垂直与平行_例1(1)
2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.4 解答题 1 空间中的平行与垂直
【题眼直击】
题眼 ①
②
思维导引 想到证明DF∥平面ACE 假设点G存在,证明点G
的位置
【自主解答】(1)在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平 面ACE,DF⊄平面ACE,所以DF∥平面ACE.又因为DF⊂平面 DEF,平面ACE∩平面DEF=a,所以DF∥a.
(2)线段BE上存在点G,且BG= 1 BE,使得平面DFG⊥平面
所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V= 1 ×3×6
3
×3=18.
角度2 面面垂直的判定与性质 【例4】如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC. (1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证: DF∥a.① (2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得 平面DFG⊥平面CDE？② 若存在,请确定G点的位置; 若不存在,请说明理由.
3
CDE. 证明如下: 取CE的中点O,连接FO并延长交BE 于点G,连接GD,
因为CF=EF,所以GF⊥CE.
在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.
又CF∩EF=F,所以DE⊥平面CBEF,所以DE⊥GF.
GF CE，
GF DE，
⇒GF⊥平面CDE.
2.(2019·洛阳一模)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行 四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点. 求证:(1)BE∥平面DMF. (2)平面BDE∥平面MNG.
【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O, 连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO, 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF, 所以BE∥平面DMF.
【变式训练】 (2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1. (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的 体积.
《平行与垂直》说课稿(优秀7篇)
《平行与垂直》说课稿（优秀7篇）《平行与垂直》说课稿篇一一、说教材1、教材内容，教材分析《垂直与平行》是九年义务教育六年制数学第七册第四单元的例1，本节课学习的内容是在掌握直线特点的基础上继续学习，使学生掌握在同一平面内两条直线的特殊位置关系：平行和垂直，进一步认知垂直与平行的概念。
2、教学目标（1）引导学生通过观察、讨论、感知生活中的垂直与平行的现象。
（2）帮助学生初步理解垂直与平行是在同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。
（3）培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。
3、教学重难点重点：垂直与平行的概念。
难点：理解“同一平面”的含义。
二、说教法学法先让学生通过观察、想象无限大的平面上出现两条直线，对于直线出现的几种情况，让学生自主探究、交流、辨析、求证出垂直与平行的位置关系，进而揭示垂直与平行的概念。
三、说教学程序1、铺垫迁移，导入新课首先利用已经学习的直线的特点这个旧知导入新课题，接着出示白纸作为一个平面，让学生闭上眼睛想象一下这个面变大会什么样子，平面上出现两条直线位置会是怎样的？让学生随意画两条直线，在小组内，将所画两条直线的位置关系进行分类，2、研究问题，揭示概念学生展示小组内对两条直线位置关系的分类。
有争议时大胆猜想讨论。
可以通过延长直线的方法帮助验证两条直线的相交。
最后将同一平面内两条直线的位置关系分为两条直线相交和两条直线不相交。
引导学生对相交和不相交的情况进行观察和讨论。
由此得出平行和垂直的概念。
A．不相交，通过观察想象，体会“永不相交”可以将直线夸张性的延伸，验证“永不相交”。
得出平行的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
”（板书概念）概念中要注意“在同一平面”的含义，给学生举例说明在同一平面，和不在同一平面，并说明同一平面是可以无限扩大的。
出示判断连习，帮助学生理解平行的概念。
B．相交，测量相交直线所成的角的度数，得出相交的两种情况：一般相交和垂直。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
用向量方法证明平行与垂直
用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的，我们需要证明它们的方向相同或相反。
而要证明两个向量是垂直的，我们需要证明它们的内积为零。
首先，我们考虑平行向量的证明。
设有两个向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。
如果u和v是平行的，那么它们的方向相同或相反，可以用以下方式进行证明：1.方向相同：我们可以证明向量u和v的比例关系。
即对于任意的i，我们有：ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k，使得：ui = k * vi，则u和v是平行的。
2.方向相反：我们可以找到一个常数k，使得：ui = -k * vi，则u和v的方向相反，它们也是平行的。
下面我们来看一个具体的例子。
例1：证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
解：我们可以计算向量的比例：(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2，使得：(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此，向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
接下来，我们考虑垂直向量的证明。
设有向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直，那么它们的内积为零，可以用以下方式进行证明：u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式：u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i，我们有：ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v，则u和v是垂直的。
下面我们来看一个具体的例子。
例2：证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。
§4用向量讨论垂直与平行 (1)
用空间向量证明立体几何中的垂直
1.证明线面垂直：
（1）求出这条直线 的方向向量和平面 的法向量，证明这 两个向量平行（2） 在平面内任找两个 不共线的向量与这 条直线的方向向量 垂直。
2.证明面面垂直：
（1）分别求出这两 个平面的法向量， 证明这两个向量垂 直； （2）先用向量证明 线面垂直，再证明 面面垂直。
8
作业
1.学案1、2、3、4、5； 2、用向量语言表述平行 与垂直的八个定理。
9
（1）线面垂直判定定理 （2）面面平行判定定理 （3）三垂线定理
4
三、拓展运用
Z
E
F X
Y
5
四、学习总结6源自 用空间向量证明立体几何中的平行1.证明线面平行： 求出这条直线的 方向向量和平面 的法向量，证明 这两个向量垂直。 2.证明面面平行： （1）分别求出这两 个平面的法向量 ，证明这两个向 量平行； （2）先用向量证明 线面平行，再证 明面面平行。
学习目标
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直 、平行关系。 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一 些定理。 3.体会学习的快乐。
2.4用向量讨论垂直与平行
雪枫中学 李静
一、温故探新
1.什么是直线的方向向量？
2什么是平面的法向量？ 回顾向量知识，完成学案
3
二、合作学习
用空间向量证明
2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC. ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF.[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG.►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H. 【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离. 【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC. [例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β6.(2015·山东二模)设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是()A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n8.(2013北京)如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, CD＝2AB,平面P AD⊥底面ABCD,P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.9.[2014·山东文]如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD, AD∥BC,AB＝BC＝12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面P AC.10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积. 11.(2013·辽宁)如图,AB是圆O的直径,P A垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1,AD＝3,三棱锥P -ABD的体积V＝34,求A 到平面PBC的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC＝4,AB＝6,BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD中,AD∥B C,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1﹣BCDE．(Ⅰ)证明：CD⊥平面A1OC；(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1﹣BCDE的体积为362,求a的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD′=22,求五棱锥D′ABCFE的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．19.[2017全国I文]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,∠ADP＝90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II文]如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.21.[2017全国III文]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC22.[2017全国III文]如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D 不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE 的体积比.。
2020届一轮复习人教B版 立体几何中的平行与垂直的证明 学案
考查角度1立体几何中的平行与垂直的证明分类透析一证明平行关系如图,在菱形ABCD中,∠BAD=π,ED⊥平面ABCD,EF∥DB,M3AD=2.是线段AE的中点,DE=EF=12(1)证明:DM∥平面CEF.ABCDEF的表面积.连接AC,设AC,BD的交点为O,连接MO,可证平面MOD∥从而DM∥平面CEF;(2)先判断各个面的形状,找出垂直关系,,再计算表面积.连接AC,设AC与BD的交点为O,连接MO.EF,DO⊄平面CEF,∴DO∥平面CEF.∵M是线段AE的中点,O为AC的中点,∴MO是△ACE的中位线,∴MO∥EC.又MO⊄平面CEF,∴MO∥平面CEF.又MO∩DO=O,∴平面MDO∥平面CEF.又DM⊂平面MDO,∴DM∥平面CEF.(2)连接FO,由菱形ABCD可得AC⊥BD.∵ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC.又BD∩ED=D,∴AC⊥平面EDBF.又OF⊂平面EDBF,∴AC⊥OF.∵EF∥DO,且EF=DO,ED⊥DO,ED=DO,∴四边形EDOF为正方形,ED=DO=OF=FE=2.在Rt△ADE和Rt△CDE中,∵AD=CD=4,DE=2,∴AE=EC=2√5,∴S△ADE=S△CDE=4.在Rt△AOF和Rt△COF中,∵AO=CO=2√3,OF=2,AF=CF=4,∴△AEF和△CEF是直角三角形,∴S△AEF=S△CEF=4.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA=4,S ABCD=8√3.又AF=CF=AB=CB=4,FB=2√2,∴S△AFB=S△CFB=2√7.∴多面体ABCDEF的表面积为4×2+4×2+2√7×2+8√3=16+4√7+8√3.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条直线平行.②利用面面平行的性质,即两个平面平行,在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.分类透析二证明垂直关系如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,为菱形,∠BAD=60°.(1)证明:PB⊥BC.(2)若平面PAD⊥底面ABCD,E为线段PD上的点,且PE=2ED,求三的体积.设AD的中点为O,通过证线面垂直得到线线垂直;(2),寻找三棱锥P-ABE的体积与三棱锥B-PAD的体积间的关系,然后求出三棱锥B-PAD的体积,最后得到三棱锥P-ABE的体积.解析 (1)如图,设AD的中点为O,连接PO,BO.,∴PO⊥AD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴OB⊥AD,OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB.又AD∥BC,∴BC⊥平面POB.∵PB⊂平面POB,∴PB⊥BC.V B-PAD.(2)连接BD,由题知V P-ABE=V B-PAE=23∵平面PAD⊥底面ABCD,∴OP,OA,OB两两垂直且OP=OB=√3.则V B-PAD =13×12×2×√3×√3=1,故V P-ABE =2V B-PAD =23.有关空间中垂直关系的证明:主要用到线线垂直、线,再结合题意进行推理或证明完成,有些题目需要添加一些辅助线.分类透析三 平行关系和垂直关系的综合应用如图,在三棱锥P-ABC 中,AB ⊥平面PAC ,∠APC=90°,E 是AB ,M 是CE 的中点,点N 在PB 上,且4PN=PB.证明:(1)平面PCE ⊥平面PAB ; ∥平面PAC.先证明直线PC ⊥平面PAB ,再证平面PCE ⊥平面PAB ;(2)设AE Q ,连接MQ ,NQ ,证明平面MNQ ∥平面PAC ,从而MN ∥平面∵AB ⊥平面PAC ,PC ⊂平面PAC , PC.∵∠APC=90°,∴AP ⊥PC.又AP ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,AP ∩AB=A , ∴PC ⊥平面PAB.∵PC ⊂平面PCE , ∴平面PCE ⊥平面PAB.(2)取AE 的中点Q ,连接NQ ,MQ. ∵M 是CE 的中点,∴MQ ∥AC. ∵PB=4PN ,AB=4AQ ,∴QN ∥AP.又AP ∩AC=A ,AP ⊂平面APC ,AC ⊂平面APC ,QN ∩QM=Q ,QN ⊂平面MNQ ,QM ⊂平面MNQ ,∴平面MNQ ∥平面PAC.∵MN ⊂平面MNQ ,∴MN ∥平面PAC.如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,AB=2,BE=√3.(1)证明:平面ACD ⊥平面ADE.(2)记AC=x ,V (x )表示三棱锥A-CBE 的体积,求V (x )的最大值.要证平面ACD ⊥平面ADE ,只需证明DE ⊥平面ADC ,DC ⊥BC ,BC ⊥AC ,从而得证;(2)先利用体积公式求出V (x x 的解析式,再利用不等式求出最值.∵四边形DCBE 为平行四边形,BE ,BC ∥DE.∵DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BC.∵AB 是圆O 的直径, ∴BC ⊥AC.又DC ∩AC=C , ∴BC ⊥平面ADC. ∵DE ∥BC ,∴DE ⊥平面ADC. 又∵DE ⊂平面ADE ,∴平面ACD ⊥平面ADE.(2)在Rt△ABC 中,∵BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),∴S △ABC =12AC ·BC=12x √4-x 2,又BE=√3, ∴V (x )=V E-ABC =13S △ABC ·BE=√36x ·√4-x 2(0<x<2).若V (x )取得最大值,则x √4-x 2=√x 2(4-x 2)取得最大值.∵x 2(4-x 2)≤(x 2+4-x 22)2=4,当且仅当x 2=4-x 2,即x=√2时,“=”成立,故V (x )的最大值为√33.立体几何中最值问题的求解策略主要有:(1)转化为函解有些立体几何的最值问题可先引入线参数或角参数,再建立关于这些变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决.(2)利用重要不等式求最值.1.(2018年全国Ⅱ卷,文19改编)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC.(2)若点M 在棱BC 上,且MC=2MB ,求V C-POM ∶V P-ABMO .因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC ,且OP=2√3.如图,连接OB ,因为AB=BC=√22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB=12AC=2.由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB.由OP ⊥OB ,OP ⊥AC ,OB ∩AC=O 知,PO ⊥平面ABC. (2)作CH ⊥OM ,垂足为H.又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM. 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=4√23,∠ACB=45°, 所以OM=2√53,CH=OC ·MC ·sin∠ACB OM =4√55. 所以V C-POM =13S △COM ×PO=13×12×2√53×4√55×PO=49PO , V P-ABMO =13×(12×2√2×2√2-12×2√53×4√55)×PO=89PO , 所以V C-POM ∶V P-ABMO =1∶2.2.(2018年全国Ⅲ卷,文19改编)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直,M 是CD ⏜上异于C ,D 的点. (1)证明:CM ⊥平面AMD.(2)设P 是AM 的中点,求证:MC ∥平面PDB.∵平面ABCD⊥半圆面CMD,CMD,∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内,∴AD⊥CM.又M是半圆弧CD⏜上异于C,D的点,∴CM⊥MD.又AD∩MD=D,∴CM⊥平面AMD.(2)连接AC与BD交于点O,连接PO.在矩形ABCD中,O是AC的中点,P是AM的中点,∴OP∥MC.∵OP⊆平面PDB,MC⊄平面PDB,∴MC∥平面PDB.3.(2017年全国Ⅰ卷,文18改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PCD⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求AB 的长度.由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.AB∥CD,故AP⊥CD.因为AP∩PD=P,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,AB∩AD=A,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=13AB·AD·PE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而AB=2.1.(2018年湖北省八校高三第二次联考测试)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥AB ,PA=AB=BC=4,∠ABC=90°,PC=4√3,D 为线段AC 的中点,E 是线段PC 上一动点.(1)当DE ⊥AC 时,求证:PA ∥平面EDB.(2)当△BDE 的面积最小时,求三棱锥E-BCD 的体积.在Rt△ABC 中,AC=4√2.在△PAC 中,由PA 2+AC 2=PC 2知,PA ⊥AC , ∵DE ⊥AC ,∴PA ∥DE.又PA ⊄平面EDB ,∴PA ∥平面EDB. (2)在等腰直角△ABC 中, 由D 为AC 的中点知,DB ⊥AC.∵PA ⊥AC ,PA ⊥AB ,AB ∩AC=A ,∴PA ⊥平面ABC. ∵DB ⊂平面ABC ,∴PA ⊥DB.又DB ⊥AC ,PA ∩AC=A ,∴DB ⊥平面PAC. ∵DE ⊂平面PAC ,∴DE ⊥DB , 即△EBD 为直角三角形,∴当DE 最小时,△BDE 的面积最小,过点D 作PC 的垂线,当E 为垂足时,DE 最小,为2√63, 此时,EC=√(2√2)2-(2√63)2=4√33,∴V E-BCD =13×S △BDE ×EC=13×12×2√2×2√63×4√33=169.2.(2018年辽宁大连高三上学期期末)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AB=BC.证明: (1)BC 1∥平面A 1CD.(2)1EC ⊥平面ACC 1A 1.如图,连接AC 1,交A 1C 于点O ,连接DO ,则O 是AC 1的中点.因为D 是AB 的中点,所以OD ∥BC 1. 因为OD ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)取AC 的中点F ,连接EO ,OF ,FB ,因为O 是AC 1的中点,所以OF ∥AA 1且OF=12AA 1.显然BE ∥AA 1,且BE=12AA 1,所以OF ∥BE 且OF=BE.则四边形BEOF 是平行四边形,所以EO ∥BF.因为AB=BC ,所以BF ⊥AC.又BF ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C , 所以直线BF ⊥平面ACC 1A 1.因为EO ∥BF ,所以EO ⊥平面ACC 1A 1.因为EO ⊂平面A 1EC ,所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3.(四川省德阳市2018届高三二诊考试)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD ⊥平面ABCD ,PD=AD=2,点E 、F 分别为AB 、PD 的中点.(1)求证:直线AF ∥平面PEC ; (2)求点A 到平面PEC 的距离.取PC 的中点Q ,连接EQ ,FQ ,由题意知,FQ ∥DC 且FQ=12CD ,AE ∥CD 且AE=12CD ,故AE ∥FQ 且AE=FQ ,所以四边形AEQF 为平行四边形. 所以AF ∥EQ.又EQ ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC , 所以AF ∥平面PEC.(2)连接AC ,设点A 到平面PEC 的距离为d. 由题意知在△EBC 中,EC=√EB 2+BC 2-2EB ·BC ·cos∠EBC =√1+4+2×1×2×12=√7,在△PDE 中,PE=√PD 2+DE 2=√7,在△PDC 中,PC=√PD 2+CD 2=2√2,故EQ ⊥PC ,EQ=AF=√5,S △PEC =12×2√2×√5=√10,S △AEC =12×1×√3=√32,所以由V A-PEC =V P-AEC ,得13×√10·d=13×√32×2,解得d=√3010.4.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAD ⊥平面ABCD ,且SA=2AD=3AB.(1)证明:SA ⊥平面ABCD ;(2)若E 为SC 的中点,三棱锥E-BCD 的体积为89,求四棱锥S-ABCD 外接球的表面积.由底面ABCD 为矩形,得BC ⊥AB ,SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB ∩平面ABCD=AB ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面SAB ,所以BC ⊥SA.同理可得CD ⊥SA. 又BC ∩CD=C ,BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以SA ⊥平面ABCD.(2)设SA=6a ,则AB=2a ,AD=3a.V E-BCD =13×S △BCD ×h=13×(12×BC ×CD)×(12SA)=13×(12×2a ×3a)×(3a )=3a 3.又V E-BCD =89,所以3a 3=89,解得a=23.四棱锥S-ABCD 的外接球是以AB ,AD ,AS 为棱的长方体的外接球,设其半径为R ,则2R=√AB 2+AD 2+AS 2=7a=143,即R=73,所以四棱锥S-ABCD 外接球的表面积为4πR 2=196π9.。
1 平行与垂直(一等奖创新教案)_1
1 平行与垂直（一等奖创新教案）平行与垂直学情分析学生已经掌握了几何图形中直线、线段、射线的联系和区别，也认识了长方形、正方形、三角形，因此具有一定的知识基础。
但四年级学生空间观念和想象力比较薄弱，而知识点对学生来说比较抽象，他们难以理解“同一平面”的含义及平行与垂直的两种特殊位置关系。
因此本节课要引导学生在具体的生活情境中充分感知平行与垂直，并通过观察、操作、想象等活动来发展学生的空间观念。
教学工具教具：课件学具：长方形白纸、正方形白纸、黑色水彩笔、直尺、三角尺、量角器教学目标1.通过观察与交流，学生能感知生活中平行与垂直的现象，理解平行与垂直这两条直线的位置关系，并掌握平行线与垂线的概念。
2.通过探究与操作，学生能理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系的过程，进一步认识平行线和垂线。
3.了解平行与垂直在生活中的应用，感受数学的美，且进一步发展空间观念、空间想象力和动手实践能力。
教学重难点教学重点：正确理解“相交”、“平行线”、“垂线”的概念，发展空间想象力。
教学难点：正确理解相交现象。
教学方法教法：启发诱导法、练习反馈法等学法：自主探索、合作交流、练习反馈等教学过程（一）情景导入教师引导：请大家拿出一张白纸，闭上眼睛。
想象一下这张白纸无限放大（停顿两秒），白纸上出现了一条直线（停顿两秒），接着又出现了一条直线（停顿两秒）。
现在请睁开眼睛，用黑色水彩笔把两条直线画在纸上。
学生动手画直线，教师巡视指导。
（二）新知探究1.理解相交教师继续引导：刚刚老师收集了几位同学的作品，大家的画法有些不同。
为了清楚的辨别每一幅图，贾老师在白纸上都标上序号。
可如果将它们分类，你们会分成几类吗？怎么分？教师指名回答。
学生可能想到的分法是：将两条直线没有挨着的分一类，而挨着的分另一类。
教师评价、引导并适当补充：你的眼睛可真亮。
观察这几幅作品，两条直线是挨在一起的，像这样的情况我们可以说它们是相交；那么反过来，那就是不相交。
两条直线平行与垂直的判定
l1 // l2 k1 = k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
甲
乙
丙
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°，互相平行.
例题讲解
例1 例2
0
。
1
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a =
3 直线 Ax - 2 y - 1 = 0和直线 6 x - 4 y + C = 0平行 的条件是 。
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
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B
线A与直线B也平行。
AB C
也就是说两条直线分 别平行于第三条直线，那 这两条直线也平行。
两条直线分别垂直于第三条直 线，那么这两条就直线互相平 行。
挑战自我：小组互相说一说。
下图中哪两条线段互相平行？哪两条线段 互相垂直？
五、辨真伪 下面的说法正确吗?
两条直线相交，那么这
。 两条直线互相垂直 （ × ）
折 一 折：
（一）用一张白纸折出两条 互相垂直的折痕线。
（二）再用一张白纸折两条 互相平行的平行线。
ห้องสมุดไป่ตู้
摆一摆:
• （1）把两根小棒都摆成和第三根 小棒平行，看一看，这两根小棒有 什么关系？
• （2)把两根小棒都摆成和第三根小 棒垂直。看一看，这两根小棒有什 么关系？
摆一摆，你发现了什么？
A C
这里直线A平行与C线，直 线B也平行与C线，那么直
（4）
1、认真观察下面的四组图形，想一 想如何把下面四种情况分类?说说你 分类的理由。
(1)
(2)
(3) (4)
认真观察下面相交的三组直线，哪一 组是特殊的相交直线呢？为什么？
相交的：
（1）
（2）
（3）
不相交的：
（3）
（1）
相交的：
（2）
（4）
（3）
在同一个平面内不相交的两条直线叫做 。 。。
平行线，也可以说这两条直线互相平行。
不相交：是指永不相交。
两条直线：平行线是指两条（或两条 以上）的直线，不能孤立的说一条直 线叫平行线。
A
如果两条直线相交成直角，
B
垂足
90º 垂线 就说这两条直线互相垂直。
辨真伪 下面的说法正确吗?
a, a是一条平 行线。 （× ）
• 通过这节课的学习你有 什么收获？
在纸上画出这两条直线，会有哪几种
情况？
我画的两条直线 没有相交。你们 的呢？
我是这样的， 也没有相交。
我画的也是 相交的。
你看，我画 了相交的两 条直线。
不相交的：
（3） （1）
相交的：
（2）
其中一条直线叫做另一条直线的垂
（2） 线，这两条直线的交点叫做垂足。
如：这里可以说A直线是B直线的垂线 或B直线是A直线的垂线。 而不能说A直线是垂线，B直线是垂线。
一、根据下列各组直线的位置关系， 给它们找到各自的家。
1
2
3
4
5 25
平行的
7
3、6
垂直的：
8
1 4 78
相交的：
二、你能又快又准的找 出运动场上的平行线与 垂线吗？