2017-2018年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省无锡市惠山区前洲中学九年级上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年江苏省无锡市惠山区前洲中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x3+x=3 C．x2+3x﹣5=0 D．ax2+bx+c=02．（3分）关于x的方程x2+x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k≥﹣C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠03．（3分）45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，AB=2cm，AC=4cm，DE=3cm，且DE ＜DF，则DF的长为（）A．1cm B．1.5cm C．6cm D．6cm或1.5cm5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，3），以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的得到线段OC，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）6．（3分）已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．不能确定7．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：28．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．S1≥S210．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（）A．3 B．3 C．4 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（2分）已知：x：y=2：3，则（x+y）：y=．12．（2分）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是m．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=°．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..16．（2分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=．17．（2分）关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m （x+2）2+nx+2n=0的根为．18．（2分）如图，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2）；继续操作下去…；第2017次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是．三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（16分）计算或解方程：（1）计算：（）﹣2﹣4sin60°﹣tan45°；（2）3x2﹣2x﹣1=0；（3）x2+3x+1=0（配方法）；（4）（x+1）2﹣6（x+1）+5=0．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．21．（6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．22．（6分）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣m（2m﹣3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．23．（6分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为元，销售量是千克（用含x的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）24．（8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P 在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．试问：最佳视点P在不在灯光照射范围内？并说明理由．25．（9分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．26．（8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．27．（9分）已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[﹣1.2]=﹣2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x ﹣[x]．（1）当x=2.15时，求y=x﹣[x]的值；（2）当0＜x＜2时，求函数y=x﹣[x]的表达式，并画出函数图象；（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x﹣[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．28．（10分）如图1，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点C开始沿边CB向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．已知点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）用含t的代数式表示：QB，PD=；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变匀速运动的点Q的速度，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，请求出点Q的速度；（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M 经过的路径长．2017-2018学年江苏省无锡市惠山区前洲中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x3+x=3 C．x2+3x﹣5=0 D．ax2+bx+c=0【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．2．（3分）关于x的方程x2+x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k≥﹣C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠0【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=12﹣4×1×（﹣k）=1+4k＞0，解得：k＞﹣．故选：A．3．（3分）45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：sin45°=，故选：C．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，AB=2cm，AC=4cm，DE=3cm，且DE ＜DF，则DF的长为（）A．1cm B．1.5cm C．6cm D．6cm或1.5cm【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴=，∵AB=2，AC=4，DE=3，∴=解得DF=6．故选：C．5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（6，3），以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的得到线段OC，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）【解答】解：以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（6×，3×），即（2，1），故选：A．6．（3分）已知⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．不能确定【解答】解：∵圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），∴PA==5，∵⊙A半径为5，∴点P点圆心的距离等于圆的半径，∴点P在⊙A上．故选：A．7．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选：D．8．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．设AP的长为x，则BP长为12﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（12﹣x）=4：9，解得：x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：9=4：（12﹣x），解得：x=6．∴满足条件的点P的个数是2个，故选：B．9．（3分）已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．S1≥S2【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP：AB=PB：AP，即AP2=PB•AB，∵S1=AP2，S2=PB•AB，又＜=，∴AP2＜PB•AB，∴S1＜S2．故选：B．10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（）A．3 B．3 C．4 D．4【解答】解：连结FD，D是AB的中点，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1，∴AC=BC=5，∠A=45°，∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=10，PB=1，∴AD=BD=5，DP=DB﹣PB=5﹣1=4，EF、DF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=AB=5，DF=BC=，∠EFP=∠FPD，∴∠FDA=45°，==，∴∠DFP+∠DPF=45°，∵△PQF为等腰直角三角形，∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ，∴∠DFP=∠EFQ，∵△PFQ是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴△FDP∽△FEQ，∴==，∴QE=DP=4．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（2分）已知：x：y=2：3，则（x+y）：y=．【解答】解：∵=，∴=+1=+1=．故答案为：．12．（2分）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是18m．【解答】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故答案为：18．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=75°．【解答】解：由题意得，tanA=1，cosB=，则∠A=45°，∠B=60°，则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．16．（2分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=．∴EF=BF=×6=3，∵AB=BC，BE是中线，∴AE=AC=×8=4，BE⊥AC，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF===5，∴DF=AF=．故答案为：．17．（2分）关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m （x+2）2+nx+2n=0的根为1或﹣2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，∴9m+3n=0，解得n=﹣3m，且m≠0，∴关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0为mx2+4mx+4m﹣3mx﹣6m=0，整理可得mx2+mx﹣2m=0，∵m≠0，∴x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，故答案为：1或﹣2．18．（2分）如图，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2）；继续操作下去…；第2017次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是．∴DE=EC=CF=DF ，∠AED=∠DFB=90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF ，∵AC=BC=2，∴DE=DF=1，∴S △AED +S △DBF =S 正方形ECFD =S 1=1；同理：S 2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，S n 即是第n 次剪取后剩余三角形面积和，∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2﹣S 1=1=S 1，第二次剪取后剩余三角形面积和为：S 1﹣S 2=1﹣==S 2，第三次剪取后剩余三角形面积和为：S 2﹣S 3=﹣==S 3，…第n 次剪取后剩余三角形面积和为：S n ﹣1﹣S n =S n =．则s 2017=； 故答案为：三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（16分）计算或解方程：（1）计算：（）﹣2﹣4sin60°﹣tan45°；（2）3x 2﹣2x ﹣1=0；（3）x 2+3x +1=0（配方法）；（4）（x +1）2﹣6（x +1）+5=0．【解答】解：（1）原式=； （2）原方程变形为：（x ﹣1）（3x +1）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣；（3）原方程变形为：，解得：；（4）原方程变形为：（x+1﹣5）（x+1﹣1）=0，解得：x1=4，x2=0．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为（2，0）；（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．【解答】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM==2．线段MD==＜2，所以点D在⊙M内．21．（6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．22．（6分）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣m（2m﹣3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣m（2m﹣3）=0的判别式△=（m﹣3）2+4m（2m﹣3）=9（m﹣1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣（m﹣3），x1×x2=﹣m（2m﹣3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2﹣2x1x2=（m﹣3）2+2m（2m﹣3）=26，整理，得5m2﹣12m﹣17=0，解这个方程得，m=或m=﹣1，所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．23．（6分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为10+0.5x元，销售量是2000﹣6x千克（用含x的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）【解答】解：（1）10+0.5x，2000﹣6x；（2）由题意得：（10+0.5x）（2000﹣6x）﹣10×2000﹣220x=24000，解得x1=40，x2=200（不合题意，舍去）答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．24．（8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P 在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．试问：最佳视点P在不在灯光照射范围内？并说明理由．【解答】解：（1）在直角三角形ACO中，sin75°=，解得OC=50×0.97≈48.5，在直角三角形BCO中，tan30°=，解得BC=1.73×48.5≈83.9．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm．（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，交OB于M，过点D作DG⊥PH于G，DQ ⊥AB于Q，延长HP交BO于T，则四边形DGHQ为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°由题意DE=DF=12，DP=34，∴PG=17，QH=DG=17，QF=6，GH=DQ=6∴PH=PH+GH=17+6≈27.38，又∵CH=6+17≈35.41，∴HB=CB﹣CH=83.9﹣35.41≈48.49，∵∠OBC=30°，tan∠OBC=1：∴TH=HB÷=48.49÷≈28.03，∵27.38＜28.03∴最佳视点P在灯光照射范围内．25．（9分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．26．（8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=2；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB•cos∠B=2×=，∴AB=2；故答案为：2；（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=．∴若△ACD与△BCO相似，AC的长度为．27．（9分）已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[﹣1.2]=﹣2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x ﹣[x]．（1）当x=2.15时，求y=x﹣[x]的值；（2）当0＜x＜2时，求函数y=x﹣[x]的表达式，并画出函数图象；（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x﹣[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．【解答】解：（1）当x=2.15时，y=x﹣[x]，=2.15﹣[2.15]，=2.15﹣2，=0.15，…（2分）（2）①当0＜x＜1时，[x]=0，∵y=x﹣[x]，∴y=x，…（4分）②当1≤x＜2时，[x]=1∵y=x﹣[x]，∴y=x﹣1，…（6分）…（8分）（3）函数y=x﹣[x]（﹣2＜x＜2），如图，OA=，①当﹣2＜x＜﹣1，[x]=﹣2，y=x﹣[x]=x+2，②当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，y=x﹣[x]=x+1，③当0≤x＜1时，[x]=0，y=x﹣[x]=x，④当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣[x]=x﹣1，当r=OA=时，⊙O与直线y=x﹣1相交于一点，OC=OA=，当0＜r＜时，⊙O总与直线y=x相交于一点；综上所述：r的取值范围是：0＜r＜或x=．…（10分）28．（10分）如图1，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点C开始沿边CB向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．已知点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）用含t的代数式表示：QB=8﹣2t，PD=t；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变匀速运动的点Q的速度，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，请求出点Q的速度；（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．【解答】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA===，∴PD=t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=，当PD=BQ，t=时，即×=8﹣v，解得：v=；当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2，∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．第31页（共31页）。
【精编】无锡市梁溪区2018届九年级上期中考试数学试卷有答案.doc
2017-2018学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x+1=5 B．x﹣2y=3 C．x2﹣3﹣=0 D．1﹣x﹣x2=02．关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根为x=1，则m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣36x+36=0 C．4x2+4x+1=0 D．x2﹣2x﹣1=05．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+n=0无实数根，则n的取值范围是（）A．n＜1 B．n＞1 C．n＜2 D．n＞26．在圆内接四边形ABCD中，若∠B=2∠D，则∠B等于（）A．45° B．60°C．90°D．120°7．下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A．60° B．30°C．40°D．50°10．如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连接AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是（）A．2 B．C．πD．2π二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）一元二次方程x2﹣x=0的根是．12．（2分）已知x=a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则a（a+1）的值为．13．（2分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．14．（2分）一个直角三角形的两直角边长之差为2cm，斜边为4cm，则它的面积为cm2．15．（2分）若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为cm2（结果保留π）．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=40°，则∠ABC的度数为．17．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径，若∠P=60°，则∠ACB=°．18．（2分）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H．若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于cm2．三、解答题（本大题共7小题，共54分）19．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣144=0（2）x2﹣4x﹣32=0（3）5x（x﹣3）=2（3﹣x）（4）（x﹣3）2=2x+5．20．（6分）某工厂10月份的产值是25万元，计划12月份的产值达到36万元，那么这家工厂11月、12月这两个月产值的月平均的增长率的百分率是多少？21．（8分）某原料加工厂加工销售某种原料，已知该原料进价为15万元/吨，经过加工之后以25万元/吨销售，平均每周售出8吨，为了尽快减少库存，该厂决定降价销售，经过测算后发现：售价每降低0.5万元/吨，平均每周多售出1吨，若该厂计划平均每周的销售利润是90万元，求每吨原料的售价．22．（6分）如图，A是⊙O上一点．（1）作⊙O的内接等边△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为3，求△ABC的边长．23．（8分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC=8，求△ABF的面积．24．（8分）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，AB和BC是⊙O 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为⊙O上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD，垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．25．（6分）如图，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，已知A（﹣2，0），D（0，2）．（1）求C点的坐标；（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？（直接写出t的值，不用写出求解过程．）2017-2018学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．D；2．A；3．B；4．C；5．B；6．D；7．D；8．B；9．D；10．C；二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．x1=0，x2=1；12．1；13．m＞﹣；14．3；15．10π；16．25°；17．60°；18．2π﹣4；三、解答题（本大题共7小题，共54分）24．25．。
九年级(上)期中数学试卷(答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．75．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：36．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．212．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a220．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是．（写出一个即可）22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；C、D根据相似图形的定义进行判断．【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；故选：B．2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴tanA=．故选A．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．故选C．4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．7【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：BC=12．故选：B．5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEF∽△CBF，∴EF：BF=DE：BC=1：2，∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；故选：A．6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是：=2，③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．综上所述，正确的结论是：①③④．故选：B．7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴，故A正确；∴，∴，故B正确；∴，故C错误；∴，∴，故D正确．故选C．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选：C．9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵cosB=，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选：B．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．2【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=A B﹣AB=20解得：AB=10．故选A．13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，∴OC==3（cm），∴3cm≤OP≤5cm，∵OP的长是整数，∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，∴满足条件的点P有5个．故选D．14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，∴∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，故选C．15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，故选D．16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．【解答】解：连接OC和OB，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，BC===4cm，∴AB=2BC=8cm．故选D．17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，∴∠AOB=120°，∠AOB所对弧的长度==2π．故选D．18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．圆【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故选C．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a2【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．故选C．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM 与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是∠D=∠B．（写出一个即可）【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，又∵∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC．22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=75°．【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，解得：∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，故答案为：75°．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为6．【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．【解答】解：过C作直径CD，连AD，∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，∴CD=2AC=6，∴⊙O的直径为6；故答案为：6．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ=90°=∠ACB，又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC=，∴=，∴CQ=•CP=CP．∵线段CP是⊙O内一弦，∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．∴CQ=×5=．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=4，∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°，在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，∴AB=2+2．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，∵∠AEC=∠AED+∠DEC，∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，又∵∠AED=∠B=60°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴=，∵BE=2，BC=5，∴EC=3，∴CD===．27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD•BD；（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，∴，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB==5，由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，∴5CD=3×4，∴CD=，∴，解得：BD=，sin∠BCD===．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．【解答】（1）证明：连接OD，（1分）∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE=90°，（2分）又∵AD=DC，AO=OB，∴OD是中位线，∴OD∥BC，（3分）∴∠DEC=∠ODE=90°，∴DE⊥BC；（4分）（2）解：连接BD，（5分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，（6分）∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，又∵DE⊥BC，Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）∴，∴BC=，（9分）又∵OD=BC，∴OD=，即⊙O的半径为．（10分）29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC 的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，则EF为圆O的切线；（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，∴∠CAD=∠OCA=60°，∴△AOC为等边三角形，∴AC=OC=OA=2，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．。
江苏省无锡锡东片2018届九年级数学下学期期中试题含答案
A 江苏省无锡锡东片2018届九年级数学下学期期中试题考试时间为120分钟．试卷满分130分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1． 的绝对值是（ ）A ．2B ．12C ．―12 D ．2．二次根式x －2有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＞2 3．下列运算正确的是（ ）A ．a 6÷a 2＝ a 3B ．a 5a 2＝ a 3C ．(3a 3)2 ＝6a 9D ．2(a 3b )23(a 3b )2＝－a 6b 24．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D5．若关于x 的方程2x －m ＝x －2的解为x ＝3，则m 的值为 （ ）A ．－5B ．5C ．－7D ．7 6．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲=610千克，x 乙=609千克，亩产量的方差分别是2S甲=29. 6，2S 乙=2. 则关于两种小麦推广种植的合理决策是 （ ） A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲 B ．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C ．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲D ．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙7．世博会某纪念品原价150元，连续两次涨价a %后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）A ．150(1＋2a %)＝216B ．150(1＋a %)2＝216C ．150(1＋a %)×2＝216D ．150(1＋a %)＋150(1＋a %)2＝216 8．下列命题中错误．．的是 （ ） A ．一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 B ．不在同一直线上的三点确定一个圆 C ．三角形的外心到三角形各边距离相等 D ．对角线相等的平行四边形是矩形 9．在平面直角坐标系中，点A (a ,23)是直线y=3x 上一点，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，若P(x ,y )是第一象限内⊙A 上任意一点，则 yx的最小值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3—1D ．3310．如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE ＝x （0＜x ＜2），给出下列判断：①当x =1时，点P 是正方形ABCD 的中心；②当x ＝12时，EF +GH ＞AC ；③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是3；④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 周长的值不变．其中正确的选项是 （ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若分式13+-x x 的值为0，则x 的值为 ．12．分解因式：2x 2－8＝ ．13．粤海铁路是我国第一条横跨海峡的铁路通道，设计年输送货物能力为11 000 000吨，用科学记数法应记为 吨．14名同学每天使用的零花钱的中位数是 元．15．已知双曲线y ＝k ―1x经过点（―2，3），那么k 的值等于 ．16．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为 cm 2．17．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ,E 分别在AC ,BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，若AC =8,AB =10，则CD 的长为 ．18．如图，在⊙O 中，B ，P ，A ，C 是圆上的点，PB = PC ， PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，若AC =AD ， PAD = 45，则△PAB 的面积为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1） 2―1―(―0.5)0―sin30°； （2）(x ―2)2―x (x ―3)． 20．（本题满分8分）（1）解方程：14143=-+--x x x⑵ 解不等式组：1312215(1) 6.x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩，21．（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE =∠DCF ． 求证：BE = DF ．第18题CADPOB第17题FEDCBA22．（本题满分7分）学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图①补充完整；（3）求出图②中C 级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A 级和B 级）？23．(本题满分7分) 有3张纸牌，分別是红桃3、红桃4和黑桃5（简称红3，红4，黑5）．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． （1）两次抽得纸牌均为红桃的概率；（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A 方案：若两次抽得花色相同．．．．则甲胜，否则乙胜．B 方案：若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？24．（本题满分7分）如图，已知在△ABC 中，∠A =90°．⑴请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）；CBABCDAEF（2）在（1）的条件下，若∠B =45°，AB =1，⊙P 切BC 于点D ，求劣弧⌒AD 的长．25．（本题满分9分）小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价－进价） 销售量】 （1（2x （元）之间存在怎样的函数关系．并求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？26．（本题满分10分）二次函数y =ax 2+bx +4的图象与x 轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，且A （﹣1，0）、B （4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴m 与x 轴交于点E ，CD ⊥m ，垂足为D ，点F （﹣76，0），动点N 在线段DE 上运动，连接CF 、CN 、FN ，若以点C 、D 、N 为顶点的三角形与△FEN 相似，求点N 的坐标；（3）如图2，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标是1，将射线MA 绕点M 逆时针旋转45°，交抛物线于点P ，求点P 的坐标．27．（本题满分10分） 方法感悟：（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，AE =4，AF =2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：（2）如图②，有一矩形板材ABCD ，AB =3米，AD =6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG =90°，EF =FG =5米，∠EHG =45°，经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH 部件的面积，并写出在以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线BA 为y 轴的坐标系中，点H 的坐标；若不能，请说明理由．28. （本题满分10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图象与一次函数y ＝41x 的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；（2）设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形； （3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．图②GCE图①EF DCBA2018春学期初三期中考试数学答案 2018.4一、选择题：(每题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDABDBCDC二、填空题：(每空2分，共16分)11． x=3 12．___2（x+2）（x-2）__ 13． 1.1×10714．____3.5_________15．__k=－5___ 16． 15πcm 217． 25818．___2___ 三、解答题(共9大题，84分) 19.（1）解：原式＝11-1-22……………(3分) ＝ -1…………… (4分) （2）解：原式＝x 2-4x+4-x 2+3x ………(3分) ＝-x ＋4…………… (4分) 20．（1） 3x （3分） 检验x=3是方程的实数根 （4分） （2） 1x < （1分）-2x ³ （3分）∴ 不等式组的解集为 -21x ? ． (4分)21. 证明：∵□ABCD 中，AB = CD ，AB // CD ，…………………………………………(2分) ∴∠ABE = ∠CDF ，……………………………………………………………(4分) 又∵∠BAE = ∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，………………………………(6分) ∴BE = DF ．…………………………………………………………………(8分) （其它方法也可相应给分） 22.（本题满分7分）(1)200 ——1分 (2) 图略（c 级的有30人） ——2分 （3）54——2分 （4）6800名 ——2分23.(本题7分） 解：树状图：列表：A 方案：P （甲胜）＝95， B 方案：P （甲胜）＝94， ∴甲选择A 方案胜率更高．24. ⑴作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，AP 为半径作圆.(3分)⑵弧AD 的长为l ⌒AD =32―34π. (7分) 25.解：（1）300，250，150 （3分）（2）判断：y 是x 的一次函数设y =kx +b ，∵x =10，y =300；x =11，y =250，∴1030011250.k b k b +=⎧⎨+=⎩，，解得⎩⎨⎧=-=80050b k∴y =－50x +800.经检验：x =13，y =150也适合上述关系式，∴y =－50x +800. (5分) （3）W =(x －8)y=(x －8)(－50x +800)=－50x 2+1200x －6400 ，∵a =－50<0，∴当x =12时，W 的最大值为800 .即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元. （9分） 26解：（1）当x =0时，y =4，∴C（0，4）．设抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣4），将点C 的坐标代入得：﹣4a =4，解得a =﹣1， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+3x +4． （3分）（2）x =2b a -=32．∴CD=32，EF=83． 设点N 的坐标为（32，a ）则ND=4﹣a ，NE=a ．当△CDN∽△FEN 时，EN EF DN CD =，即1649a a =-，解得a =6425， ∴点N 的坐标为（32，6425）． 当△CDN∽△N EF 时，CD DN EN EF =，即83342aa =-，解得：a =2． ∴点N 的坐标为（32，2）．综上所述，点N 的坐标为（32，6425）或（32，2）． （6分）（3）如图所示：过点A 作AD∥y 轴，过点M 作DM∥x 轴，交点为D ，过点A 作AE⊥AM，取AE=AM ，作EF⊥x 轴，垂足为F ，连结EM 交抛物线与点P ．…5分…7分 …6分∵AM=AE，∠MAE=90°，∴∠AMP=45°．将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，∴点M的坐标为（1，6）．∴MD=2，AD=6．∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，∴∠DAM=∠FAE．在△ADM和△AFE中，，∴△ADM≌△AFE．∴EF=DM=2，AF=AD=6．∴E（5，﹣2）．设E M的解析式为y=kx+b．将点M和点E的坐标代入得：，解得k=﹣2，b=8，∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8．将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立，解得：x=1或x=4．将x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．∴点P的坐标为（4，0）．（10分）27.解：（1）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3分）（2）能裁得，（4分）理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，∴OF=EG=，∵CF=2，∴OC=，∵OH′=OE=FG=，∴OH′＜OC，∴点H′在矩形ABCD的内部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积=EG•FH′=××（+）=5+，（7分）∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．H(322+3,1－22)（10分）28. 解：过点P作PE⊥x轴，分别过点A，点B作AE⊥PE于E，作B H⊥PE于H．（1）k＝4．S△PAB＝15．(3分)（2）设P(a，4a)，∵t a n∠PAE＝4114PE aAE a a+==+，t a n∠PBH＝4114PH aBH a a-==-，∴∠PAE＝∠PBH，∵∠PAE＝∠PMN，∠PBH＝∠PNM，∴∠PNM＝∠PMN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形. （ 7分）（3）过点Q作QD⊥x轴，分别过点A，点B作AD⊥QD于D，作BC⊥QD于C．由（2）中结论可证：∠QAD＝∠QBC，∠PAE＝∠PBH，∴∠PAQ＝∠PBQ．（10分）。
2018-2019第一学期江苏省无锡市锡北片初三数学试题及答案
∴P(选择不同通道通过) =
=．
………………（ 8 分）
23．（8 分）（1）证明：连结 CD，
∵BC 为⊙O 的直径
∴CD⊥AB
∵AC＝BC
∴AD＝BD．
………………（ 4 分）
（2）连结 OD，
∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF 是⊙O 的切线．
………………（ 8 分）
（1）此次共调查了多少名学生？
初三数学期中试卷 第 3 页 共 6 页
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数为 ▲ º． （3）我校九年级共有 1000 名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上（含良好）的 人数． 22．（8 分）车辆经过某大桥收费站时，共有 4 个收费通道 A、B、C、D，可随机选择其中的一个
∴S 阴影=S 扇形 EOD=
= ． ………………（8 分）
（不同方法可以相应给分）
25. （本题满分 6 分） ⑴图略．…………4 分
（不同方法可以相应给分）
⑵ 2cm…………6 分
26.（10 分）解：（1）设限购前二手房成交 x 套，新楼盘成交 y 套，根据题意得： ，
解得：
，
4500×（1﹣55%）=2025（套），
一动点 P．连接 AP，若点 C 为 AP 的中点，连接 OC，则 OC 的最小值为
(▲)
A．1
3
B．
2 －1
2
C． 2
D．2 2 －1
第8题
（第 9 题图）
y
A
D
C
B
O
A
O
B
江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷
江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷一、单选题1．sin 30︒的值等于（）A ．12B ．2C D ．12．某种零件在设计图上的长是2厘米，它的实际长是4米，则这幅设计图的比例尺是（）A ．200：1B ．2000：1C ．1：2000D ．1：2003．已知O 的半径为5，6OA =，则点A 在（）A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．无法确定4．在ABC V 中，90C ∠=︒，2BC =，3AB =，则cos A 的值为（）A ．3B ．23C ．12D ．325．下列说法中正确的是（）A ．三个点确定一个圆B ．长度相等的弧是等弧C ．直径所对的圆周角是直角D ．正五边形是中心对称图形6．如图，在ABCD 中，E 为AD 上一点，23AE BC =，BE 与AC 交于点F ．若12AC =，则AF 的长为（）A ．6B ．4C ．5.2D ．4.87．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠C =45°，∠AMD =75°，则∠D 的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°9．如图，ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，10AB =，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB 、BC 均相切，则O 的半径为（）A ．127B ．137C ．135D ．12510．已知O 的半径为4，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，关于下列四个命题：①BD 的最大值是8；②AE EC BE ED ⋅=⋅；③若3CD =，则1OF =；④若2OF =，则30DBC ∠=︒．其中正确的命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．若32a b =，则ab=．12．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了米．13．以O 为位似中心，将ABC V 按相似比1：2扩大得到DEF ，若ABC V 的周长为3，则DEF的周长为．14．请写出一个锐角α的值，使得sin 2α>，你写出的α的值为．15．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若95BAD ∠=︒，则DCE ∠的大小是．16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m ．17．已知：在△ABC 中，AB=6，AC=8，点D 是AB 的中点，E 是AC 边上的一点，若以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数443y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，记点(,1)(1)M m m >-关于直线AB 的对称点为N ，若以N 为圆心，MN 为半径的N e 与x 轴相切，则AOB V 外接圆的半径为；m 的值为．三、解答题19．计算：(1)11(π2)tan 452-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；(2)21cos 602-+︒-．20．如图，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠．(1)求证：ABC ADE △△∽；(2)如果2AB AD =，6BC =，求DE 的长．21．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，根据下列条件解直角三角形．(1)=60B ∠︒，8c =；(2)a =4c =．22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD >，点E ，F 分别在线段AC ，BC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD =．(1)求证：AF DE =；(2)若2AF BF CE =⋅，求证：ABC CDE ∠=∠．23．如图，已知AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，点P 是O 外的一点，PC AB ⊥，垂足为点C ，PC 与BD 相交于点E ，连接PD ，且PD PE =，延长PD 交BA 的延长线于点F ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若4DF =，72PE =，4cos 5PFC ∠=，求OC 的长．24．在矩形ABCD 中，AD AB >．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD 上确定点E ，使BE BC =．再在CD 上确定点F ，使以F 为圆心的圆经过点E 和点C ；(2)在（1）的条件下，若6AB =，且4sin 5DEF ∠=，则AE 的长为____________．（如需要画草图请使用图2）25．如图，一艘海警船在海上巡逻，航行到A 处测得南偏东60°的方向上有一灯塔B ，海警船以20海里每小时的速度向正东方向航行2小时到达C 处，测得此时灯塔B 在C 处南偏东15°的方向上．(1)求A 处与灯塔B 相距多少海里？(2)海警船从点C 出发继续向正东方向航行，还需要航行多少小时，使得海警船与灯塔的距离最小．（结果保留根号）26．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD 、BE 、CF 的交点G 就是ABC V 的重心，且2AG BG CGGD GE GF===．请你解决以下问题：(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）(2)在图1中，若ABC V 的面积为6，则CDG 的面积为__________；(3)如图2，I 是ABC V 的内心，60C ∠=︒，AI 的延长线分别与BC 和ABC V 的外接圆交于D 、E 两点，若24BD DE ==，求IE 的长．27．如图，ABC V 的顶点B C 、在直线l 上，90ACB ∠=︒，2BC =，1tan 2A ∠=，点D 是直线上位于点C 右侧的一点，且6CD =，点O 是直线l 上的一个动点，以点O 为圆心，2为半径的圆记作O ．(1)若点M 是O 上的任意一点，当O 与AC 边相切时，AM 的最大值是__________；(2)当1OC =时，设O 与AC 边的交点为N ，求BON △的面积；(3)当O 与ABC V 的边恰有两个交点时，请直接写出OD 的取值范围．28．如图，8AE =，D 为线段AE 上一点（异于点AE 、），分别以AD 与DE 为边长在AE 同侧作正方形ABCD 和正方形DEFG ，连接GE BE 、，连接AG 交BE 于点O ，设AD x =．(1)当3x =时：①tan BEA ∠=__________；②tan BEG ∠=__________；(2)设OEG 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．。
无锡市前洲中学2018届九年级上期中数学试题(有答案)(精选)
九年级数学期中试卷2017.11本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分130分．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．）1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( ▲) A．－1＝0 B．3＋＝3 C．2＋3－5＝0 D．a2＋b＋c＝0 2．关于的方程2＋－＝0有两个不相等的实数根，则的取值范围为( ▲)A ．＞－14B ．≥－14C ．＜－14D ．＞－14且≠03．45°的正弦值为( ▲ )A ．1B ．12C ．22D ．324．已知△ABC ∽△DEF ，∠A ＝∠D ，AB ＝2cm ，AC ＝4cm ，DE ＝3cm ，且DE ＜DF ， 则DF 的长为( ▲ )A ．1cmB ．1.5cmC ．6cmD ．6cm 或1.5cm5．在平面直角坐标系中，点A (6，3)，以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原的13得到线段OC ，则点C 的坐标为( ▲ )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)6．已知⊙A 半径为5，圆心A 的坐标为（1，0），点P 的坐标为（－2，4），则点P 与⊙A 的位置关系是( ▲ )A ．点P 在⊙A 上B ．点P 在⊙A 内C ．点P 在⊙A 外D ．不能确定7．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC ＝( ▲ )A ．1︰3B ．1︰4C ．2︰3D ．1︰28．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12，AD ＝4，BC ＝9，点P 是AB 上一动点，若△PAD 与△PBC 相似，则满足条件的点P 的个数有 ( ▲ )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积 为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( ▲ )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1≥S 2AD F CBOE （第7题） AC BP FEQ（第10题）ABCDP（第8题）10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 分别是边BC 、 AC 的中点，P是AB 上一点，以PF 为一直角边作等腰直角△PFQ ，且∠FPQ ＝90°，若AB ＝10，PB ＝1，则QE 的值为( ▲ )A ． 3B ．3 2C ．4D ．4 2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．已知：y ＝2：3，则(＋y )：y ＝ ▲ ．12．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高是 ▲ m ．13．某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 ▲ ．14．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且||tan A －1＋(12－cos B )2＝0，则∠C ＝ ▲ °．15．如图，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE ＝4：3，且BF ＝2，则DF ＝ ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AC ＝8，点F 是△ABC 的重心（即点F 是△ABC 的两条中线AD 、BE 的交点），BF ＝6，则DF ＝ ▲ ．17．关于的一元二次方程m 2＋n ＝0的一根为＝3，则关于的方程m (＋2)2＋n ＋2n ＝0的根为▲ ．18．如图，△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S 1（如图1）；在余下的Rt △ADE ABCDEF（第15题）（图2） ACB DE FACBDE FACB DE F（图1）（第18题）ABD CEF （第16题）……和Rt △BDF 中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2（如图2）；继续操作下去…；第2017次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤.） 19．计算或解方程：（每小题4分，共16分） （1）计算：(12)－2－4sin60°－tan45°；（2）32－2－1＝0；（3）2＋3＋1＝0（配方法）； （4）(＋1)2－6(＋1)＋5＝0．20．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ▲ ；（3）判断点D （5，－2）与⊙M 的位置关系．21．（本题满分6分）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°， E 为AB 中点．（1）求证：AC 2＝AB •AD ；（2）若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．ADC BEF（第21题）（第20题）22．（本题满分6分）已知关于的方程2＋(m－3)－m(2m－3)＝0．（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根．（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．23．（本题满分6分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外．上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2 000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．）（1）若外商要将这批猴头菇存放天后一次性出售，则天后这批猴头菇的销售单价为▲元，销售量是▲千克（用含的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24 000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？24．（本题满分8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73）（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC ．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF 为24cm ，点P 为眼睛所在位置，当点P 在EF 的垂直平分线上，且到EF 距离约为34cm （人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm ）时，称点P 为“最佳视点”．试问：最佳视点P 在不在灯光照射范围内？并说明理由．25．（本题满分9分）如图，以点P （－1，0）为圆心的圆，交轴于B 、C 两点（B 在C 的左侧），交y 轴于A 、D 两点（A 在D 的下方），AD ＝23，将△ABC 绕点P 旋转180°，得到△MCB ． （1）求B 、C 两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB 、MC ，并判断四边形ACMB 的形状（不必证明），求出点M 的坐标；（3）动直线l 从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC 重合时停止，设直线l 与CM 交点为E ，点Q 为BE 的中点，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，连接MQ 、QG ．请问在旋转过程中，∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．26．（本题满分8分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．（1）AB ＝ ▲ ；（2）当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数．O（3）若△ACD 与△BCO 相似，求AC 的长．27．（本题满分9分） 定义：已知为实数，表示不超过的最大整数． 例如：[3.14]＝3，[1]＝1，[－1.2]＝－2．请你在学习和理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y ＝－． （1）当＝2.15时，求y ＝－的值．（2）当0＜＜2时，求函数y ＝－的表达式，并画出对应的函数图像．（3）当－2＜＜2时，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，r 为半径作圆，且r ≤2，该圆与函数y ＝－恰有一个公共点，请直接写出r 的取值范围．28．（本题满分10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．已知点P 、Q分别（第26题）（第27题）从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）用含t的代数式表示：QB＝▲，PD＝▲；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变匀速运动的点Q的速度，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求出此时点Q 的速度．（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，求出点M经过的路径长．B（图1）B（图2）九年级数学期中试卷参考答案与评分标准 2017.11一．选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）⒈C ⒉A ⒊C ⒋C ⒌A ⒍A ⒎D 8．B 9．B 10．D 二、填空题 (本大题共8小题，每小题2分，共计16分) 11、 5：3 12、18 13、10％ 14、75° 15、 16、 2.517、1或－2 18、1/22016 三、解答题（10小题，共84分） 19.（每小题4分）（1）1—2（2）1＝1，2＝－31（3）1＝25，2＝25（4）1＝0，2＝420．（本题6分） 解：（1）略 ……2分（2）M 的坐标：（2，0）；……3分 （3）∵，……4分∴……5分∴点D 在⊙M 内……6分21. 解：（1）∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°∴△ADC ∽△ACB …………………………………………（1分） ∴AC AD ＝ A B AC∴AC 2＝AB •AD ………………………………………（2分） （2）∵∠ACB ＝90°，E 为AB 中点.∴CE ＝21AB ＝AE ＝3∴∠EAC ＝∠ECA ………………………………………（3分） 又∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠EAC∴∠DAC ＝∠ECA ………………………………………（4分） ∴AD ∥EC∴△ADF ∽△ECF ………………………………………（5分） ∴FC AF ＝EC AD ＝34 ∴ AF AC ＝47． ………………………………………（6分） 22.（1）（2分）（2） （6分，不排除扣2分）23．（1）10＋0.5， (1分) 2000―6； （1分） （2）由题意得：（10＋0.5）（2000―6）―10×2000―220＝24000． （2分） 解得1=40，2=200（不合题意，舍去） （1分） 答：存放40天后出售。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）一元二次方程2x x =的根是( ) A ．10x =，21x =B ．10x =，21x =-C ．120x x ==D ．121x x ==2．（3分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( ) A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=3．（3分）下列说法正确的是( )A ．甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定B ．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是3D ．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖4．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( ) A ．1k >-B ．1k <-C ．1k ≠-D ．0k <且1k ≠-5．（3分）已知O 的半径为3cm ，4OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定6．（3分）下列语句中正确的是( )A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半B ．三点确定一个圆C ．圆有四条对称轴D ．各边相等的多边形是正多边形7．（3分）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是O 上的点，AC AE =，128D ∠=︒，则B ∠的度数为( )A．128︒B．126︒C．118︒D．116︒8．（3分）如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到2306m，则道路宽度是()A．27m B．26m C．2m D．1m9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(0,6)-，P的半径为2，P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当P与x轴相切时P运动的时间为( )A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s⨯正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出10．（3分）如图是一个沿33发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有()A．4条B．5条C．6条D．7条二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．（2分）一元二次方程230-=的根是．x x12．（2分）关于x的一元二次方程2+-=有实根，则m的取值范围是．x x m22013．（2分）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差（填“不变”“增大”或“减小”)．14．（2分）如图，AB为O的直径，CD为O的弦，44∠=．ACD∠=︒，则BAD15．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为．16．（2分）如图，四边形ABCD内接于O，若62∠的度∠=︒，则ADB∠=︒，122ABDC数为︒．17．（2分）如图，点A、B、C分别是O上三个点，且CA ABAB=，CA=，4⊥，若2则OA的长为．18．（2分）如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP=，Q是O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP、OM，则线段OM的最小值是．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（16分）解下列方程：（1）2(1)30x +-= （2）(1)2(1)y y y -=- （3）22510x x --= （4）2(2)36x x +=+．20．（7分）已知关于x 的方程210x ax a ++-=．（1） 若方程有一个根为 1 ，求a 的值及该方程的另一个根； （2） 求证： 不论a 取何实数， 该方程都有实数根 ．21．（8分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点． （1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中P ∠的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由．22．（8分）如图，ABC ∆中，30B C ∠=∠=︒，点O 是BC 边上一点，以点O 为圆心、OB 为半径的圆经过点A ，与BC 交于点D ． （1）试说明AC 与O 相切；（2）若23AC =，求图中阴影部分的面积．23．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．（8分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示． 各等级学生平均分统计表 等级 优秀 良好 及格 不及格 平均分92.185.069.241.3（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．25．（8分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为 元，销售量为 件； （2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？ 26．（5分）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根．据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i=；（2）方程2220-+=的两根为（根用i表示）．x x27．（8分）如图，已知直角ABCBC=，4AC=．C的半径长为1，已C∠=︒，3∆，90知点P是ABC∆边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到C的切线长为3，则AP的长度为；（2）若点P到C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）28．（10分）如图1，等边ABC∆的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边DEF⊥，2∆的顶点D重合，且AB DE=，DEπ将它沿等边DEF∆的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与O的圆心O重合，O的半径为3，将它沿O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）一元二次方程2x x =的根是( ) A ．10x =，21x = B ．10x =，21x =- C ．120x x == D ．121x x ==解：2x x =， 20x x -=， (1)0x x -=， 0x =，10x -=，10x =，21x =，故选：A ．2．（3分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( ) A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -=解：由原方程移项，得 225x x -=，方程的两边同时加上一次项系数2-的一半的平方1，得 2216x x -+=2(1)6x ∴-=．故选：C ．3．（3分）下列说法正确的是( )A ．甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定B ．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是3D ．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖解：A 、甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误；B 、从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故此选项错误；C 、数据3，5，4，1，2-的中位数是3，正确；D 、若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次可能3次中奖，故此选项错误． 故选：C ．4．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( ) A ．1k >-B ．1k <-C ．1k ≠-D ．0k <且1k ≠-解：关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根， ∴△224(1)00k =-+⨯>且10k +≠，解得：1k ≠-， 故选：C ．5．（3分）已知O 的半径为3cm ，4OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解：点到圆心的距离34d r =<=， ∴该点P 在O 内．故选：C ．6．（3分）下列语句中正确的是( )A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半B ．三点确定一个圆C ．圆有四条对称轴D ．各边相等的多边形是正多边形解：A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，此选项说法正确； B ．不在同一直线上的三点确定一个圆，此选项说法错误； C ．圆有无数条对称轴，此选项说法错误；D ．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，此选项说法错误；故选：A ．7．（3分）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是O 上的点，AC AE =，128D ∠=︒，则B∠的度数为( )A ．128︒B ．126︒C ．118︒D ．116︒解：连接AC 、CE ，点A 、C 、D 、E 都是O 上的点， 180CAE D ∴∠+∠=︒， 18012852CAE ∴∠=︒-︒=︒，AC AE =，1(18052)642ACE AEC ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， 点A 、B 、C 、E 都是O 上的点， 180AEC B ∴∠+∠=︒， 18064116B ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．8．（3分）如图，在长20m 、宽18m 的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到2306m ，则道路宽度是( )A ．27mB ．26mC ．2mD ．1m解：设道路的宽度为xm ，根据题意得：(202)(18)306x x --=，化简得：228270x x -+=，解得：11x =，227x =．2020x ->，10x ∴<，1x ∴=．故选：D ．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(0,6)-，P 的半径为2，P 沿y 轴以2个单位长度/s 的速度向正方向运动，当P 与x 轴相切时P 运动的时间为( )A ．2sB ．3sC ．2s 或4sD ．3s 或4s解：P 与x 轴相切 2OP ∴=当点P 在x 轴下方，即点(0,2)P -2(6)22t s ---∴== 当点P 在x 轴上方，即点(0,2)P2(6)42t s --∴== 故选：C ．10．（3分）如图是一个沿33⨯正方形方格纸的对角线AB 剪下的图形，一质点P 由A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有( )A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，画树状图如下：由树状图可知点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有5种，故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．（2分）一元二次方程230x x -=的根是 10x =，23x = ．解：230x x -=，(3)0x x -=，10x ∴=，23x =．故答案为：10x =，23x =．12．（2分）关于x 的一元二次方程2220x x m +-=有实根，则m 的取值范围是 2m - ． 解：关于x 的一元二次方程2220x x m +-=有实根，∴△2242()0m =-⨯⨯-，解得：12m -． 故答案为：12m -． 13．（2分）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 不变 （填“不变”“增大”或“减小” )．解：由题意知，原来的平均年龄为1x ，每位同学的年龄10年后都变大了10岁，则平均年龄变为110x +，则每个人的年龄相当于加了10岁，原来的方差22221121[()()()]0.5n S x x x x x x n=-+-+⋯+-=， 现在的方差2222222212121[(1010)(1010)(1010)][()()()]0.5n n s x x x x x x x x x x x x n=+--++--+⋯++--=-+-+⋯-=，方差不变．故答案为：不变．14．（2分）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，44ACD ∠=︒，则BAD ∠= 46︒ ．解：如图，连接BC ，AB 是O 的直径，90BCA ∴∠=︒，又44ACD ∠=︒，9046BAD BCD ACD ∴∠=∠=︒-∠=︒，故答案为：46︒．15．（2分）若圆锥的底面半径为3cm ，高是4cm ，则它的侧面展开图的面积为 215cm π ． 解：因为圆锥的底面半径为3cm ，高是4cm ，所以圆锥的母线长22345()cm =+=， 所以圆锥的侧面展开图的面积2123515()2cm ππ==． 故答案为215cm π．16．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若62ABD ∠=︒，122C ∠=︒，则ADB ∠的度数为 60 ︒．解：四边形ABCD 内接于O ，180A C ∴∠+∠=︒，122C ∠=︒，58A ∴∠=︒，62ABD ∠=︒，180180625860ADB ABD A ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：60．17．（2分）如图，点A 、B 、C 分别是O 上三个点，且CA AB ⊥，若2CA =，4AB =，则OA 的长为 5 ．解：连接BC ．AC AB ⊥，90CAB ∴∠=︒，BC ∴是直径，OA OB OC ∴==， 22222425BC AC AB =+=+=．OA ∴的长为5．故答案为5．18．（2分）如图，O 的半径为1，P 是O 外一点，2OP =，Q 是O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP 、OM ，则线段OM 的最小值是 12．解：设OP 与O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，2OP =，1ON =，N ∴是OP 的中点，M 为PQ 的中点，MN ∴为POQ ∆的中位线，1111222MN OQ ∴==⨯=， ∴点M 在以N 为圆心，12为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为12， ∴线段OM 的最小值为12． 故答案为12．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（16分）解下列方程：（1）2(1)30x +-=（2）(1)2(1)y y y -=-（3）22510x x --=（4）2(2)36x x +=+．解：（1）移项得：2(1)3x +=，开方得：1x +=，11x =，21x =；（2）(1)2(1)y y y -=-，(1)2(1)0y y y ---=，(2)(1)0y y --=，20y -=，10y -=，12y =，21y =；（3）22510x x --=，解：这里2a =，5b =-，1c =-，224(5)42(1)33b ac -=--⨯⨯-=x =，1x =，2x =（4）2(2)36x x +=+，解：2(2)3(2)x x +=+，2(2)3(2)0x x +-+=，(2)[(2)3]0x x ++-=，20x +=，(2)30x +-=，12x ∴=-，21x =．20．（7分）已知关于x 的方程210x ax a ++-=．（1） 若方程有一个根为 1 ，求a 的值及该方程的另一个根；（2） 求证： 不论a 取何实数， 该方程都有实数根 ．解： （1）1x =是方程210x ax a ++-=的解，∴把1x =代入方程210x ax a ++-=得：110a a ++-=，解得0a =，12x x a +=-，210x ∴+=，21x ∴=-，0a ∴=，方程的另一个根为1-．（2）2224(1)44(2)0a a a a a --=-+=-，∴无论a 为何值， 此方程都有实数根 ．21．（8分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中P ∠的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．解：（1）如图①，连接AP ，即为所求角平分线；如图②，连接AO 并延长，与O 交于点D ，连接PD ，即为所求角平分线．（2）AD 是直径，∴ABD ACD =，又AB AC=，=．∴AB AC=，∴BD CD所以PD平分BPC∠．22．（8分）如图，ABC∠=∠=︒，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为∆中，30B C半径的圆经过点A，与BC交于点D．（1）试说明AC与O相切；（2）若23AC=，求图中阴影部分的面积．【解答】证明（1）如图：连接OA．=OA OB∴∠=∠OAB B∠=︒B30∴∠=︒OAB30∠=∠=︒，∠=︒-∠-∠，且30B CBAC B C180∴∠=︒120BAC1203090OAC BAC OAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒OA AC ∴⊥ 且 点A 是半径OA 的外端AC ∴是O 的切线 即AC 与O 相切（2）连接AD ．30C ∠=︒，90OAC ∠=︒2OC OA ∴=设OA 的长度为x ，则2OC x =在OAC ∆中，90OAC ∠=︒，23AC = 根据勾股定理可得：222(23)(2)x x +=解得：12x =，22x =-（不合题意，舍去）1223232OAC S ∆∴=⨯⨯=，260223603OAD S ππ=⨯⨯=扇形 2233S π∴=-阴影 答：图中阴影部分的面积为2233π-． 23．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 12； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率2142==； 故答案为：12； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以两次摸到红球的概率21126==． 24．（8分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．各等级学生平均分统计表等级优秀 良好 及格 不及格 平均分 92.1 85.0 69.2 41.3（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 4% ；（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是152%18%26%4%---=；故答案为：4%；（2）92.152%85.026%69.218%41.34%84.1⨯+⨯+⨯+⨯=；答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；（3）设总人数为n 个，80.041.34%89.9n ⨯⨯ 所以4854.5n <<，又因为4%n 为整数 所以50n =，即优秀的学生有52%5010%260⨯÷= 人．25．（8分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为 6 元，销售量为 件；（2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？ 解：（1）151016-+=（元)，4601(200.5)420-⨯÷=（件)．故答案为：6；420．（2）设每件商品应提交x 元，则每天可售出(46040)x -件，根据题意得：(1510)(46040)2720x x -+-=，整理得：13x =，2 3.5x =，1518x ∴+=或18.5．答：应将每件售价定为18元或18.5元．26．（5分）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根．据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = 1 ，2011i = ，2012i = ；（2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．故答案为：1，i -，1．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121i x i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 故答案为：1i +或1i -．27．（8分）如图，已知直角ABC ∆，90C ∠=︒，3BC =，4AC =．C 的半径长为1，已知点P 是ABC ∆边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P 到C 的切线长为3，则AP 的长度为 25 或2 ； （2）若点P 到C 的切线长为m ，求点P 的位置有几个？（直接写出结果）解：（1）由题意切线长为3，半径为1，可得2PC =，所以点P 只能在边BC 或边AC 上．如图1中，连接PA ．在Rt PAC ∆中，22224225PA AC PC =+=+= 如图2中，422PA AC PC ===-=，综上所述，满足条件的PA 的长为25或2．故答案为5或2．（2）如图3中，当CP AB ⊥时．易知125AC BC CP AB ==， 此时切线长22119PE PC EC =-=， 如图4中，当点P 与点B 重合时，切线长2222PE BC EC =-=， 如图5中，当点P 与点A 重合时，切线长2215PE AC EC =-= 观察图形可知：当1190m <<时，点P 的位置有2个位置； 当119m =P 的位置有3个位置； 1192m <<时，点P 的位置有4个位置； 当22m =时，点P 的位置有3个位置； 当215m <<时，点P 的位置有2个位置；当15m =P 的位置有1个位置．28．（10分）如图1，等边ABC ∆的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 3π ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边DEF ∆的顶点D 重合，且AB DE ⊥，2DE π=，将它沿等边DEF ∆的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与O 的圆心O 重合，O 的半径为3，将它沿O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）解：（1）等边ABC ∆的边长为3，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，AC BC AB ==， ∴603180AC BC AB l l l ππ⨯====， ∴线段MN 的长为3AC BC AB l l l π++=，故答案为：3π；（2）如图1，等边DEF ∆的边长为2π，等边ABC ∆的边长为3， 236AGHF S ππ∴=⨯=矩形，由题意知，AB DE ⊥，AG AF ⊥，120BAG ∴∠=︒，212033360BAG S ππ⨯∴==扇形， ∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为()()336327AGHF BAG S S πππ+=+=矩形扇形；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ，I 是ABC ∆的重心也是内心，30DAI ∴∠=︒，1322AD AC ==， 323cos cos30AD OI AI DAI ∴====∠︒， ∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径相当于以O 为圆心，OA 为半径的圆周， ∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为2323n n ππ=， 故答案为23n π．。
九年级(上)期中数学试卷含解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=02．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和103．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣20178．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=010．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1y2．（用＞、＜、=填空）．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为．三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=0【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和10【解答】解：3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为3，﹣8，故选：B．3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：A．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点坐标为：x=﹣=2，y==﹣9，即（2，﹣9），∵2＞0，﹣9＜0，∴顶点在第四象限．故选：D．6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选：B．7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣2017【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，∴α•β=﹣2017．故选：D．8．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．【解答】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是2．故选：A．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=0【解答】解：x2=x，移项得x2﹣x=0，提公因式得x（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=0．故选：D．10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确；∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，所以④错误．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是2x2﹣6x+5=0．【解答】解：2x2﹣3x=3x﹣5是一般形式是2x2﹣6x+5=0，故答案为：2x2﹣6x+5=0．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为﹣3．【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1＞y2．（用＞、＜、=填空）．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，﹣7＞﹣8，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．【解答】解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于8．【解答】解：由题意得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，故答案为：8．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为﹣3．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣m，x1x2==﹣3，∵x1=1，∴1+x2=﹣m，x2=﹣3，∴m=2．故答案为：﹣3三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0，x+1=0，x1=4，x2=﹣1；（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3），（x﹣3）2﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣3x）=0，x﹣3=0，x﹣3﹣3x=0，x1=3，x2=﹣1.5．18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【解答】解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得：（x+2）2﹣25=0，（x+2）2=25，x+2=±5，x+2=5或x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线x=1，二次函数的最大值是4．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．【解答】解：（1）对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根，利用如下：∵△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（2）当m=2时，原方程为x2﹣2x﹣2=0，此时△=m2+8=12，∴x1=1﹣，x2=1+．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=2，x2=3．经检验，x=2不符合题意，舍去答：原正方形的边长3m．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【解答】解：设房价为（180+10x）元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x，由题意得，y=（180+10x）（50﹣x）﹣（50﹣x）×20=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x ﹣17）2+10890故可得当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．11。
2017-2018年江苏省苏州市九年级上学期期中数学试卷及答案
2017-2018学年江苏省苏州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．（3分）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．开口向上，顶点坐标（3，1）B．开口向下，顶点坐标（3，1）C．开口向上，顶点坐标（﹣3，1） D．开口向下，顶点坐标（﹣3，1）3．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2D．y=2（x+2）24．（3分）当用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x时，下列方程变形正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=75．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P不在⊙O外，则线段OP的长（）A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm7．（3分）下列说法①半径为3cm且经过点P的圆有无数个；②直径是圆的对称轴；③菱形的四个顶点在同一个圆上；④平分弦的直径垂直于这条弦，其中真命题有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=112°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．14°B．24°C．34°D．44°9．（3分）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x 的不等式﹣1＞0的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜010．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填写在答题纸上）11．（3分）方程x2=4的解为．12．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是．13．（3分）如图，半径为6的⊙O中，弦CD垂直平分半径OB，则CD的长为．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C=21°，则∠BOE的度数等于°．15．（3分）某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5600元降到了3584元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是．16．（3分）已知a、b为一元二次方程x2+3x﹣2017=0的两个根，那么a2+2a﹣b 的值为．17．（3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为．18．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x 增大而减小；⑤点P（m，n）是抛物线上任意一点，则m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是．（把你认为正确的结论的序号填写在横线上）三、简答题（本大题共10小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（用配方法解）（2）（x﹣1）2=4x（x﹣1）（3）．20．（5分）已知抛物线y=x2+kx+k﹣2，直线y=x，求证：抛物线和直线总有交点．21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）等腰△ABC中，AB=AC=2，若AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．22．（6分）如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB=CD，求证：AC=BD．23．（6分）如图，已知⊙O中直径AB和弦AC交于点A，点D，E分别是半圆AB和的中点，连接DE分别交AB，AC于点F，G．（1）求证：AF=AG；（2）连接CE，若AF=4，BF=6，∠A=30°，求弦CE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1•x2﹣1，求k的值．25．（9分）如图，二次函数y=ac2+bx+c的图象经过A，B，C三点．（1）观察图象，直接写出：当x满足时，抛物线在直线AC的上方．（2）求抛物线的解析式；（3）观察图象，直接写出：当x满足时，y＜0；（4）若抛物线上有两个动点M（m，y1），N（m+2，y2），请比较y1和y2的大小．26．（8分）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场ABCD，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）（1）若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）该矩形养兔场ABCD的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时AB的长度，若没有最大值，请说明理由．27．（9分）如图①，抛物线y=a（x2+2x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=OB．（1）直接写出点B的坐标是（，），并求抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线l，如图②，连接BD，线段OC上的点E关于直线l的对称点E′恰好在线段BD上，求点E的坐标．（3）若点F为抛物线第二象限图象上的一个动点，如图③连接BF，CF，当△BCF 的面积是△ABC面积的一半时，求此时点F的坐标．28．（9分）如图①，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，在x轴上有一个动点D（m，0），其中0＜m＜3．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作x轴的垂线交直线AC于点E，交抛物线于点F，过点F作FG⊥AC 于点G，设△ADE的周长为C1，△EFG的周长为C2，若=，求m的值．（3）如图②，动点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上H点处，请直接判定此时四边形APHQ的形状，并求出点H坐标．2017-2018学年江苏省苏州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．故选：C．2．（3分）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．开口向上，顶点坐标（3，1）B．开口向下，顶点坐标（3，1）C．开口向上，顶点坐标（﹣3，1） D．开口向下，顶点坐标（﹣3，1）【解答】解：∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），故选：A．3．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2D．y=2（x+2）2【解答】解：二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，得y=2x2+2．故选：B．4．（3分）当用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x时，下列方程变形正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7【解答】解：x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=3+4，即（x﹣2）2=7，故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即22﹣4×1×k=0，解得k=2，故选：C．6．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P不在⊙O外，则线段OP的长（）A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm【解答】解：由题意，得d≤r，故选：B．7．（3分）下列说法①半径为3cm且经过点P的圆有无数个；②直径是圆的对称轴；③菱形的四个顶点在同一个圆上；④平分弦的直径垂直于这条弦，其中真命题有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①半径为3cm，且经过点P的圆有无数个，圆心不确定有无数个，故正确；②直径所在的直线是圆的对称轴，故错误；③菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，故错误；④平分弦（非直径）的直径垂直与弦，故错误；其中真命题有1个；故选：A．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=112°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．14°B．24°C．34°D．44°【解答】解：∵∠BOC=112°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=68°，∵AD∥OC，OD=OA，∴∠D=∠A=68°，∴∠AOD=180°﹣2∠A=44°．故选：D．9．（3分）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x 的不等式﹣1＞0的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0【解答】解：由﹣x2﹣1＜0得，x2+1＜，∵点A的横坐标为1，如图所示，∴不等式的解集是0＜x＜1．故选：C．10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=，∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填写在答题纸上）11．（3分）方程x2=4的解为x1=2，x2=﹣2．【解答】解：开方得，x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故答案为，x1=2，x2=﹣2．12．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m 的值是﹣1．【解答】解：∵1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，∴（m﹣1）×12+1+1=0，且m﹣1≠0，解得，m=﹣1．故答案是：﹣1．13．（3分）如图，半径为6的⊙O中，弦CD垂直平分半径OB，则CD的长为6．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OB，半径为6，∴OP=3．∵弦CD垂直平分半径OA，设CD=x，在Rt△ODP中，∵OP2+DP2=OD2，∴x2+32=62，解得x=6．即CD=6，故答案为：6，14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C=21°，则∠BOE的度数等于63°．【解答】解：连接OD，∵CD=OA=OD，∠C=21°，∴∠ODE=2∠C=4240°，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=42°，∴∠EOB=∠C+∠E=42°+21°=63°，故答案为：63．15．（3分）某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5600元降到了3584元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是5600（1﹣x）2=3584．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得出方程为：5600（1﹣x）2=3584．故答案为：5600（1﹣x）2=3584．16．（3分）已知a、b为一元二次方程x2+3x﹣2017=0的两个根，那么a2+2a﹣b 的值为2020．【解答】解：∵a、b为一元二次方程x2+3x﹣2017=0的两个根，∴a2+3a=2017，a+b=﹣3，∴a2+2a﹣b=a2+3a﹣（a+b）=2017﹣（﹣3）=2020．故答案为：2020．17．（3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为﹣1或2或1．【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．18．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x 增大而减小；⑤点P（m，n）是抛物线上任意一点，则m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是①②⑤．（把你认为正确的结论的序号填写在横线上）【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④错误；由图象可知，x=1时，y=ax2+bx+c取得最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c．即m（am+b）≤a+b，故⑤正确故答案为①②⑤．三、简答题（本大题共10小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（用配方法解）（2）（x﹣1）2=4x（x﹣1）（3）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1=0，x2﹣2x=1，x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2，x﹣1=，x1=2+，x2=1﹣；（2）（x﹣1）2=4x（x﹣1），（x﹣1）2﹣4x（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣1﹣4x）=0，x﹣1=0，x﹣1﹣4x=0，x1=1，x2=；（3）方程两边都乘以（x+!）（x﹣1）得：2=（x+1）（x﹣1）+x+1，解得：x=﹣2或1，检验：当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，此时方程无解；当x=﹣2时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以x=﹣2是原方程的解，即原方程的解为x=﹣2．20．（5分）已知抛物线y=x2+kx+k﹣2，直线y=x，求证：抛物线和直线总有交点．【解答】证明：根据题意得出方程组，把y=x代入y=x2+kx+k﹣2得：x2+kx+k﹣2=x，x2+（k﹣1）x+k﹣2=0，△=（k﹣1）2﹣4×1×（k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2≥0，所以抛物线和直线总有交点．21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）等腰△ABC中，AB=AC=2，若AB、BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜2且k≠0．（2）将x=2代入原方程，得：4k﹣8+2=0，解得：k=，∴原方程为x2﹣4x+2=0，即（3x﹣2）（x﹣2）=0，解得：x1=2，x2=，∴BC的长为．22．（6分）如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB=CD，求证：AC=BD．【解答】解：∵AB=CD，∴=，∴+=+，即=，∴AC=BD．23．（6分）如图，已知⊙O中直径AB和弦AC交于点A，点D，E分别是半圆AB和的中点，连接DE分别交AB，AC于点F，G．（1）求证：AF=AG；（2）连接CE，若AF=4，BF=6，∠A=30°，求弦CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，OE交AC于H，如图，∵点D，E分别是半圆AB和的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODF+∠OFD=90°，∠HEG+∠HGE=90°，∵∠ODF=∠HEG，∴∠OFD=∠EGH，∵∠OFD=∠AFG，∠EGH=∠AGF，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG；（2）解：∵AB为直径，AF=4，BF=6，∴⊙O的半径为5，在Rt△AOH中，∵∠A=30°，∴OH=OA=，AH=，∴HE=5﹣=，∵OH⊥AC，∴AH=CH=在Rt△CEH中，CE==5．24．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1•x2﹣1，求k的值．【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得k≤；答：k的取值范围是k≤；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1+x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．答：k的值是﹣3．25．（9分）如图，二次函数y=ac2+bx+c的图象经过A，B，C三点．（1）观察图象，直接写出：当x满足x＜﹣1或x＞4时，抛物线在直线AC 的上方．（2）求抛物线的解析式；（3）观察图象，直接写出：当x满足﹣1＜x＜3时，y＜0；（4）若抛物线上有两个动点M（m，y1），N（m+2，y2），请比较y1和y2的大小．【解答】解：（1）观察函数图象，可知：当x＜﹣1或x＞4时，抛物线在直线AC的上方．故答案为：x＜﹣1或x＞4；（2）将A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）代入y=ax2+bx+c中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（3）观察图象，当x满足﹣1＜x＜3时，y＜0；故答案为：﹣1＜x＜3；（4）∵抛物线的对称轴为x==1，∴当m＜0时，y1＞y2，当m＞0时，y1＜y2，当m=0时，y1=y2．26．（8分）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场ABCD，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）（1）若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）该矩形养兔场ABCD的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时AB的长度，若没有最大值，请说明理由．【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米．依题意，得x•（50﹣2x）=300，即，x2﹣25x+150=0，解此方程，得x1=15，x2=10．∵墙的长度不超过24m，∴x2=10不合题意，应舍去．∴垂直于墙的一边长AB为15米．（2）∵50﹣2x≤24，∴x≥13，矩形的面积y=x•（50﹣2x）=﹣2（x﹣12.5）2+31.5，∴当x＞12.5时，y随x的增大而减小，∴当x=13时，y取得最大值，即AB=13米．27．（9分）如图①，抛物线y=a（x2+2x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=OB．（1）直接写出点B的坐标是（﹣3，0），并求抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线l，如图②，连接BD，线段OC上的点E关于直线l的对称点E′恰好在线段BD上，求点E的坐标．（3）若点F为抛物线第二象限图象上的一个动点，如图③连接BF，CF，当△BCF 的面积是△ABC面积的一半时，求此时点F的坐标．【解答】解：（1）当y=0时，a（x2+2x﹣3）=0，解得x1=﹣3，x2=1，则B（﹣3，0），A（1，0），当x=0时，y=﹣3a，则C（0，﹣3a），∵OB=OC，∴﹣3a=3，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；故答案为﹣3，0；（2）如图②，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4），设直线BD的解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、（﹣1，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y=2x+6，设E（0，t），∵E′点与点E关于直线x=﹣1对称，∴E′（﹣2，t），把E′（﹣2，t）代入y=2x+6得t=﹣4+6=2，∴点E的坐标为（0，2）；（3）易得直线BC的解析式为y=x+3，作FG∥y轴交直线BC于G，如图③，设F（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则G（x，x+3），∴FG=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，=•3•（﹣x2﹣3x），∴S△FBC∵△BCF的面积是△ABC面积的一半，∴•3•（﹣x2﹣3x）=••4•3，解得x1=﹣1，x2=﹣2，∴F点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．28．（9分）如图①，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，在x轴上有一个动点D（m，0），其中0＜m＜3．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作x轴的垂线交直线AC于点E，交抛物线于点F，过点F作FG⊥AC 于点G，设△ADE的周长为C1，△EFG的周长为C2，若=，求m的值．（3）如图②，动点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上H点处，请直接判定此时四边形APHQ的形状，并求出点H坐标．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣4；（2）如图①，当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，则C（0，﹣4），设直线AC的解析式为y=kx+p，把C（0，﹣4），A（3，0）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x﹣4，∵D（m，0），DF⊥x轴，∴F（m，m2﹣m﹣4），E（m，m﹣4），∴EF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+4m，AE==（3﹣m），∵FG⊥AC，FD⊥OA，∴∠EGF=∠DDA，而∠GEF=∠AED，∴△EDA∽△EGF，∴=，即=，整理得2m2﹣9m+9=0，解得m1=3（舍去），m2=，∴m的值为；（3）如图③，GH交y轴于M，∵OA=3，OC=4，∴AC=5，∵△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上H点处，∴QA=QH，PA=PH，∵AP=AQ=t，∴AQ=AP=PH=QH=t，∴四边形APHQ为菱形，∴QH∥x轴，∴QM∥OA，∴△CQM∽△CAO，∴==，即==，∴QM=3﹣t，CM=4﹣t，∴MH=t﹣（3﹣t）=t﹣3，OM=4﹣（4﹣t）=t，∴H点的坐标为（3﹣t，﹣t），∵H点在抛物线上，∴（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4=﹣t，整理得64t2﹣145t=0，解得t1=0（舍去），t2=，∴H点的坐标为（﹣，﹣）．。