江西省赣州市信丰县信丰中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题A 文

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江西省上饶市横峰中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(有答案)

横峰中学 2015-2016 学年度上学期第一次月考高二数学试卷命题人：横峰中学程凤娟总分 150 分考试时间： 120 分钟一、选择题：（本题包括 12 小题，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意）1．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如右图所示的茎叶图表示，则则下面结论中错误的一个是 ( )A ．甲的极差是 35B ．乙的众数是 11C ．甲得分率比乙高D ．乙的中位数是 172．某学院 A ，B ，C 三个专业共有 2000 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本．已知该学院的 A 专业有 580 名学生， B 专业有720 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取的学生人数为 ()A ．29B．36C．35D ．453．设 a ， b ， c ∈ R,且 a<b ，则 (A ． ac<bcB ．)1 1 C ． a 2<b2 D ．a 3<b 3a b4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x( 吨) 与相应的生产能耗 y( 吨标准煤 ) 的几组对照数据．, 由下表数据计算出回归直线方程为y ＝0． 7x ＋0． 35,则表中的 m 的值为（）．A ． 3 B3 ． 5 c ．3．． 2 D． 2．85、若不等式 x 2＋ ax-2 ≥0对一切 a ∈1,1 成立，则 x 的取值范围是 ()A ． ( , 1] [1, ]B ． ( , 2] [1, ]C ． (, 2][2,]D ． (, 1] [ 2,]6 ．若规定：ab ad bc,则 A 3x 1x, B2x1 1 ,则 A 与 B 的大小cd1 x 11x 2（）A ． A<B B ．A=BC ．A>BD ．随 x 值变化而变化7．若集合 Ax | 1 2x1 3 ， Bx ( x1)( x 2) 0 ，则 AB ( )xA．{ x x} B． x | 0 x 1 C． { x x} D． { xx }ax y10,8 已知 a>0, x, y满足约束条件x y10, 若 z2x3 y 的最大值是6,则a=（）x3,A．11．1．3B． 2C D344x y1,9．在平面直角坐标系xOy 中，点A(2，0) ,M 为不等式组x10, 所表示的区域上一动点,x y1,则直线 AM斜率的取值范围为 ( )A．3,3B．2,2C． 1,1D． 2 , 23310．函数 y log a ( x1))1( a 0且a1)的图像恒过顶点 A，若点 A在直线 mx ny 1上，则1 1的最小值为（）m nA.3 2 2B.7C.32 D .611．已知两条直线 l1 : y m和 l 2： y2(m0), l1与函数 y| log 2 x |的图像从左至2m1右相交于点 A, B，l 2与函数y|log 2x |的图像从左至右相交于点C，D.记线段 AC和BD在轴上的投影长度分别为a,b ，当变化时，b的最小值为（）x m aA．42B.22 C.23 4 D.3412.已知 m n p q0, n N ,且111n恒成立 , 则 n的最大值为n n p p qm m qA、 8B、 9C、 10D、 11二、填空题：（共 20 分）13．已知函数f (x)log 1x, x0,1的解集为_________ 2那么不等式 f (x)x23, x0,14．若不等式 ax 2＋ bx＋c＞ 0 的解集是 ( －3,4) ，则不等式bx24ax c 0的解集为____x 0,15 设不等式组y0,在平面直角坐标系中所表示的平面区域面积为S,y kx 2k (k 0)则当 k时，k1的最大值为________1kSx y 2,16．已知 O 是坐标原点，点 A(0, 1) ，若点 M(x ， y) 为平面区域y 2, 上的一个动点，x 1,→ →则|OA ＋ OM| 的取值范围是 ____________三、解答题（共70 分）17 (本题 10分 )设二次函数 f ( x)的图像经过原点 O ，且 1f ( 1)2，2 f (1) 4 ，求 f (2) 的取值范围．18（本小题满分 12 分） 2015 年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔 50 辆抽取一辆，总共抽取 120 辆，分别记下其行车速度，将行车速度（ km/h ）分成七段 [60 ，65）， [65 ，70），[70 ，75）， [75 ， 80）， [80 ，85），[85 ， 90），[90 ，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求 a 的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这 120 辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到 0． 1）；（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h 即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．19．（本小题满分12 分）已知x 、 y都是正数，(1若x,y满足x ＋ 4y ＋ xy ＝ 12，求xy的最大值，并求出此时x 、 y 的值．(2) 若 x, y 满足x4 yxy, 求xy 的最小值 .20（本小题满分 12 分）某工厂安排甲、乙两种产品的生产．已知每生产 1 吨甲产品需要原材料 A、B、C、D 的数量分别为 1 吨、2 吨、2 吨、7 吨；每生产 1 吨乙产品需要原材料 A、B、 D 的数量分别为1 吨、 4 吨、 1 吨．由于原材料的限制，每个生产周期只能供应 A、 B、 C、 D 四种原材料分别为 80 吨、 80 吨、 60 吨、 70 吨．若甲、乙产品每吨的利润分别为2 百万元和3 百万元．要想获得最大利润，应该怎样安排甲、乙的生产，可使得利润最大？最大利润是多少？21（本小题满分12 分）解关于x的不等式：ax20 (a R) x122（本小题满分12 分）若方程kx2(2k 1) x 30(1)方程在 ( 2,1)和(1,4)内各有一个实数根，求实数 k的取值范围 ;（2) 若方程在( 1,1)内有两个相异的实数根，求k的取值范围.题123456789101112号答DCDACCBADABB案二：填空题（ 4× 5=20 分）13x | 2 x 214x | x6或 x 215116[5,10] 8解： f (1)17．令4a2bm n则m n a b, f (1)a b, f ( 2) 4a 2b．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 m(a b)n( a b)4 解得m1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 2n3f ( 2) f (1) 3 f (1)1 f ( 1)2,2 f (1) 4 5 f ( 2) 107 f ( 2)14．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1018．(1) 由图知：（ a+0．05+0．04+0．02+0．02+0．005+0．005）× 5=1，∴ a=0．06，．．．．．．．．．．．．．．．2分该抽样方法是系统抽样；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 4 分(2)众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为 77．5；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分数据的中位数为77． 9；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分(3)估计该路段车辆超速的概率P=0． 025 即1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分4019． (1) 解法一：∵ x＞ 0， y＞ 0，∴ x＋ 4y≥4·xy又 x＋ 4y＋xy ＝ 12，令xy ＝t ，则2当 xy＝ 4 时，∵ x＝ 4y ．∴ x＝ 4，y＝ 1．因此当 x＝ 4， y＝ 1 时， xy 取最大值4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分解法二：由12x x＋4y＋ xy ＝12 得y，x4∵y＞ 0， x＞ 0，∴ 0＜ x＜ 12xy x(12x)x212 x( x 4) 220(x 4) 64[( x 4)64] 20 x4x4x 4x42 64 204等号在 x ＋ 4＝64即 x ＝ 4 时成立，此时 y ＝ 1．故当 x ＝ 4，y ＝ 1 时，xy 取最大值 4．x 4(2)x 4 y xy, 可以化为41 1, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分xy x y( x y)( 414y x 9．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10x ) 5 2yyx当 4 yx即 x 2 y,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12xyx 6, y 3时， x y 9为最小值20．．设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、 y ．则根据题意可知求函数z 2x 3 yx y 80,2x 4 y 80,的最大值，限制条件为2x60,7x y 70,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4yX=30x 0, y 0.7x+y=70画出可行域．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分．区域的顶点坐标为M （ 0， 20）， N （ 10，0）， R100 , 210，O （ 0，0）,直线 2 x3y k 的斜率13 13Mx+y=80R2x+4y=80ONx2x+3y=kk 124 y 80 的斜率 k 21．直线 2x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1032由图可知， 2x 3y 在点 R 处取得最大值，最大值为2 1003 210830 （百万131313元）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分21.当 a 0时，不等式解集为x | x 1 ; ......... .......... ...... 2分当 a 0时，不等式解集为 2 x 1 ;......... ............4分 x |a当 2 a 0时，不等式解集为 x | x 1或 x 2 ;......... (6)分． a 当 a 2时，不等式解集为 x | x 1 ;..................... 9分当 a2时，不等式解集为 x | x2 或 x 1 .......... ...........12分a解：2) 6k 1, f (1) k 4, f ( 4)8k 721. (1) f (． f ( 2) f (1) 0 ( 6k 1)( k4) 0 7 ．．．．．．．．．．．．．． 6 分f (1) f (4) 0 即( k 4)(8k7)解得 k4或 k .82(k1)2 12k（2）kf (1) 0．．．．．．．．．．． 8 分kf ( 1) 01 2k 1 12k4k 2 16k 2 0 k(3k 2)．．．．．．．．．．． 10 分k( k4)2k 1 112kk215或 k2 1522k2或 k得到 4 k2153．．．．．．．．．．． 12 分24k 0k14。

江西省赣州市崇义中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷文科含解析精品

2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一．选择题：（12*5=60分）1．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角3．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有（）A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的任意一条直线垂直D．l与平面α内的某一条直线垂直4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B． C．D．5．下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b6．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l和α的位置关系是（）A．l⊂α B．l∥α C．l⊂α或l∥αD．l和α相交7．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．488．等比数列{a n}中，a5=4，则a2•a8=（）A．4 B．8 C．16 D．329．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直10．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）11．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=012．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A．①②B．①③C．②③D．②④二．填空题：（4*5=20分）13．直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．14．已知x＞，则函数y=4x+的最小值为．15．过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条．16．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）．三．解答题：（本大题6个小题，共70分）17．已知，一圆经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上，求圆的方程．18．已知如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE．19．如图所示在四棱锥A﹣BCDM中，BD⊥平面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD．20．已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．21．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：AB1⊥BF；（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（12*5=60分）1．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分别根据四个几何体的三视图进行判断．【解答】解：①正方体的正视图，侧视图和俯视图都是正方形，不满足条件．②圆锥的正视图为三角形，侧视图为三角形，俯视图为圆，满足条件．③三棱台的正视图为等腰梯形，侧视图为梯形，但正视图和侧视图不相同，不满足条件．④正四棱锥的正视图和侧视图为相同的三角形，俯视图为正方形，满足条件．故选：D．2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：∵直线a平行于平面α，∴a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；α内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．故选：A．3．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有（）A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的任意一条直线垂直D．l与平面α内的某一条直线垂直【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】利用直线与平面的位置关系进行判断，注意直线与平面垂直的判定定理的应用．【解答】解：l与平面α内的两条直线垂直，如果平面中的两条直线是平行线，则无法判定直线l⊥平面α，故A不正确；l与平面α内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是平行线，则无法判定直线l⊥平面α，故B不正确；l与平面α内的任意一条直线垂直，则由直线与平面垂直的判定定理知直线l⊥平面α，故C正确；l与平面α内的某一条直线垂直，则l与平面相交、平行或直线在平面内，故D不正确．故选：C．4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B． C．D．【考点】正弦定理．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B5．下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b【考点】不等关系与不等式．【分析】本题利用排除法．对于A，若a＜0，b＞0时不成立；对于B，若a＞0，b ＜0时不成立；对于C，若c＜0时不成立；【解答】解：对于选项A，考虑a、b为负值或一正一负的情况时，不能得到a＞b，故错；对于选项B，同样考虑a、b一正一负的情况，不能得到a＜b，故错；对于选项C，要考虑c取正、负值的两种情况，当c取负值时，不能得到a＞b，故错；∴选项A、B、C均有不成立的情况．故A、B、C错；对于C，隐含a≥0，b≥0，平方后即可得a＜b．故对．故选D．6．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l和α的位置关系是（）A．l⊂α B．l∥α C．l⊂α或l∥αD．l和α相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题设条件知：直线l在平面α内，则l⊂α，若直线l不在平面α内，则l∥α，由此能求出结果．【解答】解：一条直线l与平面α内的一条直线m平行，若直线l在平面α内，则l⊂α，若直线l不在平面α内，则l∥α，∴直线l与平面α的位置关系为l⊂α，或l∥α．故选：C．7．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的求和公式，即可求出a1+a10的值．【解答】解：S10=×10（a1+a10）=120，所以a1+a10=24故选B8．等比数列{a n}中，a5=4，则a2•a8=（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】在等比数列中利用等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：在等比数列{a n}中，若m+n=k+p，则a m⋅a n=a k⋅a p．∵a5=4，∴a2•a8=．故选：C．9．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对于原图：由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，可得AD ⊥BC．在四面体ABCD中，由于AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC=D，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD．进而得到AD⊥BC．利用异面直线的定义即可判断：AD与BC是异面直线．【解答】解：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面垂直．对于原图：∵AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，∴AD⊥BC．在四面体ABCD中，∵AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC=D，∴AD⊥平面BCD．∴AD⊥BC．又AD与BC是异面直线．综上可知：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面垂直．故选C．10．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．11．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．12．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB．故选A．二．填空题：（4*5=20分）13．直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=故答案为：14．已知x＞，则函数y=4x+的最小值为7．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先把函数整理成基本不等式的形式，进而求得函数的最小值．【解答】解：y=4x+=4x﹣5++5≥2+5=7∴函数y=4x+的最小值为7故答案为715．过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC﹣A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．【解答】解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：616．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）①④．【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n⊂α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，再由面面平行的判定定理判断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论．【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n，∴n⊂α或n∥α又∵n⊥β，∴α⊥β；故正确．②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m与n相交才平行，故不正确．③若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确．故答案为：①④三．解答题：（本大题6个小题，共70分）17．已知，一圆经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上，求圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线上，再根据圆心在直线2x+3y+1=0上，可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线x+y﹣1=0上，再根据圆心在直线2x+3y+1=0上，可得圆心C的坐标为（4，﹣3），故半径r=|OC|=5，故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y+3）2=25．18．已知如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】取PC的中点M，连接ME、MF，推导出四边形AFME是平行四边形．从而AF∥ME，由此能证明AF∥平面PCE．【解答】证明：取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD，且FM=CD．又∵AE∥CD，且AE=CD，∴FM∥AE，且FM=AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE．19．如图所示在四棱锥A﹣BCDM中，BD⊥平面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】证明BD⊥CN，CN⊥AB，可得CN⊥平面ABD，即可证明CN⊥AD．【解答】证明：∵BD⊥平面ABC，CN⊆平面ABC，∴BD⊥CN．又∵AC=BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB．又∵BD∩AB=B，∴CN⊥平面ABD．而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD．20．已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【考点】等差数列的前n项和；数列的求和．【分析】（1）直接代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求a n及S n（2））利用等比数列的通项公式可求b n﹣a n，结合（1）中的a n代入可求b n，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求【解答】解：（1）因为a n是首项为a1=19，公差d=﹣2的等差数列，所以a n=19﹣2（n﹣1）=﹣2n+21，．（2）由题意b n﹣a n=3n﹣1，所以b n=a n+3n﹣1，=21﹣2n+3n﹣1T n=S n+（1+3+32+…+3n﹣1）=．21．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：AB1⊥BF；（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AD中点G，连接FG、BG，通过证明FG⊥AE，AE⊥BG，BG∩FG=G，证明AE⊥平面BFG，说明AE⊥BF．（2）连A1B，证明AB1⊥A1B，AB1⊥BF，AE∩AB1=A，证明BF⊥平面AB1E．（3）存在，取CC1中点P，连接EP、C1D说明AP⊂平面AB1E，由（2）知BF⊥平面AB1E，推出AP⊥BF．方法2：（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，证明+0=0，，得到AE⊥BF．（2）利用=0，，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，说明BF⊥平面AB1E．（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则=（2a，2a，z），若AP⊥BF，+2az=0，求出z得到P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG、BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，∴AE⊥平面BFG，∴AE⊥BF．（2）证明：连A1B，则AB1⊥A1B，又AB1⊥A1F，∴AB1⊥平面A1BF，∴AB1⊥BF，又AE∩AB1=A，∴BF⊥平面AB1E．∴AB1⊥BF（3）存在，取CC1中点P，即为所求，连接EP、C1D∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1，∴AP⊂平面AB1E，由（2）知BF⊥平面AB1E，∴AP⊥BF．CC1中点P．方法2：（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，则A（0，0，0），B（2a，0，0），B1（2a，0，2a），E（a，2a，0），F（0，a，2a），∴，∴，∴，∴AE⊥BF．（2）∵=﹣4a2+0+4a2=0，∴，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，∴BF⊥平面AB1E．∴AB1⊥BF（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则，若，∴z=a，∴P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．2017年4月25日。

江西省赣州市崇义中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年江西省赣州市崇义中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．3．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数C．a，b，c都是偶数D．a，b，c中至少有两个偶数5．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为、若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．27．若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）9．如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强10．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且•=0，则点M到x轴的距离为（）A．B．C．D．11．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表．根据列联表的数据判断有多“”．（）参考公式与临界值表：K2=．A．90% B．95% C．99% D．99.9%12．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（）A．n B．n+1 C．n﹣1 D．n2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．当x∈时，复数z=（x+1）+（x﹣2）i（x∈R）对应的复平面内的点在第四象限．14．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．15．抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=．16．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式：x2﹣5x+6≤0（2）解不等式：＞1．18．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ﹣）=2．求C1与C2交点的极坐标；（ρ＜0，0≤θ＜2π）19．某地今年上半年患某种传染病的人数y（单位：人）与月份x（单位：月）之间满足函bx位有效数字）人52 61 68 78 83附：=，=﹣，令u=lny，=25.3595，=107.334，=90.3413，≈4.2265．20．（1）求证： +＜2．（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中a+，c+，b+至少有一个不小于2．21．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．2015-2016学年江西省赣州市崇义中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果．【解答】解：∵线性回归方程为，又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故选A．3．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件．【解答】解：依题意，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，⇔a=0且b≠0，∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．4．在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数C．a，b，c都是偶数D．a，b，c中至少有两个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为、若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）A．B．C．D．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】求出OP的距离，就是极径，利用三角函数求出极角，即可得到选项．【解答】解：由题意OP=2，设极角为θ，点P的直角坐标为、所以cosθ=，sinθ=﹣，所以θ=﹣，则点P的极坐标可以是：故选C6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D7．若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，所以设椭圆的方程为： +=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，则该椭圆的方程是：．故选A8．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．9．如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【考点】散点图．【分析】由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项．【解答】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．故选：B．10．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且•=0，则点M到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由•=0，可得MF1⊥MF2，可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．【解答】解：已知双曲线的焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．又∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，故由，得|y|=，∴点M到x轴的距离为：，故选：D．11．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表．根据列联表的数据判断有多“”．（）3.841 5.024 6.635 10.828参考公式与临界值表：K2=．A．90% B．95% C．99% D．99.9%【考点】独立性检验．【分析】假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．【解答】解：假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5，则查表得相关的概率为99%，故由99%的把握认为“成绩与班级有关系”．12．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（）A．n B．n+1 C．n﹣1 D．n2【考点】函数的值．【分析】根据定义中的运算法则，对（n+1）*1=n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果．【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，∴（n+1）*1=n*1+1=（n﹣1）*1+1+1=（n﹣2）*1+3=…=[n﹣（n﹣1）]*1+n=1+n，∴n*1=n．故选A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．当x∈（﹣1，2）时，复数z=（x+1）+（x﹣2）i（x∈R）对应的复平面内的点在第四象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义和第四象限点的特点即可得出答案．【解答】解：z在复平面内对应的点为（x+1，x﹣2），∵复数z对应的复平面内的点在第四象限，∴，解得﹣1＜x＜2，∴x的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．14．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案为：．15．抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=13．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把点P的纵坐标代入抛物线方程求得点P的横坐标，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知点P的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=9抛物线的准线为x=﹣4，根据抛物线的定义可知点P与焦点F间的距离9+4=13故答案为1316．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意知，f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立⇔a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）max，于是可得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．三、解答题：（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式：x2﹣5x+6≤0（2）解不等式：＞1．【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】（1）将不等式分解因式为两个一次因式积的形式，求x 的范围；（2）将不等式移项通分，并且分解因式，利用穿根法求得不等式的解集．【解答】解：（1）由x2﹣5x+6≤0，得（x﹣3）（x﹣2）≤0，从而得不等式x2﹣5x+6≤0的解集为{x|2≤x≤3}．（2）原不等式等价变形为﹣1＞0，即…即由图可得所求不等式解集为{x|x＜﹣1或1＜x＜2或x＞3}．18．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ﹣）=2．求C1与C2交点的极坐标；（ρ＜0，0≤θ＜2π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可．【解答】解：圆C1的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4 直线C2的直角坐标方程为x+y﹣4=0．…解得或…所以C1与C2交点的极坐标为，…．19．某地今年上半年患某种传染病的人数y（单位：人）与月份x（单位：月）之间满足函bx位有效数字）附：=，=﹣，令u=lny，=25.3595，=107.334，=90.3413，≈4.2265．【考点】线性回归方程．【分析】设u=lny，c=lna，u=c+bx，求出相应的参数，可得线性方程．【解答】解：设u=lny，c=lna，u=c+bx由此可得，，，，，所以，∴u=0.09x+3.91…20．（1）求证： +＜2．（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中a+，c+，b+至少有一个不小于2．【考点】不等式的证明．【分析】（1）直接法不易求证，可用分析法进行证明．（2）假设a+，c+，b+都小于2，相加可得a++c++b+＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵+和2都是正数，若证+＜2只需证：（+）2＜（2）2，整理得：＜5，即证：21＜25，∵21＜25当然成立，∴原不等式成立…（2）证明：假设a+，c+，b+三个数都小于2即a++c++b+＜6．∵a，b，c∈（0，+∞），∴a+≥2 b+≥2 c+≥2∴a++c++b+≥6，矛盾说明假设是错误的，原命题成立…21．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．2016年11月3日。

江西省赣州市2015-2016学年高二上学期期末考试试题数学理

y x 42478512909乙组甲组江西省赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题 2016年1月（考试时间120分钟．共150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）1.右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次数学考试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为A .2,5B .5,5C .5,8D .8,8 2.已知a 表示直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A .若a ∥α，a ∥β，则α∥βB .若a α⊂，a ∥β，则α∥βC .若a α⊥，a β⊥，则αβ⊥D .若a α⊂，a β⊥，则αβ⊥3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =± 4.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是A .03a <<B .0a ≤或3a ≥C .0a <或3a >D .0a <或3a ≥5.某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=A .1B .2C .3D .46.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为 A .11 B .12 C .13 D .14俯视图主视图7.设,a b ∈R ，那么“>1ab”是“>>0a b ”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件8.56A .6i < C .5i <9.已知,x y从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为a x y +=95.0，则a = A .3.25 B .2.6 C .2.2 D .0 10.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为CA .13 B .23C .233D .22311.在平面xOy 内，向图形224x y +≤内投点，则点落在由不等式组00x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域的概率为A .34 B .25C .12 D .1412.O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若PF =POF∆的面积为A .2B .C .D .4 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分13.有A 、B 、C 三种零件，分别为a 个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的分数样本，A 种零件被抽取20个，则a = .14.已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .15.在区间(0,2)内任取两数,()m n m n ≠，则椭圆22221x y m n+=的离心率大于2的概率是 .16.已知正四面体A BCD -的棱长为12，则其内切球的半径是 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.（本小题满分10分）已知命题:p 实数x 满足22(1)(820)0x x x +--≤，命题:q 实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1:3:6:4:2，最右边一组的频数是6.（1）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；（2）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百.19.（本小题满分12分）（2）若广告费为9万元，则销售收入为多少万元？EC 1B 1A 1DCBA（参考公式：1122222212n n nx y x y x y nx y b x x x nx+++-⋅=+++-，a y bx =-）20．（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求1n m <+的概率.21．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是AB ,1BB的中点，12AA AC CB AB ===. （1）证明：1BC ∥平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.22.（本小题满分12分）已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.江西省赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题1～5.CDCDD ； 6～10.BBABC 11～12.DC 二、填空题13.400； 14.2213y x -=； 15.12；. 三、解答题17.解：设集合{}{}22(1)(820)0210A x x x x x x =|+--≤=|-≤≤………………2分集合{}{}222(1)0(0)11(0)B x x x m m x m x m m =|-+-≤>=-≤≤+>…………4分p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，即为q 是p 的必要不充分条件…………………………6分所以A B ，即012101m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪≤+⎩，解得9m ≥………………………………………………9分所以实数m 的取值范围是9m ≥…………………………………………………………10分 18.解：（1）成绩落在[)70.5,80.5内人数最多…………………………………………2分频数为66182⨯=，频率为63136428=++++…………………………………………6分（2）成绩高于60分的学生占总人数的 00364210093.7513642+++⨯=++++…………………………………………………………12分19.解：（1）52x =，692y =，所以735b =……………………………………………2分2a y bx =-=-……………………………………………………………………………4分故y 对x 的回归直线方程为7325y x =-………………………………………………6分（2）当9x =时，129.4y =，故若广告费为9万元，则销售收入为129.4万元……12分20.解：（1）从袋中随机取两个球，其中所有可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共6个，从袋中取出的球的编号之和为偶数的的事件共有1和3，2和4两个……………………………………………………………………………3分因此所求事件的概率13P =………………………………………………………………6分（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，(,)m n 一切可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，z y 1(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个……………8分其中满足1n m <+的有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)十个…………………………………………………………………………………10分故满足条件的概率为105168P ==……………………………………………………………12分 21.解：（1）证明：连接1AC ，交1A C 于点F …………………………………………1分则F 为1AC 的中点………………………………………………………………………2分又D 是AB 的中点，连接DF …………………………………………………………3分则1BC ∥DF ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ………………………4分所以1BC ∥平面1A CD ……………………………………………………………………6分（2）解：由12AA AC CB AB ===，得AC BC ⊥………………………………7分以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间坐标系C xyz -，设2CA =，则(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A ，CD =1(2,0,2)CA =………………………………………………8分设1111(,,)n x y z =是平面1A CD 的法向量，则11100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取1(1,1,1)n =--…………………………………………9分同理，设2n 是平面1A CE 的法向量，则2210n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取2(2,1,2)n =-………………………………………………………………………10分从而1212123cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅11分x2)故126sin ,n n<>=……………………………………………………………………12分即二面角1D A C E --的正弦值为322.解：如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，2d MN =，由此4x -=2化简得：22143x y +=………………………………………4所以动点M 的轨迹C 的方程为22143x y +=……………5分（2）由题意，设直线m 的方程为3y kx =+……………6分11(,)A x y ，22(,)B x y ，如图所示.将3y kx =+代入22143x y +=，得22(34)24240k x kx +++=………………………7 其中，222(24)424(34)96(23)0k k k ∆=-⨯+=-> 且1222434k x x k +=-+…①，1222434x x k =+…②………………………………………8 又A 是PB 的中点，故212x x =…③ 将③代入①②，得12834k x k =-+，2121234x k =+………………………………………9分所以222812()3434k k k -=++，且23k >…………………………………………………11分解得32k =-或32k =………………………………………………………………………12分所以直线m 的斜率为32-或32.。

江西省丰城中学2015-2016学年高二上学期周练(实验班)数学(文)试卷(2015.12.8)

主视图1 12222左视图俯视图丰城中学2015-2016学年度上学期高二数学周考试卷文科实验班、零班（38、37班）命题人：周魁良 2015.12.6一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个命题中，假命题为（）A.x ∀∈R ，20x >B.x ∀∈R ，2310x x ++>C.x ∃∈R ，lg 0x >D.x ∃∈R ，122x = 2．直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（） A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3[,)4ππ C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭3．椭圆（1－m ）x 2－my 2=1的长轴长是（） A ．m m --112 B. m m 2 C. m m --2 D. mm--114．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为（）A． BCD 5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为π84，则圆台较小底面的半径为（）A ．5B ．3C ．6D ． 76．设n m l 、、为不同的直线，βα、为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（） ①若βα⊥，l ⊥α，则l ∥β ②若βα⊥，l ⊂α，则l ⊥β ③若l ⊥m ，m ⊥n ，则l ∥n④若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥nA ．4B ．3C ．2D ．17．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝8．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. 01m <<B.42m -<<C.1m <D. 31m -<<9是（） A ．(3,1)(1,3)-- B ．(3,3)- C ．[1,1]- D ．(3,1][1,3)--10．若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA += （）A ．134B ．142C ．132D ．14311．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ， C ．若BC AB =2，则双曲线的离心率是（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．1012．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B 1- D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13．设(3,(1,0,5),A B C ，则AB 的中点M 与C 的距离为． 14．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是．15．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = ． 16．给出如下四个命题,其中所有真命题的序号是．①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在ABC ∆中，“”是“1sin 2A >”的充要条件； ④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每小题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题p ：曲线1)32(2+-+=x m x y 与x 轴相交于不同的两点；命题22:12x y q m +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 取值范围．18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个顶点(,),(2,1),(2,3)A m n B C -. （1）求BC 边所在直线方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=,求,m n 的值.19．（本小题满分12分）如图，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，322==AD AB ，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE ．（1）求证：BC AD ⊥；（2）求三棱锥CFD A -的体积．20．（本小题满分12分）已知关于y x ,的方程C :04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆；（2）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M,N 两点，且｜MN ｜,求m 的值；（3）在（2）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，实轴长为2。

江西省丰城中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题理(无答案)

丰城中学 2015-2016 学年上学期高二第一次段考试卷数学本试卷总分值为150 分考试时间为120 分钟一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中, 下列说法正确的是（）．．A．若K2的观测值为6． 635, 我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有99 人患有肺病 ;B．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 5% 的可能性使得推断出现错误;C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 我们说某人吸烟, 那么他有99%的可能患有肺病 ;D．以上三种说法都不正确2. 已知函数f (x)x3ax2bx a2在x 1 取极值10，则 f (2) ＝（）A.11B. 12C. 18D. 11或 183．函数f ( x)的定义域为开区间(a, b) ，导函数 f(x) 在 (a,b) 内的图象如图所示，则函数f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．随机变量~ B(100,0.3) ,则 D(35) 等于（）A． 184B．189C． 62D．845．已知函数f x a sin3 x bx34(a R,b R) ， f x 为 f x 的导函数，则 f 2016 f (2016)f2016 f (2016) （）A． 2016B． 2015C．8D． 06.已知ξ的分布列为：ξ01231234P10101010则 Dξ等于 ()A． 0B． 1C．2D． 37．已知R上的可导函数f x 的图象如图所示，则不等式 x22x 3 f x0 的解集为（）1------------A ． , 1 1,0 2,B ． , 1 1,1 3,C ．, 21,D．, 21,28．下列图象中，有一个是函数f x1 x 3 ax2 a 21 x 1 aR, a 0 的导函数3f '(x) 的图象，则 f 1等于（）A ．7B ．1 或 5 C．1D ．133 3339．若 f '(x 0 ) 2 ，则 limf ( x 0k ) f ( x 0 ) （）k 02kA ． 1B． 0.5C． -1D． -210．下列判断错误的是（）．．A ．若随机变量服从正态分布 N (1, 2 ),P( 4) 0.79, 则 P( 2)0.21B ．若 n 组数据 x 1 , y 1x n , y n 的散点都在 y 2x 1 上 , 则相关系数 r1C ．“ x 为函数f ( x) 的极值点”是“ f '(x )0 ”的充分不必要条件D ．若随机变量服从二项分布 :~ B(5,1), 则 E1511．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1)1 ，且对于任意的 x ， 1 恒成立，则f ( x)2不等式f (lg2 x)lg2x 1）2的解集为（A ．(0,1)2B． (0, 1 )(10,)C．(1,10)D ．(10,)10101012. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得 1 分 , 负者得 0 分 , 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2, 乙在每局中获胜的概率为 1,33且各局胜负相互独立 , 则比赛停止时已打局数的期望 E 为（）A ． 274B． 670C． 266D． 241812438181二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．袋中有大小、质地均相同的 4 个红球与 2 个白球．若从中有放回地依次取出一个球，2记 6 次取球中取出红球的次数为ξ ，则ξ 的期望E(ξ)＝________.14．设曲线y x 1在点(3, 2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a_____ x115．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50 名学生，得到 2 2列联表:喜欢不喜欢总计男151025女52025总计203050（参考公式 k2n(ad bc)2， ( n a b c d ) ）( a b)(c d)(a c)(b d)P(K 2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828则有 ___________ 以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．16．已知f ( x)x(x1)(x2)⋯( x10) ，则 f '(4)______________三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17． 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球， 2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问：（1）从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的概率是多少？（2）从 2 号箱取出红球的概率是多少？18.求证： x sin x tan x x ，x(0 , )219．已知函数20.已知函数f ( x) 11ln xf ( x) 的单调性.ln x，试判断函数x xf ( x)x3ax2 4 .（1）若a 2 ，求 f (x) 在 [ 1,1] 上的最小值；（2）若f ( x)在区间[0,) 上的最大值大于零，求 a 的取值范围.3------------21. 一个盒子中装有大小相同的小球 n 个 , 在小球上分别标有 1 , 2 , 3 , , n 的号码 , 已知从盒子中随机地取出 3 个球 , 3 个球的号码最大值为 n 的概率为 3．8（ 1）求 n 的值；（ 2）现从盒子中随机地取出 4 个球 , 记所取 4 个球的号码中 , 连续自然数的个数的最大值为随机变量（如取 2468 时, 1；取 1246 时, 或取 1245 时,2；取 1235 时,3 ）．（ i ）求3 的值；（ ii ）求随机变量的分布列及期望．22. 已知函数f ( x ) ＝ 1 2－ax＋ ( － 1)lnx ， a >1.2xa(1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性；(2) 证明：若<5，则对任意x 1， 2∈(0 ，＋∞ ) ，x 1≠ 2，有 f x 1f x 2 >－ 1.axxx 1－ x 24。

江西省上饶市广丰一中2015—2016学年高二上学期第一次月考试题数学(平、重) 含答案

广丰一中2015—2016学年上学期第一次月考高二数学试卷(重、平）命题人：周坤杰审题人：徐留生一、选择题1.将两个数2010,2011a b ==交换使得2011,2010a b ==,下面语句正确一组是2。

若b a ,是任意实数，且b a >，则下列不等式成立的是 A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a)31()31(< 3.执行如图所示的程序框图，如果输出S=1320，则判断框中应填A ．?10≥iB ．?11≥iC ．?12≥iD ．?11≤i 4。

已知等差数列{}na 中,15123456a aa a a a a +=++++=，则A ．106B 56C ．30D ．15 5.ΔABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，a=1，b=3，∠A=30°，则∠B 等于A ．60°B ．60°或120°C ．120°D ．无解6。

设等差数列{}na 的前项和为nS ，已知10100S=，则29a a +=A ．100B ．40C ．20D ．127.数列{}na 的前n 项和,532n n Sn-=则6a 的值为A ．78B ．58C ．50D ．28 8。

不等式2230xx -->的解集为A. 3{|1}2x x x ><-或 B ．3{|1}2x x -<< C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x ><-或 9。

设数列{}na 中,已知)1(11,111>+==-n a a an n ,则=3a A ．58 B ．35 C ．23 D ．210。

在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABCS∆=A 、2B 、22C 、13+D 、()1321+11.若不等式的解集是R ，则m 的范围是 A ．B ．C ．D ．12。

江西省南昌二中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若直线过点M （1，2），N （4，2+），则此直线的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y=0所截得的弦长为（）A ．B ．2C ．D ．24．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切5．对于a ∈R ，直线（x+y ﹣1）﹣a （x+1）=0恒过定点P ，则以P 为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=06．若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜27．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3）9．设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3] C．（3，2] D．（0，2）∪（2，+∞）10．若点P（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为5，且点P在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=（）A．B．C．D．或11．当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣3k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，]C．（0，]D．[，+∞）12．已知点A（﹣2，0），B（1，0），C（0，1），直线y=kx将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k的值为（）A． B． C． D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上）13．直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．14．已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．15．实数x，y满足x2+y2﹣4x+3=0，则的最大值是．16．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN，（M、N分别为切点），若PM=PN，则的最小值是．三、解答题（17题10分，其余各题每题12分）17．已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），∠A=60°，∠B=45°，求：（1）AB边所在直线方程；（2）AC和BC所在直线的方程．18．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．19．已知x，y满足不等式组．求：（1）目标函数z=3x+y的最大值？（2）目标函数z=3x﹣y的最小值？20．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．2015-2016学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】利用两点的坐标，求出直线的斜率，从而求出该直线的倾斜角．【解答】解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．【点评】本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．2．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】数形结合．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．2【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．4．圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选D【点评】考查学生会根据d与R+r及R﹣r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．5．对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0【考点】圆的一般方程；恒过定点的直线．【专题】计算题；直线与圆．【分析】联解直线x+y﹣1=0与x+1=0的方程，可得直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2）．由圆的标准式方程，写出圆的方程再化成一般式方程，可得本题答案．【解答】解：联解，可得x=﹣1，y=2∴直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2）因此以P为圆心，为半径的圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5化成一般式可得x2+y2+2x﹣4y=0故选：B【点评】本题给出直线经过定点P，求以P为圆心且为半径的圆．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．6．若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，即3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，∴，解得﹣或0＜t＜2，故选：D．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．7．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1，利用点到直线的距离公式求出d的值，解不等式求得半径r的取值范围．【解答】解：设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1．即r﹣1＜＜r+1，解得1＜r＜3，故选C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．9．设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3] C．（3，2] D．（0，2）∪（2，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1）为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）∵圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），表示以C（﹣1，﹣1）为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM==2，CP==2∴当0＜r＜2或r＞2时，圆C不经过区域D上的点故选：D【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．10．若点P（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为5，且点P在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m=（）A．B．C．D．或【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】利用点到直线的距离公式列出关系式，把已知距离代入求出m的值，根据点P在不等式2x+y＜3表示的平面区域内判断即可．【解答】解：∵点P（m，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离为5，∴=5，即|4m﹣8|=25，解得：m=﹣或m=，∵点P在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，∴m=不合题意舍去，则m=﹣，故选：B．【点评】此题考查了二元一次不等式（组）与平面区域，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键．11．当曲线y=1+与直线kx ﹣y ﹣3k+4=0有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（，]C ．（0，]D ．[，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】由条件化简可得半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示，求出NA 、BC 的斜率，可得实数k 的取值范围．【解答】解：曲线y=1+，即x 2+（y ﹣1）2=9（y ≥1），表示以M （0，1）为圆心，半径等于3的一个半圆．直线kx ﹣y ﹣3k+4=0即 k （x ﹣3）﹣y+4=0，经过定点N （3，4）．再根据半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示：由题意可得，A （﹣3，1）、B （﹣3，1）、C （0，4），直线NC 和半圆相切，NA 和半圆相较于两个点．求得NA 的斜率为=，NC 的斜率为0，故所求的实数k 的范围为（ 0，]，故选C ．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12．已知点A（﹣2，0），B（1，0），C（0，1），直线y=kx将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k的值为（）A． B． C． D．﹣【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【专题】计算题．【分析】由题意作图，结合基本不等式可得当S1=S2时取等号，由面积公式可得AD的长度，而由方程组可表示点D的坐标，由距离公式可的方程，解之即可．【解答】解：由题意作出图象（如图），设两部分面积分别为S1，S2由题意可得S1+S2=S△ABC==，故由基本不等式可得：S1S2≤=，当且仅当S1=S2时取等号，而当当S1=S2时，显然直线职能与AC相交，设交点为D，已知直线AC的方程为：y=，则由解得，即点D（，），而由S1=S2可得，2S△AOD=S△ABC，即=，解得AD===，即，化简得（8k ）2=（6k ﹣3）2，解得k=或k=（舍去）故选A【点评】本题考查三角形的面积，涉及基本不等式和待定系数法求解k 值，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上） 13．直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是 3x+2y=0或x ﹣y ﹣5=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入即可得出．【解答】解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x ﹣y ﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x ﹣y ﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x ﹣y ﹣5=0．【点评】本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y+1）2=18．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3，|AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．15．实数x，y满足x2+y2﹣4x+3=0，则的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】圆即（x﹣2）2+y2=1，而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值．由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，故ON的斜率等于tan30°=，为所求的最大值．【解答】解：x2+y2﹣4x+3=0 即（x﹣2）2+y2=1，表示以A（2，0）为圆心，半径等于1的圆．而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，如图所示：ON OM为圆的两条切线，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值．由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，故ON的斜率等于tan30°=，为最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式，直线和圆的位置关系，属于中档题．16．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN，（M、N分别为切点），若PM=PN，则的最小值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由PM=PN，得P（a，b）到两圆的圆心距离相等，可得P的方程a+2b﹣5=0，代入构造关于b的函数，利用函数求最值．【解答】解：∵PM=PN，两圆的半径都为1，∴P（a，b）到两圆的圆心距离相等，∴=⇒a+2b﹣5=0，又==≥，故答案是．【点评】本题考查了直接法求轨迹方程，解题的关键是利用P的轨迹方程构造函数，求最值．三、解答题（17题10分，其余各题每题12分）17．已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），∠A=60°，∠B=45°，求：（1）AB边所在直线方程；（2）AC和BC所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）由题意可得直线AB的斜率k==0，易得直线的方程；（2）由题意结合图象可得直线AC的斜率为tan60°=，直线BC的斜率为tan135°=﹣1，分别可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：（1）由题意可得直线AB的斜率k==0，故直线的方程为y=1（2）由题意结合图象可得直线AC的斜率为tan60°=，直线BC的斜率为tan135°=﹣1，故可得直线AC、BC的方程分别为：y﹣1=（x﹣1），y﹣1=﹣1（x﹣5），化为一般式可得，x+y﹣6=0【点评】本题考查直线的一般式方程，由题意得出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．18．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径，再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程．（2）先求OA的长度，再求直线AO 的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC 的面积．【解答】解：（1）因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0⇒（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．所以圆心为（2，3），半径为1．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为kx﹣y﹣3k+5=0，所以=1，所以k=，所以切线方程为：3x﹣4y+11=0；而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，当切线的斜率不存在时，另一条切线方程为：x=3．（2）|AO|==，经过A点的直线l的方程为：5x﹣3y=0，故d=，故S=d|AO|=【点评】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题．19．已知x，y满足不等式组．求：（1）目标函数z=3x+y的最大值？（2）目标函数z=3x﹣y的最小值？【考点】简单线性规划．【专题】作图题；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，分别变形目标函数，平移直线可得结论．【解答】解：作出不等式组对应的可行域，（图中阴影）（1）变形目标函数z=3x+y可得，y=﹣3x+z，直线斜率为﹣3，作出斜率为﹣3的直线，（红色虚线）平移可知直线过点D（4，0）时，可使z取最大值，此时z=12；（2）变形目标函数z=3x﹣y可得，y=3x﹣z，直线斜率为3，作出斜率为3的直线，（绿色虚线）平移可知直线过点B（0，4）时，可使z取最小值，此时z=﹣4；【点评】本题考查简单的线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．20．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，利用圆关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为，建立方程组，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用直线l与圆C相切，建立方程，即可求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0得：∴圆心C，半径，由题意，，解之得，D=﹣4，E=2∴圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y+3=0…（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（2，﹣1），设直线l在x轴、y轴上的截距分别为2a，a．当a=0时，设直线l的方程为kx﹣y=0，则解得，此时直线l的方程为…当a≠0时，设直线l的方程为即x+2y﹣2a=0，则，∴，此时直线l的方程为…综上，存在四条直线满足题意，其方程为或…【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用直线l1过点（﹣3，﹣1），直线l1与l2垂直，斜率之积为﹣1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）•1=0，即a2﹣a﹣b=0①又点（﹣3，﹣1）在l1上，∴﹣3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．【点评】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．【专题】压轴题．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x 轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l 的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t 是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．。

江西省赣州市崇义中学高二上学期第一次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．如图所示，下列符号表示错误的是（）A．l∈α B．P∉l C．l⊊αD．P∈α2．用一个平面去截四棱锥，不可能得到（）A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体3．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC 是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形4．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C． +＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|5．已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π6．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α7．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．5 C．D．48．在等比数列{a n}中，若a3=2，a5=16，则a4=（）A．±4B．﹣4C．4 D．49．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．10．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=111．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4B．A1B l=1，AB=2，B l C l=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3C．A l B l=1，AB=2，B1C l=1.5，BC=3，A l C l=2，AC=4D．AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A112．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f （x）的图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是．14．已知=（3，1），=（2，λ），若∥，则实数λ的值为．15．过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，则切线l的方程为．16．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（写出所以正确结论的序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与直线BC所成的角为45°．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．18．已知等差数列{a n}，其中a1+a2+a3=﹣3，a1•a2•a3=8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，则求{a n+7}的前n项和．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．20．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．已知圆M ：x 2+y 2﹣2y=24，直线l ：x +y=11，l 上一点A 的横坐标为a ，过点A 作圆M 的两条切线l 1，l 2，切点分别为B ，C ．（1）当a=0时，求直线l 1，l 2的方程；（2）当直线 l 1，l 2互相垂直时，求a 的值；（3）是否存在点A ，使得•=﹣2？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．如图所示，下列符号表示错误的是（）A．l∈α B．P∉l C．l⊊αD．P∈α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间点，线，平面之间的位置关系进行判断即可．【解答】解：A．直线l在平面内，用符号表示为l⊊α，∴A错误．B．点P不在直线l上，用符号表示为P∉l，∴B正确．C．直线l在平面内，用符号表示为l⊊α，∴C正确．D．点P在平面内，用符号表示为P∈α，∴D正确．故选：A．2．用一个平面去截四棱锥，不可能得到（）A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体【考点】棱锥的结构特征．【分析】根据棱柱的定义进行判断．【解答】解：∵棱柱的上下底面是相同的，∴用一个平面去截四棱锥，不可能得到棱柱．故选：B．3．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC 是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形【考点】平面图形的直观图．【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A4．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C． +＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|【考点】不等式的基本性质．【分析】由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，ab＜b2，=2，|a|+|b|=|a+b|，即可判断出．【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，=2，|a|+|b|=|a+b|，因此只有D不正确．故选：D．5．已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．【解答】解：设正方体的棱长为：1，正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=3π．故选：C．6．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．7．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．5 C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果【解答】解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，∴棱柱的底面积为2×=4，棱柱的高为1∴此几何体的体积为V=4×1=4故选D8．在等比数列{a n}中，若a3=2，a5=16，则a4=（）A．±4B．﹣4C．4 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a42=a3•a5，代值计算可得．【解答】解：由等比数列的性质可得a42=a3•a5，∴a42=2×16=32，∴a4=±4故选：A．9．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【考点】解三角形．【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB 的值即可求出△ABC的面积．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选D10．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据平面直角坐标系内点P关于直线y=x对称的点对称点P'的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程．【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．11．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A．A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4B．A1B l=1，AB=2，B l C l=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3C．A l B l=1，AB=2，B1C l=1.5，BC=3，A l C l=2，AC=4D．AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1【考点】棱台的结构特征．【分析】推断满足下面四个条件的几何体能否成为三棱台，从两个底面上对应边的比值是否相等，比值相等是组成棱台的必要条件，但这个条件不成立，一定不是棱台．【解答】解：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．12．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f （x）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故答案是4．14．已知=（3，1），=（2，λ），若∥，则实数λ的值为．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程解方程即可．【解答】解：=（3，1），=（2，λ），若∥，则3λ﹣2×1=0，解得λ=．故答案为：．15．过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，则切线l的方程为x+2y ﹣6=0．【考点】圆的切线方程．【分析】设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可．【解答】解：设切线方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0，∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径，∴=，解得k=﹣，∴切线方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+2y﹣6=0，故答案为x+2y﹣6=0．16．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是④（写出所以正确结论的序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与直线BC所成的角为45°．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】在①中，AD与PB在平面的射影AB不垂直；在②中，平面PAB⊥平面PAE；在③中，BC∥平面PAD；在④中，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，从而∠PDA=45°．【解答】解：在①中，∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；在②中，∵平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立，即②不成立；在③中，∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，故③不成立；在④中，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④正确．故答案为：④．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由=3，知AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，由此利用点斜式方程级求出AB边上的高所在直线的方程．（2）由AC边的中点为（2，1），利用两点式方程级求出AC边上的中线所在直线的方程．【解答】解：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC边的中点为（2，1），∴AC边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x﹣4y﹣6=0．18．已知等差数列{a n}，其中a1+a2+a3=﹣3，a1•a2•a3=8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，则求{a n+7}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和性质，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列中项性质可得a3=2，a1=﹣4，a2=﹣1，进而得到a n+7=3n，运用等差数列的求和公式即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2+a3=﹣3，a1•a2•a3=8．可得3a1+3d=﹣3，即a2=﹣1，a1+a3=﹣2，a1•a3=﹣8．解得a1=﹣4，a3=2或a1=2，a3=﹣4，则d=3或﹣3，则a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7；或a n=2﹣3（n﹣1）=5﹣3n；（2）a2，a3，a1成等比数列，可得a32=a1a2，又a1•a2•a3=8，可得a3=2，a1=﹣4，a2=﹣1，则a n+7=3n，可得{a n+7}的前n项和为n（3+3n）=（n2+n）．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．（0＜x＜2）．∴S圆柱侧=2πrx=2π（（2），取最大值2π，∴当x=1时，S圆柱侧此时，r=1，所以．20．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD 是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM⊄平面BEF，FN ⊂平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…从而AC⊥平面BDE．…（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．…取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，故四边形AMNF是平行四边形．…所以AM∥FN，因为AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，…所以AM∥平面BEF．…22．已知圆M：x2+y2﹣2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A 作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C．（1）当a=0时，求直线l1，l2的方程；（2）当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；（3）是否存在点A，使得•=﹣2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，即可求直线l1，l2的方程；（2）当直线l1，l2互相垂直时，四边形MCAB为正方形，即可求a的值；（3）设，可得，利用圆心M到直线l的距离是，即可得出结论．【解答】解：（1））圆M：x2+（y﹣1）2=25，圆心M（0，1），半径r=5，A（0，11），设切线的方程为y=kx+11，圆心距，∴，∴所求直线l1，l2的方程为；（2）当l1⊥l2时，四边形MCAB为正方形，∴设A（a，11﹣a），M（0，1），则，∴a2﹣10a+25=0，∴a=5；（3）设，则，又，故，又圆心M到直线l的距离是，∴AM2≥50，∴，故点A不存在．2017年4月19日。

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1 2015—2016学年第一学期高二年级第一次月考数学试题（文A）一、选择题（每题5分，共60分） 1.若函数1()33fxxxx，则()fx的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知α，β，γ是不重合平面，a，b是不重合的直线，下列说法正确的是( )

A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件 B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件 C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件

3、下列有关命题的说法正确的是（） A．命题“若21x，则1x”的否命题为“若21x，则1x”； B．“1x”是“2550xx”的必要不充分条件； C．命题“xR，使得210xx”的否定是“xR，使得210xx” D．命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题。 4．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab等于（） A．7 B．10 C．13 D．4 5. 把函数)6sin(xy图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ) A．2x B．4x C．8x D．4x 6．等差数列{}na中，如果14739aaa，36927aaa，则数列{}na前9项的和为（） A．297 B．144 C．99 D．66 7.在等比数列na中，7a是98,aa的等差中项，公比q满足如下条件：OAB（O为原点）

中，)1,1(OA，),2(qOB，A为锐角，则公比q等于（） A．1 B．1 C．2 D．1或2 8.在正方体ABCD–A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线CM与1DN所成的角,则sin=（） 2

A． 91 B．32 C． D． 9．一个棱锥的三视图如图（单位为cm），则该棱锥的全面积是 ( )（单位：cm2）． A、4+26 B、4+6 C、4+22 D、4+2

10．如图给出的是计算1＋13＋15＋„＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( ) A．n＝n＋2，i＝15? B．n＝n＋2，i>15?

C．n＝n＋1，i＝15? D．n＝n＋1，i>15?

11．实数yx,满足条件0,002204yxyxyx,则yx2的最小值为 ( ) A.16 B．4 C.1 D．21 12．点ABCD、、、在同一个球的球面上，3ACBCAB，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为( ) A．16289 B．8 C． 16169 D．2516 二、填空题（每题5分，共20分） 13、一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是

14、已知ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，且

2222()3abcab，则2sin()2AB

15．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于16的概率为________．

16. 若圆0104422yxyx上恰有三个不同的点到直线kxyl:的距离为22,则k_____________________。

三、解答题（共70分） 17.（本小题满分10分）

设命题p:实数x满足22430xaxa,其中0a,命题:q实数x满足 .

2260,280.xxxx





3

(1)若1,a且pq为真,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

18. （本小题满分12分）已知函数.21cos)6cos(sin)(2xxxxf （I）求函数)(xf的单调递增区间和对称中心。（II）在ABC中，角CBA,,的对边分别为,,,cba，若.3,21)(cbAf求a的最小值.

19. （本小题满分12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点. (1)求证:AE⊥平面A1BD. (3)求点B1到平面A1BD的距离.

20．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R. (1)若从集合{0,1,2,3}中任取一个元素a，从集合{0,1,2}中任取一个元素b，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a是从区间[0,2]中任取的一个数，b是从区间[0,3]中任取的一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率。 4

21．（本小题满分12分）数列{}na的前n项和是nS，且112nnSa. ⑴ 求数列{}na的通项公式；

⑵ 记23log4nnab，数列21{}nnbb的前n项和为nT，若不等式nTm，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围。

22. （本小题满分12分）已知圆M：2244xy，点P是直线l：20xy上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值． 5

2015—2016学年第一学期高二年级第一次月考数学（文A）答案 CDDAA CCDAB DA 13、 52 14、87 15．．12 16.. 17．（1)当1a时，:13pxx，:23qxx，又pq为真，所以p真且q真，由1323xx，得23x，所以实数a的取值范围为(2,3) (2) 因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又:3pxaxa，:23qxx，

所以0233aaa，解得12a，所以实数a的取值范围为1,2

18.解：(I)2231131()sincossincossincoscos22222fxxxxxxxx 131111sin2cos2sin22224264xxx



单增区间为6.3kkZk，对称中心41.122k，Zk (II)由题意111()sin22642fAA,化简得 1sin(2).62A ,0A

,132(,)666A, ∴5266A, ∴.3A

在ABC中,根据余弦定理,得bccbbccba3)(3cos22222. 由3bc,知2924bcbc,即294a. ∴当32bc时,a取最小值32.

19. 20[解析] (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素， ∴a，b的取值情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12. 当a>b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，

∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率 P(A)＝612＝12. (2)∵a是从区间[0,2]中任取的一个数，b是从区间[0,3]中任取的一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6. 设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，6

b)|0≤a≤2,0≤b≤3，aM＝6－12×2×2＝4.

由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝SMSΩ＝46＝23. 21解：(1)由题 11112nnSa ① 112nnSa ② ①-②可得1111022nnnaaa，则113nnaa„„„„3分当1n时 11112Sa，则123a，则{}na是以23为首项，13为公比的等比数列，因此111212()333nnnnaaq. „„„„„„„„„5分 (2)2233loglog324nnnabn，所以

21111111()22(2)4(2)82nnbbnnnnnn，

11111111111113()(1)81324112821216nTnnnnnn



所以316m„ 22解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,所以MP＝22220244bbAMAP，解得580bb或

所以168(0,0)(,)55PP或 „3分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为： 222244424bbbxby 即22(24)40xybxyy

由2224040xyxyy，解得04xy或8545xy，所以圆过定点84(0,4),,55 „„7分（Ⅲ）因为圆N方程为222244424bbbxby 即222(4)40xybxbyb① 圆M：2244xy，即228120xyy

②

②－①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：

2(4)1240bxbyb，点M到直线AB的距离245816dbb