(精心整理)二次函数专题讲座

二次函数综合题一览

抛物线中的面积问题

1.c bx x y ++=2

的对称轴在y 轴的右侧，抛物线与y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，S △PAB 的面积是8，求解析式。

2.已知抛物线12)1(2-++-=k kx x k y ，⑴k 为何值时，抛物线与x 轴无交点；⑵若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且△ABC 的面积为4，求k 的值

3.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A 、B ，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点M 在第四象限，已知OA ：OB=1：3，∠AMB=90°，S △AMB =16。(1)求抛物线的解析式。(2)若抛物线上有一点P ，使S △APB =S △CMB ，求P 点的坐标。

4.已知抛物线2

2y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正 半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ， 求当四边形OPEF 的面积等于7

2

时点P 的坐标．

5.如图，已知抛物线q px x y ++-=2与x 轴相交于A(x 1,0)，B(x 2,0)两点(其中x 1<0，x 2>0，

1x <2x )，与y 轴相交于点C ，且∠ACB=90°，AB=22。若D 点是C 点关于x 轴的对称

点。(1)求C 、D 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)设Q(x ，y)是抛物线上的点，使 S △QCD =3，求点Q 的坐标。

6.抛物线的解析式c bx ax y ++=2满足四个条件：3;0=++=c b a abc ；4-=++ac bc ab ；

.c b a <<⑴求这条抛物线的解析式；⑵设该抛物线与x 轴的两交点分别为A 、B （A 在

B 的左边）

，与y 轴的交点为C ，P 是抛物线上第一象限内的点，AP 交y 轴于点D ，5.1=OD ，试比较AOD S ∆与DPC S ∆的大小.

7.平面直角坐标系xOy 已知抛物线)85(3

1

)25(2122++--+-=m x m m x y 的对称轴为x=2

1

-

,设抛物线与y 轴交于A 点,与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左边），锐角△ABC 的高BE 交AO 于点H ．⑴求抛物线的解析式；⑵ 在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使BP 将△ABH 的面积分成1：3两部分？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

8.已知：m n 、是方程2

650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2

y x bx c =-++的

图象经过点A(,0m )、B(0n ，).（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）若P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，且直线BC 把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标.

9.已知二次函数的图象过点()0,3-A 、().0,1B

（1）当这个二次函数的图象又过点()3,0C 时，求其解析式.

（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为P ，求ABC APC S S ∆∆:的值.

（3）如果二次函数图象的顶点M 在对称轴上移动，并与y 轴交于点D ，ABD AMD S S ∆∆:的值确定吗？为什么？

10.已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），并且M 和N 两点的横坐标分别是0322=--x x 的两根，点K 是抛物线与y 轴的交点，MKN ∠不小于.90︒（1）求M 和N 两点的坐标；（2）求系数a 的取值范围；（3）在a 的取值范围内，当y 取得最大值时，抛物线上是否存在点P 使得32=∆MPN S ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴的交点为Q .过点

Q 的直线m x y +=2与x 轴交于点A ，与二次函数的图象交

于另一点B .若APQ BPQ S S ∆∆=3，求这个二次函数的解析式.

12.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；

若没有，请说明理由.

B A O y x

13.如图，已知抛物线2

1(0)2

y x mx n n =

++≠与直线y =x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA ＝OB ，BC ∥x 轴．(1)求抛物线的解析式。(2)设D 、E 是线段AB 上异于A 、B 的两个动点(点E 在点D 的上方)，DE 2D 、E 两点分别作y 轴的平行线，交抛物线于F 、G ，若设D 点的横坐标为x ，四边形DEGF 的面积为y ，求x 与y 之间的关系式，写出自变量x 的取值范围，并回答x 为何值时，y 有最大值．

14.已知：抛物线()1232

122-++--=m x m x y 与x 轴交于()0,1x A 、()0,2x B 两点，且,0,021>

4

1

与（1）中的抛物线相交于M 、N 两点，分别过M 、N 作x 轴的垂线，垂足为M’、N’，点P 为线段MN 上一点，点P 的横坐标为t ，过点P 作平行于y 轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q ，是否存在t 值，使,12:35S :QMN N 'N 'MM =∆梯形S 若存在，求出满足条件的t 值；若不存在，请说明理由.

抛物线与圆

15.如图，已知两点)0 , 8(-A 、)0 , 2(B ，以AB 为直径作⊙P 与y 轴负半轴交于C 点，⑴求过A 、C 两点的直线解析式和过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线解析式；⑵若点M 是⑴中抛物线的顶点，求△ABC 的面积及直线MC 的解析式；⑶判定⑵中的直线MC 与⊙P 的位置关系，

并说明理由。

O

y A

B C

D P