2019新考研数学模拟试题(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：__________

考号：__________

一、解答题

1．已知201(2),(2)0,()d 12

f f f x x '===⎰, 求12

0(2)d x f x x ''⎰.

解：原式=1

1122000

111

d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰

1

11000

12001111

(2)d (2)0(2)d (2)22221111

(2)(2)d(2)1()d 140

2444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰

2．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()

()1,10,0d d x y x y --⎰

；

(2)()()()

()

3,4

23

221,2d d 663x y xy y x y xy +--⎰

； (3)()()

1,22

1,1d d x y x x y

-⎰沿在右半平面的路径； (4)()

()

6,81,0⎰

沿不通过原点的路径；

证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且

1P Q y x

∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是

()()()()1

1,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰

(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123P

xy y y

∂=-∂，2123Q

xy y x

∂=-∂，有

P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则

()()()()

()()[]3,42

3221,24

3

221

4

3

2321

2d d 663d d 63966434864236

x y xy

y x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰

(3)2y P x =

，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，2

1

Q x x ∂=∂，在右半

平面内恒有

P Q

y x

∂∂=

∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则

(

)

()

()21,2211,1d d d 11x

y x x y

y -==--⎰⎰

(4) P

，Q =

，且

P Q

y x

∂∂==∂∂在除原点外恒成立，故曲线积

分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从

(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则

(

)

(

)

6

8

6,81

1,080152

9

x y =+⎡=+⎣=⎰⎰

⎰

3．求下列函数在0x x =

处的三阶泰勒展开式： ⑴ 04);y x = ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=

解：⑴ 1357(4)

222211315 , , ,.24816

y x y x y x y x ----''''''==-==-

所以113

(4) , (4) ,(4)432256

y y y ''''''=

=-=

(4)7

2

15[4(4)]16[4(4)]

y x x θθ+-=-

+-

4

2372

111

5(4)(4)(4)(4) (01).464512

128[4(4)]

x x x x x θθ----+--

<<+-

⑵ 234

4ln(1)234(1)

x x x x x x θ+=-+-+

234

4345

2

4

(1)ln (1)ln[1(1)]

(1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]

y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-

4．一动点沿抛物线y =x 2运动，它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s -1，求动点在点(2，4)时，沿y 轴的分速度. 解：

d d d 236.d d d y y x

x x t x t

=⋅=⋅= 当x =2时，

d 6212d y

t

=⨯= (cm ·s －1).

5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，

故 23/2

2.(1)y k y ''

=

='+

6．一飞机沿抛物线路径2

10000

x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O

处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：001

0,5000

x x y y =='''==

， 23/2

(1)5000y R y

'+==''

飞行员在飞机俯冲时受到的向心力

22

702005605000

mv F R ⋅=== (牛顿)

故座椅对飞行员的反力

560709.81246F =+⨯= (牛顿).

7．验证：拉格朗日定理对函数3

()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.

验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+