立体几何中的平行与垂直问题

立体几何中的平行与垂直问题作业

1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1)求证：EF∥平面ABC；

(2)求证：BB1⊥AC.

2.(2019·苏锡一模)如图29­7，正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．

求证：(1)B1M∥平面A1BN；

(2)AD⊥平面A1BN.

立体几何中的平行与垂直问题作业答案

1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1)求证：EF∥平面ABC；

(2)求证：BB1⊥AC.

（1）证明：因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，

所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边

形，

又因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线

的交点，

所以E，F分别是AB1，CB1的中点，

所以EF∥AC，又因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC;

（2）证明：因为四边形AA1B1B为矩形，

所以BB1⊥AB，

又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，

所以BB1⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC所以BB1⊥AC.

2.(2019·苏锡一模)如图29­7，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．

求证：(1) B1M∥平面A1BN；

(2)AD⊥平面A1BN.

（1）证明：连接MN，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四

边形AA1C1C是平行四边形，AA1∥CC1且AA1＝CC1，

因为点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN

∥AA1且MN＝AA1，

又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝

BB1，

所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，

所以B1M∥BN，又B1M 平面A1BN，BN⊂平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.

（2）证明：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，

所以BN ⊥AA 1，

在正△ABC 中，N 是AC 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，

所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD ⊂平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，

由题意得，AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63，所以AA 1AC ＝AN CD ＝3

2

，

又∠A 1AN ＝∠ACD ＝π

2

，所以△A 1AN ∽△ACD ，则∠AA 1N ＝∠CAD ，

所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π

2

，则AD ⊥A 1N ，

又BN ∩A 1N ＝N ，BN ，A 1N ⊂平面A 1BN ，所以AD ⊥平面A 1BN .