一轮复习三角函数

高考一轮复习三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（2）设α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是_______（1）平方关系：1cos sin 22=+αα ；（2）商数关系：αααcos sin tan =； 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。

在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

如（1）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____（答：[0,]4π],43[ππ）； （2）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____ （3）（3）已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________（4）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为______（答：－1）9.三角函数诱导公式（2kπα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。

如（1）97costan()sin 2146πππ+-+的值为________ （2）已知54)540sin(-=+α，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ________。

10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=- 如（1）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____(3)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）11. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：322）（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； (2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

如（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____（答：-）；(2)设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cosαα+=，21cos 22sin αα-=)。

如(1)若32(,)αππ∈为_____（答：sin 2α）；（2）函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）(5)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42ππ===等），如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-（答：35）.(6)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：212t -±)，特别提醒：这里[t ∈；（2）已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值（答：。

12、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如（1）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______(答：32-)； （3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= (答：－2)；（4）求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222________(答：32)13、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

14、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

如（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿（答：1,12a b ==或1b =-）； （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是____（答：[－1, 2]）； （3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；（4）函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝__________（答：2；()12k k Z ππ+∈）； （5）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。

如(1)若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）； (2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____（答：π）； (3) 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。