概率解题中的几个误区
高中数学概率解题典型错误及总结
数学学习与研究2019.5高中数学概率解题典型错误及总结◎徐永川（甘肃武威第六中学，甘肃武威733000）【摘要】概率是高中数学教学的关键内容，但是学生在概率解题过程中经常出现错误，而且这些错误还不是一个两个人会犯，是很多学生都会犯的错误，这部分错误被称之为典型错误，而导致典型错误出现的原因比较多．在新课标下，数学教师必须分析概率解题典型错误出现的原因，避免出现恶性循环的问题，提升学生学习的效率．【关键词】高中数学；概率解题；典型错误；总结概率在人们日常生活中经常出现，概率与人们的实际生活紧密相连．相比其他知识点而言，概率的解题方法比较独特，但是对学生的学习能力要求也比较高，这也就导致很多学生在解答概率题时会出现错误，相同的错误重复出现就被称之为典型错误．典型错误就需要采取典型解决措施，这样才能让学生认识到错误，不再犯错．一、对概念理解不清很多学生在学习概率知识时，对基础性知识，也就是概率的概念和含义理解不够清晰．对概率概念的理解绝对不能仅仅局限于文字表面，还需要在文字的基础上进行延伸，这样才能真正掌握概率知识．除此之外，还有很多学生对公式的理解存在误区，导致公式的应用不合理，这就导致概率解题典型错误的出现．案例：一个容器中装有6个玻璃球，这些玻璃球大小相同，但是颜色有所不同，一个人随意从容器中倒出玻璃球，每次最少倒出一个，问从容器中倒出奇数玻璃球的概率是多少？在解答这道概率题时，很多学生容易出现这样的典型错误，在倒出玻璃球的过程中，每个球被从容器中倒出的概率基本相同，如果这样理解，那倒出奇数玻璃球的概率为：P =C 161()26+C 561()26=12．针对学生出现的解题错误，教师可以总结为：这道题的解法显然是不正确的，导致这一典型错误出现的主要原因就是学生受固定解题思想的影响比较大，而且对题目的理解不够深入，把问题看得过于简单，认为这道题目就是不断地重复就可以得到答案，最终导致公式的运用不合理．题目中要求从容器中倒出奇数玻璃球，如果只倒出一个玻璃球，那也就是说容器中还剩余5个玻璃球，按照这样下去，并不是不断重复就能得出奇数玻璃球概率．二、受思维定式影响比较大思维定式实际上就是人们在开展活动之前会先在心里做好准备工作，而准备工作已经指定活动的目标和方向，具有一定的倾向性．学生的思维定式体现在学生在解答概率题目时思想已经固定，学生已经习惯用某种方式去解答概率题目，这不是意外，而是准备好的，即便是出现新题型，学生依旧会用固定思维来解题，最终导致概率解题典型错误的出现．案例：10个鼠标，其中有三个是残次品，从十个鼠标中随意选出四个，问四个鼠标中包含一个残次品的概率．对这个概率题目学生错误的理解是：第一次可以有10种选择的方法，第二次可以有9种选择的方法，依次类推．学生会先把四个鼠标中包含一个残次品的概率设置为P ，学生先从三个残次品中选出一个，再从剩余的七个正品中随意选取出三个．针对这道题目学生的解决过程，所得到的计算结果属于排列的方法，但是对抽取顺序考虑不周全．学生完全按照自己的定式思维来选取鼠标，没有考虑特殊选取方法，这样就会漏掉很多选取方法．三、以偏概全心理高中概率解题实际上就是一个增强对知识理解和记忆的过程，学生也可以在解题的过程中不断探索出新的解题方法和途径，通过解题可以提升学生的自我学习能力．但是，很多学生在解题的过程中粗心大意，太马虎，以偏概全，这必定会导致典型错误的出现．错误不是不允许出现，学生可以在犯错误的过程中不断成长，不断积累，解题的过程就是学生自主探索的过程，解题错误是解题正确的前提和基础，但是教师要让学生认识到自己的错误，不能不断重复同样的错误．高中数学概率解题典型错误包括：一是概念混淆，二是公式使用不当，三是忽略特例的存在，四是忽略隐性条件，五是逻辑性错误，六是审题不仔细，七是计算错误．从以上概率解题典型错误来看，高中概率解题的步骤可以分为以下几步：一是确定问题的性质，二是判断事件的发生时间，三是合理选择公式计算．其中，确定问题的性质需要确定以下因素：一是古典概型，二是互斥事件，三是独立事件，四是重复实验．总之，高中概率所涵盖的知识点比较多，学生只有掌握基础知识和公式才能避免概念混淆这种基础性错误的出现，才能保证公式选择的正确性和合理性．概率知识与其他知识点紧密相连，学生还需要具备转化思想，把相关知识点连接在一起，互相转化，最终得到问题的答案．高中数学概率教学对数学教师的专业性也提出了更高的要求，教师能够在课堂上及时发现学生在解题过程中出现的典型问题，积极引导学生，帮助学生分析问题出现的原因，有针对性的帮助学生解决问题，进而提升学生的学习能力，满足学生的学习需求．四、结语高中数学概率的题型种类和数量比较多，而且概率题目的解答方法并不单一，是比较灵活的．但是，在解答概率题目时学生很容易出现概念混淆，公式选择不正确等错误，而且这些错误在不断重复出现，也就成为典型错误．概率已经成为高中数学教学的关键分支，概率也是高考的重点和难点．目前，高中概率知识包括：一是古典概型，二是几何概形，三是条件概率，四是互斥事件．在考试中，概率题目均为大题，学生要想得高分就必须掌握概率知识．很多概率题目都具有开放性，有多种解法，多种解法都可以得到最终答案，学生必须先弄清题目的意思，然后在脑海中找到与之相关的知识点，得出解决的答案．【参考文献】［1］龚先贵．高中数学概率教学研究［D ］．长沙：湖南师范大学，2013．［2］张文义．基于新课标的高中数学概率统计教学方法研究［J ］．当代教育论坛（教学研究），2011（1）：78－79．［3］贺煊之．高中数学概率解题中的错误和总结［J ］．中国高新区，2018（1）：104．。
高考数学之十三 概率计算的易误点
[典例] 抛掷一枚骰子，事件A 表示“朝上
一面的点数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的
点数不超过2”．
求：(1)P (A )；(2)P (B )；(3)P (A ∪B )．
[尝试解题] 基本事件总数为6个．
(1)事件A 包括出现1,3,5三个基本事件．
故P (A )＝36＝12
. (2)事件B 包括出现1,2两个基本事件．
故P (B )＝26＝13
. (3)事件A ∪B 包括出现1,2,3,5四个基本事件．
故P (A ∪B )＝46＝23
.
——————[易错提醒]———————————————————————————
1．因忽视判断事件A 与B 是否互斥，错用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝56
而导致第(3)问失误．
2．应用加法公式求概率的前提为事件必须是互斥事件，在应用时特别注意是否具备应用公式的条件，否则会出错．
——————————————————————————————————————针对训练
某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A．0.95B．0.7
C．0.35 D．0.05
解析：选D“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.。
概率论易错点总结
概率论易错点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性。
许多概率论的概念和方法在实际应用中具有广泛的适用性，然而，由于其抽象性和复杂性，学习者常常会在某些易错点上出现困惑。
本文将对概率论学习中常见的易错点进行总结，以帮助读者克服困难，提高在概率论领域的理解和应用能力。
一、样本空间与事件在概率论中，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合，而事件是指样本空间的一个子集。
样本空间和事件是概率论中最基本的概念之一。
然而，学习者常常会对样本空间和事件的定义产生混淆，导致在后续的计算中出现错误。
样本空间的确定是概率计算的基础，它需要充分理解随机试验的情境，并将所有可能结果进行清晰地描述。
在描述样本空间时，需要注意不漏掉任何可能的情况，同时也不能重复计算。
事件是样本空间的子集，它描述了我们所关心的某些可能结果。
在确定事件时，需要考虑到事件的具体性质，并选择合适的子集。
常见的错误包括将样本空间作为一个事件，或者错误地将某些结果包含在多个事件中。
二、概率的计算方法概率的计算方法是概率论学习中的另一个易错点。
为了准确地计算概率，需要理解和应用一些基本的计算方法。
1.古典概型古典概型是指每个基本事件发生的可能性相等的情形。
在古典概型中，概率可以通过事件的样本点数与样本空间的样本点数之比来计算。
然而，在实际问题中，古典概型并不常见，学习者应注意在选择计算方法时的差异性。
2.几何概率几何概率是指利用几何图形和几何关系来计算概率的方法。
几何概率常用于连续型随机变量的概率计算，例如计算某个区间内的概率密度。
学习者在使用几何概率时，应注意选择适当的几何模型，并准确描述区域和边界。
3.条件概率条件概率是指在给定某一条件下事件发生的概率。
条件概率的计算需要结合条件事件和辅助事件的概率来进行。
常见的错误是将条件概率的计算与辅助事件的概率计算混淆，导致结果不准确。
4.独立性独立性是指两个事件之间的无关性。
在计算独立事件的概率时，需要应用乘法法则。
三个反直觉的概率问题
三个反直觉的概率问题上篇文章洗牌算法详解讲到了验证概率算法的蒙特卡罗方法，今天聊点轻松有趣的内容：三个和概率相关的反直觉问题。
首先，计算概率有下面两个最简单的原则：原则一、计算概率一定要有一个参照系，即「样本空间」，也就是随机事件可能出现的所有结果。
事件 A 发生的概率 = A 包含的样本点 / 样本空间的样本总数。
原则二、计算概率一定要明白，概率是一个连续的整体，也就是所谓的条件概率，不可以把连续的概率分割开。
上述两个原则高中就学过，但是我们还是很容易犯错，而且犯错的流程也有异曲同工之妙：先是忽略了原则二，错误地计算了样本空间，然后通过原则一算出了错误的答案。
下面介绍几个简单却具有迷惑性的问题，分别是男孩女孩问题、生日悖论、三门问题。
当然，三门问题可能是大家最耳熟的，所以就多聊一些有趣的思考。
一、男孩女孩问题假设有一个家庭，有两个孩子，现在告诉你其中有一个男孩，请问另一个也是男孩的概率是多少？很多人，包括我在内，不假思索地回答：1/2 啊，因为另一个孩子要么是男孩，要么是女孩，而且概率相等呀。
但是实际上，答案是1/3。
上述思想为什么错误呢？因为没有正确计算样本空间，导致原则一计算错误。
有两个孩子，那么样本空间为4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟这四种情况。
已知有一个男孩，那么排除姐姐妹妹这种情况，所以样本空间变成3。
另一个孩子也是男孩的话，只有哥哥弟弟这 1 种情况，所以概率为 1/3。
为什么计算样本空间会出错呢？因为我们混淆了下面两个问题：这个家庭只有一个孩子，这个孩子是男孩的概率是多少？这个家庭有两个孩子，其中一个是男孩，另一个孩子也是男孩的概率是多少？我们容易想当然地用“生男生女概率相等”的生活常识来分析问题。
为了不要被迷惑，最简单的办法还是把所有可能结果穷举出来，老老实实地数。
最后，对于此问题我见过一个很奇葩的质疑：如果这两个孩子是双胞胎，不存在年龄上的差异怎么办？我竟然觉得有那么一丝道理！但其实，我们只是通过年龄差异来表示两个孩子的独立性，也就是说即便两个孩子年龄相同，也要假设他们一大一小。
概率中的错误类型剖析
概率中的错误类型剖析作者：李燕华来源：《初中生世界·九年级》2019年第11期概率属于初中数学中“统计与概率”的知识范畴，是描述一类事件发生的可能性大小的数学模型。
它是中考必考的知识点，重点考查大家数据剖析与数学建模的素养。
在学习过程中，许多同学对概率知识的理解不准确，往往会出现各种错误，下面结合几种常见的错误类型进行归类剖析，希望对同学们今后的学习有所帮助与启迪。
一、频率与概率混淆不清易出错例1 小明抛掷一枚硬币20次，有13次正面朝上，当他抛第21次时，正面朝上的概率是。
【错解】[1320]。
【剖析】错误的原因是没有真正理解概率的本质，把概率与频率混为一谈。
概率与频率是两个不同的概念，概率是事件的本质属性，其取值不依赖于试验的次数。
当然两者又具有密切的关系：当重复试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，所以概率的大小可以通过数次试验得到的稳定频率去估计，但要注意频率并不等同于概率。
况且本例中试验的次数太少，所以不能把频率作为概率的估计值。
抛掷一枚硬币时，因为每次试验都有2种等可能的结果，而抛到正面朝上的只有1种，所以第21次时与前面每次情况一样，正面朝上的概率都是[12]。
【正解】[12]。
二、概率计算公式不清易出错例2 相同方向行驶的两辆汽车经过同一个“T”字路口时，可能向左转或向右转。
如果这两种可能性大小相同，则这两辆汽车经过该路口时，都向右转的概率是（）。
A.[14]B.[13]C.[23]D.[12]【错解】D。
【剖析】有些同学错误地认为，经过同一个“T”字路口时，选择一条路有向左转、向右转两种结果，概率都是[12]，出现这种错误想法的根本原因是对等可能条件下概率的计算方法模糊不清，没有考虑到所有等可能的结果数。
在等可能条件下概率的计算公式为：P（A）=[mn]，其中n表示所有等可能出现的结果数，m表示事件A发生可能出现的结果数。
解决本题，不仅要正确理解、掌握公式，还要能熟练地利用列表法或画树状图法确定公式中的m、n的值。
概率题中五类典型错误剖析
类型二 “有放 回”与“无放 回”抽样混 同 例 ２ 箱子 中有 ａ个 正 品，ｂ个 次 品，从 箱 子 中随机 连 续抽取 ３次．（１）每 次抽 样后 不放 回 ，求取 出的三个 全是 正 品的概 率．（２）每 次抽样 后放 回 ，求取 出的三个 全是 正 品 的 概 率 ． 剖析 关 于有放 回抽 样可 以看 作 有顺 序 ，也 可 以看 作 无 顺 序 ，其 结 果 一 样 ． （１）不放 回抽样 ３次看作无顺 序 ，则从 （ａ＋６）个产 品不 放回抽样 ３次，共 ｃ：＋ 种方法 ，从 ａ个产品中不放回抽样 ３
错解 （１）６本书分给甲、乙、丙，每人 ２本，共分 Ｃ：· Ｃ：·Ｃ；·Ａ；种，若平 均分成 ３堆 ，则有 Ｃ：·Ｃ：·Ｃ；种． （２）两种情况都为 Ｃ ·Ｃ；·Ｃ；·Ａ；种．
剖析 解与分 配有 关 的概率 问题 ，通常 利 用分 组 再分 配 的方法 ，分 组有 需要考虑是平 均分配 还是非 平均 分配 ；是 局部还 是总体平均 分 配 ，是有 序分 组还 是 无序 分 组．所 以 ，
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解 题 技巧 与 方 法
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概率 题中 类典 错误 橱
◎ 高怀龙 （甘肃省金 昌市第一 中学，甘肃 金 昌 ７３７１０９）
【摘要】概率题是高中数学的一个重要组成部分 ，也是 高 中数 学教 学 中的 一个 重点和 难点．本 文 总结 几种 概 率题 的典 型 错 误 ，并进 行 剖 析 ．Ｃ：·Ｃｉ种
ｒ ２ ，、２ ，、２
．
．
分法 ，后者是平均分 组 ，共有 — — 种分法．（２）中前者
Ａ ３
总共有 Ｃ ·Ｃ；－Ｃ；·Ａ；种；后者共有 Ｃ ·Ｃ ·Ｃ；种．
条件概率的误区
条件概率的误区
概率的易错点应该不少，这里仅以条件概率为例来说明条件概率的易错点出。
很多学生在计算概率时缺乏理论依据，吴用乘法计算公式和条件公式 ，比如以下问题
供大家讨论：
假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门
后面分别都是一头山羊。你的目的当然是想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面
的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，知道其余两扇门后面是什
么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里有一头山羊。现在主持人告
诉你，你还有一次选择的机会。那么请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还
是改变第一次的选择，才更有可能得到轿车？
很明显，如果不改变选择的话，我们选到汽车的概率肯定只有1/3,那么现在知道一个条
件了，我们再去选择的话，是不是就会把概率提高到1/2呢，可以让学生充分讨论。
有学生质疑：既然变来变去都是1/2,那干嘛还要再选择呢。现在不是已经排除了一个门
了吗？选不选择都是一样。
针对学生的疑惑我们就用条件概率的知识给学生讲解，如此便能让学生深刻理会条件概
率的含义。
事实上我们可以如此解释：当我们不改变原有选择的时候，那么你选到轿车的机会肯定
只有1/3,不会因为主持人给你看了山羊的门而会使你的选中的概率增大。那么现在主持人已
经帮你排除了一个不是轿车的门，你再改变选择的话，概率肯定就会变成2/3了。然后我们
再可以引入条件概率的计算公式加以说明，使得这一易错点得到突破。
实际概率教学中我们可以多多采用如此类的趣味题目供学生思考，这样不仅能提高学生
学习的兴趣，也能把抽象的概率问题具体化，达到较好的教学效果。
求解古典概型常见错误剖析
求解古典概型常见错误剖析古典概型是概率论的基础之一，常被用于解决问题，但是在求解的过程中常常出现一些错误或者不严谨的地方，下面就对这些常见错误进行剖析和说明。
1.未考虑概率的加法原理在使用古典概型解决问题的时候，有时我们需要计算事件的概率，此时会出现一些容易犯的错误。
最常见的错误就是未考虑概率的加法原理。
概率的加法原理指的是：当两个事件没有交集时，它们同时发生的概率等于这两个事件发生的概率之和。
例如，一张扑克牌从52张扑克牌中任选一张牌，这个事件的概率是1/52。
如果现在想要求在两次抽牌中至少有一次抽到黑桃A的概率，应该用“1-不出黑桃A的概率”计算。
此时，不出黑桃A的概率为51/52，因此，至少有一次抽到黑桃A的概率为1-（51/52）×（51/52）=0.039，而不能简单地将1/52相加，得出0.038。
2.过度依赖对称性在一些有对称性的问题中，过度地依赖于对称性，容易导致错误的结果。
古典概型中常有对称性问题，如“在一张扑克牌中抽取两张牌，求两张牌的花色不同的概率”。
这个问题中，我们可能会觉得花色不同的情况只有两种：黑红、黑梅，因此概率为2/52。
但实际上，这个问题有更多种花色不同的情况，如红黑、红梅、红方、黑方、梅方等等，总共有C(4,2)×C(13,1)×C(13,1)=1326种情况，因此概率为1326/2,652=0.5。
3.未考虑再次选取的影响在一些问题中，一次选取后必须再次选取，其结果会对后续的选取有影响，但是我们常常会忽略这个因素。
例如，在一副52张扑克牌中，抽取4张牌，求其中3张牌是红桃的概率。
我们可能会认为，红桃共有13张，所以3张牌是红桃的概率为C(13,3)/C(52,4)=0.003，但实际上这个结果是不正确的。
因为要求3张牌是红桃，意味着第四张牌不能是红桃，而4张牌中第四张牌出现的概率为39/48。
因此，正确的计算方法是：C(13,3)×C(39,1)/C(52,4)=0.042。
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概率解题中的几个误区
作者：周根旺
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第09期
概率题是高考一个的热点，但由于学生对概率知识理解不够透彻，解题中容易陷入困境.
本文就教学中学生常见的几个误区做一分析.
【例1】 （人教版必修2下例2）一个口袋内装有大小相同的一个白球和已编有
号码的3个黑球，从中摸出2个球.摸出2个黑球的概率是多少？
误区一：例1中“摸出2个球”是一次（同时）摸2个还是先后摸2个（一次摸一个），“黑
1，黑2”与“黑2，黑1”是一种结果还是两种结果，同时摸和先后摸对结果有影响吗？
显然例1中从4个球中摸出2个球是同时摸，“黑1，黑2”与“黑2，黑1”是一种结果.
如果将例1中摸出2个球看做是先后（依次）摸出两个球，摸出2个黑球的概率是多少？
先后摸出2个球，试验的所有结果（基本事件）组成的集合I含有A24=12个元素.而摸出
2个黑球结果组成的集合I含有A23=6个元素的子集A.因此，摸出2个黑球的概率
结论：摸球的过程不同，但得出的结果是相同的.概率的实质是在大量的重复试验中，事
件发生的频率的稳定值.也就是说概率是试验结果的可能性，与试验过程无关.“黑1，黑2”与
“黑2，黑1”是一种结果还是两种结果只取决于试验过程.在运用P(A)=Card(A)Card(I)计算等可
能性事件的概率时，因为集合A是集合I的子集，所以计算Card(A)和Card(I)时，要同时运用
排列（有序）或同时运用组合（无序），且不可将“有序”和“无序”混用.
【例2】 （人教版必修2下练习）先后抛掷2枚均匀的硬币.（1）一共可能出现
多少种不同的结果？（2）出现1枚正面1枚反面的结果有多少种？（3）出现1枚正面1枚反
面的概率是多少？（4）有人说：“一共出现2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面这三种结
果，因此，出现1枚正面1枚反面的概率是13”.这种说法对吗？
误区二：例2中“先后抛掷2枚均匀的硬币”改为“同时抛掷2枚均匀的硬币”那么（4）中的
说法成立吗？
有人认为：先后抛掷的2枚硬币之间有序，故一正一反有“正反、反正”两种结果.而同时抛
掷的2枚硬币之间无序，故（4）的说法正确.
分析：如果在同时抛掷中，把基本事件认为有“2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”这
三种结果，那么两枚硬币出现正面和反面相互独立，事件“两枚均为正面”的概率应为12•12=14.
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事件“两枚均为反面”的概率也为14.故事件“1枚正面1枚反面”的概率为1-14-14=12，而不是
13.
结论：在运用P(A)=Card(A)Card(I)求概率时，必须保证各个基本事件发生的可能性相
等.“出现2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”这三个基本事件发生的可能性不等.所以在解
答等可能性事件的概率时，谨防“非等可能性”与“等可能性”混淆.
【例3】 某人有五把钥匙，其中只有一把能打开门，但他忘了是哪一把，于是他便将五把
钥匙逐把不重复试开.问：恰好第三次打开门的概率是多少？
误区三：解法一中“第三次打开”既然已经打开了，从实际情景考虑，后面就不会再去试了.
即只需考虑第一、二次的情形.则m=A24.P(A)=mn=A24A55=110
.
显然，这种说法是错误的.计算等可能性事件的概率时，在试验中等可能出现的n个结果
组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素.各个基本事件均对应于集合I的含有1个
元素的子集.包含m个结果的事件A对应于I的包含有m个元素的子集A.因此从集合的角度
看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值，P(A)=mn.“五把钥匙依次
逐把打开”作为“一次试验”，则可能出现的n个结果组成一个集合I.即I={abcde,abdec,acdeb…}.
包含m个结果的事件A对应于I的包含有m个元素的子集A，则A中的元素应是a在第三个
位置的五个字母的排列.即A={cbade,bdace,cdaeb…}.所以n=A55,m=A44.
如果“从第三次打开”出发可理解为：一次试验确定为前三次试开，等可能出现的n个结果
组成集合I={abc,abd,acd…}，Card(I)=A35,而事件A是a在第三个位置的集合I的子集，即
A={cba,bda,cda…}，Card(A)=A24.所以P(A)=A24A35=15.所以上述说法错误的原因是认为集合
A不是集合I的子集.
结论：等可能事件概率计算时，对于事件与事件的“包含”与“不包含”的关系不能混淆.