对概率教学中几类易混淆概念的认识

和县教学成果评选材料类型教学论文论题对概率教学中几类易混淆概念的认识单位和县第二中学姓名张后志时间 2014年3月28日对概率教学中几类易混淆概念的认识摘要：随着概率统计内容引入中小学数学课程，学生在学习过程中出现了一系列由于对概念定义混淆导致的错误，影响了学生学习的认知心理，增加了概率教学的难度．在概率教学中，要注意区分概念定义之间的差别，了解概率概念的认知特征，这样才能引导学生正确解题，把握随机性思维的规律．关键词：概率概念；数学教学；混淆概率知识和现实生活有着很密切的关系，在经济、管理、决策、保险、销售等方面都有着广泛的应用，新数学课程标准及教材侧重培养学生的实际应用能力，理所当然的加入了概率知识，然而学生在分析问题和解决问题时常常容易因为概念不清出现一些似是而非的错误，或是面对概率问题束手无策、无从下手，使概率教学的难度加大．以下就几类易混淆概念问题例证解析，以阐发“概念不清，寸步难行”的教学要义．1 频率和概率的区别事件A发生的频率是指相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数(或称频数) nA与n的比值．直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小，但实际上频率值是有波动的．需要通过操作实验活动，亲手体验、感受频率的稳定性以及频率与概率的关系，观察频率的变化，从而建立这样的信念或影响，当实验次数越来越大时，这个比值(频率)越来越稳定于一个固定值，并以此来预测事件出现的可能性的大小，即概率．概率是准确的表示A在一次试验中发生的可能性的大小．学习概率概念的一个误区是大部分学生用频率理解概率．事实上，频率随着试验的发生而发生的其统计值是不断变化的，而概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性，是先于试验而客观存在的．概率的统计定义是利用频率来刻画的，但频率并不是概率，当试验次数增多时，该随机事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小．频率本身也是个随机变量，由贝努里大数定律知频率与概率具有强相合性，频率的稳定值反映了该事件发生的可能性大小，所以是借助于频率的稳定性去刻画概率．义务教育数学课程标准中设计了“做一做”活动“一定能摸到红球吗”，使学生体会事件发生的可能性是有大小的．活动是通过分组进行的，然后汇集班里所有的统计数据，把总的频率(比值)与概率进行比较．为什么要这么做?其实这里有两个概念需要明确，汇集所有数据，是基于概率的统计定义，即当试验的次数越来越大时频率将稳定于概率；而计算比值这是概率的古典定义，事件所包含的基本事件数与总的基本事件的比值即为(古典)概率，学生对概率的统计定义与古典定义是不知道的，重复试验次数让学生观察频率逐渐稳定于一个固定的值，从而让学生知道事件发生可能性的大小是可以用频率的稳定值来表征的，建立统计意义的概率概念对学生准确理解和把握概率的实质是具有重要意义的．2 排列和组合定义的混淆由于种种原因，现行学校数学的概率内容教学，还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些概率概念的死记硬背上，这种现象必需改变．学过概率的学生在现实生活中遇到随机现象问题，仍不会应用已学过的概率知识，仍然保持着他们在学习以前对随机现象问题的迟钝和误解．在处理概率问题时，经常会遇到排列和组合方面的思考，不少同学往往难以选择．例如：甲、乙两足球队激战90min 后踢成平局，加时赛30min 后仍成平局，先决定派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5．(1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员，点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；(2)求甲乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．这是一道与排列、组合相结合的概率题．在(1)中，要考虑甲队5名队员中有3名队员命中，有且仅有2名队员连续命中的情形共有多少种，这是一个排列问题，甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有23A 种，故所求概率为P 1＝23A 35.02)5.01(-＝163． 在(2)中，两队射完5个点球后仍是平局有6中可能(0：0、1：1、…5：5)，每一情形中都涉及到组合问题，比如说3：3时，5名队员中哪3名队员命中要进行选择．两组射完5个点球后再次出现平局共有6种可能，所求的概率为[]250052)5.01(5.0-=C P +[]++- 24115)5.01(5.0C []25663)5.01(5.020555=-C 对排列和组合定义混淆，导致了对概率学习的畏难情绪和障碍，也影响对概率概念的实质理解．事实上，统计与概率强调的内容方面是以统计的全过程为主线，而不是以排列组合为主线．由于学生缺少体验，数学课程标准要求通过体验经历和生活事例，例如，后抽签比先抽签吃亏吗?抛100次硬币一定出现50次正面吗?“三局两胜”制公平吗?“五局三胜”，“七局四胜”呢?教师在概率教学中应以生活经验帮助了解、区别和纠正学生对概率已有的错误经验和直觉，树立辨证的和正确的随机观念．3 不可能事件与必然事件的误区有人认为“不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1”，这是具有科学性错误的，违背了概率概念的实质．事实上，随机事件A 的概率是0≤P(A)≤1，这是概率所具备的基本规范，高中数学教材也给出这个性质．事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，0概率事件也不一定是不可能事件，但必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．例如：向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的，分别求落在平面内点A 的概率和落在平面内除点A 处以外的概率．这是求随机事件概率问题，是一个典型的几何概型问题，但前者的概率为0，后者的概率为1．发生上述情形的原因在于概率有一个测度，有测度为O 的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零．在古典概型中，概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中，概率为零的事件未必是一个不可能事件．由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件．4 “独立”和“互斥”的混同独立是概率特征的涵义，即对任意两个事件A 、B ，若P(AB)二P(A)P(B)成立，则称事件A 、B 是相互独立的．由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的．而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系．若事件A 、B 不可能同时发生，也就是说AB 是一个不可能事件，则称事件A 与B 互斥，有时也称互不相容，即A 的出现必然导致B 的不出现或B 的出现必然导致A 的不出现． 例如：设0<P(A)<1，0<P(B)<1，由户P(A ︱B)+P(A ︱B )=1，则( )．选择支为：(A)事件A 与B 相互独立；(B)事件A 与B 互斥；(C)事件A 与B 互不相关；(D)事件A 与B 相互对立．首先题目要求事件之间的关系，所以可排除(C)，因为不相关则只用于表述随机变量之间的关系．其次由上述分析可知由概率得不出互斥的结论，所以(B)也显然不对．而独立性则是由概率得到的，因此,由P(A ︱B)+P(A ︱B )=1 得P(A ︱B)=1-P(A ︱B )=P(A ︱B )， 又P(A)=P(AB+A B )=P(AB)+P(A B )=P(B)P(A ︱B)+P(B )P(A ︱B)=(P(B)+P(B ))P(A ︱B),即有P(AB)=P(A)P(B)从而由独立的定义立即可得A 与B 是相互独立的，故(A)是正确的．再如：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声被接的概率为0.1；响第二声被接的概率为0.3；响第三声被接的概率为0.4；响第四声被接的概率为0.1，那么电话在前四声被接的概率是多少?很多学生认为，电话在前四声内被接的概率是P=0.1×0.3×0.4×0.1＝0.0012．出现错误的原因是将互斥事件看成相互独立事件，电话在响第i 声被接和在响第j 声被接(i ≠j ，且i 、j ∈｛1，2，3，4｝)是互斥事件．因此正确解法是P ＝0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．由此可知，利用概念定义准确把握内涵中种差概念的区别，在解相关题目中可以收到意想不到的效果．5 “有放回”和“不放回”条件混用有放回和不放回也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是无放回，需要学生自己进行判定．这与有关(涉及到)试验的机会、等可能性概念，也是学习概率概念常常混淆的．例如：一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，随机逐个试验钥匙，试验后放回，求“房门恰在第k 次被打开”的概率，常见的错误有： (1)P(A)=nk n k n k n n n n n n n 1)1(1)2()1(23121=--⨯----⨯⨯--⨯--⨯- ; (2)P(A)=n A A k nk n 111=-- 错解(1)的主要原因在于将“有放回”与“无放回”混淆，这两种问题的主要不同点是：“有放回”的抽取每次被抽元素个数总是相同的，而“不放回”的抽取时每次被抽元素个数不相同；“有放回”抽取时每次抽取都是独立事件，概率不互相影响，“无放回”抽取每次抽取是互相影响的；错解(2)的主要原因在于“有放回”的抽取问题中，事件“一次抽取k 个元素”与“逐次抽取k 个元素”的概率是不相同的，而“不放回”的抽取问题中，以上两个事件的概率是相同的．正确解法为： P(A)=k k nn n n n n n n n 1)1(1111--=⨯-⨯⨯-⨯- 利用概念定义准确把握外延的不同，在解题时注意被取对象的全体，就可以避免错误．根据最近发展区理论，教学应该基于学生的最近发展区，而着眼于学生的潜在发展水平．因为大多数学生都接受用频率解释概率，所以教师应重视对概率统计定义的教学．此外，概率概念的教学要基于学生的认知发展水平，并且还要促进学生的认知能力的提高．在概率教学中，只有充分了解概率概念的认知特征，运用生活实践、活动体验等方式，这样才能帮助学生把握概率本质和概念定义之间的区别与联系，引导学生正确地分析问题和解决问题，把握随机性思维的规律．参考文献[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京师范大学出版社，2001．[2] 全日制普通高级中学教案系列丛书编委会．高中数学教案：第2册下(A)人民教育出版社，延边教育出版社 2001[3] 罗建宇．对“概率”概念教学的一处释疑数学通讯，2004，(5)．[4] 盛骤．概率论与数理统计高等教育出版社，2001．。