初中数学一题多解习题
初三数学初中数学人教版试题答案及解析
初三数学初中数学人教版试题答案及解析1.如图，△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明AB·DF＝BC·EF．【答案】见解析【解析】要证AB·DF＝BC·EF，即证．由于EF、DF是同一直线上的两条线段，为此，可考虑转化线段的比，即作DG∥CE交AC于点G，则，而AD＝CE，所以，即只需证，很显然△ABC∽△ADG，从而问题得到证明．证明：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC．∴，，∵AD＝CE，∴，∴，即AB·DF＝BC·EF．2. (2014广西玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1︰2．已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3B．6C．9D．12【答案】D【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1︰2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1︰4，故△A′B′C′的面积是12．故选D．3.如图所示，点A的坐标为(4，3)，C为OA上一点，且AC＝2，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D．则△AOB与△COD的相似比为________．【答案】5︰3【解析】因为，AC＝2，所以OC＝3，所以OA︰OC＝5︰3，即△AOB与△COD的相似比为5︰3．4.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB的方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)；(2)已知MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，求(1)中的点C到胜利街口的距离CM．【答案】见解析【解析】解：(1)如图所示，CP为视线，点C为所求位置．(2)因为AB∥PQ，MN⊥AB于M，所以∠CMD＝∠PND＝90°．又∠CDM＝∠PDN，所以△CDM∽△PDN，所以．因为MN＝20m，MD＝8M，PN＝24m，所以，所以CM＝16m，故点C到胜利街口的距离CM为16m．5.某市经济开发区建有B，C，D三个食品工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900m，AD＝BC＝1700m，自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500m．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出．(2)各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？【答案】见解析【解析】解：(1)过B，C，D分别作AN的垂线BH，CF，DG，分别交AN于H，F，G，则BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．如图所示．(2)由题意，得BE＝BC－CE＝1700－500＝1200(m)，(m)．因为∠ABE＝∠CFE＝90°，∠AEB＝∠CEF，所以△ABE∽△CFE，所以，所以(m)．同理易知△BHE∽△CFE，所以，所以(m)．易知△ABE∽△DGA，所以，所以(m)，所以B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是：720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元)．6.(2014浙江绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）矩形零件的两条边长分别为mm，mm（2）PN＝60mm，PQ=40(mm)【解析】解：(1)设矩形的长PN＝2ymm，则PQ＝ymm，由条件可得△APN∽△ABC，∴，即，解得，∴(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm．(2)设PN＝xmm，由条件可得△APN∽△ABC，∴，即，解得．∴，∴S的最大值为2400mm2．此时PN＝60mm，(mm)7.已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，AC＝12，BC＝13，A′B′＝8，那么△A′B′C′的周长为________．【答案】48【解析】∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，∴△ABC的周长为5＋12＋13＝30．∵△ABC∽△A′B′C′，∴，即．∴△A′B′C′的周长为48．8.某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需时间y(天)与每天完成的工作量x(米／天)之间的函数关系如图所示．(1)共需开挖水渠多少米？(2)如果为了防汛工作的需要，必须在35天内完成该项任务，那么每天至少完成多少米？(保留一位小数)【答案】（1）共需开挖水渠1200米；（2）每天至少完成约34.3米。
初中数学题库及答案
1．平面内有A、B、C、D四点，过其中的每两点画直线，一共可以画几条直线？思路点拨：A、B、C、D四点的位置关系不确定，因此必须对它们的各种可能情况进行分类讨论，并结合图形分析.答案：（1）四点共线时，只能画一条直线，如图①；（2）有三点共线时，能画四条直线，如图②；（3）四点中任意三点不共线时，可以画六条直线，如图③.所以过平面内四点中的每两点画直线，可以画直线一条或四条或六条.总结升华：像这样的题目，四点的位置不确定，应当对四点的位置关系分类讨论，有三种情况，注意不能遗漏. 分类讨论结束后，最后应有一个总结性的结论.2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°思路点拨：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．答案：D.总结升华：三角形的高与三角形的形状有关，应进行分类讨论.3．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为__.思路点拨：本题中由于没有图形，△ABC的形状不确定，应分两种情况.如图1所示，△ABC是锐角三角形，因为BD、CE是△ABC的高，所以△BOE、△BAD都是直角三角形，则∠A+∠2=90°，所以∠A=∠1=50°，即∠BAC=50°.如图2所示，△ABC是钝角三角形，因为BD、CE是△ABC的高，所以△ABD、△OBE都是直角三角形，则∠1+∠2=90°，∠O+∠2=90°，所以∠1=∠O=50°，所以∠BAC=180°－∠1=180°－50°=130°.答案：50°或130°4．甲乙两班学生去购买苹果，价格如下表：购买苹果数（）每千克价格3元 2.5元2元甲班分两次购买苹果70kg（已知第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次性购买苹果70kg.（1）乙班比甲班少付多少元？（2）甲班第一次、第二次分别买苹果多少千克？思路点拨：由题意可求出乙班比甲班少付189－70×2＝49（元），因为甲班购买两次共70kg，且第二次多于第一次，不妨设第一次、第二次分别买苹果kg，kg（，）分三种情况：①，；②，；③，．解析：解：（1）乙班比甲班少付189－70×2＝49（元）.（2）设甲班第一次买苹果kg，第二次买苹果kg，根据题意可得下述三种可能情况：①；②；③ .解得①无解；解②得；解③得（不合题意，舍去）.答：甲班第一次购买苹果28kg，第二次购买42kg.总结升华：根据题意进行分类讨论时，要注意不重、不漏.2.数形结合思想1．矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该矩形放在直角坐标系中，使点A的坐标为（-1，2），且AB ∥轴，试求出点C的坐标.思路点拨：点C的坐标由矩形ABCD的具体位置来确定，如图所示，应分四种情况：答案：如图所以，矩形AB1C1D1、AB1C2D2、AB2C3D1、AB2C4D2均符合题意，所以点C的坐标为（3，-4）或（3，8）或（-5，-4）或（-5，8）.2．小强用8个边长不全等的正三角形拼成如图的图案，其中阴影部分是边长为1cm的小正三角形. 试求图中正三角形A、正三角形B的边长分别是多少？思路点拨：由图可知：正三角形A、H、G的边长相等，且正三角形B的边长等于正三角形A的边长的2倍；正三角形F、E的边长相等，正三角形D、C的边长也相等，且正三角形F的边长等于正三角形G的边长＋1，正三角形D的边长等于正三角形E的边长＋1，正三角形B的边长等于正三角形C的边长＋1，从而可得正三角形B 的边长等于正三角形A的边长+3.分别设出A、B的边长，依此可得二元一次方程组，求出方程组的解即可得出答案.解析：设正三角形A的边长为 cm，正三角形B的边长为cm .根据题意，列方程组得，解得 .答：图中正三角形A的边长为3cm，正三角形B的边长为6cm.3．解不等式组： .思路点拨：解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.解析：解不等式①，得，解不等式②，得.在同一数轴上表示出不等式①、②的解集，如图：总结升华：利用数轴是确定不等式组解集的常用方法.3.转化思想：1．如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE垂直DE.思路点拨：要得出∠BED＝90°，而已知条件无法直接运用，作辅助线EF∥AB，将∠BED分解为∠3和∠4，可分别利用平行线的性质定理达到目的.解析：过E点作EF∥AB. 因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠4＝∠D.又因为∠D＝∠2，所以∠4＝∠2. 同理，由EF∥AB，∠1＝∠B可得∠3＝∠1.因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°，故BE⊥DE.总结升华：通过作平行线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立联系.2．（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2.3.4.5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.解析：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.理由：∵∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠A=180°.（2）在图2.3.5中，仍有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.理由同（1）.在图2.3中，∠B为∠EBD.在图4中，延长CE与AD交于一点，则∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=∠1+∠2+∠D=180°.总结升华：运动变化的问题一直是中考的热点问题，处理这类问题的关键是抓住变化中不变的量. 将所求转化到我们所熟悉的知识点上，再求解.3．已知等式对的一切值均成立，求的值.思路点拨：根据题意，本题转化为关于的二元一次方程组来求解.解析：因为原式对的一切值都成立，故可知且，即必须满足二元一次方程组，解这个方程组，得 .4.整体思想：1．已知方程组，求的值.思路点拨：这是个三元一次方程组，只含有两个方程，一般不能分别求出的值，可把“”作为一个整体，把方程组变形，根据特殊性求解.解析：将原方程组整理，得①×3，得，③②×2，得，④③－④，得.总结升华：本题直接求出的值是很困难的，所以要认真观察分析已知方程组的特点，通过拆项组合出现了关于、的两个关系式，运用加减法整体消去项，即可求出的值.2．已知方程组的解是，求的值.解析：把代入原方程组，得，①＋②得，，所以.总结升华：运用整体思想巧求代数式的值是中考常考内容，解题时，注意观察方程组的特点，灵活运用方程组的变形技巧来进行合理、正确地解答.5.方程思想：1．在△ABC中，∠B=20°+∠A，∠C=∠B－10°，求∠A的度数.思路点拨：由三角形的内角和，建立方程解决.解析：∵∠C=∠B－10°=∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+20°+∠A+10°=180°，∴∠A=50°.总结升华：本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.2．直角三角形ABC中，∠C=90°，两个锐角的差是30°，求两个锐角的度数.思路点拨：许多几何中的问题，如边、角问题，可通过设未知数来列方程组，使几何问题中的量的关系变得更直接、更易懂.解析：设两个锐角的度数分别是和，根据题意列方程组为，解方程组，得 . 所以两个锐角的度数分别是60°和30°.总结升华：列简单的二元一次方程组时应先设未知数，然后列出含有未知数的两个方程，再用大括号联立，组成二元一次方程组.6.换元思想：1．解方程组： .思路点拨：此题不是二元一次方程组，要通过换元转化成我们熟悉的二元一次方程组之后进行求解.解析：设，，则原方程可化为，解方程组得，所以，解得 .2．解方程组 .思路点拨：此题如果把和分别看作一个整体，并分别用来表示，那么原方程组就可以化简为解此方程组求出的值，再解就可以求出的值了.解析：设，，则原方程组变为，即 .①×2－②×3，得，即. 把代入②，得.把，代入原设，得，解得 .总结升华：上述解法运用了换元思想，此题还可以把和分别当成一个整体，把原方程组当成是关于和的方程组，先求出和的值，然后求出的值.类型二：一题多解型问题1．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF的理由.思路点拨：利用辅助线把AB、EF联系起来.解析：解法一：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.因为∠B＝25°，∠E＝10°，所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN. 所以AB∥CM，EF∥DN.又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.所以∠DCM＝∠CDN. 所以CM∥DN. 因为AB∥CM，EF∥DN，所以AB∥EF.解法二：如图，分别向两方延长线段CD交EF于点M，交AB于点N.因为∠BCD＝45°，所以∠NCB＝135°. 因为∠B＝25°，所以∠CNB＝180°－∠NCB－∠B＝20°. 又因为∠CDE＝30°，所以∠EDM＝150°.又因为∠E＝10°，所以∠EMD＝180°－∠EDM－∠E＝20°.所以∠CNB＝EMD. 所以AB∥EF.总结升华：本题图中找出能直接判定AB∥EF的角很困难，我们可以通过做辅助线入手，找到使直线平行的角，使问题转化到“三线八角”.2．如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数.思路点拨：此图不是我们所学过的“三线八角”基本图，需添加一些线（辅助线），把它转化成我们所熟知的基本图形.解析：解法1：过P作射线PN∥AB. 因为AB∥CD，所以PN∥CD，所以∠4＝∠2＝25°.因为PN∥AB，所以∠3＝∠1＝32°. 所以∠BPC＝∠3＋∠4＝32°＋25°＝57°.解法2：过P作射线PM∥AB. 因为AB∥CD，所以PM∥CD.所以∠6＝180°－∠2＝180°－25°＝155°. 因为AB∥PM，所以∠5＝180°－∠1＝180°－32°＝148°，所以∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－148°－155°＝57°.解法3：过C作CE∥BP交AB的延长线于点E. 所以∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠7.因为AB∥CD，所以∠E＋∠2＋∠7＝180°，所以∠7＝180°－∠1－∠2＝180°－32°－25°＝123°，所以∠BPC＝180°－∠7＝180°－123°＝57°.解法4：可过B作PC的平行线（请同学们自己写出证明过程，方法同解法3）.总结升华：本题采用适当添加辅助线的方法，构造基本图形解题.3．解方程组 .思路点拨:根据方程组的特点，可以选用不同的方法来解.解析：方法一：原方程组化简得由①得，. ③把③代入②，得，解得.把代入③，得.所以原方程组的解是 .方法二：原方程组化简得①×5，得. ③③－②，得，解得.把代入①，得.所以原方程组的解是 .方法三：原方程组化简得①×3，得. ③②×2，得. ④③+④，得，解得.把代入①，解得.解方程组，得 .所以原方程组的解是 .总结升华：（1）方法一和方法二都利用了二元一次方程组的常规解法：代入法和加减法；方法三根据题目的特点应用了整体的思想方法先求出和的值，再进一步求的值，这是解方程（组）的一种重要的思想.（2）解方程组时，不要急于求解，要先观察特点，因题而异，灵活选择方法，才能事半功倍. 同时，注意一题多解，训练思维的敏捷性和解题的灵活性.类型三：方案策略型问题1．联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元. 某市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台. 请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.思路点拨：一共有三种型号，选择其中的两种型号购买，一共可以有三种方式：A和B，B和C，C和A，同过计算，看这三种方式是否都符合.解析：设从该电脑公司购进A型电脑台，B型电脑台，C型电脑台，则可分以下3种情况考虑：（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意列方程组得：，解方程组得 . 结果不合题意，应该舍去，此方案不可取.（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意列方程组得：，解方程组得 . 结果符合题意，此方案可取.（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意列方程组得：，解方程组得 . 结果符合题意，此方程也可取.答：有两种方案供学校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.总结升华：本题所设未知数不只两个，为了解决问题方便，所以设三个未知数以帮助解决问题，但问题割裂开来看，仍属于二元一次方程组.2．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．（1）按该公司要求可以有几种购买方案？甲乙价格（万元/台）7 5每台日产量（个）100 60（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解析：（1）设购买甲种机器台，则购买乙种机器台．由题意，得，解这个不等式，得，即可以取0、1、2三个值.所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台.（2）按方案一购买机器，所耗资金为6×5＝30（万元），新购买机器日生产量为6×60＝360（个）；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32（万元），新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400（个）；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34（万元），新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440（个）．因此，选择方案二既能达到日生产量不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．总结升华：本题可以根据购买机器所消耗资金不能超过34万元，列出不等式，求出未知数的整数解是解题的关键. 然后按不同方案分别计算购买机器所消耗资金及日生产量，通过比较，按要求做出选择.3．今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝、香蕉各2吨；（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来.（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？解析：（1）设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，依题意，得，解这个不等式组，得，所以.因为是整数，所以可取5、6、7.所以安排甲、乙两种货车有三种方案：方案1：甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：甲种货车7辆，乙种货车3辆；（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择方案1，运费最少，最少运费是16500元；方法二：方案1需要运费：2000×5＋1300×5＝16500（元）方案2需要运费：2000×6＋1300×4＝17200（元）方案3需要运费：2000×7＋1300×3＝17900（元）所以该果农应选择方案1运费最少，最少运费是16500元；总结升华：建立不等式组，求出解集，确定解集的正整数解，即得出所求方案；根据每种方案求出所需运费，比较后可得出哪个方案运费最少.类型四：数学规律探索型问题1．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）.观察每次变换前后三角形的变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是________，B5的坐标是____________.思路点拨：分析数据可知A的纵坐标不变，横坐标的值是，B的纵坐标不变，横坐标的值是，所以A5的坐标是A5（），即A5（32，3），B5的坐标是B5（），即B5（64，0）.答案：A5（32，3），B5（64，0）.总结升华：解决这样的问题常用的方法是从特殊到一般的方法思考.2．如图所示，一样大小的立方体木块堆放在房间一角，一共垒了10层，这10层中从正面看不见的木块有____________个.思路点拨：由于木块是大小一样的立方体，实际上它每一层的表面都是正方形的镶嵌，且每一层表面呈等腰直角三角形，因此每一层去掉斜边上的正方形的个数，余下的正方形的个数就是看不见的木块的个数. 把立方体垒的每一层的表面看成是正方形镶嵌，因而看不见的正方形分布如图所示：…累加计算，得0+（0+1）+（1+2）+…+（1+2+…+8+9）=0+1+3+6+…+45=165（个）.）答案：165.总结升华：本题把看不见的各种情况的规律挖掘才胡来，使问题得解.类型五：开放性问题1．如图，AB∥CD，∠A=45°，添一个条件，求∠C的度数.思路点拨：因为题中给出AB∥CD，所以根据平行的性质，添一个与两直线平行有关的角的条件，就可求出∠C的度数.解析：（1）添一个条件∠E=20°，∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=45°，∵∠DFE是△CEF的一个外角，∴∠C=∠DFE―∠E=45°―20°=25°.（2）添一个条件∠C=∠E，∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=45°，又∵∠DFE是△CEF的一个外角，∠C=∠E，∴∠DFE=∠C+∠E=2∠C，即∠C=∠DFE=×45°=22.5°.总结升华：在解题中，要注意平行线的性质和三角形外角的性质的应用.2．写出一个以为解的二元一次方程.解析：因为3－2＝1，所以方程可写为.或者，因为2×3＋3×（-2）＝0，所以方程可写为.总结升华：本题有无数个解，解题时先设系数，再运算求出代数式的值.3．试写出不等式的一个整数解.思路点拨：先求出不等式的取值范围，然后选择其中一个值作为答案.解析：移项，得，合并同类项，得. 系数化为1，得.所以大于的整数都符合题意，如：-1，0，1，2，3，…都是不等式的整数解.总结升华：此题答案不唯一，要写出正确答案，关键是对不等式解的理解，从解不等式入手，在所得结果中找出符合题意的答案.。
初中数学“一题多解”法之探究
初中数学“一题多解”法之探究江泽民曾指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达不竭的动力。
”?一题多解的训练，可开拓学生思路，提高学生思维的灵活性和敏捷性，培养学生创造思维能力，发展学生创造力。
数学教学过程中，让学生大胆尝试，奇思妙想，视野更加开阔，思维更加活跃，使学生在自由思考的空间探索中大大提高创新思维能力。
在初中数学教学中，不失时机地通过引导学生进行一题多解的训练，通过广泛的联想，使学生的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。
一题多解有利于培养学生思维的灵活性。
数学是思维的体现，解决数学问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题。
数学题海战术，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低，桎梏学生的智慧，只有“闻一而知十”的一题多解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进学生思维品质的发展。
二、一题多解的主要思想方法（一）互逆思想。
如分率问题。
逆向解决：抓住题目中数量间的本质联系，可以直接列出算式解决，计算步骤简练、思路严谨巧妙，注重对应数学思想的应用。
顺向解决：看不出抽象的联系，依据题目直观呈现的数量关系，让未知量参加运算，列方程很容易加以解决。
（二）类比思想，众多客观事物中，存在着一些相互之间有相似属性的事物，根据它们的某些属性相同或相似，推出它们在其他属性方面也可能相同或相似之处。
数学教学中常用这种类比思想去思考问题，发现问题和解决问题。
（三）转化思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、具体与抽象的转化、数形转换等。
（四）巧作辅助线：也可达到一题多解。
几何证明通过添加辅助线，使图形的隐藏性质得以显现，从而利用有关性质去解题。
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力-教育文档
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力数学是逻辑性极强的一门学科，从解题开始到得出答案，每一步的过程都需要经过层层的计算和推导,因此，学好数学从另一方面来说就是学好了一种思维能力和思维方法。
为了培养好中学生的创新思维,教师应从解题方面着手，强化学生一题多解的能力和水平，鼓励他们用发散式的思维解决同一道数学题,同时积极配合并解答学生在解题过程中提出的问题与困惑，帮助中学生营造一个活跃轻松的课堂环境,让他们能够尽自己最大的能力收集并处理不同的数学难题.1。
数学是创新教育的基础课程创新是促进一切事物进步发展的前提条件，创新教育是在新课改的标准下培养学生拥有创新精神和创新能力的新式教育,中学生创新能力的形成一般基于多种知识的学习与能力的培养，这种可检验中学生是否具有综合学习的能力。
中学生创新思维能力的培养主要包括对他们的学习意识、学习精神、学习思维以及学习技巧和方法这几个方面.中学阶段是学生思维最活跃的时期，同时也是学习能力与理解能力最好的时期，这些为培养中学生学习数学的创新思维打下了良好的基础,能够让他们在数学的学习中收到事半功倍的效果.而数学作为一门应用范围十分广泛并且作为能够培养学生创新思维与解决问题能力的逻辑性极强的基础课程，在培养中学生创新能力方面有着得天独厚的条件和优势。
因此，我们要在对中学生教授数学课程的同时,把培养学生的创新能力放在最关键的位置，更好的适应社会发展以及新课标改革的需要。
除此之外，在整体的中学生数学教学过程中应将一题多解的教学模式作为切入点,通过培养学生强化一题多解的能力和水平提升他们的创新思维能力。
2。
通过一题多解培养学生创新思维能力2.1 注重选题与课堂气氛。
一题多解的数学题可以培养中学生用发散式的思维解决问题，教师应在教学之初选择一些具有代表性的数学题，这些数学题既要包括大部分知识点，而且难度不能太高或太低，否则会打击学生学习数学的积极性或让学生觉得没有挑战性，因此教师在选择题型方面要十分仔细，尽可能的通过选题激发中学生的学习热情和潜力。
初中数学练习题全解
初中数学练习题全解一、选择题1. 下列哪个选项是偶数？A. 3B. 5C. 2D. 72. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 以下哪个表达式的结果是一个负数？A. 3 - 2B. 2 + 3C. -3 + 2D. 5 × 2二、填空题4. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______或______。
5. 计算表达式 4x - 3y 的值，如果 x = 2 和 y = 1，那么结果是______。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4，那么斜边的长度是______。
三、解答题7. 解方程 2x + 3 = 7，求 x 的值。
8. 一个长方形的长是宽的两倍，如果周长是 24 厘米，求长方形的长和宽。
9. 一个工厂生产了 500 个零件，其中有 4% 是不合格的，计算合格零件的数量。
四、应用题10. 一个商店在促销期间，所有商品打八折销售。
如果一件商品原价是 200 元，那么打折后的价格是多少？11. 一个班级有 40 名学生，其中 2/5 是男生，3/8 是女生，那么班级中有多少名男生和女生？12. 一个农场有鸡和鸭两种动物，鸡的数量是鸭的三倍。
如果总共有120 只动物，那么鸡和鸭各有多少只？五、证明题13. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
14. 证明如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的因数也一定是另一个数的因数。
15. 证明对于任意实数 a 和 b，(a + b)² = a² + 2ab + b²成立。
以上是初中数学练习题全解的题目排版及格式，供学生练习使用。
初一解方程练习题及答案
初一解方程练习题及答案初一解方程练习题及答案初中数学中，解方程是一个重要的内容。
掌握解方程的方法和技巧，不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够培养我们的逻辑思维能力和数学推理能力。
下面，我将为大家提供一些初一解方程的练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握解方程的方法。
练习题一：1. 解方程：2x + 3 = 72. 解方程：5y - 8 = 173. 解方程：3(x + 4) = 274. 解方程：2(3x - 5) = 165. 解方程：4(x + 2) - 3(x - 1) = 5练习题二：1. 解方程：2(x + 3) = 5(x - 1)2. 解方程：3(2x - 1) + 4 = 5(3x + 2)3. 解方程：2(3x + 5) - 3(2x - 1) = 4(5 - x)4. 解方程：2(3x - 1) + 3(2x + 4) = 5(2x + 3)5. 解方程：3(2x - 1) + 4(3x + 2) = 5(4x - 3)答案一：1. x = 22. y = 53. x = 74. x = 55. x = 2答案二：1. x = 42. x = 33. x = 14. x = -25. x = 1解析：在解这些方程的过程中，我们可以运用一些基本的解方程的方法。
首先，我们要根据方程中的运算符号，将方程化简为最简形式。
然后，我们可以运用逆运算的原则，将未知数的系数和常数项分别移到方程的两边，使得方程只剩下未知数。
最后，我们可以通过合并同类项和简化方程，得到未知数的解。
在练习题一中，我们可以通过运用这些方法解方程。
例如，在第一题中，我们可以将方程化简为2x = 4，然后将常数项3移到方程的右边，得到2x = 4 - 3，最后得到x = 2。
在练习题二中，我们需要注意到方程中存在括号和多个未知数的情况。
我们可以通过展开括号和合并同类项的方法，将方程化简为最简形式。
例如，在第一题中，我们可以将方程化简为2x + 6 = 5x - 5，然后将未知数的系数和常数项分别移到方程的两边，得到2x - 5x = -5 - 6，最后得到-3x = -11，然后再将方程化简为x = 11/3。
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初中数学一题多解习题练习
一、思维定势干扰
例 1.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于。
例2.已知实数a、b满足a2+ 2a = 2,b2 + 2b = 2，求1 + 1的值。
a b
二、审题草率
例3. 一组数据5,7,7，x的中位数与平均数相等，则x的值为
例4. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是- 3< x < 6，相应函数值的取值范围是-5 < y <-2，则这个函数的解析式为。
三、忽视了数学的一些规定
例5.当a 取什么数时，关于未知数x 的方程ax 2 + 4x -1 = 0只有正实数根?
四、忽视图形的位置或形状
例6.若圆O 的直径AB 为2,弦AC 为五，弦AD 为也，则S 扇形0co （其中 2s 扇形OCD < S 圆。
）为 ---------------------- 。
例7.为美化环境，计划在某小区内用30m 2的草皮铺设一块边长为10m 的等 腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
五、忽视了比例线段之间的不同对应关系
例8.（江西）如图6所示，已知4ABC内接于圆O, AE切圆O于点A, BC//AE。
（1）求证：△ ABC是等腰三角形；
（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与4ABC相似，求AP的长。
一、圆的多解题型
1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别感和2,求圆的直径。
2、圆的两条弦长6和8,半径5,求两条弦的距离。
3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？
4、相切两圆半径分别是4和6,求圆心距。
5、相交两圆半径分别是25和39,公共弦长30,求圆心距。
6、三角形ABC的外接圆半径是4, BC=4,求角A的度数。
二、数的多解题型
1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，则a-b的值是多少？
2、平方是本身的数是____
3、a的立方根是2, a的平方根是几？
4、a、b的平方相等，a+2=3, b-2的差是几？
5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？
6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍?
三、三角形的多解题型
1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。
2、等腰三角形两边长5和6,求周长。
3、直角三角形两边长3和4,求第三边。
4、三角形的一个30°角对的边为5, 一条邻边是8,求面积。
5、等腰三角形一个角是另一个角的2倍，求底角。
6、画图找出到三角形三边距离相等的点。
四、四边形的多解题型
1、平行四边形ABCD中，AB=6，E是直线AB上的一点，BE=2，DE交AC于F，求AF 与FC的比。
2、平行四边形ABCD中，AB=5,BC边上高AE=3，CE=2，求BC。
3、矩形的一内角平分线将一边分为3和5两部分，则周长为多少。