函数概念和表示

一、常见函数的定义域

求下列函数的定义域

1.已知函数213)(+++=

x x x f ，求)(x f 的定义域.

2.求函数131)(+++

-=x x x f 的定义域.

3.求函数2

36)(2+-=

x x x f 的定义域.

二、抽象函数（没有明确给出具体解析式的函数）定义域

主要题型如下：

【类型一】已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．

一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．

【类型二】已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．

【类型三】已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域。

【类型四】运算型的抽象函数

例1．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。

例2．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

例3． 设函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(2x f 的定义域为________。函数)2( x f 的定义域为__________。

例4. 函数f(x+1)定义域是[-2,3]，求f(2x-1)的定义域.

习题1. 函数定义域

1.(1)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x ＋1)的定义域；

(2)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (x )的定义域；

(3)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x －1)的定义域．

2．若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．

3.已知函数f(x)的定义域是[0,2].

(1)求函数f(x+1)的定义域；

(2)求函数)2

(2-

x

f的定义域；

(3)求函数)

(

)1

(2x

f

x

f+

+的定义域。

三、函数的值域

1.求函数值域的常用方法（观察法、数形结合法、换元法、分离常数法、配方法）．

①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．

②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．

③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y＝ax＋b±cx＋d的函数，我们可令cx＋d＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域．

④分离常数法：将形如y＝cx＋d

ax＋b

(a≠0)的函数，分离常数，变形过程为

cx＋d

ax＋b

＝

c a (ax＋b)＋d－

bc

a

ax＋b

＝

c

a

＋

d－

bc

a

ax＋b

，再结合x的范围确定

d－

bc

a

ax＋b

的取值范围，从而确定函数的

值域．

例题讲解

例1． 求函数41++-=x x y 的值域为.（数形结合）

例2．求函数1

+=

x x y 的值域.（分离常数）

例3 .求函数1-+=x x y 的值域.（换元法）

例4. 求函数51042+++=x x y 的值域.（配方）

例5.求函数562---=x x y 的值域.（配方）

习题2. 函数值域

1.求下列函数的值域

(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；（2）y＝x2－4x＋6，x∈[1,5];

（3）y－1；（4）

51

42

x

y

x

-

=

+

；

（5）

2

2

43

21

x x

y

x x

-+

=

--

；（6）y＝x

2．已知f(x)＝

1

x＋2

(x≠－2且x∈R)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．

(1)求f(2)，g(1)的值；

(2)求f(g(2))的值；

(3)求f(x)，g(x)的值域．

1．分段函数

(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

2．映射

1）映射的概念

设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．

2）一一映射

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B的一一映射．

3）映射与函数

由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．

四、函数解析式求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）