初三数学一题多解

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九年级数学一题多解

九年级数学一题多解在九年级数学的学习中，我们经常遇到一些问题需要运用多种方法来解决。

这种一题多解的现象不仅是对我们思维能力的一种挑战，也是提高我们解决问题能力的重要途径。

下面就让我们一起探讨一下九年级数学一题多解的策略和方法。

我们需要明确什么是“一题多解”。

简单来说，一题多解就是对同一道题目，我们可以通过不同的方法进行解答，从而得到相同的结果。

这种解题方式不仅锻炼了我们的思维灵活性，也提高了我们解决问题的能力。

例如，我们在学习二次函数的时候，经常会遇到这样的问题：给定一个二次函数y=ax²+bx+c，要求我们求出它的顶点坐标。

对于这样的问题，我们可以采用多种方法进行解决。

方法一：利用配方法。

通过对二次函数进行配方，我们可以得到它的顶点坐标。

这种方法虽然比较繁琐，但是对于掌握二次函数的性质非常有帮助。

方法二：利用函数图像。

我们可以画出二次函数的图像，然后观察它的顶点位置。

这种方法直观易懂，但是需要一定的几何思维能力。

方法三：利用公式法。

对于一些简单的二次函数，我们可以直接利用顶点公式x=-b/2a，y=(4ac-b²)/4a来计算顶点坐标。

这种方法适用于那些不需要配方法和图像法的简单问题。

通过以上三种方法的比较，我们可以发现每种方法都有其优缺点。

在解题时，我们需要根据问题的具体情况选择合适的方法。

我们也需要不断练习和总结，才能更好地掌握一题多解的技巧。

九年级数学一题多解是一种非常重要的解题策略。

它不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的思维能力和解决问题的能力。

在以后的学习中，我们需要更加注重这种解题方式的训练和应用。

幂级数求和问题在考研数学中具有重要地位，是数项级数求和的一个重要考点。

幂级数是一类常见的函数，具有广泛的应用。

掌握幂级数求和的方法不仅可以帮助考生解决考研数学中的相关问题，还可以为后续的实际应用打下基础。

本文将介绍四种解决幂级数求和问题的方法，帮助考生灵活应对考研数学中的相关问题。

【中考复习】初中数学典型一题多解试题汇编(含解析)

初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为，16的平方根为 3、若2a =时， a 为。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

关于初中数学课堂“一题多解”教学分析

关于初中数学课堂“一题多解” 教学分析摘要：“一题多解”就是引导学生尝试着从多个角度解决数学问题，这种教学方式非常利于学生数学思想的提升。

在面对数学问题时，如果我们无法选择多个解题思路，则会极大地限制我们的解题效果及解题效率，这也是限制我们数学水平提升的关键因素。

因此，培养学生在解决数学问题时，能够从多个角度选择多个方法来解决这一问题，既能够提升学生的数学水平，又可以活跃学生的思维，并能够强化多种数学思想的关联与转化，从而提高了自身的创新能力。

关键词：初中数学；数学课堂；“一题多解”引言：初中阶段的数学教学是培养学生数学思想及数学能力的关键阶段，在这一阶段开展“一题多解”课堂教学，对学生的成长提升具有显著的作用。

因此，在实际教学过程中，以自主探究合作式的学习方式为基础，以“一题多解”教学思想为指导的初中数学课堂教学，对学生的综合水平及能力提升具有重要意义。

在此，我们将针对“一题多解”教学模式展开深入研究与分析，以期能够取得良好的教学效果。

1.合作学习模式下的“一题多解”教学合作学习是学习过程中最重要的一种学习方式，在小组合作学习中，学生能够充分汲取他人的学习经验与技巧，来提升自己的学习能力。

对于一些较为复杂的数学知识与问题，合作学习能够大大降低学生的学习理解难度，提升学习效率。

与此同时，学生的合作能力及合作精神也能得到进一步的发展。

在“一题多解”教学的初始阶段，学生一题多解的能力尚有欠缺，因此，我们可以以学习小组为基础，开展合作学习，使学生能够集众家之所长，丰富自己的数学思想。

例如，在我们学习一元一次方程的解法时，以该知识点为核心的相关习题类型有很多，面对不同的习题，我们必须针对习题的特点有针对性的选择不同的解题方法，如此才能灵活掌握一元一次方程的解法。

例：求解方程6x+2=5x-7。

解法一：移项，得6x-5x=-7-2X=-9解法二：移项，6x=5x-7-26x=5x-9X=-9很多学生在初步学习一元一次方程式的解法时，都会根据自己的思维习惯选择自己认为合适的方法来解决数学问题，这也就会使得某一方法对我们产生先入为主的观念，从而限制了我们的发散性思维，在合作学习中，充分汲取他人的解题技巧，来拓展自己的思维认识，这对我们数学思想的提升具有举足轻重的作用[1]。

中考数学一题多解课件

题归一透过现象，深入本质，找到规律，轻松解题训练思维，提升能力，高分高能，终身受益
B
B
C
证法3：在AD上取点E，使DE=CD,连接BE
证法4：取BC中点E，连接DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等
腰三角形的性质求解。
B
A
D
E
C
A E D
C
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=600，
∠B=∠D=900，求四边形ABCD的面积。
D C
E
D
E
DF
C
DEA C
FF B
G
E
D A
CF B
证法5
E
D
A G
CF B
证法6
E
D A
CF GB
证法7
已知，如图所示，AB是⊙O的直径，C在AB延长线上，CD切 ⊙O于D，DE⊥AB于E。求证：∠EDB=∠CDB
A
OE
B
C
A
OE
B
C A
OE
B
C
D
解法1
D
解法2
D
A
OE
B
C
A
OE B
C A
OE B
C
D
解法3
D
解法5
D
思考8.以两种方式表达手推车的满载重量：0.5x+180=4x+5 思考9：以两种方式表达一袋面粉重量并且在其中一种表达中不许出现x: (180-5)/(4-0.5)=x
如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D
1
求证：∠DBC= ∠BAC
2
A
证法1：直接用三角形导角

(完整)初中数学一题多解题

初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

初中数学“一题多解与一题多变”教学研究

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学一题多解与一题多变教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建一题多解与一题多变教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学一题多解与一题多变教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行一题多解的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁一题多解与一题多变的价值分析一题多解是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变是变式思想的显现，在一题多变的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁一题多解与一题多变教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行一题多解或一题多变的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语两个连续奇数的积是３２３．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示将较小的奇数设为ｘ将较大的奇数设为ｘ将ｘ设为任意整数将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后一题多解和一题多变的思索研究做好铺垫．为了让学生了解一题多变的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注一题多解的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中，一题多解的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让一题多解真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变的训练需要教师秉持万变不离其宗的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述，一题多解与一题多变是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学一题多解的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅．一题多解与一题多变在初中数学教学中的应用以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与一题多变在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。

中考数学专题复习之一题多解题

三角形，分为三种情况：DA＝DP，PA＝PD，AP＝AD(此时点P在边AB的延长
线上，不合题意)．①如解图，当DA＝DP＝8时(点P为图中的点P1，E为图中的点
E1)，由题意得BD＝ AB2 AD2＝ 62 82＝10，BP1＝BD－DP1＝10－8＝2，由
△P1BE1∽△DBC得
P1E1 ＝
DC
例3解题图
专题三多解题
类型三裁剪、拼接
例4 在一张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个小三角形，剩下的部分就是如图所示的平行四边形ABCD，经测量这个平行四边形的相邻两边长为5、3，一条对角线的长为4，则原三角形纸片的周长是 __2_4_或__1_6_＋_4___13__．
33
n)，抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围
是_a_≤_－__1_或____14_≤_a_<__13__．
【解析】∵直线y＝－1 x＋5 经过点M(－1，m)和点N(2，n)，∴m＝－1 ×(－1)
＋5
1
35 3
3
3
＝2，n＝－
3
×2＋
3
＝1，∴M(－1，2)1，N(25，1)，∵抛物线y＝ax2－x＋2
例4题图
专题三多解题
【解析】如解图①，当以过点A的中位线AB、AD剪去两个小三角形时，有EC＝ 2AB＝2×5＝10，FC＝2AD＝2×3＝6，EF＝2DB＝2×4＝8，∴原三角形纸片的周长为10＋6＋8＝24；如解图②，当以过点B的中位线BA、BC剪去两个小三角形时，有DF＝2AB＝2×5＝10，DE＝2BC＝2×3＝6，∵DC2＝52＝BC2＋DB2 ＝32＋42，∴∠DBC＝90°，∴∠EDB＝90°，∴BE＝ DB2 DE2 ＝2 13， ∴EF＝24BE1＝3 ，∴原三角形纸片的周长为10＋4 61＋3 ＝41613＋ .综上所述，原三角形纸片的周长为24或4161＋3 .

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初三数学一题多解
例3 求1+3+5+7+…+89=?
运用高斯算法，能够很容易地得出该题的结论，但这仅仅是就一般的计算而言。

对问题的进一步研究，又使我们得到以下两种运算方式：
第一种
1=1×1
1+3=2×2
1+3+5=3×3
………………
1+3+5+…+89=45×45
第二种
由于1=1×1×1
3+5=2×2×2
7+9+11=3×3×3
………………
73+75+…+89=9×9×9
所以，1+3+5+...+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+...+9×9×9=13+23+33+ (93)
当然，我们可以将上述运算作一般性的推广，使学生的解题思路更加开阔。

然而，其真正的用意却在于：
第一种运算中，等式右边的1×1、2×2、3×3、......、45×45，是来自对平面图形--正方形的直接观察(图三)，1×1、2×2、3×3、......、45×45分别为边长是1、2、3、 (45)
正方形的面积，因此，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算边长为45的正方形的面积。

第二种运算中，等式右边的1×1×1、2×2×2、3×3×3、……、9×9×9，则是来自对空间图形--正方体的直接观察(图四)，1×1×1、2×2×2、3×3×3、……9×9×9分别为棱长是1、2、3、……、9的正方体的体积，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算棱长分别为1、2、3、……、9的正方体的体积的。

如果将例3改换一种叙述方式：平面上共有90个点同在一条直线上，它们可以组成多少条不同的线段?则使我们完成了一次由点到线，由线到面，再由面到体的完美思考过程。

因此，本例的题多用不应简单地看成是解决数学问题的策略或方法，其重要意义是向我们揭示了如下的数学思想。