普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五理

（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U R=，集合{}223,A yy x x x R ==++∈，集合1,(1,3)B y y x x x ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则()U C A B =（ ）A ．(0,2)B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(,2)-∞2. 已知3sin(3)2sin 2a a ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则sin()4sin 25sin(2)2cos(2)a a a a ππππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=++-（ ）A ．12 B ．13 C ．16 D ．16- 3. 设i 为虚数单位，现有下列四个命题：1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；2p ：复数22z i=-+的共轭复数为1+i 3p ：已知复数1z i =+，设1(,)ia bi ab R z-+=∈，那么2a b +=-； 4p ：若z 表示复数z 的共轭复数，z 表示复数z 的模，则2zz z =.其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ． 24,p p4.在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视A ，B ，C ，D ，E ，F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则(|)P N M =（ ） A ．23 B ．14 C. 13 D ．125. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）A ．B ． C. D ．6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则235log ()a a ⋅的值为（ ） A ．8 B ．10 C. 12 D ．167. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ． 2()sin f x x x = B ． ()1f x x x =-+ C. 1()lg1xf x x+=- D ．()xx f x ππ-=-8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是①“数轴上两点间距离公式为AB =，平面上两点间距离公式为AB =”，类比推出“空间内两点间的距离公式为AB =AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)②“代数运算中的完全平方公式222()2a b a a b b +=+⋅+”类比推出“向量中的运算222()2a b a a b b +=+⋅+仍成立“；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立；④“圆221x y +=上点00(,)P x y 处的切线方程为001x x y y +=”，类比推出“椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=”.A ． 1B ．2 C. 3 D ．4 9.已知直线y a =与正切函数tan (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ，2x ，且有212x x π-=，假设函数tan ((0,))3y x x πωπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的两个不同的零点分别为3x ，443()x x x >，若在区间(0,)π内存在两个不同的实数5x ，665()x x x >，与3x ，4x 调整顺序后，构成等差数列，则{}56tan (,)3y x x x x πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3-．3 C. D ．3-310. 已知抛物线24x y =的焦点为F ,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ． 32．211. 已知函数()f x 的导函数()xf x e '= (其中e 为自然对数的底数)，且(0)f ，(2)f 为方程222(1)(1)()0x e x c e c -++++=的两根，则函数2()()F x x x x =+-，(]0,1x ∈的值域为（ ）A ．(]0,2e -B ． (]0,1e - C. (]0,e D ．(]0,1e +12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点,过点A ，E ，1C ，F 的平面截直四棱柱1111ABCD A BC D -，得到平面四边形1AEC F ，G 为AE 的中点，且3FG =，当截面的面积取最大值时，sin()3EAF π∠+的值为（ ）A ．410 B ．10 C.10D ．10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知函数5()(1)(3)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2x 项的系数是 ．14.已知向量(1a =，2340b b --=，向量a ，b 的夹角为3π，设(,)c ma nb m n R =+∈，若()c a b ⊥+，则mn的值为 ． 15.已知函数222()xmx x f x e+-=，[]1,m e ∈，[]1,2x ∈，max min ()()()g m f x f x =-，则关于m 的不等式24()g m e≥的解集为 ． 16.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数2()2sin 20)f x x x ωωω=+>在半个周期内的图象的如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y =2()EH EF EH ⋅=. （1）求ω的值及函数的值域；（2）若0()5f x =，且0102,33x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0(2)f x +的值.18. 如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC BD E =，PB 的中点为F ,2PA AD a ==，异面直线PD 与AC 所成的角为3π，PA ⊥平面ABCD . （1）证明：//EF 平面PAD ；（2）求二面角E AF B --的余弦值的大小.19. 207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分.现随机抽取部（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）设函数()()()E f D ξξξ=（其中()D ξ表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当() 2.5f ξ≥时，认定教育方案是有效的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的中心在原点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上，且离心率为2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）动直线1:2l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1214k k =，M 是线段OC 上一点，圆M 的半径为r ，且23r AB =，求OC r21.已知函数21()4f x x a x=+-，()()g x f x b =+，其中,a b 为常数. （1）当(0,)x ∈+∞，且0a >时，求函数()()x xf x ϕ=的单调区间及极值；（2）已知3b >-，b Z ∈，若函数()f x 有2个零点，(())f g x 有6个零点，试确定b 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程； （2）直线2C 的极坐标方程为2()3R πθρ=∈，若1C 与2C 的公共点为,A B ，且C 是曲线1C 的中心，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x x =-，()2g x x =+.（1）求不等式()()f x g x <的解集；（2）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间与最值.理数（五）一、选择题1-5: ADBDB 6-10: CCCCB 11、12：CC 二、填空题13. -540 14. 52- 15. 2,4e e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦16.[]4,2-- 三、解答题17.解：函数化简得()22sin 24sin 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭因为2()EH EF EH ⋅=，所以2()()EH EH HF EH ⋅+=，所以0E H H F ⋅=，所以H F H E ⊥，所以EFH ∆是等腰直角三角形.又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以8EF =，所以函数()f x 的周期为16.所以16πω=，函数()f x 的值域是44⎡-+⎣.（2）由（1），知()4sin 83f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭因为0()f x =，所以0sin 83x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0102,33x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0,83124x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以0cos 8310x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以00(2)4sin 843f x x πππ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 04sin 834x πππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦004sin cos 4cos sin 834834x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441021025⎛=⨯-⨯+⨯= ⎝⎭.18.解：（1）由已知ABCD 为矩形，且ACBD E =，所以E 为BD 的中点.又因为F 为PB 的中点，所以在BPD ∆中，//EF PD ，又因为PD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，因此//EF 平面PAD .（2）由（1）可知//EF PD ，所以异面直线PD 与AC 所成的角即为AEF ∠ (或AEF ∠的补角). 所以3AEF π∠=或23AEF π∠=.设AB x =，在AEF ∆中，AE =，12EF PD ===，又由PA ⊥平面ABCD 可知PA AB ⊥，且F 为中点，因此12AF PB ==，此时AE AF =，所以3AEF π∠=，所以AEF ∆=，即2x a =，因为AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B a ，(0,2,0)P a ，(0,0,2)D a ，所以(,0,)E a a ，(,,0)F a a . 由AD AB ⊥，AD AP ⊥，AB AP A =，可得AD ⊥平面ABP ，可取平面ABF 的一个法向量为1(0,0,1)n =.设平面AEF 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由220,(,,)(,,0)0,0,(,,)(,0,)00.0n AF x y z a a x y x y z a a x z n AE ⎧⋅=⋅=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=+=⋅=⎩⎩⎪⎩ 令11x y z =-⇒==，所以2(1,1,1)n =-. 因此121212cos n n n n n n ⋅⋅===，又二面角E AF B --为锐角，故二面角E AF B --的余弦值为3. 19. 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)2040,的频率为0.005200.1⨯=，故抽取的学生答卷数为6600.1=，又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2，所以600.212b =⨯=.又62460a b +++=，得30a b +=，所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“合格”与“不合格”的人数比例为36:243:2=，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ有40，35，30，25，20共5种可能的取值.4464101(40)14C P C ξ===，31644108(35)21C C P C ξ===，22644103(30)7C C P C ξ===，13644104(25)35C C P C ξ===， 444101(20)210C P C ξ===. ξ的分布列为所以()4035302520321421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得2222218341()(4032)(3532)(3032)(2532)(2032)161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()32()2 2.5()16E f D ξξξ===<. 故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案. 20. 解：（1）因为1)2P 在椭圆E 上，所以223114a b +=.又e =222222224,311,41,e a a bb a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎩,故椭圆E 的标准方程为2214x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，、联立方程22221111,4(14)102x y k x x y k x ⎧+=⎪⎪⇒+--=⎨⎪=-⎪⎩.由0∆>，得1k R ∈，且121x x +=1221114x x k ⋅=-+，所以21AB x =-===由题意可知圆M的半径23r AB ==由题设知12211144k k k k =⇒=，因此直线OC 的方程为114y x k =.联立方程22121122221161,,4141,1414k x y x k k x y y k ⎧⎧==⎪⎪+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪+⎩⎩因此OC ==所以OC r =====因为210k >，所以2211330314411k k <<⇒<-<++，从而有3342<，即得3342OC r <<. 因此OC r 的取值范围为33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21.解:（1）因为3()()41x x f x x a x ϕ==+-，所以2()12x x a ϕ'=-，令2120x a x -=⇒=x =.当x ⎛∈ ⎝时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；x ⎫∈∞⎪⎪⎭时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增.因此()x ϕ的极小值为3411a ϕ=⨯+-. （2）若函数()f x 存在2个零点，则方程214a x x =+有2个不同的实根，设21()4h x x x=+， 则322181()8x h x x x x-'=-=.令()0h x '>，得12x >； 令()0h x '<，得0x <，或102x <<， 所以()h x 在区间(,0)-∞，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，且当0x <时，令21()40h x x x =+=，可得x =，所以,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭，()0h x >；2x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0h x <，因此函数21()4h x x x =+的草图如图所示，所以()h x 的极小值为132h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()h x 的图象可知3a =. 因为1(1)32h h ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以令(())0f g x =，得1()2g x =或()1g x =-，即1()2f x b =-或()1f x b =--，而(())f g x 有6个零点，故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解，所以102b ->，且10b -->，所以1b <-. 又因为3b -<，b Z ∈，所以2b =-.22. 解：（1）由曲线1C 的参数方程消去参数θ，得其普通方程为22(1)4x y ++=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得其极坐标方程为2+2cos 3ρρθ=.（2）将23πθ=代入得2+2cos 3ρρθ=. 得230ρρ--=. 设12(,)3A πρ，22,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12+1ρρ=，123ρρ=-，所以12AB ρρ=-==又由（1），知(1,0)C -，且由（2）知直线AB 0y +=，所以(1,0)C -到AB的距离是d ==，所以CAB ∆的面积1224S ==. 23. 解:（1）由于()()f x g x <， 即为322x x -<+，当20x +>时，对上式两边平方， 得22291244431650x x x x x x -+<++⇒-+<，即得1(31)(5)053x x x --<⇒<<，当20x +≤时，原不等式的解集为空集，因此()()f x g x <的解集为153⎛⎫⎪⎝⎭，， （2）由题可知35,,2()()()232331,,2x x h x f x g x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=---=⎨⎪-+<⎪⎩ 作图如下，由3,5,372,317222x y x A y x y ⎧=⎪=-⎧⎪⎛⎫⇒⇒-⎨⎨ ⎪=-+⎝⎭⎩⎪=-⎪⎩. 由图易知函数()h x 的递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，并且最小值为min 37()22h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无最大值.。