝0，且a ＞b ＞c ，则（ ） A ．ac ＜0B ．ab ＞bcC ．ac ＜bcD ．1a ＞1c10．已知函数f （x ）的定义域为R ，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ） A ．y ＝f （x +1）B ．y ＝f （x ）+1C ．y ＝f （﹣x ）D ．y ＝﹣f （x ）11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A ．众数为1且中位数为4B ．平均数为3且极差小于或等于2C ．标准差为√2且平均数为2D ．平均数为2且中位数为312．已知函数f （x ）={4(x+2)2，x ≤−1，log 12(x +1)，x ＞−1，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则（ ） A ．1＜m ≤4B ．−1516≤x 3＜−12C ．函数f （x +1）的增区间为[﹣2，﹣1]D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为8+√2三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一组数据18，27，30，33，34，40，42的75%分位数为 ．14．已知定义在R 上的函数f （x ）满足以下两个条件：①对任意x 1，x 2恒有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）；②f （x ）在R 上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数f （x ）＝ ．（答案不唯一） 15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立．在某局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的概率为 ．16．已知实数a ，b 满足12e a +a ＝2，ln 2be 2+b ＝0，则a +b ＝ ．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣8）≤0}，B ＝{x ||x |＜3}． （1）求A ∩B ；（2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在函数g（x）＝log a x的图象上．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在互不相等的实数m，n使|g（m）|＝|g（n）|，求mn的值．19．（12分）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是14．（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x﹣1（a≠0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（m，n）．（i）求1m +1n的值；（ii）求4m+n的最小值．21．（12分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70，90）内取2件，乙型芯片指标在[50，70]内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在[50，60）和[70，80）内各1件的概率；（3）根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且c∈[50，60]，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，22．（12分）已知函数f （x ）={a 2x +a x −2，x ≥0，−a kx −a −x+2，x ＜0(a ＞0且a ≠1)为奇函数，且g （x ）＝|f （x ）|．（1）求实数m 的值；（2）若对于函数y ＝m （x ），x ∈[p ，q ]，用x i （i ＝0，1，2，…，n ，p ＝x 0＜x 1＜…＜x n ＝q ）将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ＞0，使得和式∑|m(x i )−m(x i−1)|ni=1≤M 对任意的划分恒成立，则称函数m （x ）为[p ，q ]上的有界变差函数．判断函数g （x ）是否为[﹣|log a 2|，|log a 4|]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)
东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
2021-2022学年山东省潍坊市高一(下)学科核心素养数学试卷(5月份)(含答案解析)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5月份）1. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1B. 4C. 1或4D. 2或42. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是平面内两个不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −b ⃗ ，A ，B ，C 三点共线，则m =( )A. −23 B. 23 C. −6 D. 63. sin2cos3tan4的值( )A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在4. 已知i ，j 是平面内的两个向量，i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2√2B. 4√2C. 2√5D. 4√55. 已知θ为第三象限角，tan2θ=−2√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ等于( )A. −√26B. √26C. −23D. 236. 关于函数y =sin(2x +φ)(φ∈R)有如下四个命题：甲：该函数在(−π3,π6)上单调递增；乙：该函数图象向右平移π12个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为x =−5π6； 丁：该函数图像的一个对称中心为(π12,0). 如果只有一个假命题，则该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 在△ABC 中，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗，则P 点( ) A. 在线段BC 上，且BPBC =29 B. 在线段CB 的延长线上，且BP BC =29 C. 在线段BC 的延长线上，且BPBC =29D. 在线段BC 上，且CP BC =298. 已知π8<α<β<π2，且sin2αsin π4−cos2αsin 54π=13,sin2βcos π4+cos2βsin π4=√33，则cos(2β−2α)的值为( )A.5√39B. √33C. −5√39D. −√339. 下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B. 若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ =c ⃗C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ，使得若a ⃗ =λb ⃗D. 若点P 为△ABC 所在平面上一点，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△APB 面积与△ABC 面积之比为1：410. 已知α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2，则( ) A. 若sinα+cosα=√2，则tanα=1 B. 若tanα=12，则sin(β+γ)=2√55C. tanα，tanβ可能是方程x 2−6x +7=0的两根D. tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=111. 已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值，则( )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. f(x)在[−π6,π4]上的值域为[−12,12] C. 函数f(x)在[5π12,11π12]上单调递减 D. 若f(x)=−12(x ∈[0,2π])的根为x i (i =1,2,…，n)，则∑x i n i=1=11π312. 设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，且对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，D 为线段AB 上一点，连接OD 并延长到P ，使|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15，若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. △ABO 为直角三角形B. |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10C. |OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6 D. 这样的D 点有2个13. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______.14. 函数f(x)=lg(3−4sin 2x)的定义域为______.15. 设a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(√x −3,√10−x)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为______.16. 函数f(x)=√3cosωx +3sinωx(ω>0)，若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则实数ω的取值范围是______.17. 已知sinα=1−sin(π2+β)，求sin 2α+sin(π2−β)+1的取值范围．18. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 与MN 相交于点E.(1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ和μ的值； (2)用向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .19. 已知函数f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y =f(x)−k 在区间[0,1312π]上有且仅有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并求x 1+x 2的值．20. 少林寺作为国家AAAAA 级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，人住客栈的游客人数基本相同；②人住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多． (1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物？21. 如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，S 为圆周上一点，过S 作AB ，AD 的垂线，垂足分别为M ，N.设p =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,q =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求pq 的取值范围；(2)求5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值．22. 在△ABC 中，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，P 为△ABC 内任意动点，记PA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最小值时的点P 为P 0.过P 0作直线交线段CA 于M.交线段CB 于N ，试求1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．设出扇形的圆心角为α，半径为Rcm ，根据扇形的周长为6，面积是2，列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数． 【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R ， 则{2R +αR =612R 2α=2，解得α=1或α=4. 故选：C.2.【答案】C【解析】解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m a ⃗ +2b ⃗ =3λa ⃗ −λb ⃗ ，且a ⃗ ,b ⃗ 不共线， ∴{m =3λ−λ=2，解得m =−6. 故选：C.根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m 的值．本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2>0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3<0∵4弧度小于3π2弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4>0 ∴sin2cos3tan4<0故选：A.根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案． 本题主要考查三角函数值的符号问题．常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．4.【答案】D【解析】解：因为i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ， 所以|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√(4i −2j )2=2√4i 2+j 2−2⋅2i ⋅j =4√5. 故选：D.|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2，以此可解决此题．本题考查平面向量数量积运算，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为θ为第三象限角， 所以tanθ>0， 又tan2θ=−2√2=2tanθ1−tan 2θ，整理可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，所以tanθ=√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ=sin 2θ+sinθcosθ−√2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−√2tan 2θ+1=2+√2−√22+1=23.故选：D.由已知可得tanθ>0，利用二倍角的正切公式化简已知等式可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，解方程可得tanθ的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题考查了二倍角的正切公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：令−π2+2kπ≤2x +φ≤π2+2kπ，k ∈Z ，则函数的增区间为[kπ−π4−φ2,kπ+π4−φ2](k ∈Z)…①；函数图象向右平移π12个单位长度得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x −π6+φ)…②；令2x +φ=π2+kπ⇒x =kπ2+π4−φ2，k ∈Z …③； 令2x +φ=kπ⇒x =kπ2−φ2，k ∈Z …④．若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=π6，由①，函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，则甲正确，矛盾；令φ=7π6，由①，函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，满足题意． 由③．函数的对称轴方程为x =kπ2−π3，k ∈Z ，k =−1时，x =−5π6，则丙正确．由④，函数的对称中心为(kπ2−7π12,0)(k ∈Z)，令kπ2−7π12=π12⇒k =43，丁错误．不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心， 由①．令x =kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=kπ−φ2，结合④．令kπ−φ2=π12⇒φ=2kπ−π6(k ∈Z)， 由函数的奇偶性，取k =0，φ=−π6， 由③．x =kπ2+π4+π12=kπ2+π3，k ∈Z ，令kπ2+π3=−5π6⇒k =−73，则丙错误．不合题意；若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 取区间中点x =kπ−π3+kπ+π62=−π12+kπ(k ∈Z)，则丁错误．不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确．由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 由③．x =kπ2+π4−π12=kπ2+π6，k ∈Z.k =−2时，x =−5π6，则丙正确． 由④．x =kπ2−π12，k ∈Z ，令kπ2−π12=π12⇒k =13，④错误．满足题意．综上：该命题是丁． 故选：D.根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案． 本题考查了分类讨论思想、三角函数的性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 点在线段CB 的延长线上，且BP BC =29.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以此可判断正确选项． 本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意知，sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33， 因为π8<α<β<π2，所以π2<2α+π4<2β+π4<5π4， 所以cos(2α+π4)=−√1−sin 2(2α+π4)=−2√23， cos(2β+π4)=−√1−sin 2(2β+π4)=−√63，所以cos(2β−2α)=cos[(2β+π4)−(2α+π4)]=cos(2β+π4)cos(2α−π4)+sin(2β+π4)sin(2α−π4) =(−√63)×2√23−√33×13=−5√39.故选：A.根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33，再由α，β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得cos(2α+π4)，cos(2β+π4)的值，然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解．本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A ：当b ⃗ 为零向量时a ⃗ //c ⃗ 不一定成立，错误； B ：由条件知：a ⃗ =b ⃗ =c ⃗ ，正确；C ：a ⃗ ，b ⃗ 为零向量时a ⃗ =λb ⃗ 中实数λ不唯一，错误；D ：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，易知：P 为△ABC 平行于AC 的中位线中点，则S △ABC =2S △APC 且S △APB =S △PBC ，故△APB 面积与△ABC 面积之比为1：4，正确．A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )确定P 的位置，进而判断面积关系．本题考查了共线向量、相等向量的概念、判定以及向量的加法法则，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：∵α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2， ∴α=π2−(β+γ)，对于A ，若sinα+cosα=√2sin(α+π4)=√2，则α+π4=π2，即α=π4，故tanα=1，故A 正确； sinα+cosα=√2，对于B ，若tanα=12，则sinα=√1+2=√55，cosα=√1+2=2√55， 则sin(β+γ)=cosα=2√55，故B 正确；对于C ，若tanα，tanβ是方程x 2−6x +7=0的两根，则tanα+tanβ=6，tanαtanβ=7， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=61−7=−1<0，这是不可能的，故C 错误；对于D ，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ)=tanαtanβ+cot(α+β)⋅tan(α+β)(1−tanαtanβ)=1，故D 正确； 故选：ABD.依题意，可得α=π2−(β+γ)，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．本题考查了两角和与差的三角函数，涉及诱导公式，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值； 所以：{cos(π6ω+φ)=0cos(5π12ω+φ)=1，则{π6ω+φ=π2+k 1π5π12ω+φ=2k 2π(k 1,k 2∈Z)；所以：ω=−2+4(2k 2−k 1)，φ=−5π6+2k 2π；(k 1,k 2∈Z)； 由于0<ω<3； 所以ω=2； 由于：|φ|<π；所以φ=−5π6； 故f(x)=cos(2x −5π6)；对于A ：函数的最小正周期为π，故A 正确； 对于B ：由于x ∈[−π6,π4]，所以2x −5π6∈[−7π6,−π3]，故cos(2x −5π6)∈[−1,12]，故B 错误；对于C ：由于2x −5π6∈[0,π]，故x ∈[5π12,11π12]，故C 正确； 对于D ：令cos(2x −5π6)=−12；解得x =3π4+kπ或x =π12+kπ，(k ∈Z)；由于x ∈[0,2π]，故x 1=π12;x 2=3π4；x 3=13π12;x 4=7π4；故∑x i 4i=1=11π3，故D 正确． 故选：ACD.直接利用方程组确定函数的解析式f(x)=cos(2x −5π6)；进一步利用函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：∵对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，两边平方得：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB +t 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ=100cos 2∠AOB ≤0，∴cos∠AOB =0， ∴∠AOB =π2，故A 正确；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λμ=53−xλ(1−μ)=x，解得λ=53，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =53PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25×15=6，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35×15=9，故B 错误，C 正确；设OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0， 此方程有两异号的根，∵D 在线段AB 上，∴0<m <1，∴方程89m 2−50m −11=0只有一个正根，即这样的点D 只有一个，故D 错误． 故选：AC.将|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |两边平行，化简得8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立，即可判断A ；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得λ=53，即可判断BC ；设OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0，再根据D 在线段AB 上，确定方程解的个数即可判断D.本题考查向量数量积公式、向量运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】23【解析】解：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23.故答案为：23.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z【解析】解：要使f(x)有意义，则：3−4sin 2x >0； ∴−√32<sinx <√32；∴−π3+kπ<x <π3+kπ,k ∈Z ； ∴f(x)的定义域为(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z. 故答案为：(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z.可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3−4sin 2x >0，解出x 的范围即可． 考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，要熟悉正弦函数的图象．15.【答案】√91【解析】解：由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]， 又a ⃗ =(3,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =3√7cosθ+2√7sinθ=√91sin(θ+φ)，tanφ=32， 则当θ+φ=π2时，a ⃗ ⋅b ⃗ 取最大值√91，故答案为：√91.由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]，然后结合辅助角公式求最大值即可．本题考查了三角函数的应用，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．16.【答案】[13,23]【解析】解：函数f(x)=√3cosωx +3sinωx =2√3sin(ωx +π6)，在[0,π]上，ωx +π6∈[π6,ωπ+π6]. 若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则sin(ωx +π6)∈[12,1]， ∴π2≤ωπ+π6≤5π6，求得13≤ω≤23， 故答案为：[13,23].利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得实数ω的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属基础题．17.【答案】解：因为sinα=1−sin(π2+β)=1−cosβ，所以cosβ=1−sinα， 因为−1≤cosβ≤1，所以−1≤1−sinα≤1，0≤sinα≤2， 又−1≤sinα≤1，所以sinα∈[0,1]，所以sin 2α+sin(π2−β)+1=sin 2α+cosβ+1=sin 2α−sinα+2=(sinα−12)2+74，(∗)， 又sinα∈[0,1].所以当sinα=12时，(∗)式取得最小值74； 当sinα=1或sinα=0时，(∗)式取得最大值2， 故所求范围为[74,2].【解析】利用诱导公式化简已知等式可得cosβ=1−sinα，根据三角函数的性质可求sinα∈[0,1]，化简所求可得sin 2α+sin(π2−β)+1=(sinα−12)2+74，根据正弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其取值范围．本题考查了诱导公式，三角函数的性质以及二次函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．18.【答案】解：以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1),B(2,0),M(23,1),N(2,23)，C(2,1)(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−13)=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,μ)，解得：λ=23,μ=−13： (2)设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)=(23m +2n,m +23n).解得m =37,n =67， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67t AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为M ，E ，N 三点共线，所以37t +67t =1,t =79，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗﹒【解析】以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 写出A 、D 、B 、M 、N 、C 各点坐标(1)把MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的向量都用坐标表示，可求得λ和μ的值； (2)把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用坐标表示后可解决此问题．本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π)=32cos2x +3√32sin2x +3(sinx +cosx)(sinx −cosx)=32cos2x +3√32sin2x +3(sin 2x −cos 2x)=32cos2x +3√32sin2x +3cos2x =3sin(2x −π6)，所以函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，因为2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，所以kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)； (2)由题意得f(x)−k =0在区间[0,1312π]上有且仅有两个解x 1，x 2， 即曲线y =f(x)与直线y =k 在区间x 1，x 2上有且仅有两个交点， x ∈[0,1312π]，得2x −π6∈[−π6,2π]， 设t =2x −π6，则y =3sint,t ∈[−π6,2π]，由函数y =3sint,t ∈[−π6,2π]的性质可知k 的取值范围为(−3,−32)∪(0,3)， 设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，即x 1，x 2关于直线x =5π6对称，所以x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，即x 1，x 2关于直线x =π3对称，所以x 1+x 2=2π3， 综上，x 1+x 2的值是5π3或2π3.【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为f(x)=3sin(2x −π6)，进而根据正弦函数的性质即可求解．(2)由题意设t =2x −π6，则y =3sint ，t ∈[−π6,2π]，根据三角函数的性质可求k 的取值范围，设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，可求x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，可求x 1+x 2=2π3，从而可求x 1+x 2的值．本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由①可知这个函数的周期是12，即2πω=12，得ω=π6，由②可知f(1)最小，f(7)最大，且f(7)−f(1)=400，故(A +B)−(−A +B)=400，则A =200， 由③可知f(x)在[1,7]上是增函数，且f(1)=300，得f(7)=A +B =700，则B =500， 又当x =1时，f(x)最小，当x =7时，f(x)最大，∴sin(π6+φ)=−1，且sin(7×π6+φ)=1，可得φ=−2π3+2kπ,k ∈Z ， 已知|φ|<π，取k =0，得φ=−2π3. 故f(x)=200sin(π6x −2π3)+500(x =1,2,⋯,12)；(2)由条件可知，200sin(π6x −2π3)+500≥600，化简得sin(π6x −2π3)≥12，即2kπ+π6≤π6x −2π3≤2kπ+5π6,k ∈Z ， 解得：12k +5≤x ≤12k +9，k ∈Z ，∵x ∈N ∗，且1≤x ≤12，∴x =5，6，7，8，9， ∴客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物．【解析】(1)设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由已知求得A 、B 、ω与φ的值，可得函数解析式；(2)由题意，200sin(π6x −2π3)+500≥600，结合x 为自然数，即可求得x 值，则答案可求． 本题考查函数模型的选择及应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)如图，以O 为原点，以平行于BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为x 轴，以平行于DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点S(2cosx,2sinx)，由题可知A(2,2)，B(−2,2)，M(2cosx,2)，N(2,2sinx)， 则p =4cosx +4，q =−4+4sinx ，则pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)， 令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]， 则cosxsinx =1−t 22， 即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，所以当t =−√2时pq 有最小值为−8(3+2√2)，当t =1时pq 有最大值0， 所以pq 的取值范围是[−8(3+2√2),0]；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2], 则原式=4t 2−8t+14t=t +14t −2≥2√t ×14t −2=−1，当且仅当t =12时，即sinx =−12时等号成立，所以5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值为−1.【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算可得；pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)，然后令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]，即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，再结合二次函数求值域即可；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2],然后结合基本不等式可得：4t 2−8t+14t=t +14t−2≥2√t ×14t−2=−1，得解．本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．22.【答案】解：设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(a ⃗ −p ⃗ )2+(b ⃗ −p ⃗ )2+p ⃗ 2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a ⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值， 显然，此时P 0为△ABC 的重心， 设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y b ⃗ ， 则CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ 3=13(1x CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1y Cn ⃗⃗⃗⃗⃗ )由P 0，M ，N 三点共线可得13x +13y=1，即1x +1y=3，又x =|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,y =|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |4， 则1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12x ，2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12y， 代入上式可得：1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.【解析】设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值，此时P 0为△ABC 的重心，然后结合三点共线的向量表示求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三点共线的向量表示，属基础题．。
山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷含解析
山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，化简即可得到答案。
【详解】由诱导公式可得所以选D【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题。
2.已知向量，，且，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值。
【详解】因为向量，，由向量减法的运算可得又因为，则即解得所以选C【点睛】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，属于基础题。
3.若，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 将左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式即可求得的值。
【详解】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题。
4.已知向量，，且，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得的值，代入即可得解。
详解】向量，，且所以根据向量平行的坐标运算可得由正弦二倍角公式化简可得因为所以则所以选A【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。
5.圆与圆的位置关系是（）A. 外切B. 相离C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系。
【详解】因为圆与圆所以两个圆的圆心距两个圆的半径分别为因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了根据两个圆的半径判断圆与圆位置关系，属于基础题。
6.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解。
2023-2024学年重庆市康德卷高一下学期期末联合检测数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市康德卷高一下学期期末联合检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足(1+i)z =2i ，则|z|=( )A.22B. 1C.2 D. 22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位数是( )A. 8.7B. 8.9C. 9.0D. 9.13.在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2−ab =(a−b )2，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34.下列说法正确的是( )A. 若空间四点共面，则其中必有三点共线B. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D. 若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 456.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a tan B =b tan A ，cos A +cos B =1，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60∘，且AE =23AB ，AF =14AC ，则CE ⋅BF =( )A. −2B. −3C. −4D. −58.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，F 为BB 1的中点，过A 1作平面α满足条件D 1F ⊥α，则α截正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1所得截面为( )A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省东营市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
2023—2024学年度第二学期期末质量监测高一数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知1i z =-+，则z =（）A.0B.1C.D.22.函数()6tan 63ππf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为（）A.6πB.6C.12πD.123.已知a与b不共线，若a xb -与32a b +共线，则实数x 的取值为（）A.23-B.23C.32-D.324.下列不等式成立的是（）A.sin1sin2> B.sin11> C.sin1tan1> D.sin1cos1>5.某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面2m ，当雨与地面成75 斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m ）为（）A.4-B.2- C.2 D.1-6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin 22A c b c-=，则ABC 的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形7.如图，已知1,,30OA OB OC OC OB AOC ===⊥∠=，则（）A.2OC OA OB =+B.2OC OA OB=-C.OC OA OB=+D.2OC OA OB=+ 8.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.3C.23D.2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量)(),,3a b x ==-，则下列说法正确的是（）A .若a b，则x =B.若a b ⊥ ，则x =C.若a与b的夹角为钝角，则x 的取值范围为(-∞D.若x =b 在a上的投影向量的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭10.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()2π2sin 33f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()1f x ≥的解集为()π3π3π,3πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.把函数2sin y x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到()f x 的图象11.一个表面被涂满红色的棱长是4的正方体，将其均匀分割成棱长为1的小正方体，下列结论正确的是（）A.共得到64个小正方体B.由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为98C.由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为12πD.取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为32第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知cos222sin 4πθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin θθ+=______．13.在平行四边形ABCD 中,AD =1,60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点.若·1AC BE =,则AB 的长为_____.14.已知四边形ABCD 中，,,30AB BC AB BC DC AC CAD ∠==⊥⊥= ，将ABC 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则三棱锥B ACD -体积的最大值为______，此时该三棱锥的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数z 满足()1i 4i z +=．（1）求z ；（2）若z 是方程()20R,R x ax b a b ++=∈∈的一个根，求a b +的值．16.已知函数()21sin22f x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期、对称轴；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）若存在π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()31f x a ≤-，求实数a 的取值范围．17.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()22sin ,2b A b c a c ==+．（1）求sin sin AC的值；（2）若D 是ABC 的外接圆上一点（B 与D 位于直线AC 异侧），且22CD AD ==，求四边形ABCD 的面积．18.如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，2,AB PA ==（1）求棱锥的高和斜高；（2）求直线DE 到平面PAB 的距离；（3）若球O 是正六棱锥P ABCDEF -的内切球，以底面正六边形ABCDEF 的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥P ABCDEF -的内接几何体，求该几何体的侧面积．19.“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120 时，使120APB BPC CPA ∠=∠=∠= 的点P 即为费马点．已知ABC中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos sin 0,2a b c a C C b c a --==，点P 是ABC 的“费马点”．（1）求角A ；（2）若1PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=-，求ABC 的周长；（3）若,AC BC PA PB PC λ⊥+=，求实数λ的值．2023—2024学年度第二学期期末质量监测高一数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知1i z =-+，则z =（）A.0B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】代入复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，1i z =-+==故选：C2.函数()6tan 63ππf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为（）A.6πB.6C.12πD.12【答案】B 【解析】【分析】函数()6tan 63ππf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，求解即可.【详解】由正切函数的图象可知，函数()6tan 63ππf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，又最小正周期为π6π||6T ==-，所以函数()6tan 63ππf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为6.故选：B.3.已知a与b不共线，若a xb -与32a b +共线，则实数x 的取值为（）A.23-B.23C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】由向量共线即可列出方程组求解.【详解】由题意设()32b a x a b λ-=+ ，而a 与b不共线，所以132x λλ=⎧⎨-=⎩，解得23x =-.故选：A.4.下列不等式成立的是（）A.sin1sin2> B.sin11> C.sin1tan1> D.sin1cos1>【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的单调性和诱导公式逐一判断即可.【详解】对于A ，由π01π22<<-<知()sin1sin π2sin 2<-=，故A 错误；对于B ，显然有sin11≤，故B 错误；对于C ，由ππ142<<有πsin11tan tan14≤=≤，故C 错误；对于D ，由ππ142<<有π2πsin1sin cos cos1424>==>，故D 正确.故选：D.5.某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面2m ，当雨与地面成75 斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m ）为（）A.4-B.2-C.2D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出相应的直角三角形，利用三角函数和和差公式即可求解.【详解】如图，脚的位置位于点A 处，伞的边缘位于点B 处，则脚与伞边缘的水平距离为BC.由题意得，在Rt ABC △中，2,75AC B == ，则2tan 75AC BC BC ==，则2tan 75BC =，1tan 45tan 303tan 75tan(4530)21tan 45tan 3033++=+==+-24tan 75BC ∴==-.故选：A .6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin 22A c bc-=，则ABC 的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可.【详解】由2sin22A c b c -=得1cos sin sin 22sin A C BC--=，即()1cos sin sin sin A C C B -=-，即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，在ABC 中，sin 0A ≠，所以cos 0C =，π2C =，即ABC 的形状为直角三角形.故选：B.7.如图，已知1,,30OA OB OC OC OB AOC===⊥∠=，则（）A.2OC OA OB=+B.2OC OA OB=-C.OC OA OB=+D.2OC OA OB=+【答案】A【解析】【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可．【详解】建立如图所示的直角坐标系，1,,30OA OB OC OC OB AOC===⊥∠=，1(0,1),,)22B C A∴-，设OC OA OBλμ=+，1,)(0,1)220)λμ∴=-+，32102λλμ=⎪⎪∴⎨⎪-+=⎪⎩，解得21λμ=⎧⎨=⎩，所以2OC OA OB=+.故选：A.8.已知πsin sin=31θθ⎛⎫++⎪⎝⎭，则πsin=6θ⎛⎫+⎪⎝⎭（）A.12B.3C.23D.2【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：33sin 122θθ+=，313sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量)(),,3a b x ==-，则下列说法正确的是（）A.若a b，则x =B.若a b ⊥，则x =C.若a与b的夹角为钝角，则x 的取值范围为(-∞D.若x =b 在a上的投影向量的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示可判断A ，利用向量垂直的坐标表示判断B ，根据向量夹角的坐标求解C ，利用投影向量的坐标表示求解D.【详解】对于A ，若ab()31x -=⨯，即x =-，故A 错误；对于B ，若a b ⊥()130+⨯-=，即x =B 正确；对于C ，若a与b的夹角为钝角，则()1330a b ⋅=+⨯-=-<，即x <，且a 与b 不反向，当ab时，x =-，3b a =- ，a 与b反向，所以x ≠-，所以x的取值范围为((,-∞-- ，故C 错误；对于D，x =时，()3b =-，b在a上的投影向量的坐标为3,22a b a aa⎛⎫⋅⋅==-- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD.10.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()2π2sin 33f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()1f x ≥的解集为()π3π3π,3πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.把函数2sin y x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到()f x 的图象【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数图象直接可得2A =，再根据函数图象中的对称轴与对称中心可得函数解析式，进而可判断A 选项，再直接代入可判断B 选项，解不等式直接可判断C 选项，再根据函数的伸缩平移变换可判断D 选项.【详解】A 选项：由图可知2A =，且ππ44T =-，即2π3πT ω==，解得23ω=，又0ω>，所以23ω=，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又函数图象过点π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2π2sin 234ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得π2π3k ϕ=+，Z k ∈，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，即()2π2sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 选项错误；B 选项：2sin π2ππ2π2sin 23233f =+⎛⎫⎛⎫⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项正确；C 选项：()2sin 2π133f x x =+⎛⎫≥⎪⎝⎭，即sin 2π1332x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则π2π5π2π2π6336k x k +≤+≤+，Z k ∈，解得π3π3π3π44k x k -+≤≤+，Z k ∈，C 选项正确；D 选项：函数2sin y x =的图象先向左平移π3个单位长度可得π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变可得()2π2sin 33y x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图象，D 选项正确；故选：BCD.11.一个表面被涂满红色的棱长是4的正方体，将其均匀分割成棱长为1的小正方体，下列结论正确的是（）A.共得到64个小正方体B.由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为98C.由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为12πD.取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为32【答案】ABD【解析】【分析】棱长是4的立方体体积64，棱长为1的小正方体体积为1，由此能求出共得到多少个棱长为1的小正方体，可判断A；所有两面是红色的小正方体共有24个，组成长、宽、高分别为24,1,1的长方体，可得其表面积，判断B；三面涂色的小正方体有8个，组成一个边长为2的正方体，求其外接球的体积，可判断C；找到以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的侧棱长为12的正三棱锥时，所剩涂色面积最小，判断D.【详解】棱长是4cm的立方体体积为：4×4×4＝64，棱长为1cm的小正方体体积为1，所以共得到64641=个小正方体，A正确；二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，由立方体共有12条边，每边有2个正方体二面涂色，共有24个，它们组成一个长、宽、高分别为24,1,1的长方体，则表面积最大为241421198⨯⨯+⨯⨯=，B正确；三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由于立方体共有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，组成一个边长为2的正方体，其外接球的半径为2=，其体积为34π12π3=<，C错误；以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的侧棱长为12的正三棱锥，如图，所剩红色部分面积的最小为2332⨯=，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知cos222sin 4πθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin θθ+=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据二倍角公式及两角差的正弦公式直接化简可得.【详解】由已22cos2cos sin ππsin cos cos sin sin 444πθθθθθθ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭22θθθθ-+=)2cos sin 2θθ=+=-，即1cos sin 2θθ+=，故答案为：12.13.在平行四边形ABCD 中,AD =1,60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点.若·1AC BE = ,则AB 的长为_____.【答案】12【解析】【详解】设AB 的长为x ，因为AC = AB BC + ，BE = BC CE + ，所以·AC BE =()AB BC +⋅ ()BC CE + =2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅ =1cos18022x x x +⋅ +1+1cos1202x ⋅ =1，解得12x =，所以AB 的长为12.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.14.已知四边形ABCD 中，,,30AB BC AB BC DC AC CAD ∠==⊥⊥= ，将ABC 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则三棱锥B ACD -体积的最大值为______，此时该三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】①.2②.16π【解析】【分析】在平面内计算各个线段的长度，注意到三棱锥B ACD -体积最大时，平面BAC ⊥平面ACD 时，可知以B 为顶点时，点B 到平面ACD 的距离即为点B 到AC 的高，计算可得体积；利用球心到平面ABC 的距离、ABC 外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】已知四边形ABCD 中，6,,6623,AB BC AB BC AC ==⊥∴=+= 3,30,2,33an 2t CD DC AC CAD CAD CD AC ⊥===∴⇒∴= ∠∠，易知4=AD ，将ABC 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，当点B 到平面ACD 的距离最大时，则三棱锥B ACD -体积最大，即当平面BAC ⊥平面ACD 时，三棱锥B ACD -体积最大，此时点B 到平面ACD 的距离即为点B 到AC 的高，ABC 是等腰直角三角形，所以点B 到AC 的高3h =则三棱锥B ACD -体积的最大值为11123232332ACD V S h ==⨯⨯= ；设该三棱锥的外接球的球心为O ,O 到平面ABC 的距离为12CD d ==平面ABC 的外接圆的半径为r ，正弦定理可得2323,3sin 901AC r r ︒===∴=设求球的半径为R ,则222134,2R d r R =+=+=∴=此时该三棱锥的外接球的表面积为24π4π4=16πR =⨯.故答案为：216π；【点睛】关键点睛：求外接球表面积或体积问题，关键是要根据题意确定球心位置，进而求得球的半径.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数z 满足()1i 4i z +=．（1）求z ；（2）若z 是方程()20R,R x ax b a b ++=∈∈的一个根，求a b +的值．【答案】（1）22iz =-（2）4a b +=【解析】【分析】（1）根据复数的除法得22i z =+，再利用共轭复数概念即可；（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出,a b ，则得到a b +的值.【小问1详解】由()1i 2i z +=得：()()()()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，则22i z =-；【小问2详解】由（1）知：22i z =-，()()422i 22i 8z z a z z b +=-=⎧∴⎨⋅==+-=⎩，解得：48a b =-⎧⎨=⎩，4a b ∴+=．16.已知函数()21sin22f x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期、对称轴；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）若存在π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()31f x a ≤-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5πππ,,Z 122k x k =+∈（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）6a ≥【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数表达式，利用周期公式计算周期，令ππ2π,Z 32x k k -=+∈，解出x 即可得解；（2）直接列出不等式组求解即可；（2）只需求出()f x 在π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最小值，然后解不等式即可.【小问1详解】()211sin2sin2cos2sin 2222232πf x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==，令ππ2π,Z 32x k k -=+∈，解得5ππ,Z 122k x k =+∈，所以函数()f x 的最小正周期、对称轴分别5πππ,,Z 122k x k =+∈；【小问2详解】由()Z ππ3π2π22π,232k x k k +≤-≤+∈得()f x 的单调递增区间为：()12125π11ππ,πZ k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为：5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【小问3详解】因为π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,363x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以π3sin 2,132x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()12f x ⎡∈-+⎢⎣，因为存在π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()31f x a ≤-，所以3112a -≥-+，解得6a ≥，所以a 的取值范围为36a ≥．17.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()22sin ,2b A b c a c ==+．（1）求sin sin A C的值；（2）若D 是ABC 的外接圆上一点（B 与D 位于直线AC 异侧），且22CD AD ==，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理得3sin 2B =，结合已知得π3B =，再由余弦定理结合已知即可求解；（2）在ADC △中，运用余弦定理有27AC =，在ABC 中，结合3a c =并运用余弦定理可求得3,1a c ==，进一步结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】在锐角ABC 中，因为2sin b A =，所以2sin sin B A A =，而sin 0A >，故3sin 2B =，因为B 是锐角，所以π3B =，由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，又因为()22b c a c =+，所以()222c a c a c ac +=+-，整理的3a c=，故sin 3sin A a C c==．【小问2详解】在ADC △中，因为2π22,π3CD AD D B ===-=，所以，由余弦定理得222222π12cos 12212732AC AD CD AD CD ⎛⎫=+-⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅，即：22π923cos 73c c c c +-⋅=，解得1c =，所以四边形ABCD 的面积为111313332353sin sin 3112222222444ABC ACD S S S ac B AD CD D =+=+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=△△.18.如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，2,AB PA ==（1）求棱锥的高和斜高；（2）求直线DE 到平面PAB 的距离；（3）若球O 是正六棱锥P ABCDEF -的内切球，以底面正六边形ABCDEF 的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥P ABCDEF -的内接几何体，求该几何体的侧面积．【答案】（1）3，（2）3（3）(23π【解析】【分析】（1）首先作出锥体的高和斜高，再根据勾股定理，即可求解；（2）由//DE 平面PAB ，转化为点到平面的距离，再根据等体积转化D PAB P ABD V V --=，即可求解；（3）首先求内切球的半径，由题意可得，内接几何体为圆柱，再由内接圆柱与六棱柱的关系，画出轴截面，结合几何图形，即可求解.【小问1详解】作出棱锥的高PO '，因为是正六棱锥，所以O '是底面的中心，连接O C '，可知2O C '=．在Rt PO C '△中，可知223PO PC O C '='-=．设BC 中点为M ，由PBC 是等腰三角形可知，PMBC ⊥，因此，PM 是斜高，从而2223PM PC MC =-【小问2详解】因为//DE 平面PAB ，所以点D 到平面的距离d 就是直线DE 到平面PAB 的距离．由D PAB P ABD V V --=得1133PAB ABD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯'△△，又因为1122323,2232322PAB ABD S S =⨯⨯==⨯⨯=△△所以3d PO ='=．【小问3详解】设锥P ABCDEF -的内切球与侧面PBC 相切于H ，可得H 在PM 上，连接OH ．在Rt PO M '△中，3,3PO O M =''=则23PM =，所以π6O PH ∠'=．设内切球的半径为r ，由2PO OH =，可得32r r -=，解得1r =．故所求几何体是底面半径为1的圆柱．在PO M '△中，在O M '上取点N ，使得1O N '=，过N 作NR O M ⊥'，交PM 于点R ，作RS O M '∥，交O P '于S ，则：RN MNO P MO =''，故3RN =-所以该几何体的侧面积为：(23π．19.“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120 时，使120APB BPC CPA ∠=∠=∠= 的点P 即为费马点．已知ABC中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos sin 0,2a b c a C C b c a --==，点P 是ABC 的“费马点”．（1）求角A ；（2）若1PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=- ，求ABC 的周长；（3）若,AC BC PA PB PC λ⊥+=，求实数λ的值．【答案】（1）π3A =（2）2+（3）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角A 关系，再利用辅助角公式求解即可；（2）,,PA x PB y PC z === ，由向量的数量积可得2xy yz xz ++=，由三角形的面积可得1111πsin 22222223xy yz xz bc ++=，结合余弦定理可求b c +，可求周长；（3）不妨设,,PA m PC PB n PC PC x ===，则m n λ+=.由余弦定理解方程组即可得解.【小问1详解】因为cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0.A C A CBC +--=即：()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()sin cos sin sin0sin0A C A C C C--=>cos1A A-=，即π1sin62A⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以ππ66A-=，得π3A=；【小问2详解】,,PA x PB y PC z===，因为1111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=-+-+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2xy yz xz++=，由PAB PAC PBC ABCS S S S++=△△△△得：1111πsin22222223xy yz xz bc++=，即2bc=，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即()223a b c bc=+-，则()2432b c=+-⨯，解得b c+=所以ABC的周长为2a b c++=+【小问3详解】不妨设||||,||||,||PA m PC PB n PC PC x===，则m nλ+=.由余弦定理得:()22222222216||2cos1203AB m x n x mnx x m n mn︒=+-=++=，①()22222224||2cos12013AC x m x mx x m m︒=+-=++=，②()222||14BC x n n=++=，③因为222||||||AB AC BC=+，所以()()()222222211x m n mn x m m x n n++=+++++，即2m n mn++=，则21mnm+=-，由②③，221113m mn n++=++，则()22311m m n n++=++即()()()()()()()()2222222312211223111111m mm m m mm mm mm m m m+++++-+-++⎛⎫++=++==⎪--⎝⎭--因为210m m ++≠，所以2(1)1m -=，解得2m =或1m =-(舍)所以4n =，得6m n λ=+=.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设,,PA m PC PB n PC PC x ===，从而推导出m n λ+=、2m n mn ++=，结合关系求得.。
2022-2023学年山东省济南市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =11+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A ．1000人B ．300人C ．200人D ．100人3．设α，β为两个平面，则α⊥β的充要条件是（ ） A ．α过β的一条垂线B ．α，β垂直于同一平面C ．α内有一条直线垂直于α与β的交线D ．α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直 4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（ ） A ．110B ．15C ．25D ．355．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π4，b =1，c =√62，则角C 的值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．无解6．如果三棱锥S ﹣ABC 底面不是等边三角形，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等，SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 是△ABC 的（ ） A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心7．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，c =2，则△ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．(3+√3，2+2√3)B ．(3+√3，4+2√3)C ．(3+√3，6+2√3)D ．(3+√3，+∞)8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝1．点E ，F ，G 分别为平面P AB ，平面P AD 和平面ABCD 内的动点，点Q 为棱PC 上的动点，则QE 2+QF 2+QG 2的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数ω=−12+√32i ，则下列说法中正确的是（ ）A ．|ω|＝1B ．ω3＝﹣1C ．ω2＝ωD ．ω2+ω+1＝010．先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（ ） A ．事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等B ．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥C ．事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件D ．事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立11．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．平均数的估计值为30B ．众数的估计值为35C ．第60百分位数估计值是32D ．随机选取这100名学生中有25名学生体育活动时间不低于40分钟12．如图，已知三棱锥D ﹣ABC 可绕AB 在空间中任意旋转，△ABC 为等边三角形，AB 在平面α内，AB ⊥CD ，AB ＝2，CD =√6，cos∠CBD =14，则下列说法正确的是（ ）A ．二面角D ﹣AB ﹣C 为π2B ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积为20π3C ．点C 与点D 到平面α的距离之和的最大值为2 D ．点C 在平面α内的射影为点M ，线段DM 的最大值为√15+√32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为 ． 15．在圆C 中，已知弦AB ＝2，则AB →⋅AC →的值为 ．16．已知△ABC 的重心为G ，面积为1，且AB ＝2AC ，则3AG 2+BC 2的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知e →1，e →2是两个单位向量，夹角为π3，设a→=e →1+2e →2，b→=te →1−3e →2．（1）求|a →|；（2）若a →⊥b →，求t 的值．18．（12分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长均为2，M 为A 1C 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AB 1M ； （2）求点B 到平面AB 1M 的距离d ．19．（12分）独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追溯到17世纪的布莱兹•帕斯卡和皮埃尔•德•费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔•西蒙•拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件A 与B ，如果P （AB ）＝P （A ）P （B ）成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．（1）若事件A 与事件B 相互独立，证明：A 与B 相互独立；（2）甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．20．（12分）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下，设x i ，y i 分别为甲，乙小区抽取的第i 户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，s x 2，s y 2分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知x =18∑ 8i=1x i =200，s x 2=18∑ 8i=1(x i −x)2=200，y =195，s y 2=210，其中i ＝1，2，⋯，8．（1）若a ≤b ，求a 和b 的值；（2）甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值z 和方差s z 2．参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x 1，s 12；n ，x 2，s 22，总的样本平均数为ω，样本方差为s 2，则s 2=m m+n [s 12+(x 1−ω)2]+n m+n[s 22+(x 2−ω)2]．21．（12分）如图1，在等腰△ABC 中，AC ＝4，A =π2，O ，D 分别为BC 、AB 的中点，过D 作DE ⊥BC 于E ．如图2，沿DE 将△BDE 翻折，连接BA ，BC 得到四棱锥B ﹣ACED ，F 为AB 中点．（1）证明：DF ⊥平面AOB ；（2）当OB =√2时，求直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值．22．（12分）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，D ．对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值x =CACBDA DB叫做这四个有序点的交比，记作（ABCD ）． （1）证明：（EFGH ）＝（ABCD ）；（2）已知（EFGH）=32，点B为线段AD的中点，AC=√3OB=3，sin∠ACOsin∠AOB=32，求cos A．2022-2023学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z=11+2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=11+2i=1−2i(1+2i)(1−2i)=15−25i，它在复平面内对应点为（15，−25），在第四象限．故选：D．2．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（）A．1000人B．300人C．200人D．100人解：依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客1500×100100+30+20=1000(人)．故选：A．3．设α，β为两个平面，则α⊥β的充要条件是（）A．α过β的一条垂线B．α，β垂直于同一平面C．α内有一条直线垂直于α与β的交线D．α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直解：由α⊥β可得α经过β的一条垂线，反之若α经过β的一条垂线，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；α，β垂直于同一个平面，可得α，β平行或相交，故B错误；α内有一条直线垂直于α与β的交线，可得α，β不一定垂直，故C 错误； α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直，可得α，β平行或相交，故D 错误． 故选：A ．4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（ ） A ．110B ．15C ．25D ．35解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球， 从中不放回地依次随机摸出2个球， 第二次摸到红球的情况有两种：①第一次摸到红球，第二次摸到红球，概率为：P 1=35×24=310， ②第一次摸到黄球，第二次摸到红球，概率为：P 2=25×34=310， 则第二次摸到红球的概率为P ＝P 1+P 2=310+310=35． 故选：D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π4，b =1，c =√62，则角C 的值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．无解解：∵B =π4，b ＝1，c =√62，由正弦定理有：bsinB=c sinC，∴sinC =csinB b =√62×√221=√32，∵c ＞b ，∴C ＞B ，∴C ∈(π4，π)，∴C =π3或2π3．故选：C ．6．如果三棱锥S ﹣ABC 底面不是等边三角形，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等，SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 是△ABC 的（ ） A ．垂心 B ．重心C ．内心D ．外心解：如图所示：因为SO ⊥平面ABC ，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等， 则∠SAO ＝∠SBO ＝∠SCO ，AO =SO tan∠SAO ，BO =SO tan∠SBO ，CO =SOtan∠SCO，故AO ＝BO ＝CO ，故O 是△ABC 的外心． 故选：D ．7．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，c =2，则△ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．(3+√3，2+2√3)B ．(3+√3，4+2√3)C ．(3+√3，6+2√3)D ．(3+√3，+∞)解：∵B =π3，c ＝2， ∴由正弦定理得asinA=b sinπ3=2sinC，∴b =√3sinC ，a =2sinA sinC =2sin(π3+C)sinC =√3cosC+sinCsinC， ∴a +b =√3sinC+√3cosC+sinCsinC=√3(cosC+1)sinC+1=2√3cos 2C 22sin C 2cos C 2+1=√3tan C 2+1，在锐角△ABC 中，{0＜C ＜π20＜2π3−C ＜π2，解得π6＜C ＜π2， ∴π12＜C 2＜π4，即tanπ12＜tan C2＜1，又tan π6=2tanπ121−tan 2π12=√33，解得tan π12=2−√3或tan π12=−2−√3（不合题意，舍去）， ∴2−√3＜tan C2＜1，∴1＜1tan C 212−3=2+√3，∴√3+1＜√3tan C 2+1＜4+2√3，即√3+1＜a +b ＜4+2√3，∴√3+3＜a +b +c ＜6+2√3，故△ABC 的周长的取值范围为（√3+3，6+2√3）． 故选：C ．8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝1．点E ，F ，G 分别为平面P AB ，平面P AD 和平面ABCD 内的动点，点Q 为棱PC 上的动点，则QE 2+QF 2+QG 2的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1解：由题意得QE ，QF ，QG 均最小时，平方和最小，过点Q 分别作平面P AB ，平面P AD ，平面ABCD 的垂线，垂足分别为E ，F ，G ， 连接AQ ，因为P A ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，因为底面ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥面P AB ，因为QE ⊥平面P AB ，则QE ∥BC ，又因为点Q 在PC 上，则点E 应在PB 上， 同理可证F ，G 分别位于PD ，AC 上， 从而补出长方体EQFJ ﹣HGIA ，则AQ 是以QE ，QF ，QG 为共点的长方体的对角线，则AQ ²＝QE ²+QF ²+QG ²， 则题目转化为求AQ 的最小值，显然当AQ ⊥PC 时，AQ 的最小值， 因为四边形ABCD 为正方形，且P A ＝AB ＝1，则AC =√2， 因为P A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 所以PC =√PA 2+AC 2=√3， 则直角三角形P AC 斜边AC 的高AQ =1×√2√3=√63，此时AQ 2=23， 则QE ²+QF ²+QG ²的最小值为23，故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数ω=−12+√32i ，则下列说法中正确的是（ ）A ．|ω|＝1B ．ω3＝﹣1C ．ω2＝ωD ．ω2+ω+1＝0解：ω=−12+√32i ，则ω2=(−12+√32i)=−12−√32i ，ω2≠ω，故C 错误； |ω|=√(−12)2+(√32)2=1，故A 正确；ω3＝ω2•ω=(−12−√32i)(−12+√32i)=1，故B 错误； ω2+ω+1=−12−√32i −12+√32i +1=0，故D 正确．故选：AD．10．先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（）A．事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等B．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥C．事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件D．事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件“恰有一次正面向上”即“一次正面向上、一次反面向上”，同样，事件“恰有一次反面向上”也是“一次正面向上、一次反面向上”，两个事件相等，A正确；对于B，事件“至少一次正面向上”，即“一次正面向上、一次反面向上”和“两次都是正面向上”，事件“至少一次反面向上”，即“一次正面向上、一次反面向上”和“两次都是反面向上”，两个事件不互斥，B错误；对于C，事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”不是对立事件，还有一种情况“一次正面向上、一次反面向上”，C错误；对于D，由相互独立事件的定义，事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立，D正确．故选：AD．11．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．平均数的估计值为30B．众数的估计值为35C．第60百分位数估计值是32D．随机选取这100名学生中有25名学生体育活动时间不低于40分钟解：对于A，由频率分布直方图可知平均数的估计值为：5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05＝29.2，故A 错误；对于B ，由频率分布直方图可知[30，40）的频率最大，因此众数的估计值为35，故B 正确； 对于C ，由频率分布直方图得从第一组到第六组的频率依次是0.1，0.18，0.22，0.25，0.2，0.05， 所以第60百分位数估计值m 在[30，40）内，所以0.1+0.18+0.22+（m ﹣30）×0.025＝0.6，解得m ＝34，故C 错误；对于D ，随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为100×（0.2+0.05）＝25，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知三棱锥D ﹣ABC 可绕AB 在空间中任意旋转，△ABC 为等边三角形，AB 在平面α内，AB ⊥CD ，AB ＝2，CD =√6，cos∠CBD =14，则下列说法正确的是（ ）A ．二面角D ﹣AB ﹣C 为π2B ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积为20π3C ．点C 与点D 到平面α的距离之和的最大值为2 D ．点C 在平面α内的射影为点M ，线段DM 的最大值为√15+√32解：对于A 选项，在△BCD 中，BC =AB =2，CD =√6，cos∠CBD =14， 由余弦定理可得CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ， 即4+BD 2−4BD ×14=6，即BD 2﹣BD ﹣2＝0，因为BD ＞0，解得BD ＝2， 取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，如下图所示：因为△ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点，所以，CE ⊥AB ，又因为CD ⊥AB ，CD ∩CE ＝C ，CD ，CE ⊂平面CDE ，所以，AB ⊥平面CDE ， 因为DE ⊂平面CDE ，所以，DE ⊥AB ， 所以，二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为∠CED ，因为E 为AB 的中点，所以，AD ＝BD ＝2，故△ABD 也是边长为2的等边三角形， 所以DE =√AD 2−AE 2=√4−1=√3，CE =√AC 2−AE 2=√4−1=√3， 又因为CD =√6，所以，CE 2+DE 2＝CD 2，则CE ⊥DE ， 故二面角D ﹣AB ﹣C 为π2，A 对；对于B 选项，设△ABC 、△ABD 的中心分别为点G 、H ，分别过点G 、H 作GO ∥DE 、HO ∥CE ，设GO ∩HO ＝O ， 因为CE ⊥DE ，CE ⊥AB ，AB ∩DE ＝E ，AB 、DE ⊂平面ABD ，所以，CE ⊥平面ABD ，因为HO ∥CE ，则OH ⊥平面ABD ，同理，OG ⊥平面ABC ， 所以，O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球球心， 由等边三角形的几何性质可知，HE =13DE =√33，同理，GE =13CE =√33，因为OH ∥GE ，OG ∥EH ，HE =GE =√33，GE ⊥HE ， 所以，四边形OHEG 为正方形，且OH =GE =√33， 又因为DH =DE −HE =√3−√33=2√33， 因为CE ⊥DE ，OH ∥CE ，则OH ⊥DE ，则OD =√OH 2+DH 2=√(33)2+(233)2=√153， 所以，三棱锥D ﹣ABC 的外接球半径为√153，因此，三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为4π⋅OD 2=4π×(√153)2=20π3，B 对； 对于C 选项，设点D 在平面α内的射影点为N ，连接MN ，因为CM ⊥a ，DN ⊥a ，则CM ∥DN ，故点C 、D 、N 、M 四点共面， 因为AB ⊂α，则AB ⊥CM ，又因为CD ⊥AB ，CD ∩CM ＝C ，CD 、CM ⊂平面CDNM ，则AB ⊥平面CDNM ， 又因为AB ⊥平面CDE ，故平面CDE 与平面CDNM 重合， 又因为E ∈α，M ，N ∈α，故E ∈MN ， 设∠CEM ＝θ，其中0≤θ≤π2，又因为∠CED =π2，则∠DEN =π−∠CED −∠CEM =π−π2−θ=π2−θ， 所以，CM =CEsin ∠CEM =√3sinθ，DN =DEsin ∠DEN =√3sin(π2−θ)=√3cosθ，所以，点C 与点D 到平面α的距离之和CM +DN =√3sinθ+√3cosθ=√6sin(θ+π4)， 因为0≤θ≤π2，则π4≤θ+π4≤3π4，故当θ+π4=π2时，即当θ=π4时，CM +DN 取最大值√6，C 错； 对于D 选项，ME =CEcosθ=√3cosθ，∠DEM =∠CED +∠CEM =π2+θ， 由余弦定理可得DM =√DE 2+EM 2−2DE ⋅EMcos(π2+θ) =√3+3cos 2θ+2√3⋅√3cosθsinθ=√3+3×1+cos2θ2+3sin2θ =√3sin2θ+3cos2θ2+92=√352sin(2θ+φ)+92， 其中φ为锐角，且tanφ=12，因为0≤θ≤π2，则φ≤2θ+φ≤π+φ，故当2θ+φ=π2时，DM 取得最大值， 且(DM)max =√9+352=√18+654=√15+√32，D 对． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为 5 ．解：5×75%＝3.75，故一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为5． 故答案为：5．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为 12．解：如图，连接A 1C 1，A 1B ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，A 1D 1＝B 1C 1＝BC ， 所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，所以A 1B ∥CD 1， 所以∠A 1BC 1为直线BC 1与直线CD 1夹角或其补角， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为a ， 则A 1B =BC 1=A 1C 1=√2a ， 所以△A 1BC 1为等边三角形， 所以∠A 1BC 1=π3，故直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为cos ∠A 1BC 1=cos π3=12． 故答案为：12．15．在圆C 中，已知弦AB ＝2，则AB →⋅AC →的值为 2 ． 解：∵在圆C 中，已知一条弦AB ＝2，∴根据圆的几何性质得出：|AC |cos ∠CAB =12|AB |=12×2=1， ∵AB →•AC →=|AB →•|AC →|cos ∠CAB ＝2×1＝2． 故答案为：2．16．已知△ABC 的重心为G ，面积为1，且AB ＝2AC ，则3AG 2+BC 2的最小值为4√213．解：由题意c ＝2b ，S △ABC =12bc sin A ＝1，即b 2sin A ＝1；连接AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，可得AD →=12（AB →+AC →），又因为G 为三角形的重心，则AG →=23AD →，可得AG →=13（AB →+AC →），BC →=AC →−AB →，所以AG 2=AG →2=19（AB →2+AC →2+2AB →•AC →）=19（c 2+b 2+2bc cos A ）=19（5b 2+4b 2cos A ）， BC 2=BC →2=AC →2+AB →2﹣2AB →•AC →=b 2+c 2﹣2bc cos A ＝5b 2﹣4b 2cos A ，所以3AG 2+BC 2=53b 2+4b 23cos A +5b 2﹣4b 2cos A =203b 2−83b 2cos A =203sinA −8cosA 3sinA，令t =203sinA −8cosA 3sinA＞0，则3t sin A +8cos A ＝20， 即sin （A +φ）=20√9t +64≤1，当且仅当A +φ=π2时取等号，tan φ=82t ，可得9t 2+64≥400，解得t ≥4√213或t ≤−4√213（舍）， 即t 的最小值为：4√213．故答案为：4√213． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知e →1，e →2是两个单位向量，夹角为π3，设a→=e →1+2e →2，b→=te →1−3e →2．（1）求|a →|；（2）若a →⊥b →，求t 的值．解：（1）∵|e 1→|=|e 2→|=1，＜e 1→，e 2→＞=π3， ∴e 1→⋅e 2→=12，∴|a →|=√e 1→2+4e 2→2+4e 1→⋅e 2→=√1+4+2=√7； （2）∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=(e 1→+2e 2→)⋅(te 1→−3e 2→)=te 1→2−6e 2→2+(2t −3)e 1→⋅e 2→=t −6+12(2t −3)=0，解得t =154． 18．（12分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长均为2，M 为A 1C 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AB 1M ； （2）求点B 到平面AB 1M 的距离d ．证明：（1）连接A 1B 交AB 1于点N ，连接MN ，则正三棱柱中A 1B 1BA 是平行四边形， 所以N 为A 1B 的中点，又M 为A 1C 1的中点，所以MN ∥BC 1，BC 1⊄平面AB 1M ，MN ⊂平面AB 1M ，所以BC 1∥平面AB 1M ． 解：（2）过M 作MH ⊥A 1B 1，垂足为H ，由题意可得B 1M =√3，AM =√5，AB 1=2√2，所以B 1M 2+AM 2=AB 12，所以B 1M ⊥AM ，所以△AB 1M 的面积S △AB 1M =12×√3×√5=√152， 因为正三棱柱中平面A 1B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，又平面A 1B 1C 1∩平面A 1B 1BA ＝A 1B 1，MH ⊂平面A 1B 1C 1，且MH ⊥A 1B 1， 所以MH ⊥平面A 1B 1BA ，即M 到平面A 1B 1BA 的距离为MH =MA 1sin π3=√32，又△ABB 1的面积S △ABB 1=12AB ⋅BB 1=2， 所以V M−ABB 1=13MH ⋅S △ABB 1=13×√32×2=√33，又V M−ABB 1=V B−MAB 1， 所以13S △AB 1M ⋅d =√33，解得d =2√55， 所以点B 到平面AB 1M 的距离为2√55． 19．（12分）独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追溯到17世纪的布莱兹•帕斯卡和皮埃尔•德•费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔•西蒙•拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件A 与B ，如果P （AB ）＝P （A ）P （B ）成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．（1）若事件A 与事件B 相互独立，证明：A 与B 相互独立；（2）甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．解：（1）证明：事件A 与事件B 相互独立，则P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 又由B =A B +AB ，事件A B 和AB 互斥，则有P （B ）＝P （A B +AB ）＝P （AB ）+P （A B ）＝P （A ）P （B ）+P （A B ），变形可得：P （A B ）＝P （B ）﹣P （A ）P （B ）＝[1﹣P （A ）]P （B ）＝P （A ）P （B ）， 故事件A 与B 相互独立；（2）根据题意，设事件A 1、A 2分别表示甲答对1道、2道题目，事件B 1、B 2分别表示乙答对1道、2道题目，则P （A 1）＝2×35×（1−35）=1225，P （A 2）=35×35=925， P （B 1）＝2×23×（1−23）=49，P （B 2）=23×23=49， 若甲乙两人在两轮活动中答对3道题，即A 2B 1+A 1B 2，则甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率P ＝P （A 2B 1+A 1B 2）＝P （A 2B 1）+P （A 1B 2）=925×49+1225×49=2875． 20．（12分）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下，设x i，y i分别为甲，乙小区抽取的第i户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，s x2，s y2分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知x=18∑8i=1x i=200，s x2=18∑8i=1(x i−x)2=200，y=195，s y2=210，其中i＝1，2，⋯，8．（1）若a≤b，求a和b的值；（2）甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值z和方差s z2．参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x1，s12；n，x2，s22，总的样本平均数为ω，样本方差为s2，则s2=mm+n [s12+(x1−ω)2]+nm+n[s22+(x2−ω)2]．解：（1）已知x=18∑8i=1x i=18(200+220+200+180+200+a+b+220)=200，整理得a+b＝380，①又s x2=18∑8i=1(x i−x)2=8[3×（200﹣200）2+2×（220﹣200）2+（180﹣200）2+（a﹣200）2+（b﹣200）2]＝200，整理得（a﹣200）2+（b﹣200）2＝400，②联立①②，解得a＝180，b＝200或a＝200，b＝180，因为a≤b，所以a＝180，b＝200；（2）设甲小区试行新措施之后，甲小区抽取的第i户家庭近7天用于垃圾分类的总时间为m i，此时m i＝x i﹣35，则m i=x−35＝165，s m2=s x2=200，所以z=116（8m+8y）=12（165+195）＝180，s z2=88+8[s m2+（m−z）2]+88+8[s y2+（y−z）]=12[200+（165﹣180）2]+12[210+（195﹣180）2]＝430．21．（12分）如图1，在等腰△ABC中，AC＝4，A=π2，O，D分别为BC、AB的中点，过D作DE⊥BC于E ．如图2，沿DE 将△BDE 翻折，连接BA ，BC 得到四棱锥B ﹣ACED ，F 为AB 中点．（1）证明：DF ⊥平面AOB ；（2）当OB =√2时，求直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值．（1）证明：因为DE ⊥BE ，DE ⊥OE ，且BE ∩OE ＝E ，BE 、OE ⊂平面BCE ， 所以DE ⊥平面BCE ，又OA ∥DE ，所以OA ⊥平面BCE ，设点P 是翻折前点B 所在的位置，则D 为AP 的中点， 因为F 为AB 的中点，所以DF ∥PB ，因为PB ⊂平面BCE ，所以OA ⊥PB ，所以OA ⊥DF ， 由题意知，DA ＝DB ，因为F 为AB 的中点，所以DF ⊥AB ， 又OA ∩AB ＝A ，OA 、AB ⊂平面AOB ， 所以DF ⊥平面AOB ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，2√2），P （2√2，0，0），C （﹣2√2，0，0），D （√2，0，√2）， 由（1）知，DF ⊥平面AOB ，因为DF ∥PB ，所以PB ⊥平面AOB ，所以PB ⊥OB ， 又OB =√2=12OP ，所以∠POB ＝60°，所以B （√22，√62，0），F （√24，√64，√2）， 所以BF →=（−√24，−√64，√2），CD →=（3√2，0，√2），CB →=（5√22，√62，0），设平面BCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CD →=0n →⋅CB →=0，即{3√2x +√2z =05√22x +√62y =0， 令x ＝1，则y =53，z ＝﹣3，所以n →=（1，53，﹣3）， 设直线BF 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜BF →，n →＞|=|BF →⋅n →||BF →|⋅|n →|=|−√24+√64×5√3−3√2|(24)+(64)√1+(5√3)=4√3355，故直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值为4√3355． 22．（12分）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，D ．对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值x =CACBDA DB叫做这四个有序点的交比，记作（ABCD ）． （1）证明：（EFGH ）＝（ABCD ）；（2）已知（EFGH ）=32，点B 为线段AD 的中点，AC =√3OB =3，sin∠ACOsin∠AOB =32，求cos A ．解：（1）证明：在△AOC 、△AOD 、△BOC 、△BOD 中，CA CB =S △AOC S △BOC =12OA⋅OCsin∠AOC 12OB⋅OCsin∠BOC =OAsin∠AOC OBsin∠BOC，DA DB=S △AOD S △BOD=12OA⋅ODsin∠AOD 12OB⋅ODsin∠BOD =OAsin∠AOD OBsin∠BOD，所以(ABCD)=CA CB DA DB=OAsin∠AOC OBsin∠BOC OAsin∠AOD OBsin∠BOD=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD，又在△EOG 、△EOH 、△FOG 、△FOH 中，GE GF =S △EOG S △FOG =12OE⋅OGsin∠EOG 12OF⋅OGsin∠FOG =OEsin∠EOG OFsin∠FOG，HE HF=S △EOH S △FOH=12OE⋅OHsin∠EOH 12OF⋅OHsin∠FOH =OEsin∠EOH OFsin∠FOH，所以(EFGH)=GE GF HE HF=OEsin∠EOG OFsin∠FOG OEsin∠EOH OFsin∠FOH=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH ，又∠EOG ＝∠AOC ，∠FOH ＝∠BOD ，∠FOG ＝∠BOC ，∠EOH ＝∠AOD ， 所以sin∠AOC⋅sin∠BOD sin∠BOC⋅sin∠AOD=sin∠EOG⋅sin∠FOH sin∠FOG⋅sin∠EOH，所以（EFGH ）＝（ABCD ）．（2）由题意可得(EFGH)=32，所以(ABCD)=32，即CACB DA DB=32，所以CA CB ⋅DBDA=32，又点B 为线段AD 的中点，即DB DA=12，所以CACB=3，又AC ＝3，则AB ＝2，BC ＝1， 设OA ＝x ，OC ＝y 且OB =√3， 由∠ABO ＝π﹣∠CBO ， 所以cos ∠ABO +cos ∠CBO ＝0， 即2√3)222×2×√3+2√3)222×1×√3=0，解得x 2+2y 2＝15，①在△AOB 中，由正弦定理可得AB sin∠AOB =x sin∠ABO，②在△COB 中，由正弦定理可得OB sin∠BCO=y sin∠CBO，③且sin ∠ABO ＝sin ∠CBO ，②③得，x y=AB sin∠AOB⋅sin∠BCO OB=32×√3=√3，即x =√3y ，④由①④解得x =3，y =√3（负值舍去）， 即AO =3，OC =√3所以cosA =AO 2+AB 2−OB 22AO⋅AB =32+22−(√3)22×3×2=56．。
山东省泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题2024.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A. 1B. ﹣1C. D. ﹣2. 若，为非零向量，则“”是“”（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则4. 已知在中，，，，则（ ）A.B.C.D.或5. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是台，完成率为，则下列叙述正确的是（ ）的..z ()11z i i +=-i z iia ba b a b +=+ //a b m n αβ//m α//n α//m n //αβm α⊥//n βm n ⊥m α⊂n ⊂α//m β//n β//αβαβ⊥//m α//n βm n ⊥ABC V 1AB =AC =π3C =B =π4π63π4π43π440090%（1）2023年9月销售量是450台；（2）2023年月销售任务的平均值不超过600台；（3）2023年第四季度总销售为800台；（4）2023年月销售量最大的是6月份．A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（4）6. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ）A.B.C.D.7. 如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为，向山顶前进100m 到达B 处，在B 处测得C 对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为θ，则（ ）A.B.C.D.8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC 和BOD 均是以半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于账篷底面ABCD 的平面截帐篷，所得截的A =B =()25P A B = ()P AB =14151811015 30 60m CD =cos θ=1-3456面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）A B. 若，则C. D. 若，则或10.已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ）A. 的取值范围是B. 点P 在斜边AB 的中线上C. 点P 的轨迹长度是2D. 的取值范围是11. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知，，将沿BD 翻折到位置，则下列结论正确的是（ ）A. 翻折过程中存在某个位置，使B. 当二面角为时，点C 到平面C. 直线与CD 所成角的取值范围为.1z 2z 2211z z =12z z =21z z =1212z z z z =⋅i 1z -=0z =2iz =ABC V 2AB =P ABC V ()221sin cos 2BP BA BC R θθθ=+∈ AB AC ⋅u u u r u u u r()0,4()PC PA PB ⋅+ 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AD BC P 122AD AB BC ===ABD △A BD 'V A C CD'⊥A BD C '--120 A BD 'A B 'ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知单位向量，的夹角为，________．13. 某班学生分成了A ，B 两个数学兴趣小组，A 组20人，B 组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A 组成绩的平均数为90分，方差为30，B 组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为________．14. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，，交于点，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在的学生有20人．（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的第70百分位数和平均数16. 如图，在直三棱柱中，D ，E 分别为，的中点．，，A BCD '-A C 'A BD 'a b 2π3a mb -=m =8AC =π3BAC ∠=π4DAC ∠=BD AC E AE =[)60,70111ABC A B C -1AA 1BC 2AB AC ==BC =12AA =（1）求证：平面ABC ；（2）求直线CD 与平面所成角的正切值．17. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，．（1）求B ；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．18. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，已知事件 “与地面接触的面上的数字为偶数”，事件 “与地面接触的面上的数字不小于5”．（1）判断事件与是否相互独立，并证明；（2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件至少发生次的概率；（3）请构造一个含有2个样本点的事件C ，满足①②，，三个事件两两独立③并给出证明．19. 如图，在矩形ABCD 中，，，E 是线段AB 上的一点，将沿DE 翻折，使A 点到达P 的位置，且点P 不在平面BCDE内．//DE 1BCC ABCV b=()()()()sin sin sin a B C B C b c -+=-+ABCV 222a c +{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=A =B =A B AB 2()0P ABC ≠A B C ()()()()P ABC P A P B P C ≠4AB =2AD =ADE V（1）若平面平面BCDE ，证明：平面平面；（2）设E 为AB 的中点，取DE 的中点O ，连接AO 并延长，交BC 延长线于点S ，设．①用表示二面角的正切；②当二面角最大时，求四棱锥的体积．PCD ⊥PDC ⊥PBC POS α∠=αP BC D --P BC D ---P BCDE泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】或【13题答案】【答案】60【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）， （2）第70百分位数是82，平均数是74【16题答案】【答案】（1）略 （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）事件，相互独立，证明略 （2）（3）事件可以为，，，中的任意一个，证明略【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）①；②23-4-0.025a =0.02b =12π6B =()48,60A B 532C {}1,6{}1,8{}3,6{}38,tan )PGH απ∠=<<83。
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1 2015-2016学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．sin（﹣390°）=（ ）
A． B． C． D． 2．某商场连续10天对甲商品每天的销售量（单位：件）进行了统计，得到如图所示的茎叶图，据该图估计商店一天的销售量不低于40件的频率为（ ）
A． B． C． D． 3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．已知向量=（2，1），=（0，1），=（3，6），λ为实数，若（+λ）∥，则λ等于（ ）
A． B． C．1 D．3 5．某办公室5位职员的月工资（单位：元）分别为x1，x2，x3，x4，x5，他们月工资的均值为3500，方差为45，从下月开始每人的月工资都增加100元，那么这5位职员下月工资的均值和方差分别为（ ） A．3500，55 B．3500，45 C．3600，55 D．3600，45 6．已知x与y之间的几组统计数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 6 11 14 16 18
根据上表数据所得线性回归方程为=2.5x+a，据此模型推算当x=7时，的值为（ ） A．20 B．20.5 C．21 D．21.5 7．若=2，则tan2α=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D． 8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α∥β，l∥α，则l∥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
9．函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图
象如图所示，则f（）等于（ ） 2
A． B． C． D．﹣ 10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（ ）
A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1 11．函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
12．设D、E是△ABC所在平面内不同的两点，且=（+），=+，则△ABE
和△ABD的面积比为（ ） A． B． C． D． 二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分. 13．已知扇形的半径为2，面积为π，则该扇形的圆心角为 ． 14．运行如图所示程序框图，输出的S的值等于 ．
15．在区间[﹣3，3]上任取一个实数x，则sinx≥的概率为 ． 16．已知下列四个结论： 3
①函数y=|sin（x+）|是偶函数； ②函数y=sin（2x﹣）的图象的一条对称轴为x=π； ③函数y=tan2x的图象的一个对称中心为（，0）； ④若A+B=，则（1+tanA）（1+tanB）=2． 其中正确的结论序号为 （把所有正确结论的序号都写上）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17．已知向量，满足||=，||=2，|+2|=． （Ⅰ）求•； （Ⅱ）若向量λ+2与向量2﹣垂直，求实数λ的值．
18．设f（x）=m﹣，其中m为常数 （Ⅰ）若f（x）为奇函数，试确定实数m的值； （Ⅱ）若不等式f（x）+m＞0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边落在射线y=（x≤0）上． （Ⅰ）求cos（+θ）的值；
（Ⅱ）若cos（α+）=sinθ，求sin（2α+）的值． 20．某校组织高一数学模块检测（满分150分），从得分在[90，140]的学生中随机抽取了100名学生的成绩，将它们分成5组，分别为：第1组[90，100），第2组[100，110），第3组[110，120），第4组[120，130），第5组[130，140]，然后绘制成频率分布直方图． （I）求成绩在[120，130）内的频率，并将频率分布直方图补齐； （Ⅱ）从成绩在[110，120），[120，130），[130，140]这三组的学生中，用分层抽样的方法选取n名学生参加一项活动，已知从成绩在[120，130）内的学生中抽到了6人，求n的值； （Ⅲ）从成绩在[120，130）内抽到的这6名学生中有4名男生，2名女生，现要从这6名学生中任选2名作为代表发言，求选取的2人恰为1男1女的概率． 4
21．函数f（x）=2cos2ωx+2sinωcosωx﹣（ω＞0），其图象上相邻两个最高点之间的距离为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原
来的2倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在[0，]上的单调增区间； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求方程g（x）=t（0＜t＜2）在[0，π]内所有实根之和． 22．已知圆C1：x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线x+y﹣2=0对称，且经过点（0，0）和（4，0）． （Ⅰ）求圆C1的标准方程； （Ⅱ）已知圆C2的方程为（x﹣2）2+y2=1． （i）若过原点的直线l与C2相交所得的弦长为，求l的方程； （ii）已知斜率为k的直线m过圆C2上一动点，且与圆C1相交于A、B两点，射线PC2交圆C1于点Q，求△ABQ面积的最大值． 5
2015-2016学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．sin（﹣390°）=（ ）
A． B． C． D． 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】根据终边相同的角，将﹣390°化成﹣30°，再利用30°的三角函数值与sin（﹣α）的公式，即可求出答案． 【解答】解：根据题意，得 sin（﹣390°）=sin（﹣390°+360°）=sin（﹣30°）
∵sin30°=
∴sin（﹣30°）=﹣sin30°=﹣ 故选：B
2．某商场连续10天对甲商品每天的销售量（单位：件）进行了统计，得到如图所示的茎叶图，据该图估计商店一天的销售量不低于40件的频率为（ ）
A． B． C． D． 【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】由茎叶图求出商店一天的销售量不低于40件的频数由此据该图能估计商店一天的销售量不低于40件的频率． 【解答】解：由茎叶图得商店一天的销售量不低于40件的频数m=4件， 总件数n=10件，
∴据该图估计商店一天的销售量不低于40件的频率p=． 故选：A．
3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【考点】三角函数值的符号． 【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组． 6
【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限． 故选：C．
4．已知向量=（2，1），=（0，1），=（3，6），λ为实数，若（+λ）∥，则λ等于（ ）
A． B． C．1 D．3 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】由已知先求出=（2，1+λ），再由（+λ）∥，能求出λ的值． 【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，1），=（3，6），λ为实数， ∴=（2，1）+（0，λ）=（2，1+λ）， ∵（+λ）∥，
∴，解得λ=3． 故选：D．
5．某办公室5位职员的月工资（单位：元）分别为x1，x2，x3，x4，x5，他们月工资的均值为3500，方差为45，从下月开始每人的月工资都增加100元，那么这5位职员下月工资的均值和方差分别为（ ） A．3500，55 B．3500，45 C．3600，55 D．3600，45 【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【分析】样本数据加同一个数，则样本均值也加这个数，样本方差不变． 【解答】解：∵办公室5位职员的月工资（单位：元）分别为x1，x2，x3，x4，x5， 他们月工资的均值为3500，方差为45， 从下月开始每人的月工资都增加100元， ∴这5位职员下月工资的均值为：3500+100=3600， 方差为45． 故选：D．
6．已知x与y之间的几组统计数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 6 11 14 16 18
根据上表数据所得线性回归方程为=2.5x+a，据此模型推算当x=7时，的值为（ ） A．20 B．20.5 C．21 D．21.5 【考点】线性回归方程． 【分析】由图表中的数据求出样本中心点的坐标，代入回归方程求出a的值，当x=7时，即
可求得的值．
【解答】解： ==4， ==13， 所以样本中心点为（4，13）， 把样本中心点代=2.5x+a，解得a=3， 7
线性回归方程为=2.5x+3， 当x=7时， =20.5， 故答案为：B．
7．若=2，则tan2α=（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系． 【分析】由题意和商的关系化简所给的式子，求出tanα的值，利用倍角的正切公式求出tan2α的值．
【解答】解：由题意得，，
即，解得tanα=3，
∴tan2α==， 故选：A． 8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α∥β，l∥α，则l∥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】借助于长方体中的线面关系直观判断，恰当选取长方体中的线与面来表示题目中涉及到的线、面，然后进行判断． 【解答】解：对于A项，在长方体中，任何一条棱都有和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不对； 对于B项，若α、β分别是长方体的上下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l，都有l∥α，但l⊂β，所以B不对； 对于D项，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时α⊥β，在右边侧面中取一条对角线l，则l∥α，但l与β不垂直，故D不对； 对于C项，设平面γ∩β=m，且l⊂γ，∵l∥β，所以l∥m，又∵l⊥α，所以m⊥α，由γ∩β=m得m⊂β，∴α⊥β． 故选C
9．函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）等于（ ）